第3节 单摆
[教材链接] (1)不能伸长 (2)理想化
例1 CD [解析] 小球只受两个力,即重力和绳子拉力,A错误;小球受到的回复力是重力沿运动方向的分力,B错误;小球在O点时,回复力为0,但合外力不为0,合外力指向运动轨迹的圆心,C正确;根据运动的对称性可知,选项D正确.
例2 D [解析] t1时刻摆球在最大位移处,速度为0,悬线对它的拉力最小,选项A错误;t2时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大,选项B错误;t3时刻摆球处于负的最大位移处,速度为零,悬线对它的拉力最小,选项C错误;t4时刻摆球在平衡位置,速度最大,悬线对它的拉力最大,选项D正确.
[教材链接] (1)重力加速度 重力加速度 无关 (2)2π
(3)简谐 (4)惠更斯 (5)①摆钟 ②重力加速度
例3 CD [解析] 单摆的周期与质量无关,故A错误;由振动图线可看出两单摆的振幅不同,相位相差,故B错误,C正确;由图线知两单摆的周期都是T=8 s,且同一实验中重力加速度不变,由周期公式可知两单摆的摆长相等,故D正确.
例4 (1)9.78 m/s2 (2)7.02 s
[解析] (1)周期T== s=2.84 s
由周期公式T=2π
解得g== m/s2≈9.78 m/s2.
(2)T'=2π=2×3.14× s≈7.02 s.
随堂巩固
1.C [解析] 摆球受到的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力,经过平衡位置时,回复力为零.由于单摆做圆周运动,故在平衡位置时,合力不为零,合力提供向心力,方向指向悬点,故C正确.
2.B [解析] 单摆的周期公式为T=2π与摆球的质量和摆角无关,所以周期不变,频率也不变;摆球离开平衡位置后的最大摆角减小,则振幅改变,选项B正确.
3.BD [解析] 由图像可知T甲∶T乙=2∶1,根据公式T=2π,若两单摆在同一地点,则两单摆摆长之比为l甲∶l乙=4∶1,故A错误,B正确;若两单摆摆长相等,则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙=1∶4,故C错误,D正确.
4.(1)9.79 m/s2 (2)缩短 0.027 m
[解析] (1)当单摆做简谐运动时,其周期T=2π,可得g=,只要求出T值代入即可.因为T== s≈2.027 s,所以g== m/s2≈9.79 m/s2.
(2)秒摆的周期是2 s,设其摆长为l0,由于在同一地点的重力加速度是不变的,根据单摆的振动周期公式得=,故l0== m≈0.993 m.
其摆长要缩短Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m.第3节 单摆
1.A [解析] 单摆的悬线要求无弹性,直径小且质量可忽略,故A正确,B、C错误;悬点必须固定,故D错误.
2.C [解析] 由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动,故A错误;单摆做简谐运动的周期公式为T=2π,单摆做简谐运动的周期与摆球的质量和摆角无关,故B错误;当单摆的摆球运动到最低点时,回复力为零,但是单摆的向心力不为零,所受合力不为零,故C正确;单摆移到太空实验舱中,由于完全失重,其回复力为零,单摆不能做简谐运动,更不能研究简谐运动的规律,故D错误.
3.B [解析] 摆球只受重力和摆线的拉力的作用,回复力和向心力均为效果力,故A错误;摆球受到的回复力最大时,处于最高点,故向心力为零,当处于平衡位置,回复力为零时,向心力最大,故B正确;回复力最大时,摆球处于最高点,此时摆线的拉力与重力的分力相等,拉力小于重力,故C错误;向心力最大时,摆球处于平衡位置,此时回复力为零,合力沿竖直方向,故加速度也沿竖直方向,故D错误.
4.B [解析] 单摆振动过程中,摆球受到重力和绳子拉力的作用,把重力沿圆弧切向和径向分解,其切向分力提供回复力,选项A错误;向心力大小为F向=m,平衡位置处向心力最大,回复力为零,加速度不为零,选项D错误;摆球在运动过程中,经过轨迹上的同一点时,受力完全相同,加速度相同,选项B正确;摆球在运动过程中,有切向加速度和向心加速度,两加速度合成后,方向不指向平衡位置,选项C错误.
5.C [解析] 单摆的振动周期为T=2π,由此可知,单摆的振动周期与摆球的质量、振幅无关,与摆长和当地的重力加速度有关,故A、D错误;当摆长减为原来一半时,有T'=2π=T=2 s,故B错误;当重力加速度减为时,有T″=2π=2T=8 s,故C正确.
