专题课:动量与能量综合解决常见模型
例1 C [解析] 弹簧压缩到最短时,A、B速度相等,根据动量守恒定律有mAv0=(mA+mB)v,A物体的速度大小为v=1 m/s,A、B错误;弹簧最短时,弹簧弹性势能最大,系统动能最小,根据机械能守恒定律有mA=(mA+mB)v2+Epmax,得Epmax=6 J,系统最小动能为Ekmin=(mA+mB)v2=2 J,C正确,D错误.
例2 (1)20 N (2)2 J (3)1.5 J
[解析] (1)对C,由动量定理得
-FΔt=-mCv-mCv0 (2分)
解得F=20 N. (1分)
(2)C与A碰撞过程中,由动量守恒定律得
mCv0=mAvA-mCv (2分)
解得vA=4 m/s
碰撞过程中损失的机械能
ΔE=mC-mCv2-mA=2 J. (2分)
(3)C与A碰撞结束后,A、B和弹簧组成的系统在运动过程中动量守恒且机械能守恒,当弹簧被压缩到最短时,A和B有共同速度,此时弹簧的弹性势能最大,设共同速度为v1,有
mAvA=(mA+mB)v1 (2分)
mA=(mA+mB)+Ep (2分)
联立解得Ep=1.5 J. (1分)
例3 AC [解析] 当小球与小车的水平速度相等时,小球沿弧形槽上升到最大高度,由水平方向动量守恒知mv0=2mv,得v=,故A正确;设小球离开小车时,小球的速度为v1,小车的速度为v2,整个过程中动量守恒,得mv0=mv1+mv2①,由机械能守恒得m=m+m②,联立①②,解得v1=0,v2=v0,即小球与小车分离后二者交换速度,所以小球与小车分离后做自由落体运动,故B错误,C正确;对小车运用动能定理得,小球对小车做的功W=m-0=m,故D错误.
例4 h
[解析] 根据题意可知,物块从劈A上由静止滑下,到达劈A底端时,设物块的速度大小为v,A的速度大小为vA,由机械能守恒和水平方向动量守恒得
mgh=mv2+M1
M1vA=mv
设物块在劈B上能够达到的最大高度为h',此时物块和劈B的共同速度大小为v',由机械能守恒和水平方向动量守恒得
mgh'+(M2+m)v'2=mv2
mv=(M2+m)v'
联立解得h'=h.
例5 AD [解析] 取向右为正方向,物块C与物块B碰撞时动量守恒,根据动量守恒定律可得mv=2mv1,解得碰撞后二者的速度大小为v1=v,故A正确;碰撞过程中损失的机械能为ΔE=mv2-×2m,解得ΔE=mv2,故B错误;当B、C再次回到最低点时A的速度最大,设A的最大速度为v2,此时B、C的速度为v3,根据A、B、C组成的系统在水平方向上动量守恒得2mv1=mv2+2mv3,根据系统的机械能守恒得×2m=m+×2m,解得v2=v,故C错误;当A、B、C三者速度相等为v4时,物块B、C上升的高度最大,根据A、B、C组成的系统在水平方向上动量守恒得2mv1=3mv4,根据机械能守恒定律有2mgh=×2m-×3m,解得h=,故D正确.
例6 (1)v0 (2) (3) (4) (5)
[解析] (1)设子弹、木块相对静止时的速度为v,以子弹初速度的方向为正方向,由动量守恒定律得mv0=(M+m)v
解得v=v0
(2)设子弹在木块内运动的时间为t,对木块,由动量定理得ft=Mv-0
解得t=
(3)设子弹、木块发生的位移分别为s1、s2,如图所示.
对子弹,由动能定理得-fs1=mv2-m
解得s1=
对木块,由动能定理得fs2=Mv2
解得s2=
子弹打进木块的深度等于相对位移,即s相=s1-s2=
(4)系统损失的机械能为E损=m-(M+m)v2=
系统增加的内能为Q=f·s相=
系统增加的内能等于系统损失的机械能
(5)假设子弹恰好不射出木块,有fL=m-(M+m)v2
解得L=
因此木块的长度至少为
例7 (1)2 m/s (2)1 s (3)30 J
[解析] (1)小车和物体组成的系统动量守恒,规定向右为正方向,则mv0=(m+M)v
解得v== m/s=2 m/s
(2)物体在小车上做匀减速直线运动
根据牛顿第二定律可知-μmg=ma
解得a=-μg=-3 m/s2
则物体在小车上滑行的时间为t== s=1 s
(3)根据能量守恒定律,系统产生的摩擦热为
ΔQ=m-(m+M)v2=×4×52 J-×(4+6)×22 J=30 J
例8 (1)6 m/s (2)2 m/s (3)1 s
[解析] (1)子弹射入物块后和物块一起向右滑行的初速度即最大速度,由动量守恒定律得m0v0=(m0+m)v1,
解得v1=6 m/s.
(2)当子弹、物块、木板三者共速时,木板的速度最大,由动量守恒定律得(m0+m)v1=(m0+m+M)v2,
解得v2=2 m/s.
(3)对物块和子弹组成的系统,由动量定理得
-μ(m0+m)gt=(m0+m)v2-(m0+m)v1,
解得t=1 s.
随堂巩固
1.BD [解析] 因水平面光滑,故系统的动量守恒,A、B两球碰撞过程中机械能有损失,A错误,B正确;三球速度相等时,弹簧形变量最大,弹簧弹力最大,故三球速度仍将发生变化,C错误,D正确.
2.BD [解析] 在小球滑到最高点的过程中,小球与小车组成的系统水平方向不受外力,水平方向动量守恒,故A错误;在小球滑到最高点的过程中,小球与小车组成的系统只有重力做功,所以系统机械能守恒,故B正确;小球与小车组成的系统水平方向动量守恒,设两者水平方向共同速度大小为v,则有mv0=(m+M)v,解得v=1 m/s,故C错误;设小球沿圆弧轨道上升的最大高度为h,小球与小车组成的系统机械能守恒,有m=(m+M)v2+mgh,解得h=0.6 m,故D正确.
3.B [解析] 根据动量定理有I=Mv0,滑环固定时,根据机械能守恒定律有M=Mgh1,可得h1=,滑环不固定时,小球的初速度不变,取水平向右为正方向,根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒得Mv0=(M+m)v,M=(M+m)v2+Mgh2,解得h2=,则有=,故选B.
4.BC [解析] 木板在光滑水平桌面上,物块滑上木板后,系统动量守恒,由图像可知,最终物块与木板以共同速度v1运动,有mv0=(M+m)v1,-μmgΔs=(M+m)-m,Δs=t1,可求出物块与木板的质量之比及物块与木板之间的动摩擦因数,但求不出木板的长度,A错误,B、C正确;木板质量未知,不能求出木板获得的动能,D错误.
5.C [解析] 设子弹质量为m,木头质量为M,由于最终都达到共同速度,根据动量守恒定律有mv0=(m+M)v,可知共同速度v相同,则根据ΔE=m-(m+M)v2=Q,可知子弹与硬木或子弹与软木构成的系统机械能减小量相同,故两个系统产生的内能Q一样多,故A、B错误;根据功能关系得Q=f·d,可知产生的内能Q相同时,摩擦力f越小,子弹打入深度d越大,所以子弹在软木中打入深度较大,故C正确,D错误.专题课:动量与能量综合解决常见模型
1.B [解析] A与B发生的碰撞是完全非弹性碰撞,二者组成的系统所受的合外力为零,系统的动量守恒,但机械能不守恒,故A错误,B正确.A与B一起压缩弹簧的过程,A、B、C及弹簧组成的系统所受的合外力为零,系统的动量守恒,由于只有弹簧的弹力做功,所以系统的机械能也守恒,故C、D错误.
2.AC [解析] 小车和木块在水平方向上不受外力,系统在水平方向上动量守恒,若小车的初动量大于木块的初动量,则最后相对静止时整体的末动量方向向左,木块先减速运动再反向加速运动后匀速运动,小车先减速运动再匀速运动,故A正确,B错误;同理若小车的初动量小于木块的初动量,则最后相对静止时整体的末动量方向向右,则木块先减速运动后匀速运动,小车先减速运动再加速运动后匀速运动,故C正确,D错误.
