2.2.2 函数的表示法 同步练（含解析） 高一数学北师大版必修第一册

2.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
基础练
1.(多选题)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图象的是(　　)
2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=(　　)
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)=　　　　,f(f(2))=　　　　.
4.已知f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.
5.作出下列函数的图象,并指出其值域:
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).
提升练
6.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),满足f(2)=1,且对于定义域内任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,那么f(2)+f(4)的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
7.(多选题)(2025湖南高一期中)设函数f(x)的定义域为D,若 x∈D,f(f(x))=x,则称f(x)为“循环函数”.下列函数中,为“循环函数”的有(　　)
A.f(x)=5-x B.f(x)=5+x
C.f(x)=- D.f(x)=
8.定义两种运算:a b=,a b=,则函数f(x)=的解析式为(　　)
A.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2]
B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]
9.小明在如图①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的(　　)
　　　　　　图①　　　　　　　　图②
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
10.已知函数f(x),g(x)由下表给出:
x 4 5 6 7 8
f(x) 5 4 8 7 6
x 8 7 6 5 4
g(x) 6 5 8 7 4
则g(f(7))=　　　;不等式g(x)11.已知f(+1)=,则f(x)=　　　　　　,其定义域为　　　　.
12.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.
创新练
13.(1)已知f(1+2x)=,求f(x)的解析式.
(2)已知g(x)-3g=x+2,求g(x)的解析式.
2.2　函数的表示法
第2课时　分段函数
基础练
1.下表表示y是x的函数,则函数的值域是(　　)
x 0y 2 3 4 5
A.[2,5] B.N
C.(0,20] D.{2,3,4,5}
2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f=(　　)
A.- B.
C.- D.
3.已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为(　　)
A.[-1,1] B.[-1,2]
C.(-∞,1] D.[-1,+∞)
4.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点,用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图中的s-t函数图象与故事情节相吻合的是(　　)
5.(2025广东广州高一期中)已知f(x)=若f(x)=0,则x=　　　　　.
6.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　.
7.某市出租车收费标准如下:在3 km以内(含3 km)路程按起步价7元收费,超过3 km以外的路程按2.4元/km收费,某人乘车交车费19元,则此人乘车行程为　　　　 km.
8.已知f(x)=
(1)在所给坐标系中画出f(x)的图象;
(2)直接写出f(x)的值域.
提升练
9.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))=(　　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B.2 C.1 D.0
10.(多选题)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.若f(x)=3,则x的值是
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
11.(2025浙江宁波高一开学考试)已知函数f(x)=若f(-4)=1,则a=　 .
12.已知函数f(x)=|x-2|(x+1).
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)判断关于x的方程|x-2|(x+1)=a(a∈R)的解的个数.
创新练
13.某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:当公司参加培训的员工人数不超过30时,每人的培训费用为850元;当公司参加培训的员工人数多于30时,则给予优惠,每多一人,每人的培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.
(1)写出y与x(1≤x≤60,且x∈N)之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润 最大利润是多少
第1课时 参考答案
1.AD　在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一确定的y与之相对应,满足函数关系;在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性.
2.A　因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.
3.　4　由题图可知f(-5)=,f(2)=0,f(0)=4,
故f(f(2))=f(0)=4.
4.f(x)=2x+或f(x)=-2x-8　设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a2x+ab+b,∴解得∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-8.
5.解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示.
由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示.
图①
图②
由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
6.C　∵对于定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,
∴f(2)+f(4)=1+2=3.
故选C.
7.ACD　若f(x)=5-x,则f(f(x))=5-(5-x)=x,得f(x)=5-x为“循环函数”,故A正确;
若f(x)=5+x,则f(f(x))=5+(5+x)=10+x≠x,得f(x)=5+x不是“循环函数”,故B错误;
若f(x)=-,则f(f(x))=-=x,得f(x)=-为“循环函数”,故C正确;
若f(x)=,则f(f(x))==x,得f(x)=为“循环函数”,故D正确.
故选ACD.
8.D　∵f(x)=.
由得-2≤x≤2,且x≠0.
∴f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2].
9.D　由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M点,不选A,B;若是P点,则从最高点开始持续下降,与题图②矛盾,因此取Q,即选D.
10.5　{4,7}　f(7)=7,g(f(7))=g(7)=5.当x=4时,f(4)=5,g(4)=4,所以f(4)>g(4),满足不等式;当x=5时,f(5)=4,g(5)=7,不满足不等式;当x=6时,f(6)=8,g(6)=8,不满足不等式;当x=7时,f(7)=7,g(7)=5,满足不等式;当x=8时,f(8)=6,g(8)=6,不满足不等式,所以不等式g(x)11.　(1,+∞)　令+1=t,由题意可知x>0,
则t>1,x=(t-1)2,故f(x)=(x>1).
12.解由f(x)=x,得=x,即ax2+(b-1)x=0.
∵方程f(x)=x有唯一解,∴Δ=(b-1)2=0,即b=1.
∵f(2)=1,∴=1,∴a=,
∴f(x)=,
∴f(f(-3))=f(6)=.
13.解 (1)由题意得,f(1+2x)的定义域为{x|x≠0}.
设t=1+2x(t≠1),则x=,
∴f(t)=(t≠1),
∴f(x)=(x≠1).
(2)由g(x)-3g=x+2, ①
得g-3g(x)=+2, ②
①②联立消去g,得g(x)=--1(x≠0).
第2课时 参考答案
1.D　由题表可知,y=
所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D.
2.C　f(x)=∴f()=-.
3.A　原不等式等价于
解得-1≤x≤1.
4.B　由于兔子中间睡了一觉,所以有一段路程不变,而乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点.
5.-2或0　依题意
解得x=-2或x=0.
6.f(x)=　当0≤x≤1时,f(x)=-1;
当1综上,f(x)=
7.8　根据题意可判断出乘车的路程超过3 km,设此人乘车的路程为x km,由题意得(x-3)×2.4+7=19,整理得x-3=5,解得x=8,故此人乘车行程为8 km.
8.解 (1)函数图象如下所示.
(2)由图象可知,函数的值域为[-4,+∞).
9.B　由题图知g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=2.故选B.
10.BC　由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],当-111.-　因为f(-4)=1,所以f(-4)=f(-4+2)=f(-2)=f(-2+2)=f(0)=f(0+2)=f(2)=4+2a=1,
所以a=-.
12.解(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),去掉绝对值符号得f(x)=可得f(x)的图象如图所示.
(2)关于x的方程|x-2|(x+1)=a的解的个数就是直线y=a与y=|x-2|(x+1)的图象的交点的个数.作出图象如图所示.
由图象可知,
当a<0时,有一个交点;当a=0时,有两个交点;
当0当a>时,有一个交点.
综上,当a<0或a>时,方程有一个解;
当a=0或a=时,方程有两个解;
当013.解 (1)当1≤x≤30且x∈N时,y=850;
当30(2)当1≤x≤30且x∈N时,Q=850x-12 000,Qmax=850×30-12 000=13 500;
当30故当x=57或x=58时,Qmax=21 060.
所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21 060元.