6.D [解析] 由题意可知T1∶T2=8∶5,由周期公式T=2π∝,则l1∶l2=∶=64∶25,故D正确.
7.C [解析] 从t=0时经过t=时间,这段时间为T,经过T摆球具有负向最大速度,说明摆球在平衡位置,在给出的四个图像中,经过T具有最大速度的有B、C两图,而具有负向最大速度的只有C,选项C正确.
8.D [解析] 由图像可知甲、乙两单摆的周期之比为1∶2,根据T=2π可得单摆的摆长之比为1∶4,A、B错误;两单摆的摆球质量相同,最大回复力F=mg,振幅之比为2∶1,则最大回复力之比为8∶1,C错误,D正确.
9.A [解析] 从图乙可以得出,沙摆运动两个周期所用的时间为t== s=3 s,则沙摆振动的周期为T==1.5 s,由周期公式T=2π,解得摆长为l=≈0.56 m,选项A正确.
10.B [解析] 因为一个周期内两次经过平衡位置,经过平衡位置时拉力最大,可知单摆的周期为0.8π s,由T=2π,解得该单摆的摆长为l== m=1.6 m,故B正确.
11.C [解析] 由题图可知,两单摆的周期相同,同一地点重力加速度g相同,由单摆的周期公式T=2π可知,甲、乙两单摆的摆长相等,A正确;甲摆的振幅为10 cm,乙摆的振幅为7 cm,则甲摆的振幅比乙摆的大,B正确;尽管甲摆的振幅比乙摆的大,两摆的摆长也相等,但由于两摆球的质量和悬挂点的高度未知,故无法比较机械能的大小,C错误;在t=0.5 s时,甲摆经过平衡位置,而乙摆的位移为负向最大,则乙摆具有正向最大加速度,D正确.
12.CD [解析] 在A点时,势能最大,动能为零,故图线a表示动能随位置的变化关系,图线b表示势能随位置的变化关系,A、B错误;由于单摆摆球在运动过程中机械能守恒,故图线c表示机械能随位置的变化关系,C、D正确.
13.C [解析] 根据在星球表面万有引力等于重力,物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的,可知该行星表面的重力加速度g'=g;根据单摆的周期公式T=2π可知,要使摆钟在该行星上的周期与在地球上的周期相同,必须将摆长缩短为原来的,单摆的周期与摆球的质量无关,故A、B、D错误,C正确.
14.0.9 2.5
[解析] 设两个单摆的周期分别为Ta和Tb.由题意可知,10Ta=6Tb,解得Ta∶Tb=3∶5.根据单摆周期公式T=2π,可知l=T2,由此得la∶lb=∶=9∶25,则la=×1.6 m=0.9 m,lb=×1.6 m=2.5 m.
15.(1)mgL(1-cos θ) (2)
(3)
[解析] (1)单摆在最高点时的机械能等于重力势能则有E=mgL(1-cos θ)
(2) 由机械能守恒定律得mgL(1-cos θ)=mv2
解得v=
(3)从开始运动到摆球第一次经过最低位置需要的时间为t==第3节 单摆
学习任务一 单摆的振动
[教材链接] 阅读教材,填写单摆的振动相关知识
(1)定义:把一根 的细线上端固定,下端拴一个小球,线的质量和球的大小可忽略不计,这种装置称为单摆.
(2)特点:单摆是一种 模型.理想化的几个方面:①摆线的长度不可改变;②摆线的质量相对摆球的质量可以忽略;③摆球的直径相对于摆线长度可以忽略;④摆动的角度很小(通常小于5°).
[模型建构] 单摆模型
如图所示,一根细线上端固定,下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个夹角,然后释放,小球沿着以位置O为中心的一段圆弧BC做往复运动,点O是单摆振动的平衡位置.对小球运动到P点时进行受力分析:
(1)小球受到的作用力有摆线的拉力T和重力G(G=mg).
(2)向心力F向由摆线的拉力T与重力G在摆线方的分力F'的合力提供,即F向=T-mgcos θ.
(3)回复力F由重力G垂直于摆线的分力提供,即F=mgsin θ.
(4)在摆角很小的情况下(通常θ<5°),sin θ≈θ,且小球相对于平衡位置的位移x可以近似用弧OP表示,则sin θ≈θ=≈,回复力F=-mgsin θ≈-x,其中是一个常数,令k=,则回复力可近似表示为F=-kx,符合简谐运动的特征,所以单摆的振动可以近似视为简谐运动.