3.BD [解析] 子弹射入木块的过程,由能量守恒定律知,子弹动能的减少量大于系统动能的减少量,A错误;子弹和木块组成的系统动量守恒,系统动量的变化量为零,则子弹与木块的动量变化量大小相等,方向相反,B正确;摩擦力对木块做的功为fs,摩擦力对子弹做的功为-f(s+d),可知二者不相等,系统因摩擦产生的热量为fd,C错误,D正确.
4.B [解析] 水平面光滑,则物块B向带着弹簧的物块A运动,经历以下几个阶段:开始阶段物块B压缩弹簧过程,弹簧对物块B做负功,对物块A做正功,则物块B的速度减小,物块A的速度增大;在某一时刻,物块A的速度增大到与物块B速度相等,此时弹簧被压缩到最短;此后弹簧继续对物块B做负功,对物块A做正功,则物块B的速度继续减小,物块A的速度继续增大,物块A的速度大于物块B的速度,弹簧被压缩的长度变小;当弹簧恢复原长时,物块A开始以较大的速度匀速运动,物块B开始以较小的速度匀速运动.A图中两物块做匀速运动的时刻应相同,A错误;C图中最后物块A的速度应大于物块B的速度,C错误;D图中两物块速度相等应该只有一个时刻,不可能持续一段时间,同时最后物块A的速度应大于物块B的速度,D错误.
5.BD [解析] A、B组成的系统在竖直方向所受合外力不为零,因此系统动量不守恒,故A错误;系统在水平方向所受合外力为零,系统在水平方向动量守恒,对整个过程,以向右的方向为正方向,由动量守恒定律得mv0=mvB+4mvA,由机械能守恒定律可得mv02=mvB2+×4mvA2,解得vB=-v0,对B由动量定理可得I=mvB-mv0=-mv0,合力对B的冲量大小为mv0,故B正确;对B由动能定理得W=mvB2-mv02=-mv02,故C错误;B沿A上升到最大高度时,两者速度相等,在水平方向上,由动量守恒定律可得mv0=v,由机械能守恒定律可得mv02=v2+mgh,解得h=,故D正确.
6.BD [解析] 物块从弧形槽上下滑过程中,物块和弧形槽组成的系统只有重力做功,所以机械能守恒,同时系统在水平方向上不受外力,所以在水平方向上动量守恒,选项A错误,B正确;物块下滑过程中,由机械能守恒定律得mgh=m+×2m,在水平方向上,由动量守恒定律得mv1-2mv2=0,联立解得v1=,物块压缩弹簧过程中,当弹簧被压缩到最短时,物块的速度为零,物块的动能全部转化为弹簧的弹性势能,所以弹簧的最大弹性势能为Ep=m=mgh,物块被弹簧反弹后,弹簧的弹性势能转化为物块的动能,物块离开弹簧时速度仍为v1=,选项C错误,D正确.
7.AD [解析] 根据动量守恒定律可得mv0=(M+m)v,解得子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为v==10 m/s,故A正确;根据动能定理可知,木块对子弹做的功为W=mv2-m=-4999.5 J<0,故木块对子弹做负功,故B、C错误;根据能量守恒定律可知,子弹打入木块过程中产生的热量为Q=m-(M+m)v2=4950 J,故D正确.
8.BC [解析] 自开始释放至小球运动至最低点的过程,小球和滑环组成的系统水平方向动量守恒,有0=Mv1-mv2,由能量守恒定律得MgL=M+m,联立解得小球在最低点时的速度大小v1=2 m/s,A错误,C正确;小球每次在最高点时和滑环都有相同的速度,由动量守恒定律得0=(M+m)v,解得共同速度v=0,B正确;由机械能守恒定律可知,小球左、右两侧最高点在同一水平线上,设其水平距离为s1,在小球从左侧最高点运动到右侧最高点的过程,设滑环运动轨迹左、右两点的距离为s2,则Ms1=ms2,s1+s2=2L,解得小球运动轨迹左、右两端点间的距离s1=0.4 m,D错误.
9.(1) (2)不能
[解析] (1)设小球C与曲面体A分离时速度大小为v0,此时曲面体A的速度大小为vA,小球C从静止开始至运动到曲面体A最低点的过程中,以向右为正方向,在水平方向上,由动量守恒定律得mv0-mvA=0
由机械能守恒定律得mgh=m+m
解得vA=v0=
(2)设小球C与小球B发生正碰后速度分别为vC和vB,以向右为正方向,小球C与小球B发生弹性正碰,由动量守恒定律得mv0=mvC+2mvB
由机械能守恒定律得m=m+×2m
解得vB=,vC=-
因|vC|<|vA|,故小球C与小球B发生碰撞后,小球C不能追上曲面体A
10.(1)20 N,方向竖直向下 (2)1 m
[解析] (1)小球C从开始下落到与B碰撞前瞬间,由动能定理得mgR(1-sin θ)=m-0
解得v0=
小球在最低点有F-mg=m
解得F=20 N
由牛顿第三定律得,小球对轻绳的拉力为
F'=F=20 N,方向竖直向下
(2)设小球C与小物块B在碰撞后,小球C的速度为v1,小物块B的速度为v2,由动量守恒定律和机械能守恒定律得
mv0=mv1+mv2
m=m+m
联立解得v1=0,v2=
小物块B在木板A上滑动,小物块B和木板A组成的系统动量守恒,设B滑到木板A最右端时与A共速,速度大小为v,则mv2=(m0+m)v
小物块B在木板A上滑动的过程中,由小物块B和木板A组成的系统减小的机械能转化为内能,由功能关系得
μmgL=m-(m0+m)v2
联立以上各式并代入数据,解得L=1 m专题课:动量与能量综合解决常见模型
学习任务一 “弹簧类”模型
[模型建构]
模型 图示
模型 特点 (1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中,若系统所受外力的矢量和为零,则系统动量守恒 (2)在能量方面,由于弹簧形变会使弹性势能发生变化,系统的总动能将发生变化;若除弹簧弹力以外系统所受的其他力不做功或做功之和为零,则系统机械能守恒 (3)弹簧处于最长(或最短)状态时,两物体速度相等,弹性势能最大,系统的总动能通常最小 (4)弹簧处于原长时,弹性势能为零,系统的总动能通常最大,但物体速度一般不相等 (5)从弹簧处于原长到处于最长(或最短),相当于发生完全非弹性碰撞;从弹簧处于原长到恢复原长,相当于发生弹性碰撞
例1 [2024·江苏海安实验中学高二月考] 如图所示,将质量分别为mA=1 kg、mB=3 kg的A、B两个物体放在光滑的水平面上,物体B处于静止状态,B的左端与一轻弹簧相连接.现在给物体A一水平向右的初速度v0=4 m/s.则下列说法正确的是 ( )
A.弹簧压缩到最短时,A物体的速度大小为0
B.弹簧压缩到最短时,A物体的速度为2 m/s
C.整个过程中弹簧储存的最大弹性势能为6 J
D.整个过程中A、B系统的最小动能为6 J
[反思感悟]
例2 (12分)如图所示,A、B、C为三个大小相同的小球,其质量分别为mA=0.5 kg,mB=0.3 kg,mC=0.2 kg,A和B固定在轻弹簧的两端(A和B静止在光滑的水平面上).小球C以初速度v0=8 m/s向右运动,在极短时间Δt=0.1 s内与A发生碰撞后以速度v=2 m/s反弹,求:
(1)C与A碰撞过程中的平均作用力大小F;
(2)C与A碰撞过程中损失的机械能ΔE;
(3)弹簧的最大弹性势能Ep.
