第3章 圆锥曲线与方程 本章复习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

第3章　圆锥曲线与方程 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024如东一中月考)椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A. (0，±) B. (±，0)
C. (0，±3) D. (±3，0)
2 设F为抛物线y2＝2px的焦点，斜率为k(k>0)的直线过点F，且交抛物线于A，B两点，若FA＝3FB，则直线AB的斜率为(　　)
A. B. 1
C. D.
3 (2024通州中学月考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作直线l与双曲线C的其中一条渐近线垂直，垂足为P，分别交y轴及另一条渐近线于点T，Q，若3PF＝2QT，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A. x±y＝0
B. x±y＝0
C. 2x±y＝0
D. x±2y＝0
4 (2024海门证大中学月考)如图是一座抛物线形拱桥，当水面在直线l处时，拱顶离水面2 m，水面宽6 m，则当水面下降1 m后，水面的宽度为(　　)
A. 3 m B. 3 m
C. 3 m D. 8 m
5 (2024常州中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，其蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，M为蒙日圆上的一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为(　　)
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
6 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，OP＝c(c为椭圆的半焦距长)，△PF2Q的面积记为S，且4S≥a2，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B. (0，]
C. D. [，1)
二、 多项选择题
7 已知双曲线x2－＝1的左、右顶点为A1，A2，左、右焦点为F1，F2，直线l与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为2
B. 若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则PM＝NQ
C. 若直线PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则直线PA2斜率的取值范围为
D. 存在直线l的方程为2x－y－1＝0，使得弦PQ的中点坐标为(1，1)
8 (2024海安中学月考)已知椭圆C：＋＝1(0＜b＜3)的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为1且过点M的直线l交椭圆于A，B两点，若M是线段AB的中点，Q是椭圆C上的一点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的短轴长为
B. 椭圆C的离心率为
C. QF1·QF2的最大值为9
D. 使得∠F1QF2＝的点Q有四个
三、 填空题
9 已知过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线有________条．
10 (2024昆山中学月考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，弦长AB＝8，若△ABF2的内切圆的面积为π，则椭圆的离心率为________．
11 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1是其左焦点，过原点O的直线l交椭圆于A，B两点，M，N分别是AF1，BF1的中点，若存在以MN为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024无锡一中月考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线E上的任意一点P到点F的距离与到点Q(2，0)的距离之和的最小值为3.
(1) 求抛物线E的标准方程；
(2) 已知过点Q且互相垂直的直线l1，l2与抛物线E分别交于点A，C与点B，D，线段AC与BD的中点分别为M，N.若直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围．
13 如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上顶点和右顶点分别是A(0，1)和B，离心率e＝，C，D是椭圆E上的两个动点，且CD∥AB.
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 求四边形ABCD面积的最大值；
(3) 试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
第3章　圆锥曲线与方程
本 章 复 习
1. B　由椭圆＋＝1，得a2＝6，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝6－3＝3，所以c＝，所以椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0).
2. D　记直线AB与抛物线准线的交点为P，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别是A1，B1，准线与x轴的交点为E.设BF＝m，则AF＝3m，＝＝，则PB＝2m，所以＝＝，即m＝p，则AA1＝3m＝2p，则不妨设点A，所以直线AB的斜率为＝.
3. A　由题意，得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，直线l：y＝－(x－c)，点P，易知直线l与y轴的交点T.联立可得Q(，－).又3PF＝2QT，所以3＝，c2＝a2＋b2，化简，得＝，则双曲线C的渐近线方程为x±y＝0.
4. C　建立如图所示的平面直角坐标系，则点A(3，－2).设抛物线的方程为y＝ax2，由点A(3，－2)在抛物线上，得－2＝9a，解得a＝－，所以y＝－.当y＝－3时，x＝±，所以水面下降1 m后，水面宽度为3 m.
5. B　令椭圆C：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，则e＝＝，所以a＝c，所以b＝＝2c，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝9c2.由蒙日圆的性质，得MP⊥MQ，所以线段PQ是圆x2＋y2＝9c2的直径，即PQ＝6c，所以△MPQ面积的最大值为·6c·3c＝9c2＝36，可得c2＝4，所以a＝2，所以椭圆C的长轴长为4.
6. C　如图，连接QF1，PF1.由题意，得OP＝OQ，OF1＝OF2.又PQ＝F1F2，所以四边形PF2QF1为矩形，故S△PF2Q＝S△PF2F1，所以4×PF1·PF2≥a2，故PF1·PF2≥.又PF1＋PF2＝2a，由勾股定理，得PF＋PF＝F1F，即(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝4c2，则PF1·PF2＝2b2，故2b2≥，即4a2－4c2≥a2，故3a2≥4c2，≤，解得≤.又椭圆C上存在关于坐标原点对称的两点P，Q，使得PQ＝F1F2，故2b≤2c，所以b≤c，即a2－c2≤c2，所以a2≤2c2，≥，解得≥.综上，椭圆C的离心率的取值范围是.