例1 (多选)如图所示,小球在做简谐运动,平衡位置为O点,A、B为最大位移处,M、N点关于OO'对称.下列说法正确的是 ( )
A.小球受到重力、绳子拉力和回复力
B.小球所受合外力就是单摆的回复力
C.小球在O点时合外力不为0,回复力为0
D.小球在M点的位移与在N点的位移大小相等
[反思感悟]
例2 [2024·天津静海一中高二月考] 一单摆做小角度摆动,其振动图像如图所示,以下说法正确的是 ( )
A.t1时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最小
B.t2时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最大
D.t4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大
[反思感悟]
【要点总结】
对单摆回复力的理解
(1)单摆运动过程中所受的合外力不是回复力,合外力可以分解为向心力和回复力.
(2)单摆的回复力由重力沿圆弧切向的分力提供.
(3)单摆经过平衡位置时,回复力为零,但合外力不为零,此时合外力全部用于提供向心力.
学习任务二 单摆的周期
[教材链接] 阅读教材,填写单摆的周期相关知识
(1)单摆周期的影响因素:利用控制变量法,通过实验得出影响单摆周期的因素只有摆长和 .在同一地点, 是一定的,摆长相等的单摆具有相同且恒定不变的振动周期,单摆周期与振幅及摆球质量皆 .
(2)单摆周期公式:T= .其中摆长l为悬点到物体重心的距离,重力加速度g由单摆所在的空间位置决定.
(3)公式的适用条件:单摆做 运动,即单摆摆角很小.
(4)公式的由来:荷兰物理学家 首先提出.
(5)公式的应用:①利用单摆计时,制成 ;②利用单摆测量当地的 .
例3 (多选)[2025·广东鼎湖中学高二月考] 如图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图像,从图像可知 ( )
A.两摆球的质量相等
B.两单摆的振幅相等
C.两单摆相位相差
D.两单摆的摆长相等
例4 一个摆长为2 m的单摆在地球上某地振动时,测得完成100次全振动所用的时间为284 s.
(1)求当地的重力加速度g的大小.
(2)把该单摆拿到月球上去,已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2,则该单摆的振动周期是多少
1.(单摆的振动)振动着的单摆摆球通过平衡位置时,它受到的回复力 ( )
A.指向地面 B.指向悬点
C.数值为零 D.指向运动方向
2.(单摆的周期)若单摆的摆长不变,摆球的质量减小,摆球离开平衡位置的最大摆角减小,则单摆振动的 ( )
A.频率不变,振幅不变
B.频率不变,振幅改变
C.频率改变,振幅不变
D.频率改变,振幅改变
3.(单摆的周期) (多选)如图所示为甲、乙两单摆的振动图像.下列说法正确的是 ( )
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动,则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙=2∶1
B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动,则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙=4∶1
C.若甲、乙两单摆摆长相同,且在不同的星球上摆动,则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙=4∶1
D.若甲、乙两单摆摆长相同,且在不同的星球上摆动,则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙=1∶4
4.(单摆的周期)有一单摆,其摆长l=1.02 m,摆球的质量m=0.10 kg,已知单摆做简谐运动,单摆30次全振动所用的时间t=60.8 s.
(1)当地的重力加速度为多大
(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2 s),摆长应怎样改变 改变为多少 第3节 单摆 (时间:40分钟 总分:69分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)
◆ 知识点一 单摆的振动
1.在如图所示的装置中,可视为单摆的是 ( )
2.[2024·江西宜春期末] 单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型,下列有关单摆的说法中正确的是 ( )
A.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动
B.单摆做简谐运动的周期由摆球的质量和摆角共同决定
C.当单摆的摆球运动到最低点时,回复力为零,但是所受合力不为零
D.单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律
3.关于单摆摆球在运动过程中的受力,下列说法中正确的是 ( )
A.摆球受到重力、摆线的拉力、回复力、向心力作用
B.摆球受到的回复力为零时,向心力最大;回复力最大时,向心力为零
C.摆球受到的回复力最大时,摆线中的拉力大小比摆球的重力大
D.摆球受到的向心力最大时,摆球的加速度方向沿摆球运动方向
4.关于单摆,下列说法中正确的是 ( )
A.摆球运动中的回复力是摆线拉力和重力的合力
B.摆球在运动过程中,经过轨迹上的同一点时,加速度是相同的
C.摆球在运动过程中,加速度的方向始终指向平衡位置
D.摆球经过平衡位置时,加速度为零
◆ 知识点二 单摆的周期
5.一单摆的摆长为L,摆球的质量为m,振动的周期为4 s,则下列说法正确的是 ( )