规范答题区 自评项目 (共12分) 自评+得分
书写工整无涂抹(是否加分项) (√或×)
有必要的文字说明(1分)
有解题关键公式(9分)
结果为数字的带有单位(1分)
求矢量的有方向说明(1分)
学习任务二 “光滑圆弧轨道—滑块(小球)”模型+“悬环类”模型
[模型建构]
模型 图示
模型 特点 (1)“光滑圆弧轨道+滑块(小球)”模型与“悬环类”模型特点类似,即系统机械能守恒,在水平方向上动量守恒,解题时需关注物体运动的最高点和最低点 (2)最高点:滑块与圆弧轨道(或滑环)具有共同水平速度v共,系统在水平方向上动量守恒,有mv0=(M+m)v共;系统机械能守恒,有m=(M+m)+mgh,其中h为滑块上升的最大高度,不一定等于圆弧轨道的高度(或悬绳的长度) (3)最低点:滑块与圆弧轨道分离点.系统在水平方向上动量守恒,有mv0=mv1+Mv2;系统机械能守恒,有m=m+M (4)从最低点到最高点,在水平方向上相当于发生完全非弹性碰撞;从最低点到返回最低点,在水平方向上相当于发生弹性碰撞
例3 (多选)[2024·湖南邵东一中高二月考] 如图所示,在光滑水平面上停放质量为m的装有弧形槽的小车.现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿切线水平的槽口向小车滑去(不计摩擦),到达某一高度后,小球又返回小车右端,则 ( )
A.小球在小车上到达最高点时的速度大小为
B.小球离车后,对地将向右做平抛运动
C.小球离车后,对地将做自由落体运动
D.此过程中小球对车做的功为
[反思感悟]
例4 质量分别为M1和M2的劈A和B高度相同,放在光滑水平面上,A和B的曲面都是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示.一质量为m的物块位于劈A的曲面上,距水平面的高度为h.物块由静止滑下,然后滑上劈B.求物块在B上能够达到的最大高度.
例5 (多选)[2025·四川嘉陵一中高二月考] 如图所示,光滑的水平杆上有一质量为m的滑环A,通过一根不可伸长的轻绳悬挂着一个质量为m的物块B(可视为质点),物块B恰好与光滑的水平面接触但无弹力作用.质量为m的物块C(可视为质点)以速度v冲向物块B,与B碰撞后粘在一起运动.已知重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.物块C与物块B碰后瞬间速度为
B.物块C与物块B碰撞过程中损失的机械能为mv2
C.滑环A的最大速度为
D.物块B、C摆起的最大高度为
[反思感悟]
学习任务三 “子弹打木块”模型+“滑块—木板”模型
[模型建构]
模型 图示
模型 特点 只研究子弹不射穿木块和滑块不滑离木板这种最终能共速(相当于发生完全非弹性碰撞)的情况: (1)当子弹(或滑块)和木块(或木板)的速度相等时,木块(或木板)的速度最大,两者的相对位移(子弹射入木块的深度或滑块在木板上滑过的距离)最大 (2)系统的动量守恒,但机械能不守恒,摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能 (3)根据能量守恒,系统损失的动能ΔEk=Ek0,可以看出,子弹(或滑块)的质量越小,木块(或木板)的质量越大,则动能损失越多 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解,也可以从力和运动的角度借助图像求解
例6 一质量为M的木块放在光滑的水平面上,一质量为m的子弹以初速度v0水平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力为f.
(1)子弹、木块相对静止时的速度为多大
(2)子弹在木块内运动的时间为多长
(3)子弹、木块相互作用过程中,子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别为多少
(4)系统损失的机械能、系统增加的内能分别为多少
(5)要使子弹不射出木块,木块至少为多长
例7 [2024·海南华侨中学高一月考] 如图所示,质量m=4 kg的物体,以水平速度v0=5 m/s滑上静止在光滑水平面上的平板小车,小车质量M=6 kg,物体与小车车面之间的动摩擦因数μ=0.3,g取10 m/s2,设小车足够长,求:
(1)小车和物体的共同速度;
(2)物体在小车上滑行的时间;
(3)在物体相对小车滑动的过程中,系统产生的摩擦热.
例8 [2024·甘肃酒泉实验中学高二期中] 如图所示,质量为m=245 g的物块(可视为质点)放在质量为M=0.5 kg的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面上,物块与木板间的动摩擦因数为μ=0.4.质量为m0=5 g的子弹以速度v0=300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),重力加速度g取10 m/s2.子弹射入后,求:
(1)子弹和物块一起向右滑行的最大速度v1;
(2)木板向右滑行的最大速度v2;
(3)物块在木板上滑行的时间t.
1.(“弹簧类”模型)(多选)如图所示,三个小球的质量均为m,B、C两球用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上,A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动,碰后A、B两球粘在一起.对A、B、C及弹簧组成的系统,下列说法正确的是 ( )
A.机械能守恒,动量守恒
B.机械能不守恒,动量守恒
C.三球速度相等后,将一起做匀速运动
D.三球速度相等后,速度仍将变化
2.(“光滑圆弧轨道—小球”模型)(多选)[2024·辽宁师大附中高二开学考] 如图所示,一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量M=3 kg,小车静止在光滑水平地面上,圆弧下端水平.有一质量m=1 kg的小球以水平初速度v0=4 m/s从圆弧下端滑上小车,重力加速度g取10 m/s2.下列说法正确的是 ( )
A.在小球滑到最高点的过程中,小球与小车组成的系统动量守恒
B.在小球滑到最高点的过程中,小球与小车组成的系统机械能守恒
C.小球沿圆弧轨道上升到最大高度时的速度大小为1.5 m/s
D.小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.6 m
3.(“悬环类”模型)[2024·闽侯三中月考] 如图所示,质量为m的滑环套在足够长的光滑水平杆上,质量为M=3m的小球(可视为质点)用长为L的轻质细绳与滑环连接.滑环固定时,给小球一个水平冲量I,小球摆起的最大高度为h1(h1A.6∶1 B.4∶1
C.2∶1 D.4∶3
4.(“滑块—木块”模型)(多选)[2024·云南师大实验中学高二开学考] 如图甲所示,一长木板静止于光滑水平桌面上,t=0时,小物块以速度v0滑到长木板上,图乙为物块与木板运动的v t图像,图中t1、v0、v1已知.重力加速度大小为g.由此可求得 ( )
A.木板的长度
B.物块与木板的质量之比
C.物块与木板之间的动摩擦因数
D.从t=0开始到t1时刻,木板获得的动能
5.(“子弹打木块”模型)[2024·广东广州六中高二月考] 如图所示,光滑水平面上分别放着两块质量、形状相同的硬木和软木,两颗完全相同的子弹均以相同的初速度分别打进两种木头中,最终均留在木头内,已知软木对子弹的摩擦力较小,以下判断正确的是 ( )
A.子弹与硬木摩擦产生的内能较多
B.两个系统产生的内能不一样大
C.子弹在软木中打入深度较大
D.子弹在硬木中打入深度较大专题课:动量与能量综合解决常见模型(时间:40分钟 总分:72分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)
1.[2024·河南新郑中学高二月考] 如图所示,木块A、B、C置于光滑的水平面上,B和C之间用一轻质弹簧相连接,整个装置处于静止状态.现给A一初速度,使其沿B、C连线向B运动,随后与B相碰并粘在一起,则 ( )
A.A与B碰撞过程,二者组成的系统动量守恒,机械能守恒
B.A与B碰撞过程,二者组成的系统动量守恒,机械能不守恒
C.A与B一起压缩弹簧的过程,A、B、C及弹簧组成的系统动量不守恒,机械能守恒
