第5章 导数及其应用 本章复习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

第5章　导数及其应用 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024保定一中期末)函数y＝log2x＋cos 的导数y′等于(　　)
A. B. x ln 2
C. －sin D. x ln 2－sin
2 (2025南通中学月考)已知函数f(x)在x＝x0处可导，且 ＝3，则f′(x0)的值为(　　)
A. －3 B. －2 C. － D. 2
3 (2025启东中学月考)函数f(x)＝sin x cos x的图象在点处的切线方程为(　　)
A. x＋y－－＝0 B. x－y＋－＝0
C. y－＝0 D. y＋＝0
4 (2025汉中二模)若 x∈R满足ex＋a＞x－1，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，0) B. (－∞，－2]
C. (－e，－2) D. (－2，＋∞)
5 (2024如东一中月考)已知x＝1是函数f(x)＝ax3－3x的一个极值点，其中a为实数，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6 定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且当x<0时，xf′(x)＋2f(x)<0，则下列结论中正确的是(　　)
A. > B. 9f(3)>f(1)
C. 4f(－2)<9f(－3) D. >
二、 多项选择题
7 (2024通州中学月考)下列命题中，正确的有(　　)
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)＝2，则 ＝2
B. ′＝
C. 已知函数f(x)＝ln (2x＋1)，若f′(x0)＝1，则x0＝
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－
8 (2025姜堰二中月考)已知f(x)＝ax－xa，其中a＞0，且a≠1，x＞0，若f(x)≥0恒成立，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝e
B. x＝e是f(x)的极小值点
C. f(x)在区间(0，e)上单调递减
D. f(x)在区间(e，＋∞)上单调递增
三、 填空题
9 (2025新华中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的函数，f(x)＝ax2－2x－1，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，则a＝________．
10 (2024许昌一中期末)已知函数f(x)满足f(x)＝f′cos x－sin x，则f′＝________．
11 已知函数f(x)＝ln x＋x2－2x满足f(2a2－a)≤f(4a＋12)，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2025海门证大中学月考)已知函数f(x)＝ex(x2＋a)(a＜0)的图象在点(0，f(0))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.
(1) 求实数a的值；
(2) 求f(x)在区间[－4，2]上的最大值和最小值．
13 已知函数f(x)＝－b ln x.
(1) 当b>0时，求函数的单调区间和极值；
(2) 若f(x)在区间(1，e2]内恰好有两个零点，求实数b的取值范围．
第5章　导数及其应用
本 章 复 习
1. A　因为y＝log2x＋cos ，所以y′＝.
2. A　由题意，得函数f(x)在x＝x0处可导，且 ＝3，则－f′(x0)＝3，解得f′(x0)＝－3.
3. C　因为f(x)＝sinx cos x，所以f′(x)＝(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos2x－sin2x＝cos2x，所以f＝sin cos ＝，f′＝cos ＝0，即切点的坐标为，切线斜率k＝0，所以切线方程为y－＝0.
4. D　令f(x)＝ex＋a－x＋1，则f′(x)＝ex＋a－1，当x≥－a时，f′(x)≥0，f(x)单调递增；当x＜－a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故当x＝－a时，函数取得最小值f(－a)＝2＋a，由题意，得2＋a＞0，即a＞－2.
5. C　由f(x)＝ax3－3x，得f′(x)＝3ax2－3.因为x＝1是函数y＝f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝3a－3＝0，解得a＝1，则f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，其中x∈[－2，2]，当x∈[－2，－1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，2]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝－1时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－1)＝－1＋3＝2，又f(2)＝23－3×2＝2，所以函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为2.
