4.3 对数函数 同步练习（含解析） 高一年级数学北师大版必修第一册

3　对数函数
3.1　对数函数的概念　3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
3.3　对数函数y=logax的图象和性质
第1课时　对数函数的概念、图象和性质
基础练
1.(多选题)函数f(x)=loga(x+2)(0A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知函数f(x)=log2·log2(8x),则函数f(x)的值域为(　　)
A.[-9,0]
B.[-9,+∞)
C.(-∞,-9]
D.[-12,0]
3.若函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),且g(a)=,则a=(　　)
A.2
B.-2
C.
D.-
4.(2025江苏无锡高一联考)已知对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过点4,,则log4a=(　　)
A. B.
C.2 D.4
5.若a=lg 0.2,b=log32,c=log64,则关于a,b,c的大小关系,下列说法正确的是(　　)
A.c>b>a
B.b>c>a
C.c>a>b
D.a>b>c
6.(2025广东佛山高一期中)函数g(x)=-logax的反函数为y=f(x),若f(1)=3,则f(g(a+1))=　　　　　.
7.函数f(x)=(m2-1)logmx表示对数函数,则实数m的值是　　　　　.
8.设f(x)=|lg(x-1)|,若09.若函数f(x)=log2x+2的反函数的定义域为(3,+∞),则f(x)的定义域为　　　　　　　　　.
提升练
10.函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为(　　)
A.0
B.10
C.1
D.
11.(多选题)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)图象经过点(4,2),则下列结论正确的有(　　)
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若012.已知函数f(x)=|ln x|,实数m,n满足013.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
创新练
14.已知函数f(x)=-x.
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数λ的取值范围;
(2)若不等式f(ln x)≤0对任意x∈[e,e2]都成立,求实数λ的取值范围.
第2课时　习题课　对数函数图象和性质的应用
基础练
1.设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=(　　)
A.(1,2) B.(1,2]
C.(-2,1) D.[-2,1)
2.已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(0,+∞) B.
C.(1,2) D.(-∞,0)
3.已知函数f(x)=lg5x++m的值域为R,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,4) D.(-∞,-4]
4.已知函数f(x)=log2 025(x2-mx)在(3,4)上单调递增,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,3]
C.(3,6) D.[3,6]
5.(探究点二、四)(多选题)(2025新疆高一期末)设函数f(x)=lo(-x2+4x+5),则f(x)(　　)
A.在[2,5)上单调递减
B.在[2,5)上单调递增
C.有最大值-2
D.有最小值-2
6.(探究点一、二、三)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f=0,则不等式f(lox)>0的解集为　　　　　.
7.黑嘴鸥被世界自然保护联盟列为易危物种,全球数量只有2万只左右.研究发现黑嘴鸥的飞行速度(单位:m/s)可以表示为函数v=10log3x-20,其中x表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数.已知黑嘴鸥在飞往温州湾的过程中,最低飞行速度为10 m/s,最高飞行速度为30 m/s,求黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围.
提升练
8.(2025安徽安庆高一期末)函数f(x)=[x]称为高斯函数,[x]表示不超过x的最大整数,则方程[log2x]=2的解的集合为(　　)
A.{4} B.[2,4) C.[4,6) D.[4,8)
9.(2025北京,9)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　)
A.2 B.4
C.20 D.40
10.已知函数f(x)=若f(4)=3,则f(x)>0的解集为(　　)
A.{x|x>-1}
B.{x|-1C.{x|x>-1,且x≠0}
D.
11.已知函数y=logax(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是　　　　　.
12.已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.
创新练
13.已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称,其中a为常数.
(1)求a的值;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)第1课时 参考答案
1.BCD　因为02.B　f(x)=(log2x-3)(log2x+3)=(log2x)2-9,故f(x)的值域为[-9,+∞).
3.B　由题意,得g(x)=2x.∵g(a)=,∴2a=,∴a=-2.
4.C　因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4,),所以loga4=,即=4,所以a=16,则log4a=log416=log442=2log44=2.故选C.
5.A　a=lg 0.2log21=0,即log23>log46>log41>0,所以0<,即log64>log32>0>lg 0.2,所以c>b>a.故选A.
6.　根据反函数的性质以及f(1)=3,可得g(3)=1,即-loga3=1,所以a=,g(x)=-lox=log3x,所以f(g(a+1))=f(g())=.
7.　由函数f(x)=(m2-1)logmx表示对数函数,
可得解得m=.
8.(4,+∞)　先画出函数f(x)=|lg(x-1)|的图象,如图,
∵0∴12,
∴-lg(a-1)=lg(b-1),
∴=b-1,
∴a=1+,∴a+b=b++1=b-1++2≥2+2=4.∵b-1≠,
∴a+b>4,∴a+b的取值范围是(4,+∞).
9.(2,+∞)　因为f(x)的反函数的定义域为(3,+∞),
所以f(x)=log2x+2的值域为(3,+∞),所以log2x+2>3,所以x>2,所以f(x)的定义域为(2,+∞).
10.C　由已知,得a-lg x≥0的解集为(0,10].