D.A与B一起压缩弹簧的过程,A、B、C及弹簧组成的系统动量守恒,机械能不守恒
2.(多选)如图所示,小车在光滑的水平面上向左运动,木块水平向右在小车的水平车板上运动,且未滑出小车.下列说法中正确的是 ( )
A.若小车的初动量大于木块的初动量,则木块先减速运动再加速运动后匀速运动
B.若小车的初动量大于木块的初动量,则小车先减速运动再加速运动后匀速运动
C.若小车的初动量小于木块的初动量,则木块先减速运动后匀速运动
D.若小车的初动量小于木块的初动量,则小车先减速运动后匀速运动
3.(多选)如图所示,一子弹(可视为质点)以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块,最终子弹未能射穿木块,射入的深度为d,摩擦力大小为f,木块加速运动的位移为s.则以下说法正确的是 ( )
A.子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B.子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C.摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D.系统因摩擦产生的热量为fd
4.[2024·河北灵寿中学月考] 如图所示,在光滑水平地面上有A、B两个小物块,其中物块A的左侧连接一轻质弹簧.物块A处于静止状态,物块B以一定的初速度向物块A运动,并通过弹簧与物块A发生弹性正碰.对于该作用过程,两物块的速率变化可用速率—时间图像进行描述,在如图所示的图像中,图线1表示物块A的速率变化情况,图线2表示物块B的速率变化情况,则这四个图像中可能正确的是 ( )
5.(多选)[2024·云南开远一中高二月考] 如图所示,质量为4m的物块A静止在光滑水平地面上,物块A左侧面为光滑圆弧面且与水平地面相切,质量为m的滑块B以初速度v0向右运动滑上A,沿A左侧面上滑一段距离后又返回,最后滑离A,不计一切摩擦,滑块B从滑上A到滑离A的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.A、B组成的系统动量守恒
B.合外力对B的冲量大小为mv0
C.A对B做的功为m
D.B沿A上滑的最大高度为h=
6.(多选)[2024·福州二中高二月考] 如图所示,轻弹簧的一端固定在竖直墙上,质量为2m的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上,弧形槽底端与水平面相切.一个质量为m的小物块(可看作质点)从槽上高为h处开始自由下滑,重力加速度为g,则 ( )
A.在下滑过程中,物块和弧形槽组成的系统机械能不守恒
B.在下滑过程中,物块和弧形槽组成的系统在水平方向上动量守恒
C.物块被弹簧反弹后,离开弹簧时的速度大小v=
D.物块压缩弹簧的过程中,弹簧的最大弹性势能Ep=mgh
7.(多选)[2024·江苏新沂中学高二期中] 如图所示,质量为M=990 g的木块静止于光滑水平面上,质量为m=10 g的子弹以水平速度v0=1000 m/s打入木块并停在木块中,下列说法正确的是 ( )
A.子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为v=10 m/s
B.木块对子弹做的功W=99 J
C.木块对子弹做正功
D.子弹打入木块过程中产生的热量Q=4950 J
8.(多选)某滑杆游戏可简化为如图所示的模型,质量m=0.2 kg的滑环套在固定光滑水平杆上,滑环可沿着水平杆左右滑动,滑环通过长L=0.6 m的轻绳连着质量M=0.4 kg的小球,开始时滑环静止在O点,轻绳水平,现将它们由静止释放,小球和滑环都可看作质点,g取10 m/s2,则 ( )
A.小球第一次运动至最低点时的速度大小为2 m/s
B.小球再次返回最高点时的速度大小为0
C.小球第二次运动至最低点时的速度大小为2 m/s
D.小球运动轨迹左、右两端点间的距离为0.2 m
9.(12分)如图所示,一光滑水平面上有质量为m的光滑曲面体A,A右端与水平面平滑连接,一质量为m的小球C放在曲面体A的曲面上,距水平面的高度为h.小球C从静止开始下滑,然后与质量为2m的小球B发生弹性正碰(碰撞时间极短,且无机械能损失).重力加速度为g.
(1)(6分)小球C与曲面体A分离时,求A、C的速度大小.
(2)(6分)小球C与小球B发生碰撞后,小球C能否追上曲面体A
10.(16分)[2024·安徽合肥六中高二月考] 如图所示,在光滑的水平面上,质量为m0=3.0 kg的木板A的左端,叠放着一个质量为m=1.0 kg的小物块B(可视为质点),小物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.30.在木板A的左端正上方,用长为R=0.80 m、不可伸长的轻绳将质量为m=1.0 kg的小球C悬于固定点O,现将轻绳拉直使小球C于O点以下与水平方向成θ=30°角的位置(如图所示)由静止释放.此后,小球C与B恰好发生正碰且无机械能损失.空气阻力不计,g取10 m/s2.求:
(1)(6分)小球运动到最低点时(碰撞前)对轻绳的拉力;
(2)(10分)木板长度L至少为多大时小物块才不会滑出木板.
本章易错过关(一) (时间:40分钟 总分:74分)
一、选择题(本题共8小题,单选题每小题4分,多选题每小题6分,共40分)(共92张PPT)
专题课:动量与能量综合解决常见模型
学习任务一 “弹簧类”模型解答规范
学习任务二 “光滑圆弧轨道—滑块（小球）”模型+“悬环类”
模型
学习任务三 “子弹打木块”模型+“滑块—木板”模型
备用习题
随堂巩固
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 “弹簧类”模型 .
［模型建构］
模型 图示 _____________________________________________________
模型 特点 (1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中,若系统所受外力的
矢量和为零,则系统动量守恒
(2)在能量方面,由于弹簧形变会使弹性势能发生变化,系统的总动能将发
生变化;若除弹簧弹力以外系统所受的其他力不做功或做功之和为零,则
系统机械能守恒
模型 特点 (3)弹簧处于最长(或最短)状态时,两物体速度相等,弹性势能最大,系统的
总动能通常最小
(4)弹簧处于原长时,弹性势能为零,系统的总动能通常最大,但物体速度一
般不相等
(5)从弹簧处于原长到处于最长(或最短)，相当于发生完全非弹性碰撞；
从弹簧处于原长到恢复原长，相当于发生弹性碰撞
续表
例1 ［2024·江苏海安实验中学高二月考］ 如图所示,将质量分别为 、
的、两个物体放在光滑的水平面上,物体处于静止状态, 的左端
与一轻弹簧相连接.现在给物体一水平向右的初速度 .则下列说法正
确的是( )
A.弹簧压缩到最短时, 物体的速度大小为0
B.弹簧压缩到最短时,物体的速度为
C.整个过程中弹簧储存的最大弹性势能为
D.整个过程中、系统的最小动能为
√
[解析] 弹簧压缩到最短时,、 速度相等,根据动量守恒定律有
,物体的速度大小为 ,A、B错误;弹簧最短时,弹簧
弹性势能最大,系统动能最小,根据机械能守恒定律有
,得 ,系统最小动能为
,C正确,D错误.
例2 (12分)如图所示,、、为三个大小相同的小球,其质量分别为 ,
,,和固定在轻弹簧的两端和 静止在光滑的水平面
上.小球以初速度向右运动,在极短时间内与 发生碰撞后
以速度 反弹,求:
(1) 与碰撞过程中的平均作用力大小 ;
[答案]
[解析] 对 ,由动量定理得
(2分)
解得 .(1分)
例2 (12分)如图所示,、、为三个大小相同的小球,其质量分别为 ,
,,和固定在轻弹簧的两端和 静止在光滑的水平面
上.小球以初速度向右运动,在极短时间内与 发生碰撞后
以速度 反弹,求:
(2) 与碰撞过程中损失的机械能 ;
[答案]
[解析] 与 碰撞过程中,由动量守恒定律得
(2分)
解得
碰撞过程中损失的机械能
.(2分)
例2 (12分)如图所示,、、为三个大小相同的小球,其质量分别为 ,
,,和固定在轻弹簧的两端和 静止在光滑的水平面
上.小球以初速度向右运动,在极短时间内与 发生碰撞后
以速度 反弹,求:
(3) 弹簧的最大弹性势能 .
