3.3 指数函数 同步练习（含解析） 高一年级数学北师大版必修第一册

3　指数函数
3.1　指数函数的概念　3.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数的概念、图象和性质
基础练
1.如果函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则ab=(　　)
A. B.1 C.9 D.8
2.函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)
3.已知a=30.2,b=0.2-3,c=3-0.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
4.设函数f(x)=则满足f(x+1)A.(-∞,1)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,0)
5.(2025吉林长春高一期中)已知函数f(x)=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.已知a>0且a≠1,函数y=a3-x+1的图象恒过一个定点,此定点的坐标为　　　　　.
7.(探究点二、三)设f(x)=3x,g(x)=()x.
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论
提升练
8.函数f(x)=3ax-2+5(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,点P又在幂函数g(x)的图象上,则g(-2)的值为(　　)
A.-8 B.-9 C.- D.-
9.已知偶函数f(x)=则满足f(x-1)A.(-∞,3)
B.(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
创新练
10.(多选题)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的可能取值是(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.1　指数函数的概念　3.2　指数函数的图象和性质
第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用
基础练
1.函数f(x)=+1在区间[-2,2]上的最小值为(　　)
A. B. C. D.13
2.若函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.[0,3] B.[-1,2]
C.[0,1)∪(1,3] D.[-1,1)∪(1,2]
3.函数f(x)=+a是奇函数,则实数a的值是(　　)
A.0 B. C.- D.1
4.方程4x+2x+1-3=0的解是　　　　　.
5.若函数y=的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是　　　　　.
6.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f=2,则不等式f(2x)>2的解集为　　　　　.
7.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0,且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.
提升练
8.(多选题)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则下列选项中正确的有 (　　)
A.a>1 B.0C.b>0 D.b<0
9.(2025浙江宁波高一期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x-x+m,则f(x)在[1,2]上的最大值为(　　)
A.-5 B.-2 C.5 D.6
10.若函数f(x)=的值域为(a,+∞),则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
11.已知不等式32x-k·3x≥-1对任意实数x恒成立,则实数k的取值范围是　　　　.
12.(2025四川内江高一期末)如图,已知函数y=ax+b(b>0)的图象经过点M(1,4),则的最小值为　.
13.已知函数f(x)=a-(x∈R),
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.
创新练
14.已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,设f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
第1课时 参考答案
1.D　根据题意可得2a=1 a=,-(b+3)=0 b=-3,则ab=()-3=8.故选D.
2.C　当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当03.B　∵3>1,0<0.2<1,∴a=30.2∈(1,3).∵b=0.2-3==53=125,c=3-0.2=(<()0=1,
∴b>a>c.
4.D　函数f(x)的图象如图所示,
因为f(x+1)5.B　因为函数f(x)=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象恒过点M(3,4),
所以g(x)=3x-4,其图象可由曲线y=3x向下平移4个单位长度得到,图象如图,
由图知g(x)=3x-4的图象不经过第二象限.
故选B.
6.(3,2)　当x=3时,f(3)=a0+1=2,∴y=a3-x+1的图象一定经过定点(3,2).
7.解(1)函数f(x),g(x)的图象如图所示.
(2)f(1)=31=3,g(-1)=()-1=3;f(π)=3π,g(-π)=()-π=3π;f(m)=3m,g(-m)=()-m=3m.从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.
8.A　∵f(x)=3ax-2+5,令x-2=0,得x=2,
∴f(2)=3a0+5=8,即f(x)的图象恒过点P(2,8).设g(x)=xα,把P(2,8)代入得2α=8,解得α=3,即g(x)=x3,故g(-2)=(-2)3=-8.故选A.
9.C　当x≥0时,f(x)=3x+a单调递增,因为函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)单调递减.若f(x-1)10.AC　因为函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,由题意,画出函数f(x)在[-4,0)∪(0,4]的图象如图所示,在同一坐标系内画出y=3x-1的图象,
因为f(2)=,所以f(-2)=-f(2)=-=3-2-1.又f(1)=2=31-1,即f(x)与y=3x-1交于(-2,-)和(1,2)两点.由图象可得f(x)≥3x-1的解集为[-4,-2]∪(0,1].故选AC.
第2课时 参考答案
1.B　令t=,t∈,∴g(t)=t2-t+1,对称轴为直线t=,∴g(t)min=g.故选B.
2.D　函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=解得-1≤x≤2,且x≠1,所以定义域为[-1,1)∪(1,2].故选D.
3.C　函数f(x)=+a的定义域为R,且f(x)是奇函数,因此f(0)=0,即+a=0,解得a=-,
此时f(x)=符合题意.故选C.
4.x=0　原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.
5.(0,1)　由ax-1≥0,知ax≥1.又x≤0,所以06.(-1,+∞)　∵f(x)是偶函数,且f=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,
∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
由f(2x)>2,且2x>0得2x>,即2x>2-1,
∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).
7.解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,所以a2-1=a=.
(2)由(1)得f(x)=(x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值2,于是f(x)∈(0,2],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].
8.AD　因为函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,所以其大致图象如图所示,可知函数为增函数,所以a>1.当x=0时,y=1+b-1=b<0.故选AD.
9.B　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0,解得m=-1,
则当x≤0时,f(x)=x-x-1,
若x>0,则-x<0,f(-x)=-x+x-1=2x+x-1,所以f(x)=-f(-x)=-2x-x+1,由y=-2x和y=-x+1在R上单调递减,知f(x)在[1,2]上单调递减,
故当1≤x≤2时,f(x)max=f(1)=-2-1+1=-2.
故选B.
10.B　当x<1时,f(x)=,当x≥1时,f(x)=a+.∵函数f(x)的值域为(a,+∞),∴即a∈.故选B.
11.(-∞,2]　令t=3x(t>0),则t2-kt≥-1,化简得k≤t+.因为t+≥2=2,当且仅当t=1时,等号成立,所以k≤2.
12.　因为函数y=ax+b(b>0)的图象经过点M(1,4),则a+b=4,即=1,由图象可知a>1,且b>0,
可得)=(5+)≥(5+2)=,当且仅当,即a=2b=时,等号成立,所以的最小值为.
13.(1)证明f(x)的定义域为R,任取x1,x2∈R,且x10,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
(2)解∵f(x)为奇函数,且x∈R,
∴f(0)=0,即a-=0,解得a=.
(3)解由(2)知,f(x)=,由(1)知,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).
∵f(1)=,
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
14.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上单调递增,故解得
(2)由(1)可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,即1+2-2·≥k.令t=,则k≤t2-2t+1.因为x∈[-1,1],所以t∈[,2].记h(t)=t2-2t+1,因为t∈[,2],所以h(t)max=1,所以实数k的取值范围是(-∞,1].