第2章 圆与方程 本章复习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

第2章　圆 与 方 程 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 已知圆C：x2＋y2－8x－6y－10＝0，则下列关于圆C的说法中正确的是(　　)
A. 圆心坐标为(－4，－3)
B. 圆心坐标为(3，4)
C. 半径为
D. 半径为35
2 已知直线l：4x－3y－2＝0与圆C：x2＋y2－4x＋6y－12＝0相交于A，B两点，则△ABC的周长为(　　)
A. 26 B. 18
C. 14 D. 13
3 (2025江西师大附中模拟)已知圆C1：x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)与圆C2：x2＋y2－2y＋2＝0恰有三条公切线，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. 1
C. ±1 D. 2
4 (2024如东中学月考)已知2b＝a＋c，直线ax＋by＋c＝0与圆C：x2＋y2＋4y－21＝0交于A，B两点，则AB的最小值为(　　)
A. 5 B. 6
C. 4 D. 4
5 (2025镇江一中期末)已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为r1，r2(r1A. B. 2
C. D. 3
6 设P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9上的动点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos ∠APB的最大值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024天星湖中学月考)已知圆C1：(x＋m)2＋(y－5)2＝16，圆C2：x2＋y2－4y＋3＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆C2的面积为π
B. 若m＝0，则圆C1，C2内切
C. 若圆C1，C2外切，则m＝4
D. 当m＝2时，圆C1，C2相交弦所在直线的方程为2x＋3y＋5＝0
8 (2024临沂三中期末)已知圆C：x2＋y2＋4x＝0，P是直线l：4x＋3y－7＝0上的一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则下列说法中正确的是(　　)
A. 存在圆心在直线l上的圆与圆C内切
B. 四边形PACB面积的最小值为2
C. AB的最小值是2
D. 点(2，3)关于直线l的对称点在圆C内
三、 填空题
9 (2024南通一中月考)已知直线l1：x－y＋3＝0，l2：2x＋y＝0相交于点A，则点A的坐标为________；若圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，过点A作圆C的切线，则切线方程为________．
10 已知直线l：ax－y＋3＝0是圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的对称轴，过点P(a，－2)作圆C的一条切线，切点为Q，则线段PQ的长为________．
11 (2024杭州高级中学期末)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)，P为圆上的动点，则d＝PA2＋PB2的最大值为________．
四、 解答题
12 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝9.
(1) 求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长；
(2) 求两圆的公切线方程．
13 (2024上海建平中学期末)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2).
(1) 若直线l平行于AB，与圆C相交于D，E两点，且DE＝AB，求直线l的方程；
(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12成立？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由；
(3) 对于线段AC上的任意一点Q，若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得M是线段QN的中点，求圆B的半径r的取值范围．
第2章　圆 与 方 程
本 章 复 习
1. C　圆C：x2＋y2－8x－6y－10＝0，即圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝35，表示以(4，3)为圆心，半径等于的圆．
2. B　由x2＋y2－4x＋6y－12＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝25，则圆心为C(2，－3)，半径r＝5，所以圆心C到直线l的距离d＝＝3，所以AB＝2＝8，所以△ABC的周长为2r＋AB＝18.
3. C　由题意，得圆C1：(x＋a)2＋y2＝a2(a≠0)，圆C2：x2＋(y－)2＝1.因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，所以C1C2＝r1＋r2，所以＝|a|＋1，所以a2＋3＝a2＋2|a|＋1，所以a＝±1.
4. D　由2b＝a＋c，得c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0，得ax＋by＋2b－a＝0，整理，得a(x－1)＋b(y＋2)＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点P(1，－2).将圆C的方程化为x2＋(y＋2)2＝25，则圆心为C(0，－2)，半径r＝5.由AB＝2(d为圆心C到直线的距离)，可知当PC⊥AB时，d达到最大值，此时AB的值最小，PC＝1，所以ABmin＝2＝2＝4.
5. D　两圆的一条公切线的方程为 y＝(x＋3)，即x－y＋3＝0，易知公切线恒过点(－3，0).不妨设两圆心分别为点C1(a，0)，C2(b，0)，－36. B　如图，已知点P在圆O：x2＋y2＝1外，所以∠APB为锐角．由余弦函数单调性可知，当∠APB取得最小值时，cos ∠APB取得最大值．在Rt△POA中，sin ∠OPA＝＝，当OP最大时，sin ∠OPA取得最小值．由正弦函数单调性可知，此时∠OPA最小，即∠APB取得最小值．又OP的最大值为OC＋3＝＋3＝8，所以sin ∠OPA＝，所以cos ∠APB＝1－2sin2∠OPA＝1－2×＝，即cos∠APB的最大值为.