[答案]
[解析] 与碰撞结束后,、 和弹簧组成的系统在运动过程中动量守恒且机械
能守恒,当弹簧被压缩到最短时,和 有共同速度,此时弹簧的弹性势能最大,设共
同速度为 ,有
(2分)
(2分)
联立解得 .(1分)
学习任务二 “光滑圆弧轨道—滑块(小球)”模型+“悬环类”模型
［模型建构］
模型 图示 _________________________________________________ ____________________________________
模型 特点
模型 特点
续表
例3 (多选)［2024·湖南邵东一中高二月考］ 如图所示，在光滑水平面上停放质
量为的装有弧形槽的小车.现有一质量也为的小球以 的水平速度沿切线水
平的槽口向小车滑去(不计摩擦)，到达某一高度后，小球又返回小车右端，则
( )
A.小球在小车上到达最高点时的速度大小为
B.小球离车后，对地将向右做平抛运动
C.小球离车后，对地将做自由落体运动
D.此过程中小球对车做的功为
√
√
[解析] 当小球与小车的水平速度相等时，小球沿弧形槽上升到最大高度，由水
平方向动量守恒知，得 ，故A正确；设小球离开小车时，小球
的速度为，小车的速度为，整个过程中动量守恒，得 ①，
由机械能守恒得，联立①②，解得， ，
即小球与小车分离后二者交换速度，所以小球与小车分离后做自由落体运动，
故B错误，C正确；对小车运用动能定理得，小球对小车做的功
，故D错误.
例4 质量分别为和的劈和高度相同,放在光滑水平面上,和 的曲面都
是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示.一质量为的物块位于劈 的曲面
上,距水平面的高度为.物块由静止滑下,然后滑上劈.求物块在 上能够达到的
最大高度.
[答案]
[解析] 根据题意可知,物块从劈上由静止滑下,到达劈 底端时,设物块的速度大
小为,的速度大小为, 由机械能守恒和水平方向动量守恒得
设物块在劈上能够达到的最大高度为,此时物块和劈的共同速度大小为 ,由
机械能守恒和水平方向动量守恒得
联立解得 .
例5 (多选)［2025·四川嘉陵一中高二月考］ 如图所示,光滑的水平杆上有一质
量为的滑环,通过一根不可伸长的轻绳悬挂 着 一个质量为的物块
(可视为质点),物块恰好与光滑的水平面接触但无弹力作用.质量为的物块
(可视为质点)以速度冲向物块,与碰撞后粘在一起运动.已知重力加速度为 ,
则下列说法正确的是( )
A.物块与物块碰后瞬间速度为
B.物块与物块碰撞过程中损失的机械能为
C.滑环的最大速度为
D.物块、摆起的最大高度为
√
√
[解析] 取向右为正方向,物块与物块 碰撞时动量守恒,根据动量守恒定律可得
,解得碰撞后二者的速度大小为 , 故A正确;碰撞过程中损失的
机械能为,解得,故B错误;当、 再次回到最
低点时的速度最大, 设的最大速度为,此时、的速度为,根据、、 组
成的系统在水平方向上动量守恒得 ,根据系统的机械能守恒
得,解得,故C错误;当 、
、三者速度相等为时,物块、上升的高度最大, 根据 、
、组成的系统在水平方向上动量守恒得 ,根据机
械能守恒定律有, 解得 ,故D
正确.
学习任务三 “子弹打木块”模型+“滑块—木板”模型
［模型建构］
模型图示 _________________________________________ _____________________________________________________________
模型特点 只研究子弹不射穿木块和滑块不滑离木板这种最终能共速
(相当于发生完全非弹性碰撞)的情况：
(1)当子弹(或滑块)和木块(或木板)的速度相等时,木块(或木板)的速
度最大,两者的相对位移(子弹射入木块的深度或滑块在木板上滑过
的距离)最大
模型特点
续表
例6 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力为 .
(1) 子弹、木块相对静止时的速度为多大？
[答案]
[解析] 设子弹、木块相对静止时的速度为 ，以子弹初速度的方向为正方向，
由动量守恒定律得
解得
例6 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力为 .
(2) 子弹在木块内运动的时间为多长？
[答案]
[解析] 设子弹在木块内运动的时间为，对木块，由动量定理得
解得
例6 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力为 .
(3) 子弹、木块相互作用过程中，子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的
深度分别为多少？
[答案]
[解析] 设子弹、木块发生的位移分别为、 ，如图所示.
对子弹，由动能定理得
解得
对木块，由动能定理得
解得
子弹打进木块的深度等于相对位移，即
例6 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力为 .
(4) 系统损失的机械能、系统增加的内能分别为多少？
[答案]
[解析] 系统损失的机械能为
系统增加的内能为
系统增加的内能等于系统损失的机械能
例6 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力为 .
(5) 要使子弹不射出木块，木块至少为多长？
[答案]
[解析] 假设子弹恰好不射出木块，有
解得
因此木块的长度至少为
例7 ［2024·海南华侨中学高一月考］ 如图所示，质量 的物体，以水
平速度滑上静止在光滑水平面上的平板小车，小车质量 ，
物体与小车车面之间的动摩擦因数，取 ，设小车足够长，求：
(1) 小车和物体的共同速度；
[答案]
[解析] 小车和物体组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，则
解得
例7 ［2024·海南华侨中学高一月考］ 如图所示，质量 的物体，以水
平速度滑上静止在光滑水平面上的平板小车，小车质量 ，
物体与小车车面之间的动摩擦因数，取 ，设小车足够长，求：
(2) 物体在小车上滑行的时间；
[答案]
[解析] 物体在小车上做匀减速直线运动
根据牛顿第二定律可知
解得
则物体在小车上滑行的时间为
例7 ［2024·海南华侨中学高一月考］ 如图所示，质量 的物体，以水
平速度滑上静止在光滑水平面上的平板小车，小车质量 ，
物体与小车车面之间的动摩擦因数，取 ，设小车足够长，求：
(3) 在物体相对小车滑动的过程中，系统产生的摩擦热.
[答案]
[解析] 根据能量守恒定律，系统产生的摩擦热为
例8 ［2024·甘肃酒泉实验中学高二期中］ 如图所示,质量为 的物块
(可视为质点)放在质量为 的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面
上,物块与木板间的动摩擦因数为质量为 的子弹以速度
沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),重力加速度 取
.子弹射入后,求:
(1) 子弹和物块一起向右滑行的最大速度 ;
[答案]
[解析] 子弹射入物块后和物块一起向右滑行的初速
度即最大速度,由动量守恒定律得
,
解得 .
例8 ［2024·甘肃酒泉实验中学高二期中］ 如图所示,质量为 的物块
(可视为质点)放在质量为 的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面
上,物块与木板间的动摩擦因数为质量为 的子弹以速度
沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),重力加速度 取
.子弹射入后,求:
(2) 木板向右滑行的最大速度 ;
[答案]
[解析] 当子弹、物块、木板三者共速时,木板的速度
最大,由动量守恒定律得
,
解得 .
例8 ［2024·甘肃酒泉实验中学高二期中］ 如图所示,质量为 的物块
(可视为质点)放在质量为 的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面
上,物块与木板间的动摩擦因数为质量为 的子弹以速度
沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),重力加速度 取
.子弹射入后,求:
(3) 物块在木板上滑行的时间 .
[答案]
[解析] 对物块和子弹组成的系统，由动量定理得
,
解得 .
1.(多选)如图所示,在光滑水平面上,质量为的小球和质量为的小球 通过轻
弹簧相连并处于静止状态,弹簧处于自然伸长状态;质量为的小球以初速度
沿连线向右匀速运动,并与小球发生弹性碰撞.在小球 的右侧某位置固定一
块弹性挡板(图中未画出),当小球 与挡板发生正碰后立刻将挡板撤走.若不计所
有碰撞过程中的机械能损失,弹簧始终处于弹性限度内,小球 与挡板的碰撞时间
极短,碰后小球的速度大小不变,但方向相反,则 与挡板碰后弹簧弹性势能的最
大值 可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由题意知,系统初动能为 ，由机械能守恒定律可知,弹性势能不可能
为,选项A错误;质量相等的球和球发生弹性碰撞后速度交换,当、 两球
的动量相等时, 球与挡板相碰,碰后系统总动量为零,弹簧再次压缩到最短时弹性
势能最大(动能完全转化为弹性势能),根据机械能守恒定律可知,系统损失的动能
转化为弹性势能,有,选项B正确;当 球速度恰为零时与挡板相碰,则系
统动量不变化,系统机械能不变,当弹簧压缩到最短时,由动量守恒定律得
,弹性势能最大,由功能关系得 ,所以
弹性势能的最大值介于 之间,选项C正确.
