第1章 直线与方程 本章复习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

第1章　直线与方程 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024海门实验中学月考)直线x－＝2在y轴上的截距为(　　)
A. － B. C. － D. －3
2 (2024洛阳一中期末)已知直线l1：ax－y－2＝0，l2：x＋(a＋2)y－1＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)
A. －1或1 B. 1
C. －1 D. －1或－3
3 已知点M(1，－2)，N(m，2)，若点M，N关于直线x＋2y－2＝0对称，则实数m的值是(　　)
A. 3 B. 1
C. －2 D. －7
4 (2024宁德中学期末)已知直线l1：ax－y＋2 024＝0，l2：(2－3a)x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为(　　)
A. 0 B.
C. 0或 D. 1或2
5 (2025淮北一模)已知正三角形的三个顶点坐标分别为(1，1)，(2，2)，(m，n)，若m＞1，则实数n的值为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024太仓中学月考)已知点P(a，b)在直线x－y＝0上，则＋的最小值为(　　)
A. B. 2 C. D. 2
二、 多项选择题
7 (2024南通海门期末)已知直线l1：x－y＝1，直线l2：mx＋ny＝m(mn≠0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l1在y轴上的截距为－1
B. 直线l2恒过点(0，1)
C. 当m－n＝0时，l1⊥l2
D. 当m＋n＝0时，l1∥l2
8 (2024海安实验中学月考)下列说法中，正确的是　(　　)
A. 若a＝0，则直线3x＋ay＝2与直线ax＋3y＋1＝0垂直
B. 若直线ax＋by＋c＝0经过第三象限，则ab＞0，bc＜0
C. 过点P(1，2)且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x＋y－3＝0
D. 经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程均可用(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
三、 填空题
9 已知直线3x＋y－6＝0与直线x＋2y－2＝0交于点Q，则点Q关于直线x＋2y＋3＝0的对称点的坐标是________．
10 (2024南通一中月考)直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点坐标为________，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________________．
11 (2024三明中学期末)已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2，4)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为________________．
四、 解答题
12 已知△ABC的顶点B(5，1)，边AB上的高所在直线的方程为x－2y－5＝0.
(1) 求直线AB的方程；
(2) 在下列条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
①角A的平分线所在直线的方程为 x＋2y－13＝0；
②边BC上的中线所在直线的方程为 2x－y－5＝0.
已知________，求直线AC的方程．
13 (2024淄博一中期中)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1) 证明：直线l过定点；
(2) 若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3) 若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值．
本 章 复 习
1. D　对于直线x－＝2，令x＝0，解得y＝－3，所以直线x－＝2在y轴上的截距为－3.
2. C　由题意，得a(a＋2)＋1＝0且－a＋2≠0，解得a＝－1.
3. A　由题意，得线段MN的中点在直线x＋2y－2＝0上，且直线x＋2y－2＝0与直线MN垂直，则解得 m＝ 3.
4. C　由题意，得a(2－3a)－a＝0，解得a＝0或a＝.
5. D　设点A(1，1)，B(2，2)，C(m，n)，其中m＞1，则AB＝＝.因为△ABC是正三角形，所以AC＝BC，即＝＝，解得或(舍去)，所以n＝.
6. C　易知＋＝＋表示点P(a，b)到点A(1，－1)和B(2，0)的距离之和．又点P(a，b)在直线y＝x上，点A(1，－1)关于直线y＝x的对称点为A′(－1，1)，所以PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当且仅当A′，P，B三点共线时取等号．又A′B＝＝，所以所求的代数式的最小值为.
7. AC　对于A，令x＝0，可得y＝－1，所以直线l1在y轴上的截距为－1，故A正确；对于B，直线l2的方程可化为m(x－1)＋ny＝0，当x＝1时，y＝0，即直线恒过定点(1，0)，故B不正确；对于C，当m－n＝0时，由mn≠0，得m＝n≠0，则直线l2的方程为x＋y－1＝0，直线l1，l2的斜率分别为1，－1，且1×(－1)＝－1，所以l1⊥l2，故C正确；对于D，当m＋n＝0时，由mn≠0，得m＝－n≠0，则直线l2的方程为x－y＝1，所以直线l1，l2重合，故D不正确．故选AC.
8. AD　对于A，当a＝0时，直线3x＋ay＝2与直线ax＋3y＋1＝0，即直线方程为x＝和y＝－，两直线垂直，故A正确；对于B，直线ax＋by＋c＝0与x轴，y轴的交点分别为，，当直线经过第一、二、三象限时，可得所以故B错误；对于C，当直线在x轴，y轴上的截距都为0时，直线y＝2x同样满足条件，故C错误；对于D，根据直线方程的定义与表示法可知，(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)可表示任意过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，故D正确．故选AD.
9. (0，－4)　因为直线3x＋y－6＝0与直线x＋2y－2＝0交于点Q，所以联立方程解得即点Q(2，0).设点Q(2，0)关于直线x＋2y＋3＝0的对称点P的坐标为(a，b)，则点Q(2，0)与P(a，b)的中点坐标为，kPQ＝，故解得即对称点的坐标为(0，－4).
10. (3，－2)　2x＋3y＝0或x＋y－1＝0　联立解得所以直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点坐标为(3，－2).当所求直线过原点时，直线方程为y＝－x，即2x＋3y＝0；当所求直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，则3－2＝a，解得a＝1，所以直线方程为x＋y－1＝0.综上，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.
11. (－∞，－]∪[1，＋∞)　如图，设点P(0，－2)，则kPA＝＝1，kPB＝＝－.设直线l的斜率为k，由图可知，当直线l与线段AB有交点时，k≤－或k≥1，即直线l的斜率的取值范围为(－∞，－]∪[1，＋∞).
12. (1) 由边AB上的高所在的直线方程为x－2y－5＝0，得边AB上的高所在的直线的斜率为，则kAB＝－2.
又B(5，1)，所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－5)，即2x＋y－11＝0.
(2) 若选①：角A的平分线所在直线的方程为x＋2y－13＝0，
由解得
则点A的坐标为(3，5).
设B′(x0，y0)是点B关于直线x＋2y－13＝0的对称点，
则解得
则B′.
又B′是直线AC上的点，所以kAC＝＝，
所以直线AC的方程为y－5＝(x－3)，
即2x－11y＋49＝0.
若选②：边BC上的中线所在直线的方程为2x－y－5＝0，
由解得
则点A的坐标为(4，3).
设点C(x1，y1)，
因为BC的中点在直线2x－y－5＝0上，
所以2×－－5＝0，即2x1－y1－1＝0，
则点C在直线2x－y－1＝0上．
又点C在直线x－2y－5＝0上，
联立解得
即C(－1，－3)，所以kAC＝＝，
所以直线AC的方程为y＋3＝(x＋1)，
即6x－5y－9＝0.
13. (1) 直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
易知无论k取何值，直线l总过定点(－2，1).
(2) 直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，
易知直线l在y轴上的截距为2k＋1.
要使直线l不经过第四象限，则
解得k≥0，即k的取值范围是[0，＋∞).
(3) 由题意，得直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
所以A，B(0，1＋2k).
又－＜0，且1＋2k＞0，所以k＞0，
所以S＝OA×OB＝××(1＋2k)＝≥＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立，
故S的最小值为4.