A.当摆球的质量m减为时,振动周期变为2 s
B.当摆长L减为时,振动周期变为2 s
C.当重力加速度减为时,振动周期变为8 s
D.当单摆的振幅减小为原来的时,振动周期变为8 s
6.[2024·北京六十六中高二期中] 两个单摆在同一地点做简谐运动,当第一个单摆完成5次全振动时,第二个单摆完成8次全振动,则第一个单摆与第二个单摆摆长之比为 ( )
A.5∶8
B.8∶5
C.25∶64
D.64∶25
7.[2024·黑龙江大庆中学期中] 摆长为L的单摆做简谐运动,若从某时刻开始计时(此时t=0),当振动至t=(g为重力加速度)时,摆球具有负向最大速度,则单摆的振动图像是图中的 ( )
8.如图所示为同一地区两个单摆的振动图像,实线是单摆甲的振动图像,虚线是单摆乙的振动图像.已知两单摆的摆球质量相同,则甲、乙两个单摆的 ( )
A.摆长之比为1∶2
B.摆长之比为2∶1
C.最大回复力之比为1∶8
D.最大回复力之比为8∶1
9.[2024·湖北武汉一中高一月考] 如图甲所示是利用沙摆演示简谐运动图像的装置.当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时,做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上显示出沙摆的振动位移随时间变化的关系曲线.已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s,如图乙所示的一段木板的长度为0.60 m,则这次实验中沙摆的摆长大约为(g取π2 m/s2) ( )
A.0.56 m B.0.65 m
C.1.00 m D.2.25 m
10.[2025·湖南长沙一中高二期中] 一单摆做简谐运动,如图所示为摆绳对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像(重力加速度g取10 m/s2),则该单摆的摆长为 ( )
A.0.4 m
B.1.6 m
C.4 m
D.16 m
11.[2024·山东菏泽外国语学校高二月考] 如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像,下列说法中不正确的是 ( )
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的振幅比乙摆的大
C.甲摆的机械能比乙摆的大
D.在t=0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
12.(多选)[2024·四川泸县四中高二期中] 如图所示,乙图图像记录了甲图中单摆摆球的动能、势能和机械能随摆球位置变化的关系,下列关于图像的说法正确的是 ( )
A.a图线表示势能随位置的变化关系
B.b图线表示动能随位置的变化关系
C.c图线表示机械能随位置的变化关系
D.图像表明摆球在势能和动能的相互转化过程中机械能不变
13.一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的.在地球上走时正确的摆钟(设摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同)搬到此行星上,要使摆钟在该行星上的周期与地球上的周期相同,下列办法可行的是 ( )
A.将摆球的质量m增大为原来的4倍
B.将摆球的质量m减小为原来的
C.将摆长L减短为原来的
D.将摆长L增长为原来的4倍
14.(3分)[2025·山东临沂高二期末] 已知单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完成6次全振动,两摆长之差为1.6 m,则单摆a的摆长la= m,单摆b的摆长lb= m.
15.(12分)有一个摆长为L的单摆,它的摆球质量为m,从与竖直方向成θ角的位置无初速度开始运动,重力加速度为g.
(1)(3分)若以平衡位置所在平面为参考平面,单摆的总机械能为多少
(2)(4分)求摆球经过最低点时的速度.
(3)(5分)在偏角很小的情况下,从开始运动到摆球第一次经过最低位置需要的时间为多长
专题课:单摆的应用 (时间:40分钟 总分:57分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)(共55张PPT)
第3节 单摆
学习任务一 单摆的振动
学习任务二 单摆的周期
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
练习册
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答案核查【练】
学习任务一 单摆的振动
［教材链接］
阅读教材，填写单摆的振动相关知识
(1) 定义：把一根__________的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和
球的大小可忽略不计，这种装置称为单摆.
不能伸长
(2) 特点：单摆是一种________模型.理想化的几个方面：①摆线的长度不可改
变；②摆线的质量相对摆球的质量可以忽略；③摆球的直径相对于摆线长度可
以忽略；④摆动的角度很小(通常小于 ).
理想化
［模型建构］
单摆模型
如图所示,一根细线上端固定,下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向
一个夹角,然后释放,小球沿着以位置为中心的一段圆弧做往复运动,点 是单
摆振动的平衡位置.对小球运动到 点时进行受力分析：
(1)小球受到的作用力有摆线的拉力和重力 .
(2)向心力向由摆线的拉力与重力在摆线方的分力
的合力提供，即 .
(3)回复力由重力垂直于摆线的分力提供，即 .
