2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数 同步练（含解析） 高一数学北师大版必修第一册

4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
基础练
1.(多选题)下列函数是奇函数的有(　　)
A.y=
B.y=-3x
C.y=x-
D.y=πx3-x
2.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)
A.单调递增,且有最小值f(1)
B.单调递增,且有最大值f(1)
C.单调递减,且有最小值f(2)
D.单调递减,且有最大值f(2)
3.若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=f(-),b=f,c=f的大小关系是(　　)
A.bC.a4.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则f(3),f(-2),f(1)的大小关系为　　　　　　　.
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3-3x+1,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=　　　　.
6.(2025广东广州高一开学考试)设函数f(x)=在区间[-2,2]上的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为　　　　　.
7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,且f(2)=0,则满足f(x)<0的x的取值范围是　　　　　　　　.
8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
提升练
9.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
10.(2025全国新课标Ⅰ,5)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f-=(　　)
A.- B.-
C. D.
11.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是(　　)
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
12.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=　　　　　.
13.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　　　　　　　.
14.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)求出函数f(x)的解析式;
(2)求出函数f(x)的值域.
创新练
15.(多选题)给出定义:若m-A.函数y=f(x)的定义域是R,值域是-
B.函数y=f(x)是偶函数
C.函数y=f(x)是奇函数
D.函数y=f(x)在-上单调递增
4.2　简单幂函数的图象和性质
基础练
1.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x3 D.f(x)=
3.(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.幂函数的图象不经过第四象限
B.y=x0的图象是一条直线
C.若函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为yy<
D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}
4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(-∞,0)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
5.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　)
A.-1B.n<-1,0C.-11
D.n<-1,m>1
6.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是　　　　　.
7.已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m=　　　　　.
8.(探究点一、四)已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求m的值;
(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
提升练
9.(2025天津河东月考)已知a,b∈R,则“”是“”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
10.(多选题)(2025贵州黔东南高一期末)已知幂函数f(x)=(a2-4a+4)xa-2,则下列说法正确的有 (　　)
A.a=1或3
B.f(x)一定为奇函数
C.f(x)一定为减函数
D.f(x)的图象必过点(1,1)
11.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
12.(多选题)已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是(　　)
A.0C.113.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
创新练
14.已知点B,2在幂函数f(x)=xm(m≠0)的图象上,对任意的实数x,定义{x}=x-[x],其中[x]表示不超过x的最大整数.
(1)求f(4)的值;
(2)求函数G(x)={()2}+{-()2}的值域.
4.1　函数的奇偶性
参考答案
1.BCD　先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.
2.C　因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.
3.C　由f(x)为偶函数,得a=f(-)=f().
又,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f()4.f(3)再由偶函数的性质得f(3)5.2x3-3x-1　当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),
∴f(-x)=2(-x)3-3(-x)+1=-2x3+3x+1.
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=2x3-3x-1.
6.2　f(x)==1+,构造函数g(x)=f(x)-1=的定义域为R,则g(-x)==-g(x),故g(x)为奇函数,所以g(x)max+g(x) min=M+N-2=0,所以M+N=2.
7.(-∞,-2)∪(2,+∞)　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为f(2)=0,所以f(x)<0 f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.
8.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-3x+2,故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.∴当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f,f(x)min=f(3)=-2.∴m=,n=-2,从而m-n=.
9.C　∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;
对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;
对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;
对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.
10.A　由题知,f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(x),
∴f(-)=f()=f()=5-2×=-.
故选A.
11.A　g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,
大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,由xf(x)≤0可知结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A.
12.-15　根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1.函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15.
13.{x|-20时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,
∴f(x)g(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).综上,不等式<0的解集是{x|-214.解(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),
∴0=-2+b,即b=2.
∴当x≤-1时,f(x)=x+2.
∵f(x)为偶函数,
∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.
当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),
则1=a·(-1)2+2,∴a=-1.
∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.
综上,f(x)=
(2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];
当-1当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].
综上所述,f(x)的值域为(-∞,2].
15.AD　化简函数解析式可得,f(x)=x-{x}=画出函数的图象,如图所示,由图象可知函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-],故A为真命题;由图可以得出,函数图象既不关于y轴对称,也不关于坐标原点对称,且f(x)在(-)上单调递增,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,故B,C为假命题,D为真命题.故选AD.
参考答案
1.B　y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B.
2.C
3.BCD　对于A,由幂函数的图象知,它不经过第四象限,所以A对;对于B,因为当x=0时,x0无意义,即在x=0无定义,所以B错;对于C,函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为y04.C　由幂函数的图象特征知α<1.
5.B　由于y=xm在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故06.　因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以a+1<3-2a,解得a<.
7.1　因为幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数.又因为f(x)在第一象限内单调递减,所以m2-2m-3<0,即-18.解 (1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=0.
(2)由(1)可知f(x)=x2.
当x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,
∴A=[1,4],B=[2-k,4-k].
∵A∪B=A,∴B A,∴解得0≤k≤1,
∴实数k的取值范围是[0,1].
9.B　根据幂函数的性质知,函数y=在R上单调递增,
所以当时,a>b,
当b则“”不是“”的充分条件;
当时,a>b≥0,
则“”是“”的必要条件,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
10.ABD　对于A,根据幂函数的定义可得a2-4a+4=1,解得a=1或3,故A正确;
对于B,当a=1或3时,f(x)=x-1或f(x)=x都为奇函数,故B正确;
对于C,当a=1时,f(x)=x-1不是减函数,当a=3时,f(x)=x是增函数,故C错误;
对于D,因为对任意α∈R都有1α=1,所以幂函数图象均经过点(1,1),故D正确.
故选ABD.
11.A　由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数f(x)单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.
12.ACD　画出函数y=与y=的图象如图所示,
设=m,作直线y=m.
从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若01,则113.解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意;
当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去.
故f(x)=x2.
(2)由(1)可知y=x2-2(a-1)x+1,
函数y的图象的对称轴为直线x=a-1,
由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4.
∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).
14.解 (1)由题意幂函数f(x)=xm的图象过点B,2,∴m=2,m=-,
故f(x)=,f(4)=.
(2)由(1)知,f(x)=,G(x)={x}+{-x},
当x为整数时,由[x]=x,[-x]=-x知,{x}=0,{-x}=0,此时,G(x)={x}+{-x}=0;
当x不是整数时,由[x]∴G(x)=∴G(x)的值域为{0,1}.