由a-lg x≥0,得lg x≤a.又当0所以a=1.故选C.
11.ACD　由题知2=loga4,a=2,故f(x)=log2x,函数为增函数,故A正确;f(x)=log2x不为偶函数,故B错误;当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确;根据f(x)=log2x的图象,知若012.e2　由题意以及函数f(x)=|ln x|的性质可得-ln m=ln n,所以=n,且0①当|ln m2|=2时,m=,又因为=n,所以n=e,此时f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,满足题意;
②当ln n=2时,n=e2,m=,此时f(x)在区间[m2,n]上的最大值为|ln |=4,不满足题意.综上,n=e,m==e2.
13.解(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
由题意,f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.
14.解(1)f(x)的定义域为R,则对任意的x∈R,λx2+λx+1≥0恒成立,当λ=0时,1≥0显然成立,故λ=0符合,当λ≠0时,由得0<λ≤4.综上,0≤λ≤4.
(2)令t=ln x,由于x∈[e,e2],则t∈[1,2],则问题转化成f(t)≤0恒成立,即≤t,两边平方整理得(λ-1)t2+λt+1≤0,进一步得[(λ-1)t+1](t+1)≤0,当λ-1>0,即λ>1时,[(λ-1)t+1](t+1)=0的解为t1=-1<0,t2=-<0,此时t∈[1,2],不等式[(λ-1)t+1](t+1)>0,故λ>1不符合;当λ-1=0,即λ=1时,不等式为t+1≤0,当t∈[1,2]时,不等式不成立,故λ=1不符合;当λ-1<0,即λ<1时,[(λ-1)t+1](t+1)=0的解为t1=-1<0,t2=->0,故[(λ-1)t+1](t+1)≤0的解为{t|t≤-1或t≥-}.故要对t∈[1,2],f(t)≤0恒成立,则满足-≤1,解得λ≤0.综上,λ≤0.
第2课时 参考答案
1.D　由4-x2≥0得-2≤x≤2,∴A=[-2,2].由1-x>0得x<1,∴B=(-∞,1),∴A∩B=[-2,1).故选D.
2.B　由于函数f(x)=log3(1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且函数y=log3u为增函数,则函数u=1-ax在(-∞,2]上为减函数,且u=1-ax>0在(-∞,2]上恒成立,∴-a<0,得a>0,且umin=1-2a>0,解得a<.因此,实数a的取值范围是.故选B.
3.D　令t=5x++m≥2+m=4+m,当且仅当x=log52时,等号成立.则y=lg t.∵值域为R,∴t可取(0,+∞)上的每一个正数,∴4+m≤0,∴m≤-4,故选D.
4.B　令u(x)=x2-mx.因为y=log2 025x在(0,+∞)上单调递增,f(x)在(3,4)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,函数u(x)=x2-mx在(3,4)上单调递增,且u(x)>0在(3,4)上恒成立,故解得m≤3.故选B.
5.BD　在函数f(x)=lo(-x2+4x+5)中,由-x2+4x+5>0,解得-1而函数y=lou在(0,+∞)上单调递减,因此函数f(x)在[2,5)上单调递增,故A错误,B正确;
当x=2时,u=-x2+4x+5取得最大值9,所以f(x)有最小值-2,故C错误,D正确.故选BD.
6.∪(2,+∞)　∵f(x)是R上的偶函数,
∴它的图象关于y轴对称.∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴f(x)在(-∞,0]上单调递减.由f=0,得f=0.
∴f(lox)>0,∴lox<-或lox>,解得x>2或0∴x∈∪(2,+∞).
7.解由v=10log3x-20,
当v=10log3x-20=10时,得log3x=3,得x=33=27;
当v=10log3x-20=30时,得log3x=5,得x=35=243,
所以黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是[27,243].
8.D　由[log2x]=2,可得2≤log2x<3,解得4≤x<8.故选D.
9.B　由题意,得klog2(1.024×109)-klog2106=20,即klog2=20,∴klog21 024=20,∴10k=20,解得k=2,即T=2log2N.∴2log2(4.096×108)-2log2(1.024×108)=2log24=4.故选B.
10.D　∵f(4)=log24+a=3,∴a=1,∴f(x)=当x>0时,log2x+1>0,∴log2x>-1=log2,∴x>.当x≤0时,x+1>0,∴x>-1.∴-1.
11.∪(1,2]　当a>1时,y=logax在区间(2,+∞)上单调递增,由loga2≥1,得112.解(1)∵函数f(x)=log2是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴log2=-log2.即log2=log2,∴a=±1.当a=-1时,f(x)=log2无意义,舍去,∴a=1.令>0,解得x<-1或x>1.所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.
(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),当x>1时,x+1>2,∴log2(1+x)>log22=1.∵x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立,∴m≤1.故m的取值范围是(-∞,1].
13.解(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即lo=-lo =lo,解得a=-1或a=1(舍去).
(2)f(x)+lo(x-1)=lo+lo(x-1)=lo(1+x),当x>1时,lo(1+x)<-1.∵当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)