(4)在摆角很小的情况下(通常)， ，且小球相对于平衡位置的位
移可以近似用弧表示，则 ，回复力
，其中是一个常数，令 ，则回复力可近似表
示为 ，符合简谐运动的特征，所以单摆的振动可以近似视为简谐运动.
例1 (多选)如图所示，小球在做简谐运动，平衡位置为点，、 为最大位移
处，、点关于 对称.下列说法正确的是( )
A.小球受到重力、绳子拉力和回复力
B.小球所受合外力就是单摆的回复力
C.小球在 点时合外力不为0，回复力为0
D.小球在点的位移与在 点的位移大小相等
[解析] 小球只受两个力,即重力和绳子拉力,A错误;小球受到的回复力是重力沿
运动方向的分力,B错误;小球在 点时,回复力为0,但合外力不为0,合外力指向运
动轨迹的圆心,C正确;根据运动的对称性可知,选项D正确.
√
√
例2 ［2024·天津静海一中高二月考］ 一单摆做小角度摆动，其振动图像如图
所示，以下说法正确的是( )
A. 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B. 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C. 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D. 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
[解析] 时刻摆球在最大位移处，速度为0，悬线对它的拉力最小，选项A错
误；时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，选项B错误； 时刻摆球处于
负的最大位移处，速度为零，悬线对它的拉力最小，选项C错误； 时刻摆球在
平衡位置，速度最大，悬线对它的拉力最大，选项D正确.
√
【要点总结】
对单摆回复力的理解
(1)单摆运动过程中所受的合外力不是回复力，合外力可以分解为向心力和回复力.
(2)单摆的回复力由重力沿圆弧切向的分力提供.
(3)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零，此时合外力全部用于
提供向心力.
学习任务二 单摆的周期
［教材链接］
阅读教材，填写单摆的周期相关知识
(1) 单摆周期的影响因素：利用控制变量法，通过实验得出影响单摆周期的因
素只有摆长和____________.在同一地点，____________是一定的，摆长相等的
单摆具有相同且恒定不变的振动周期，单摆周期与振幅及摆球质量皆______.
重力加速度
重力加速度
无关
(2) 单摆周期公式：_ _____.其中摆长 为悬点到物体重心的距离，重力加速
度 由单摆所在的空间位置决定.
(3) 公式的适用条件：单摆做______运动，即单摆摆角很小.
(4) 公式的由来：荷兰物理学家________首先提出.
(5) 公式的应用：①利用单摆计时，制成______；②利用单摆测量当地的_____
_______.
简谐
惠更斯
摆钟
重力加速度
例3 (多选)［2025·广东鼎湖中学高二月考］ 如图为同一实验中甲、乙两个单摆
的振动图像,从图像可知( )
A.两摆球的质量相等
B.两单摆的振幅相等
C.两单摆相位相差
D.两单摆的摆长相等
[解析] 单摆的周期与质量无关,故A错误;由振动图线可看出两单摆的振幅不同,
相位相差,故B错误,C正确;由图线知两单摆的周期都是 ,且同一实验中重
力加速度不变,由周期公式可知两单摆的摆长相等,故D正确.
√
√
例4 一个摆长为 的单摆在地球上某地振动时,测得完成100次全振动所用的时
间为 .
(1) 求当地的重力加速度 的大小.
[答案]
[解析] 周期
由周期公式
解得 .
例4 一个摆长为 的单摆在地球上某地振动时,测得完成100次全振动所用的时
间为 .
(2) 把该单摆拿到月球上去,已知月球上的重力加速度是 ，则该单摆的
振动周期是多少
[答案]
[解析] .
1.(多选)将某单摆的摆线上端系在一个力传感器上，单摆摆动过程中，摆线张力
随时间的变化规律如图所示.已知单摆的摆角小于 ，取 ，则下列说
法正确的是( )
A.单摆的周期 B.单摆的摆长
C. 时，摆球正经过最低点 D.摆球运动过程中周期越来越小
√
√
[解析] 单摆在平衡位置，摆线张力最大，由图像可知，单摆连续两次通过平衡
位置的时间差为，所以单摆的振动周期为 ，故A错误；根据单摆的周期公
式，可得摆长，故B正确； 时摆线的拉力最大，所以
摆球正经过最低点，故C正确；摆线张力的极大值发生变化，说明摆球在最低
点时的速度大小发生了变化，振幅越来越小，因为周期与振幅无关，所以单摆
的周期不变，故D错误.