7. AB　由题意，得C1(－m，5)，圆C1的半径r1＝4，C2(0，2)，圆C2的半径r2＝1.对于A，圆C2的面积为πr＝π，故A正确；对于B，若m＝0，则C1(0，5)，圆心距C1C2＝3＝r1－r2，所以圆C1，C2内切，故B正确；对于C，C1C2＝＝，因为圆C1，C2外切，所以C1C2＝r1＋r2，即＝4＋1，解得m＝±4，故C错误；对于D，当m＝2时，C1C2＝＝，由r1－r2＜C1C2＜r1＋r2，得圆C1与圆C2相交，两圆方程作差，得2x－3y＋5＝0，故D错误．故选AB.
8. ABD　由题意，得圆C 的圆心为C(－2，0)，半径r＝2.对于A，在直线l上取点P(1，1)，则PC＝＞2，所以点P在圆C外，以点P为圆心，＋2为半径的圆与圆C内切，故A正确；对于B，四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝AC·PA＝2，又点C到直线l的距离d＝＝3，则PC≥d＝3，所以Smin＝2，当且仅当CP⊥l时取等号，故B正确；对于C，当CP⊥l时，PC＝3，由AB⊥CP，得S＝AB·CP＝2，解得AB＝＜2，故C错误；对于D，点(2，3)与圆心C(－2，0)确定的直线斜率为＝，又直线l的斜率为－，所以点(2，3)与点C确定的直线垂直于直线l. 又点(2，3)到直线l的距离为＝2，点(2，3)与点C的距离为5，所以点(2，3)关于直线l的对称点到点C的距离为5－2×2＝1＜r，所以点(2，3)关于直线l的对称点在圆C内，故D正确．故选ABD.
9. (－1，2)　3x＋4y－5＝0或x＝－1　联立解得x＝－1，y＝2，所以A(－1，2).若切线的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x＋1)，则kx－y＋2＋k＝0，所以2＝，解得k＝－，所以切线方程为3x＋4y－5＝0；若切线的斜率不存在，则方程为x＝－1，此时直线x＝－1与圆C相切，满足题意．综上，切线方程为3x＋4y－5＝0或x＝－1.
10. 　由x2＋y2＋2x－4y－4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1，2)，半径为3.因为直线l：ax－y＋3＝0是圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的对称轴，所以直线l经过点(－1，2)，则－a－2＋3＝0，解得a＝1，所以点P的坐标为(1，－2).因为圆C的半径为3，所以PQ＝＝.
11. 74　设点P(x，y)，则d＝PA2＋PB2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2，的几何意义是点P(x，y)到原点的距离．由已知，圆C(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为C(3，4)，半径为1，点C到点O的距离CO＝＝5，所以的最大值是5＋1＝6，所以d的最大值为2×62＋2＝74.
12. (1) 由题意，得圆O的圆心为(0，0)，半径为1，圆M的圆心为(2，1)，半径为3.
两圆方程相减可得公共弦所在直线l：4x＋2y＋3＝0，
所以点O到直线l的距离d＝＝，
所以公共弦长为2＝，
故两圆公共弦所在直线的方程为4x＋2y＋3＝0，公共弦长为.
(2) 因为圆O的圆心为(0，0)，半径为1，圆M的圆心为(2，1)，半径为3，
由图可知，有一条公切线的方程为x＝－1，
因为直线OM：y＝x与直线x＝－1的交点为，
所以设另一条公切线的方程为y＋＝k(x＋1)，
即 kx－y＋k－＝0，
则点M(2，1)到此公切线的距离d′＝＝3，
解得k＝－，
所以另一条公切线的方程为y＝－x－，
即3x＋4y＋5＝0.
综上，两圆的公切线方程为x＝－1和3x＋4y＋5＝0.
13. (1) 由题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以圆心C(2，0)，半径为2.
因为l∥AB，点A(－1，0)，B(1，2)，
所以直线l的斜率为＝1.
设直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠1)，
则圆心C到直线l的距离为d＝.
因为DE＝AB＝＝2，且CE2＝d2＋，
所以4＝＋2，
解得m＝0或m＝－4，
故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.
(2) 假设圆C上存在点P，设点P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，
所以PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，
整理，得x2＋y2－2y－3＝0，
即x2＋(y－1)2＝4.
因为|2－2|＜＜2＋2，
所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，
所以点P的个数为2.
(3) 设点Q(t，0)，－1≤t≤2，点N(x，y)，
因为M为QN的中点，所以M.
又点M，N都在半径为r的圆B上，
所以
即
由两圆有公共点，得(2r－r)2≤(t－1)2＋4≤(2r＋r)2，对于t∈[－1，2]恒成立．
又4≤(t－1)2＋4≤8，所以r2≤4且9r2≥8，解得≤r≤2.
又点Q在圆外，所以(t－1)2＋4＞r2恒成立，
所以r2＜4，所以0＜r＜2.
综上所述，圆B的半径r的取值范围是.