6. D　当x<0时，因为xf′(x)＋2f(x)<0，所以x2f′(x)＋2xf(x)>0.设g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)>0，所以g(x)＝x2f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．又函数f(x)为偶函数，所以g(x)＝x2f(x)为偶函数，所以g(x)＝x2f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，所以g(e)g(－3)，即(－2)2f(－2)>(－3)2f(－3)，所以4f(－2)>9f(－3)，故C错误；因为g(e)>g(3)＝g(－3)，即e2f(e)>(－3)2f(－3)，所以>，故D正确．
7. CD　对于A， ＝2 ＝2f′(1)＝4，故A错误；对于B，′＝＝，故B错误；对于C，f′(x)＝，若f′(x0)＝1，则＝1，即x0＝，故C正确；对于D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，故f′(2)＝4＋3f′(2)＋，故f′(2)＝－，故D正确．故选CD.
8. ABD　对于A，f(x)＝ax－xa≥0恒成立，则ax≥xa恒成立，即x ln a≥a ln x，因为a＞0，且a≠1，x＞0，所以不等式进一步转化为≥，记g(x)＝，其中x＞0，g′(x)＝，当x∈(0，e)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，又g(a)≥g(x)，故a＝e，故A正确；对于B，C，D，f(x)＝ex－xe，则f′(x)＝ex－exe-1＝ex，记h(x)＝1－，h′(x)＝－＝，当0＜x＜e－1时，h′(x)＜0，当x＞e－1时，h′(x)＞0，所以函数h(x)在区间(0，e－1)上单调递减，在区间(e－1，＋∞)上单调递增．又h(0)＝1，h(e)＝h(1)＝0，当0＜x＜1或x＞e时，h(x)＞0，则f′(x)＞0；当1＜x＜e时，h(x)＜0，则f′(x)＜0，故f(x)在区间(0，1)，(e，＋∞)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减，所以x＝e为函数f(x)的极小值点，且函数f(x)在区间(0，e)上不单调，故B，D正确，C错误．故选ABD.
9. 3　因为函数f(x)＝ax2－2x－1，所以f′(x)＝2ax－2.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，所以f′(1)＝2a－2＝4，解得a＝3.
10. －　由f(x)＝f′cos x－sin x，得f′(x)＝－f′sin x－cos x，所以f′＝－f′sin －cos ，所以f′＝－，所以f′＝－.
11. ∪　由函数f(x)＝ln x＋x2－2x，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋x－2＝＝≥0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．又由不等式f(2a2－a)≤f(4a＋12)，得即解得－≤a<0或12. (1) 由题意，得f′(x)＝ex(x2＋2x＋a)，
所以f′(0)＝a，又f(0)＝a，
所以f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)·(x－0)，即y＝ax＋a.
当x＝0时，y＝a；当y＝0时，x＝－1.
因为y＝ax＋a与坐标轴所围成的三角形的面积为且a＜0，
所以×(－a)×1＝，所以a＝－3.
(2) 由(1)，得f(x)＝ex(x2－3)，f′(x)＝ex(x2＋2x－3)＝ex(x＋3)(x－1).
令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝1.
当－4≤x＜－3或1＜x≤2时，f′(x)＞0；
当－3＜x＜1时，f′(x)＜0，
所以f(x)在区间[－4，－3)，(1，2]上单调递增，在区间 (－3，1) 上单调递减．
因为f(－4)＝，f(－3)＝，f(1)＝－2e，f(2)＝e2，且e2＞＞＞－2e，
所以f(x)在区间[－4，2]上的最大值为f(2)＝e2，最小值为f(1)＝－2e.
13. (1) 由f(x)＝－b ln x，得f′(x)＝x－＝，且定义域为(0，＋∞).
因为b>0，令f′(x)>0，解得x>；
令f′(x)<0，解得0则f(x)的单调增区间为[，＋∞)，单调减区间为(0，)，
所以f(x)在x＝处取得极小值为f()＝，无极大值．
(2) 当b≤0时，f′(x)>0恒成立，
即f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在区间(1，e2]内至多只有一个零点，故舍去；
当b>0时，由(1)，得f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
若f(x)在区间(1，e2]内恰有两个零点，
则需满足解得e故实数b的取值范围是.