2.(多选)［2024·同安一中月考］ 如图,质量为 的木板静
止在光滑水平面上,木板左端固定一轻质挡板,一轻弹簧左
A.木板先加速再减速,最终做匀速运动
B.整个过程中弹簧弹性势能的最大值为
C.整个过程中木板和弹簧对物块的冲量大小为
D.弹簧压缩到最短时,物块到木板最右端的距离为
端固定在挡板上,质量为的小物块从木板最右端以速度 滑上木板,压缩弹簧,然
后被弹回,运动到木板最右端时与木板相对静止.已知物块与木板之间的动摩擦因
数为 , 整个过程中弹簧的形变均在弹性限度内,重力加速度为 , 则( )
√
√
[解析] 物块相对于木板向左运动过程中木板向左做加速运动,物块相对于木板向
右滑动且弹簧弹力小于物块对木板的摩擦力过程中,木板向左做减速运动,最后物
块与木板共同做匀速运动,故A正确;弹簧压缩量最大时物块与木板速度相等,弹簧
弹性势能最大,物块与木板组成的系统动量守恒,以向左为正方向,由动量守恒定
律得 ,物块运动到木板最右端时与木板相对静止,此时两者速度
相等,整个过程系统动量守恒,
以向左为正方向,由动量守恒定律得 ,从物块滑上木板到弹簧被
压缩到最短,由能量守恒定律得 ,从物块滑上
木板到物块到达木板最右端,由能量守恒定律得 ,
解得, ,故B正确,D错误;整个过程,物块受到的合力的冲
量, 是物块受到的合力的冲量大小,不是木板和弹簧
对物块的冲量大小,故C错误.
3.(多选)［2024·三明二中月考］ 如图甲所示,光滑水平面上放置长木板和滑块 ,滑块
置于长木板的左端.长木板与滑块之间的动摩擦因数为 时,滑块静止,长木板
和滑块一起以的速度匀速向右运动; 时,长木板与滑块发生碰撞
(时间极短).经过一段时间,滑块恰好不滑离长木板, 、、的速度—时间图像如图乙
所示.已知长木板的质量,重力加速度 取 .则( )
A.滑块的质量,滑块的质量
B.长木板与滑块 发生的碰撞是弹性碰撞
C.长木板的长度为
D.长木板与滑块刚好共速的时刻
√
√
[解析] 长木板与滑块发生碰撞,系统动量守恒,可得 ,代入
图乙中数据有、、,解得，长木板 与
滑块碰撞结束后,长木板与滑块 组成的系统动量守恒,可得
,代入图乙中数据,解得 ,故A错误.依题
意,有,长木板与滑块 发生的碰撞是非
弹性碰撞,故B错误.
对滑块,根据牛顿第二定律可得,又滑块在长木板 上做匀减速直
线运动,可得,解得,即长木板与滑块 刚好共速的时刻
,故D正确.依题意,有,又 ,
,联立解得 ,故C正确.
4.［2024·福清一中月考］长为的轻绳，一端用质量为 的圆环套在水平光滑的
横杆上，另一端连接一质量为 的小球，开始时，将小球移至横杆处
(轻绳处于水平伸直状态，如图)，然后轻轻放手，当绳子与横杆成直角，此过
程圆环的位移是 ，则( )
A.
B.系统动量守恒
C.小球所受合力冲量与圆环所受合力冲量始终大小相等
D.小球机械能守恒
√
[解析] 选小球和圆环为系统，整个过程中在水平方向满足动量守恒，设从开始
到绳子与横杆成直角的过程中，圆环的平均速度大小为 ，小球的平均速度大
小为，则，设运动时间为，此过程圆环的位移大小为 ，小
球的位移大小为，则，解得 ，故A正确；在水平方
向上，以小球和圆环为系统，不受任何外力，水平方向上动量守恒，在竖直方
向上合外力不为零，动量不守恒，故B错误；整个过程中圆环所受的合外力等
于绳子拉力沿水平方向的分力，小球所受的合外力等于重力和绳子拉力的合力，
二者大小不等，所以所受合力冲量不相等，故C错误；小
球除重力做功外，轻绳拉力也对其做功，小球机械能不守
恒，故D错误.
5.(多选)如图所示，小车的上面固定一个光滑弯曲圆管道，整个小车(含管道)的
质量为 ，原来静止在光滑的水平面上.今有一个可以视为质点的小球，质量
为，半径略小于管道半径，以水平速度 从左端滑上小车，小球恰好能到达管
道的最高点，然后从管道左端滑离小车.关于这个过程，下列说法正确的是
( )
A.小球滑离小车时，小车回到原来位置
B.小球滑离小车时相对小车的速度大小为
C.管道最高点距小车上表面的高度为
D.小球从滑进管道到滑到最高点的过程中，小车
的动量变化量大小是
√
√
[解析] 小球恰好能到达管道的最高点，说明在管道最高点时小球和管道之间相
对静止，小球从滑进管道到滑到最高点的过程中，由水平方向动量守恒，有
，得，小车动量变化量大小 ，D错
误；小球从滑进管道到滑到最高点的过程中，由机械能守恒定律，有
，得 ，C正确；小球从滑上小车到滑离小
车的过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律，有 ，
，得， ，则小
球滑离小车时相对小车的速度大小为 ，B正
确；由以上分析可知，在整个过程中小车一直向右运动，A错误.
6.如图所示，质量为的小球静止于光滑水平面上， 球与墙之间用轻弹簧连
接.现用完全相同的小球以水平速度与 相碰后粘在一起压缩弹簧.不计空气
阻力，若弹簧被压缩过程中的最大弹性势能为，从球 被碰后开始至回到原静
止位置的过程中墙对弹簧的冲量大小为 ，则下列表达式中正确的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 、碰撞过程，取向左为正方向，由动量守恒定律得 ，则
，碰撞后，、一起压缩弹簧，当、 的速度减至零时，弹簧的弹性
势能最大，根据机械能守恒定律可知，最大弹性势能 ，
从球 被碰后开始至回到原静止位置的过程中，取向右为正方向，由动量定理
得 ,选项D正确.
7.［2024·龙岩一中月考］如图所示，在光滑水平面上有一质量为 的木块，木
块与轻弹簧水平相连，弹簧的另一端连在竖直墙上，木块处于静止状态，一质
量为的子弹以水平速度 击中木块，并嵌在其中，木块压缩弹簧后在水平面
做往复运动，木块自被子弹击中前到第一次回到原来位置的过程中，木块受到
的合外力的冲量大小为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由于子弹射入木块的时间极短，子弹与木块组成的系统动量守恒，根据
动量守恒定律得，解得 ，由机械能守恒定律知，木块
回到原来位置的速度大小仍为，根据动量定理，合外力的冲量 ，
故A正确，B、C、D错误.
8.［2024·漳平三中月考］如图所示,木块静止在光滑水平面上,子弹、 从两侧
同时水平射入木块,木块始终保持静止,子弹射入木块的深度是子弹 的3倍.假设
木块对子弹的阻力大小恒定,子弹、做直线运动且不会相遇,则子弹、 运动
的过程中,下列说法正确的是( )
A.木块和子弹、 系统动量不守恒
B.子弹的初动量大小是子弹 的初动量大小的3倍
C.子弹的初速度大小是子弹 的初速度大小的3倍
D.子弹的质量是子弹 的质量的3倍
√
[解析] 木块和子弹、 组成的系统所受合外力为零,则系统的动量守恒,A错误;
对木块和子弹、 组成的系统,取水平向右为正方向,由动量守恒定律可得
,则有,即子弹的初动量与子弹 的初动量大小相等,B
错误;由于木块始终保持静止,木块所受合力为零,可知两子弹对木块的作用力大
小相等,由牛顿第三定律可知,两子弹受木块的阻力大小相等,设为 ,子弹射入木块
的深度为,由动能定理,对子弹有,,可得 不变，因
,则,又相等,则 ,C错误,D正确.