2.(多选)［2024·南平一中月考］ 如图所示，是一个单摆，其周期为 ，
则下列说法正确的是 ( )
A.把摆球的质量增加一倍，其周期变小
B.把摆角变小时，则周期也变小
C.此摆由运动的时间为
D.摆球由 时，势能向动能转化
√
√
[解析] 由可知，单摆的周期与摆球质量 无关，与摆角无关，当摆
球质量与摆角发生变化时，单摆做简谐运动的周期不变，故A、B错误；由平衡
位置 运动到右端最大位移处需要的时间是四分之一周期，故C正确；摆球由最
大位移处向平衡位置 运动的过程中，重力做正功，摆球的重力势能转化为动
能，故D正确.
3.在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用力传感器测得
摆线的拉力大小随时间 变化的图像如图所示，已知单
摆的摆长为，则重力加速度 为( )
A. B. C. D.
[解析] 小球在竖直平面内做简谐运动，在最低点时，摆线的拉力和重力的合力
提供向心力，此时拉力最大，半个周期后，拉力再次最大，所以此时开始计时，
第二次拉力最大时对应的时间即为一个周期，根据图像可知，单摆的周期
，根据周期公式，解得 ，故D正确.
√
4.［2024·古田一中月考］一摆长为的单摆做简谐运动，重力加速度为 ，从某
时刻开始计时，经过 ，摆球具有负向最大加速度.选项图记录了该单
摆从计时开始到 的振动图像，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 单摆的周期，则内小球振动的周期数为 ，此
时摆球具有负向最大加速度，则摆球具有正向最大位移，故计时开始时小球在
平衡位置向下运动，故A正确，B、C、D错误.
A. B.
C. D.
5.［2024·厦门实验中学月考］两个单摆甲和乙，它们的摆长之比为 ，如果它
们在同一地点做简谐运动，那么它们的周期之比 _____，在甲摆完成10
次全振动的时间内，乙摆完成的全振动次数为____次.
20
[解析] 根据单摆的周期公式，知摆长之比为，则周期之比为 .
根据周期之比可得频率之比为 ，则甲摆完成10次全振动的时间内，乙摆完成
的全振动次数为20次.
6.将一水平木板从一沙摆(可视为做简谐运动的单摆)下面以 的加速
度匀加速地水平抽出,板上留下的沙迹如图所示,量得, ,
,试求沙摆的振动周期和摆长.(重力加速度取 )
[答案] ;
[解析] 由
解得
故沙摆振动周期
由单摆周期公式
解得摆长 .
1.(单摆的振动)振动着的单摆摆球通过平衡位置时,它受到的回复力( )
A.指向地面 B.指向悬点 C.数值为零 D.指向运动方向
[解析] 摆球受到的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力,经过平衡位置时,回
复力为零.由于单摆做圆周运动,故在平衡位置时,合力不为零,合力提供向心力,方
向指向悬点,故C正确.
√
2.(单摆的周期)若单摆的摆长不变,摆球的质量减小,摆球离开平衡位置的最大摆
角减小,则单摆振动的( )
A.频率不变,振幅不变 B.频率不变,振幅改变
C.频率改变,振幅不变 D.频率改变,振幅改变
[解析] 单摆的周期公式为 与摆球的质量和摆角无关,所以周期不变，
频率也不变；摆球离开平衡位置后的最大摆角减小，则振幅改变，选项B正确.
√
3.(单摆的周期) (多选)如图所示为甲、乙两单摆的振动图像.下列说法正确的
是( )
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比
B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比
C.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星
球的重力加速度之比
D.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星
球的重力加速度之比
√
√
[解析] 由图像可知，根据公式 ，若两单摆在同一地点，
则两单摆摆长之比为 ，故A错误，B正确；若两单摆摆长相等，则
所在星球的重力加速度之比为 ，故C错误，D正确.
4.(单摆的周期)有一单摆，其摆长，摆球的质量 ，已知单
摆做简谐运动，单摆30次全振动所用的时间 .
(1) 当地的重力加速度为多大？
[答案]
[解析] 当单摆做简谐运动时，其周期，可得，只要求出 值代
入即可.因为 ，所以
.
4.(单摆的周期)有一单摆，其摆长，摆球的质量 ，已知单
摆做简谐运动，单摆30次全振动所用的时间 .
(2) 如果将这个单摆改为秒摆(周期为 )，摆长应怎样改变？改变为多少？
[答案] 缩短;
[解析] 秒摆的周期是，设其摆长为 ，由于在同一地点的重力加速度是不变
的，根据单摆的振动周期公式得，故 .
其摆长要缩短 .
