2. 3 函数的单调性和最值 同步练（含解析） 高一数学北师大版必修第一册

3　函数的单调性和最值
第1课时　函数的单调性
基础练
1.(2025湖北武汉高一期末)“a≥4”是“f(x)=x+在(0,2)上单调递减”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
2.(2025福建泉州高一月考)函数g(x)=x|x+1|+1的单调递减区间为(　　)
A.-∞, B.-1,-
C.[1,+∞) D.-∞,∪[1,+∞)
3.若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.-,+∞ B.-∞,-
C.(3,+∞) D.(-∞,-3]
4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)A.,+∞ B.,1
C.(0,2) D.(0,+∞)
5.函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.[-4,-2] B.[-2,1]
C.[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]
6.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上(　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
7.求函数f(x)=x+(x>0)的单调区间.
提升练
8.下列有关函数单调性的说法不正确的是(　　)
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
9.已知函数f(x)=若f(4-a)>f(a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)
10.若函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　)
A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]
B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
11.若函数f(x)=是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为　　　　　.
12.已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.
创新练
13.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.若对于 x1,x2∈R,x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则函数y=f(x)在R上是增函数
B.若对于 x1,x2∈R,x1≠x2,都有>-1,则函数y=f(x)+x在R上是增函数
C.若对于 x∈R,都有f(x+1)>f(x)成立,则函数y=f(x)在R上是增函数
D.函数y=f(x),y=g(x)在R上都是增函数,则函数y=f(x)·g(x)在R上也是增函数
14.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0(1)f(0)=1;
(2)当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)f(x)在R上是减函数.
第2课时　函数的最值
基础练
1.函数y=-|x|在R上(　　)
A.有最大值0,无最小值
B.无最大值,有最小值0
C.既无最大值,又无最小值
D.既有最大值,又有最小值
2.函数f(x)=的最大值是 (　　)
A. B. C. D.
3.函数f(x)=x∈,2的值域为(　　)
A.-1, B.[-1,2]
C.,2 D.,1
4.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内(　　)
A.有最大值42,有最小值12
B.有最大值42,有最小值-
C.有最大值12,有最小值-
D.无最大值,有最小值-
5.(多选题)已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),则下列结论正确的是(　　)
A. x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)
B. x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)
C. x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]
D. x∈[-2,2], t∈[0,3],f(x)=g(t)
6.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为0,则a=　　　　　.
7.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为　　　　　小时.
8.已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值-2.
(1)求a,b的值;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求实数m的取值范围.
提升练
9.(2025湖南永州开学考试)已知f(x)=(x>0),则f(x)的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
10.(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论正确的是(　　)
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.函数f(x)是增函数
11.若关于x的不等式8x2+x-a≤在x∈0,上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.-∞,- B.(0,1]
C.-,1 D.[1,+∞)
12.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“ ”如下:当a≥b时,a b=a;当aA. B.
C. D.
13.(2025广东开学考试)若函数f(x)=(x2-4)(x2+ax+b)满足f(x)=f(2-x),则f(x)在[0,2]上的最大值为　　　　　.
14.若函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>0成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
15.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为　　　.
16.函数f(x)=2x-的定义域为(0,1](a为实数).
(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.
17.在① x∈[-2,2],② x∈[1,3]这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题.
已知函数f(x)=x2+ax+4.
(1)当a=-2时,求f(x)在[-2,2]上的值域;
(2)若　　　　,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
创新练
18.已知函数f(x)=x2-mx+2.
(1)若f(x)在区间(-∞,1]上的最小值为-1,求实数m的值;
(2)若m≥4时,对任意的x1,x2∈,总有|f(x1)-f(x2)|≤-4,求实数m的取值范围.
第1课时 参考答案
1.C　若f(x)=x+在(0,2)上单调递减,
设任意x1,x2∈(0,2),且x10,则x1x2又x1x2<4,所以可得a≥4,
故“a≥4”是“f(x)=x+在(0,2)上单调递减”的充要条件.
故选C.
2.B　当x≥-1时,g(x)=x(x+1)+1=x2+x+1,
则g(x)在[-1,-]上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,当x<-1时,g(x)=-x(x+1)+1=-x2-x+1,
则g(x)在(-∞,-1]上单调递增,所以g(x)=的单调递减区间为[-1,-].
故选B.
3.B　函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=,∵函数在区间(-∞,2]上单调递减,故2≤,解得a≤-.
4.B　因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)5.B
6.B　由于函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-<0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上单调递减.
7.解 设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)-.
∵00.
当x1,x2∈(0,3]时,有x1x2-9<0,即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(0,3]上单调递减;
当x1,x2∈[3,+∞)时,x1x2-9>0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)综上可知,函数f(x)=x+(x>0)的单调递减区间是(0,3],单调递增区间是[3,+∞).
8.C　根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.
9.A　画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增,故f(4-a)>f(a) 4-a>a,解得a<2.
10.D　因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
11.[-3,-1]　由题意可得解得-3≤a≤-1,则实数a的取值范围是[-3,-1].
12.解(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,∴
(2)f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.证明如下,
由(1)得f(x)=x+.
任取1≤x1∵1≤x11,∴2x1x2-1>1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,
∴只需1+2x2>x2-2x+4,
∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.
即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).
13.AB　x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)化简为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故函数f(x)在R上是增函数,故A正确;>-1 >0,则函数y=f(x)+x在R上是增函数,故B正确;C选项中,令f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大的整数,满足f(x+1)>f(x),但f(x)在R上不是增函数,如f(1.2)=f(1.5),故C错误;D选项中,令f(x)=g(x)=x,函数y=f(x)·g(x)=x2在R上不单调,故D错误.故选AB.