1.(“弹簧类”模型)(多选)如图所示，三个小球的质量均为，、 两球用轻弹簧
连接后放在光滑的水平面上，球以速度沿、两球球心的连线向 球运动，
碰后、两球粘在一起.对、、 及弹簧组成的系统，下列说法正确的是
( )
A.机械能守恒，动量守恒
B.机械能不守恒，动量守恒
C.三球速度相等后，将一起做匀速运动
D.三球速度相等后，速度仍将变化
√
√
[解析] 因水平面光滑，故系统的动量守恒，、 两球碰撞过程中机械能有损失，
A错误，B正确；三球速度相等时，弹簧形变量最大，弹簧弹力最大，故三球速
度仍将发生变化，C错误，D正确.
2.(“光滑圆弧轨道—小球”模型)(多选)［2024·辽宁师大附中高二开学考］ 如图
所示,一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量 ,小车静止在光滑
水平地面上,圆弧下端水平.有一质量的小球以水平初速度 从
圆弧下端滑上小车,重力加速度取 .下列说法正确的是( )
A.在小球滑到最高点的过程中,小球与小车组成的系统动量守恒
B.在小球滑到最高点的过程中,小球与小车组成的系统机械能守恒
C.小球沿圆弧轨道上升到最大高度时的速度大小为
D.小球沿圆弧轨道上升的最大高度为
√
√
[解析] 在小球滑到最高点的过程中,小球与小车组成的系统水平方向不受外力,
水平方向动量守恒,故A错误;在小球滑到最高点的过程中,小球与小车组成的系统
只有重力做功,所以系统机械能守恒,故B正确;小球与小车组成的系统水平方向动
量守恒, 设两者水平方向共同速度大小为,则有,解得 ,
故C错误;设小球沿圆弧轨道上升的最大高度为 ,小球与小车组成的系统机械能
守恒,有,解得 ,故D正确.
3.(“悬环类”模型)［2024·闽侯三中月考］ 如图所示，质量为 的滑环套在足够
长的光滑水平杆上，质量为的小球(可视为质点)用长为 的轻质细绳与
滑环连接.滑环固定时，给小球一个水平冲量 ，小球摆起的最大高度为
；滑环不固定时，仍给小球以同样的水平冲量 ，小球摆起的最大高
度为.则 等于( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据动量定理有 ，滑环固定时，根据机械能守恒定律有
，可得 ，滑环不固定时，小球的初速度不变，取水平向
右为正方向，根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒得 ，
，解得，则有 ，故选B.
4.(“滑块—木块”模型)(多选)［2024·云南师大实验中学高二开学考］ 如图甲所
示，一长木板静止于光滑水平桌面上，时，小物块以速度 滑到长木板上，
图乙为物块与木板运动的图像，图中、、已知.重力加速度大小为 .
由此可求得( )
A.木板的长度
B.物块与木板的质量之比
C.物块与木板之间的动摩擦因数
D.从开始到 时刻，木板获得的动能
√
√
[解析] 木板在光滑水平桌面上，物块滑上木板后，系统动量守恒，由图像可知，
最终物块与木板以共同速度运动，有 ，
， ，可求出物块与木板的质
量之比及物块与木板之间的动摩擦因数，但求不出木板的长度，A错误，B、C
正确；木板质量未知，不能求出木板获得的动能，D错误.
5.(“子弹打木块”模型)［2024·广东广州六中高二月考］ 如图所示,光滑水平面上
分别放着两块质量、形状相同的硬木和软木,两颗完全相同的子弹均以相同的初
速度分别打进两种木头中,最终均留在木头内,已知软木对子弹的摩擦力较小,以
下判断正确的是( )
A.子弹与硬木摩擦产生的内能较多 B.两个系统产生的内能不一样大
C.子弹在软木中打入深度较大 D.子弹在硬木中打入深度较大
√
[解析] 设子弹质量为,木头质量为 ,由于最终都达到共同速度,根据动量守恒
定律有,可知共同速度 相同,则根据
,可知子弹与硬木或子弹与软木构成的系统机械
能减小量相同,故两个系统产生的内能 一样多,故A、B错误;根据功能关系得
,可知产生的内能相同时,摩擦力越小,子弹打入深度 越大,所以子弹
在软木中打入深度较大,故C正确,D错误.
练习册
(时间：40分钟 总分：72分)
(单选题每小题4分，多选题每小题6分)
1.［2024·河南新郑中学高二月考］如图所示,木块、、
A.与 碰撞过程,二者组成的系统动量守恒,机械能守恒
B.与 碰撞过程,二者组成的系统动量守恒,机械能不守恒
C.与一起压缩弹簧的过程,、、 及弹簧组成的系统动量不守恒,机械能守恒
D.与一起压缩弹簧的过程,、、 及弹簧组成的系统动量守恒,机械能不守恒
置于光滑的水平面上,和 之间用一轻质弹簧相连接,整个装置处于静止状态.现
给一初速度,使其沿、连线向运动, 随后与 相碰并粘在一起,则( )
√
[解析] 与 发生的碰撞是完全非弹性碰撞,二者组成的系统所受的合外力为零,
系统的动量守恒,但机械能不守恒,故A错误,B正确.与一起压缩弹簧的过程, 、
、 及弹簧组成的系统所受的合外力为零,系统的动量守恒,由于只有弹簧的弹
力做功,所以系统的机械能也守恒,故C、D错误.
2.(多选)如图所示，小车在光滑的水平面上向左运动，木
块水平向右在小车的水平车板上运动，且未滑出小车.下列
说法中正确的是( )
A.若小车的初动量大于木块的初动量，则木块先减速运动再加速运动后匀速运动
B.若小车的初动量大于木块的初动量，则小车先减速运动再加速运动后匀速运动
C.若小车的初动量小于木块的初动量，则木块先减速运动后匀速运动
D.若小车的初动量小于木块的初动量，则小车先减速运动后匀速运动
√
√
[解析] 小车和木块在水平方向上不受外力，系统在水平方向上动量守恒，若小
车的初动量大于木块的初动量，则最后相对静止时整体的末动量方向向左，木
块先减速运动再反向加速运动后匀速运动，小车先减速运动再匀速运动，故A
正确，B错误；同理若小车的初动量小于木块的初动量，则最后相对静止时整
体的末动量方向向右，则木块先减速运动后匀速运动，小车先减速运动再加速
运动后匀速运动，故C正确，D错误.
3.(多选)如图所示,一子弹(可视为质点)以初速度 击中静止在光滑的水平面上的
木块,最终子弹未能射穿木块,射入的深度为,摩擦力大小为 ,木块加速运动的位
移为 .则以下说法正确的是( )
A.子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B.子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C.摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D.系统因摩擦产生的热量为
√
√
[解析] 子弹射入木块的过程,由能量守恒定律知,子弹动能的减少量大于系统动
能的减少量,A错误;子弹和木块组成的系统动量守恒,系统动量的变化量为零,则
子弹与木块的动量变化量大小相等,方向相反,B正确;摩擦力对木块做的功为 ,
摩擦力对子弹做的功为,可知二者不相等,系统因摩擦产生的热量为 ,
C错误,D正确.
4.［2024·河北灵寿中学月考］如图所示,在光滑水平地面上有、 两个小物块,
其中物块的左侧连接一轻质弹簧.物块处于静止状态,物块 以一定的初速度向
物块运动,并通过弹簧与物块 发生弹性正碰.对于该作用过程,两物块的速率变
化可用速率—时间图像进行描述,在如图所示的图像中,图线1表示物块 的速率
变化情况,图线2表示物块 的速率变化情况，则这四个图像中可能正确的是
( )
√
[解析] 水平面光滑，则物块向带着弹簧的物块 运动，经历以下几个阶段：开
始阶段物块压缩弹簧过程，弹簧对物块做负功，对物块做正功，则物块
的速度减小，物块的速度增大；在某一时刻，物块的速度增大到与物块 速
度相等，此时弹簧被压缩到最短；此后弹簧继续对物块做负功，对物块 做正
功，则物块的速度继续减小，物块的速度继续增大，物块 的速度大于物块
的速度，弹簧被压缩的长度变小；当弹簧恢复原长时，物块 开始以较大的速
度匀速运动，物块开始以较小的速度匀速运动 图中两物块做匀速运动的时
刻应相同，A错误；
C图中最后物块的速度应大于物块 的速度，C错误；
D图中两物块速度相等应该只有一个时刻，不可能持续一段时间，同时最后物
块 的速度应大于物块 的速度，D错误.