练习册
(时间：40分钟 总分：69分)
(单选题每小题4分，多选题每小题6分)
知识点一 单摆的振动
1.在如图所示的装置中，可视为单摆的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 单摆的悬线要求无弹性，直径小且质量可忽略，故A正确，B、C错误；
悬点必须固定，故D错误.
A. B. C. D.
2.［2024·江西宜春期末］单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关
单摆的说法中正确的是( )
A.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动
B.单摆做简谐运动的周期由摆球的质量和摆角共同决定
C.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零
D.单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律
√
[解析] 由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误；
单摆做简谐运动的周期公式为 ，单摆做简谐运动的周期与摆球的质量
和摆角无关，故B错误；当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是单
摆的向心力不为零，所受合力不为零，故C正确；单摆移到太空实验舱中，由
于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简谐运动的规
律，故D错误.
3.关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列说法中正确的是( )
A.摆球受到重力、摆线的拉力、回复力、向心力作用
B.摆球受到的回复力为零时，向心力最大；回复力最大时，向心力为零
C.摆球受到的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大
D.摆球受到的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球运动方向
[解析] 摆球只受重力和摆线的拉力的作用，回复力和向心力均为效果力，故A
错误；摆球受到的回复力最大时，处于最高点，故向心力为零，当处于平衡位
置，回复力为零时，向心力最大，故B正确；回复力最大时，摆球处于最高点，
此时摆线的拉力与重力的分力相等，拉力小于重力，故C错误；向心力最大时，
摆球处于平衡位置，此时回复力为零，合力沿竖直方向，故加速度也沿竖直方
向，故D错误.
√
4.关于单摆，下列说法中正确的是( )
A.摆球运动中的回复力是摆线拉力和重力的合力
B.摆球在运动过程中，经过轨迹上的同一点时，加速度是相同的
C.摆球在运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D.摆球经过平衡位置时，加速度为零
[解析] 单摆振动过程中,摆球受到重力和绳子拉力的作用,把重力沿圆弧切向和
径向分解,其切向分力提供回复力,选项A错误；向心力大小为 ,平衡位
置处向心力最大,回复力为零，加速度不为零，选项D错误；摆球在运动过程中，
经过轨迹上的同一点时，受力完全相同，加速度相同，选项B正确；摆球在运
动过程中，有切向加速度和向心加速度，两加速度合成后，方向不指向平衡位
置，选项C错误.
√
知识点二 单摆的周期
5.一单摆的摆长为，摆球的质量为，振动的周期为 ，则下列说法正确的是
( )
A.当摆球的质量减为时，振动周期变为
B.当摆长减为时，振动周期变为
C.当重力加速度减为时，振动周期变为
D.当单摆的振幅减小为原来的时，振动周期变为
√
[解析] 单摆的振动周期为 ，由此可知，单摆的振动周期与摆球的质量、
振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关，故A、D错误；当摆长减为原来一
半时，有，故B错误；当重力加速度减为 时，有
，故C正确.
6.［2024·北京六十六中高二期中］两个单摆在同一地点做简谐运动,当第一个单
摆完成5次全振动时,第二个单摆完成8次全振动,则第一个单摆与第二个单摆摆长
之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知,由周期公式 ,则
,故D正确.
√
7.［2024·黑龙江大庆中学期中］摆长为 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计
时(此时)，当振动至为重力加速度 时，摆球具有负向最大速度，
则单摆的振动图像是图中的( )
A. B. C. D.
[解析] 从时经过时间，这段时间为，经过 摆球具有负向最
大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图像中，经过 具有最大速度的
有B、C两图，而具有负向最大速度的只有C，选项C正确.
√
8.如图所示为同一地区两个单摆的振动图像,实线是单摆甲的振动图像,虚线是单
摆乙的振动图像.已知两单摆的摆球质量相同,则甲、乙两个单摆的( )
A.摆长之比为
B.摆长之比为
C.最大回复力之比为
D.最大回复力之比为
[解析] 由图像可知甲、乙两单摆的周期之比为,根据 可得单摆的摆
长之比为,A、B错误;两单摆的摆球质量相同,最大回复力 ,振幅之比
为,则最大回复力之比为 ,C错误,D正确.
√
9.［2024·湖北武汉一中高一月考］如图甲所示是利用沙摆演示简谐运动图像的
装置.当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时,做简谐运动的漏斗漏出的沙
在板上显示出沙摆的振动位移随时间变化的关系曲线.已知木板被水平拉动的速
度为,如图乙所示的一段木板的长度为 ,则这次实验中沙摆的摆长
大约为取 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从图乙可以得出,沙摆运动两个周期所用的时间为 ,则沙
摆振动的周期为,由周期公式 ，解得摆长为
,选项A正确.