7. ABC　如图，在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，c＝，点A1(－1，0)，A2(1，0)，F1(－，0)，F2(，0).对于A，在双曲线的焦点三角形PF1F2中，可得PF2·PF1＝8，所以S△PF1F2＝PF2·PF1sin ＝2，故A正确；对于B，不妨设x2－＝λ，当λ＝1时，表示双曲线，当λ＝0时，表示该双曲线的两条渐近线．设直线l：y＝kx＋m，其与x2－＝λ的交点为(x1，y1)，(x2，y2).联立消去y并整理，得(k2－2)x2＋2kmx＋m2＋2λ＝0，应满足k2－2≠0且Δ>0，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝＋2m，都与λ无关，所以线段PQ的中点与线段MN的中点重合，不妨设为T.由PT＝QT，NT＝MT可知，PM＝QN，故B正确；对于C，设点P(x0，y0)，且x－＝1，kPA1·kPA2＝·＝＝＝2，所以若直线PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则直线PA2的斜率的取值范围为，故C正确；对于D，联立消去y并整理，得2x2－4x＋3＝0，Δ<0，故直线l与双曲线无交点，所以不存在中点，故D错误．故选ABC.
8. BC　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得＋＝0，由M是线段AB的中点，得x1＋x2＝3，y1＋y2＝－2，所以＋＝0，即＝. 又直线l的斜率为1，所以＝1，则b2＝6，即b＝，所以椭圆C的短轴长为2b＝2，故A错误；由A可得椭圆C的方程为＋＝1，所以c＝＝＝，所以椭圆C的离心率e＝＝，故B正确；由椭圆的定义，得QF1＋QF2＝2a＝6，所以QF1·QF2≤2＝9，当且仅当QF1＝QF2＝3时，等号成立，故C正确；若∠F1QF2＝，则QF＋QF＝F1F，所以(QF1＋QF2)2－2QF1·QF2＝F1F，则36－2QF1·QF2＝12，可得QF1·QF2＝12，由C得QF1·QF2≤9，所以不存在这样的点Q，使得∠F1QF2＝，故D错误．故选BC.
9. 2　由题意，得抛物线的焦点为(1，0).当该直线斜率不存在时，此时直线方程为x＝1，则xA＋xB＝2，不符合题意，所以设直线方程为y＝k(x－1).代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA＋xB＝＝5，解得k＝±，所以这样的直线有2条．
10. 　由题意，得直线AB的方程为y＝(x＋c)，即x－y＋c＝0，所以点F2到直线AB的距离d＝＝c.因为△ABF2的内切圆面积为π，所以半径r＝1.又S△AFB2＝×AB×d＝×4a×r，所以2c＝a，所以椭圆的离心率为e＝＝.
11. 　如图，令椭圆右焦点为F2，半焦距长为c，连接AF2，BF2.因为M，N分别是AF1，BF1的中点，O为F1F2的中点，所以OM∥BF1，ON∥AF1.由以MN为直径的圆过原点，得∠MON＝90°，则∠AF1B＝90°.又点A，B关于原点O对称，即四边形AF1BF2为平行四边形，且是矩形，所以∠F1AF2＝90°，所以AF＋AF＝F1F，AF1＋AF2＝2a.因为(AF1＋AF2)2＝F1F＋2AF1·AF2≤F1F＋2，当且仅当AF1＝AF2＝a时取等号，即4a2≤4c2＋2a2，则≥，即e2≥.又012. (1) 抛物线E的准线方程为x＝－，
设点P到准线的距离为d.
由抛物线的定义，得PF＋PQ＝d＋PQ≥2＋＝3，解得p＝2，当且仅当P，Q，F三点共线时，等号成立，
所以抛物线E的标准方程为y2＝4x.
(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).
由题意可知，l1，l2的斜率存在且均不为0，
设直线l1的方程为x＝my＋2，直线l2的方程为x＝－y＋2，
联立消去x并整理，得y2－4my－8＝0，
则y1＋y3＝4m.
同理可得，y2＋y4＝－.
所以yM＝＝2m，yN＝＝－，
所以xM＝myM＋2＝2m2＋2，xN＝－yN＋2＝＋2，
所以k1k2＝·＝·＝－≥－＝－，
当且仅当m2＝，即m＝±1时，等号成立，
又易知k1k2<0，
所以k1k2的取值范围为.
13. (1) 因为A(0，1)，所以b＝1.
又离心率为，所以＝，
即a2＝c2＝(a2－b2)＝a2－，解得a2＝4，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2) 因为a＝2，所以B(2，0)，所以kAB＝－.
设直线CD的方程为y＝－x＋t(t<1)，点D(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立消去y并整理，得x2－2tx＋2t2－2＝0，
由Δ＝4t2－4(2t2－2)>0，得－则x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－2，
故CD＝|x1－x2|＝·＝.
易得直线AB的方程为x＋2y－2＝0，点B(2，0)，
所以AB＝，直线AB与CD之间的距离为d＝，
故四边形ABCD的面积为S＝(AB＋CD)d＝(＋)·＝|t－1|(1＋)，
令t＝cos θ，
则S＝(1－cos θ)(1＋sin θ)＝1＋sin θ－cos θ－2sin θcos θ，
令m＝sin θ－cos θ＝sin ，则02sin θcos θ＝1－m2，
所以S＝m2＋m.
因为函数S＝m2＋m在区间(0，]上单调递增，
所以当m＝，即t＝－1时，S取最大值，则四边形ABCD面积的最大值为4.
(3) 由(2)，得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－2，
kAD·kBC＝·
＝
＝
＝＝
＝＝，
故直线AD与BC的斜率之积为定值，且定值为.