5.(多选)［2024·云南开远一中高二月考］ 如图所示，质量为的物块 静止在
光滑水平地面上，物块左侧面为光滑圆弧面且与水平地面相切，质量为 的滑
块以初速度向右运动滑上，沿 左侧面上滑一段距离后又返回，最后滑离
，不计一切摩擦，滑块从滑上到滑离 的过程中，下列说法正确的是
( )
A.、组成的系统动量守恒 B.合外力对的冲量大小为
C.对做的功为 D.沿上滑的最大高度为
√
√
[解析] 、 组成的系统在竖直方向所受合外力不为零，因此系统动量不守恒，
故A错误；系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，对整
个过程，以向右的方向为正方向，由动量守恒定律得 ，由
机械能守恒定律可得，解得，对 由动量
定理可得，合力对的冲量大小为 ，故B正确；
对由动能定理得，故C错误；沿 上升到最大
高度时，两者速度相等，在水平方向上，由动量守恒定律可
得 ，由机械能守恒定律可得
，解得 ，故D正确.
6.(多选)［2024·福州二中高二月考］ 如图所示,轻弹簧的
一端固定在竖直墙上,质量为 的光滑弧形槽静止放在
光滑水平面上,弧形槽底端与水平面相切.一个质量为 的
A.在下滑过程中,物块和弧形槽组成的系统机械能不守恒
B.在下滑过程中,物块和弧形槽组成的系统在水平方向上动量守恒
C.物块被弹簧反弹后,离开弹簧时的速度大小
D.物块压缩弹簧的过程中,弹簧的最大弹性势能
小物块(可看作质点)从槽上高为处开始自由下滑,重力加速度为 ,则( )
√
√
[解析] 物块从弧形槽上下滑过程中，物块和弧形槽组成的系统只有重力做功，
所以机械能守恒，同时系统在水平方向上不受外力，所以在水平方向上动量守
恒，选项A错误，B正确；物块下滑过程中，由机械能守恒定律得
,在水平方向上，由动量守恒定律得 ，
联立解得 ，物块压缩弹簧过程中，当弹簧被压缩到最短时，物块的速
度为零，物块的动能全部转化为弹簧的弹性势能，所以
弹簧的最大弹性势能为 ，物块被弹
簧反弹后，弹簧的弹性势能转化为物块的动能，物块离
开弹簧时速度仍为 ，选项C错误，D正确.
7.(多选)［2024·江苏新沂中学高二期中］ 如图所示,质量为 的木块静
止于光滑水平面上,质量为的子弹以水平速度 打入木块
并停在木块中,下列说法正确的是( )
A.子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为
B.木块对子弹做的功
C.木块对子弹做正功
D.子弹打入木块过程中产生的热量
√
√
[解析] 根据动量守恒定律可得 ,解得子弹打入木块后子弹和木
块的共同速度为 ,故A正确;根据动能定理可知,木块对子弹做的
功为 ，故木块对子弹做负功,故B、C错误;
根据能量守恒定律可知,子弹打入木块过程中产生的热量为
,故D正确.
8.(多选)某滑杆游戏可简化为如图所示的模型，质量 的滑环套在固定
光滑水平杆上，滑环可沿着水平杆左右滑动，滑环通过长 的轻绳连着
质量的小球，开始时滑环静止在 点，轻绳水平，现将它们由静止释
放，小球和滑环都可看作质点，取 ，则( )
A.小球第一次运动至最低点时的速度大小为
B.小球再次返回最高点时的速度大小为0
C.小球第二次运动至最低点时的速度大小为
D.小球运动轨迹左、右两端点间的距离为
√
√
[解析] 自开始释放至小球运动至最低点的过程，小球和滑环组成的系统水平方
向动量守恒，有，由能量守恒定律得 ，联
立解得小球在最低点时的速度大小 ，A错误，C正确；小球每次在最
高点时和滑环都有相同的速度，由动量守恒定律得 ，解得共同速
度 ，B正确；由机械能守恒定律可知，小球左、右两侧最高点在同一水平
线上，设其水平距离为 ，在小球从左侧最高点运动到右侧最高点的过程，设
滑环运动轨迹左、右两点的距离为，则， ，解得小球
运动轨迹左、右两端点间的距离 ，D错误.
9.(12分)如图所示,一光滑水平面上有质量为的光滑曲面体, 右端与水平面平
滑连接,一质量为的小球放在曲面体的曲面上,距水平面的高度为.小球 从
静止开始下滑,然后与质量为的小球 发生弹性正碰(碰撞时间极短,且无机械
能损失).重力加速度为 .
(1) (6分)小球与曲面体分离时,求、 的速度大小.
[答案]
[解析] 设小球与曲面体分离时速度大小为,此时曲面体的速度大小为 ,小
球从静止开始至运动到曲面体 最低点的过程中,以向右为正方向,在水平方向
上,由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得
9.(12分)如图所示,一光滑水平面上有质量为的光滑曲面体, 右端与水平面平
滑连接,一质量为的小球放在曲面体的曲面上,距水平面的高度为.小球 从
静止开始下滑,然后与质量为的小球 发生弹性正碰(碰撞时间极短,且无机械
能损失).重力加速度为 .
(2) (6分)小球与小球发生碰撞后,小球能否追上曲面体
[答案] 不能
[解析] 设小球与小球发生正碰后速度分别为和,以向右为正方向,小球
与小球发生弹性正碰,由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得,
因,故小球与小球发生碰撞后,小球不能追上曲面体
10.(16分)［2024·安徽合肥六中高二月考］ 如图所示,在光滑的水平面上,质量为
的木板的左端,叠放着一个质量为的小物块
(可视为质点),小物块与木板之间的动摩擦因数.在木板 的左端正上方,
用长为、不可伸长的轻绳将质量为的小球悬于固定点 ,
现将轻绳拉直使小球于点以下与水平方向成 角的位置(如图所示)由
静止释放.此后,小球与恰好发生正碰且无机械能损失.空气阻力不计, 取
.求:
(1) (6分)小球运动到最低点时(碰撞前)对轻绳的拉力;
[答案] ,方向竖直向下
[解析] 小球从开始下落到与 碰撞前瞬间,由动能定理得
解得
小球在最低点有
解得
由牛顿第三定律得,小球对轻绳的拉力为
,方向竖直向下
10.(16分)［2024·安徽合肥六中高二月考］ 如图所示,在光滑的水平面上,质量为
的木板的左端,叠放着一个质量为的小物块
(可视为质点),小物块与木板之间的动摩擦因数.在木板 的左端正上方,
用长为、不可伸长的轻绳将质量为的小球悬于固定点 ,
现将轻绳拉直使小球于点以下与水平方向成 角的位置(如图所示)由
静止释放.此后,小球与恰好发生正碰且无机械能损失.空气阻力不计, 取
.求:
(2) (10分)木板长度 至少为多大时小物块才不会滑
出木板.
[答案]
[解析] 设小球与小物块在碰撞后,小球的速度为,小物块的速度为 ,由动
量守恒定律和机械能守恒定律得
联立解得,
小物块在木板上滑动,小物块和木板组成的系统动量守恒,设滑到木板 最
右端时与共速,速度大小为,则
小物块在木板上滑动的过程中,由小物块和木板 组成的系统减小的机械能
转化为内能,由功能关系得
联立以上各式并代入数据,解得
例1.C 例2.（1） （2） （3）
例3.AC 例4. 例5.AD
例6.（1） （2） （3）
（4） （5）
例7.（1） （2） （3）m>
<例8.（1） （2） （3）
随堂巩固
1.BD 2.BD 3.B 4.BC 5.C
1.B 2.AC 3.BD 4.B
5.BD 6.BD 7.AD 8.BC
9.（1） （2）不能
10.（1）,方向竖直向下 （2）