10.［2025·湖南长沙一中高二期中］一单摆做简谐运动，
如图所示为摆绳对摆球的拉力大小随时间 变化的图像
(重力加速度取 )，则该单摆的摆长为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为一个周期内两次经过平衡位置，经过平衡位置时拉力最大，可知单
摆的周期为，由 ，解得该单摆的摆长为
，故B正确.
√
11.［2024·山东菏泽外国语学校高二月考］如图所示为同一地点的两单摆甲、乙
的振动图像,下列说法中不正确的是( )
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的振幅比乙摆的大
C.甲摆的机械能比乙摆的大
D.在 时有正向最大加速度的是乙摆
√
[解析] 由题图可知,两单摆的周期相同,同一地点重力加速度 相同,由单摆的周期
公式可知, 甲、乙两单摆的摆长相等,A正确;甲摆的振幅为 ,乙摆
的振幅为 ,则甲摆的振幅比乙摆的大,B正确;尽管甲摆的振幅比乙摆的大,两
摆的摆长也相等,但由于两摆球的质量和悬挂点的
高度未知, 故无法比较机械能的大小,C错误;在
时,甲摆经过平衡位置,而乙摆的位移为负
向最大,则乙摆具有正向最大加速度,D正确.
12.(多选)［2024·四川泸县四中高二期中］ 如图所示，乙图图像记录了甲图中
单摆摆球的动能、势能和机械能随摆球位置变化的关系，下列关于图像的说法
正确的是( )
A. 图线表示势能随位置的变化关系
B. 图线表示动能随位置的变化关系
C. 图线表示机械能随位置的变化关系
D.图像表明摆球在势能和动能的相互转化过程中机械能不变
√
√
[解析] 在点时，势能最大，动能为零，故图线 表示动能随位置的变化关系，
图线 表示势能随位置的变化关系，A、B错误；由于单摆摆球在运动过程中机
械能守恒，故图线 表示机械能随位置的变化关系，C、D正确.
13.一个物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的 .
在地球上走时正确的摆钟(设摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同)搬到此行
星上,要使摆钟在该行星上的周期与地球上的周期相同,下列办法可行的是( )
A.将摆球的质量增大为原来的4倍 B.将摆球的质量减小为原来的
C.将摆长减短为原来的 D.将摆长 增长为原来的4倍
[解析] 根据在星球表面万有引力等于重力,物体在某行星表面受到的万有引力是
它在地球表面受到的万有引力的,可知该行星表面的重力加速度 ;根据单
摆的周期公式 可知,要使摆钟在该行星上的周期与在地球上的周期相同,
必须将摆长缩短为原来的 ,单摆的周期与摆球的质量无关,故A、B、D错误,C正确.
√
14.(3分)［2025·山东临沂高二期末］ 已知单摆完成10次全振动的时间内,单摆
完成6次全振动,两摆长之差为,则单摆的摆长____,单摆的摆长
____ .
0.9
2.5
[解析] 设两个单摆的周期分别为和.由题意可知， ，解得
根据单摆周期公式,可知 ,由此得
,则, .
15.(12分)有一个摆长为的单摆，它的摆球质量为，从与竖直方向成 角的位
置无初速度开始运动，重力加速度为 .
(1) (3分)若以平衡位置所在平面为参考平面，单摆的总机械能为多少？
[答案]
[解析] 单摆在最高点时的机械能等于重力势能则有
15.(12分)有一个摆长为的单摆，它的摆球质量为，从与竖直方向成 角的位
置无初速度开始运动，重力加速度为 .
(2) (4分)求摆球经过最低点时的速度.
[答案]
[解析] 由机械能守恒定律得
解得
15.(12分)有一个摆长为的单摆，它的摆球质量为，从与竖直方向成 角的位
置无初速度开始运动，重力加速度为 .
(3) (5分)在偏角很小的情况下，从开始运动到摆球第一次经过最低位置需要的
时间为多长？
[答案]
[解析] 从开始运动到摆球第一次经过最低位置需要的时间为
［教材链接］ （1）不能伸长 （2）理想化
例1.CD 例2.D
［教材链接］ （1）重力加速度,重力加速度,无关 （2） （3）简
谐 （4）惠更斯 （5）摆钟,重力加速度
例3.CD 例4.（1） （2）
随堂巩固
1.C 2.B 3.BD 4.（1） （2）缩短,
基础巩固练
1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D 9.A
综合提升练
10.B 11.C 12.CD 13.C 14.0.9,2.5
15.（1） （2） （3）