14.证明(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),∵f(n)≠0,∴f(0)=1.
(2)由题意知,当x>0时,0当x=0时,f(0)=1>0;
当x<0时,-x>0,∴0∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1,
∴f(x)=>0.故x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)任取x1,x2∈R,且x1>x2,
则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).
∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].
由(2)知,f(x2)>0.
∵x1-x2>0,∴0∴f(x1-x2)-1<0,∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)第2课时 参考答案
1.A　因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.
2.C　因为1-x(1-x)=x2-x+1=(x-)2+,所以0<,
故f(x)的最大值为.
3.A　f(x)==1-.当x∈[,2]时,结合图象可知,函数f(x)单调递增,∴当x=时,函数取得最小值,最小值为f()=1-=1-2=-1;当x=2时,函数取得最大值,最大值为f(2)=1-,即函数f(x)的值域为[-1,].故选A.
4.D　∵f(x)=,x∈(-5,5),∴当x=-时,f(x)有最小值-,f(x)无最大值.
5.AC　在A中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])单调递减,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;在B中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])单调递减,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;在D中, x∈[-2,2], t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D错误.故选AC.
6.0　作出函数y=x2-2x的图象如图所示.
若a≥1,则ymin=-1,不符合题意,
则a<1,当且仅当a=0时,有ymin=0,
所以a=0.
7.7　由题意知适于户外活动的时间为解得9≤t≤12或12故适于户外活动的时长为3+4=7(小时).
8.解 (1)∵f(x)=ax2-4ax+b(a>0),
∴函数f(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=2,
∴f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)max=f(0)=b=1,f(x)min=f(1)=b-3a=-2,∴a=b=1.
(2)由f(x)>-x+m,可得x2-4x+1>-x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,
只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
9.D　令t=x+1(x>0),则x=t-1(t>1),
所以f(x)=可转化为y=,
即y==t++1,
又函数y=t++1在区间(1,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取到最小值为5,
即当x=1时,f(x)取到最小值,最小值为5.
故选D.
10.AC　根据符号[x]的意义,讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)=x-[x]的解析式:当-1≤x<0时,[x]=-1,则f(x)=x-[x]=x+1;当0≤x<1时,[x]=0,则f(x)=x-[x]=x;当1≤x<2时,[x]=1,则f(x)=x-[x]=x-1;当2≤x<3时,[x]=2,则f(x)=x-[x]=x-2.画出函数f(x)=x-[x]的图象如图所示.
根据定义可知,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正确;根据图象易判断,函数f(x)=x-[x]在最高点处取不到,所以B错误;函数图象最低点处函数值为0,所以C正确;根据函数单调性,可知函数f(x)=x-[x]在特定区间内单调递增,在整个定义域内没有单调性,所以D错误.
11.D　由题意知,8x2+x-≤a在x∈[0,]上恒成立,设f(x)=8x2+x-,则函数f(x)在[0,]上单调递增,∴当x=时,f(x)max=f()=8×()2+=2-1=1,则a≥1.故选D.
12.C　当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;当113.9　∵f(x)=(x2-4)(x2+ax+b),∴f(2)=f(-2)=0.∵f(x)=f(2-x),∴f(0)=f(2)=0,f(4)=f(-2)=0,∴f(x)=x(x-2)(x+2)(x-4)=(x2-2x)(x2-2x-8).
当x∈[0,2]时,令t=x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,0],
y=t(t-8)=(t-4)2-16,该二次函数在区间[-1,0]上单调递减,
当t=-1时,y取得最大值,即ymax=-1×(-9)=9.
14.[-2,3)　由题意得y=f(x)为增函数,∴3-a>0,且-(2-2)2≤2(3-a)+5a,∴-2≤a<3.
15.6　
在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).由图象可知,函数f(x)的最大值为6.
16.解(1)任取x1,x2∈(0,1],且x1所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)>0,
即a<-2x1x2恒成立,
∴a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2].
(2)由2x->5(x∈(0,1]),得a<2x2-5x(x∈(0,1])恒成立.∵2x2-5x=2,∴函数y=2x2-5x在区间(0,1]上单调递减,∴当x=1时,函数y取得最小值-3,即a<-3,即a的取值范围为(-∞,-3).
17.解(1)当a=-2时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,则f(x)在[-2,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=3,f(-2)=12,f(2)=4,
故f(x)的值域为[3,12].
(2)选择条件①:
若a≥4,则f(x)在[-2,2]上单调递增,
∴f(x)min=f(-2)=8-2a≥0,解得a≤4.又a≥4,∴a=4.
若-4∴f(x)min=f-=4-≥0,解得-4若a≤-4,则f(x)在[-2,2]上单调递减,
∴f(x)min=f(2)=8+2a≥0,解得a≥-4.
又a≤-4,∴a=-4.
综上所述,a的取值范围是[-4,4].
选择条件②:
∵ x∈[1,3],f(x)≥0,∴f(x)max≥0,
即f(1)≥0或f(3)≥0,解得a≥-5或a≥-.
∴a≥-5,即a的取值范围为[-5,+∞).
18.解(1)函数f(x)=x2-mx+2,其图象的对称轴为直线x=.当m≤2时,f(x)min=f=-+2=-1,
∴m=-2;
当m>2时,f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,
∴f(x)min=f(1)=12-m+2=-1,∴m=4.
综上可知,m=-2或m=4.
(2)∵m≥4,∴,且-1,∴当x∈时,f(x)max=f(1)=3-m,f(x)min=f=-+2.
∵对任意的x1,x2∈,总有|f(x1)-f(x2)|≤-4,∴f(x)max-f(x)min=3-m+-2=-m+1≤-4,解得m≥5,∴实数m的取值范围是[5,+∞).