5.1　方程解的存在性及方程的近似解 同步练习（含解析） 高一年级数学北师大版必修第一册

1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础练
1.下列图象表示的函数中没有零点的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.函数f(x)=4x-2x-2的零点是(　　)
A.(1,0) B.1 C. D.-1
3.(多选题)已知函数f(x)=x-log2x,0A.0d>b
C.d>c D.a4.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为(　　)
x -1 0 1 2 3
g(x) 0.37 1 2.72 7.39 20.39
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
5.(2025安徽安庆阶段测试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=若函数y=f(x)-m有且仅有4个零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.0, B.0,
C.1, D.-∞,
6.(2025江苏盐城月考)函数f(x)=ln(2x)-的零点在区间(k,k+1)内,则正整数k=　　　　　.
7.已知函数f(x)=则该函数零点的个数为　　　　.
提升练
8.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是(　　)
A.a<αC.α9.方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k-1,k)(k∈N),则k的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知函数f(x)=若f(x0)=-1,则x0=　　　　　,若关于x的方程f(x)=k有两个不同零点,则实数k的取值范围为　　　　　.
创新练
11.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,如果函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,求实数a的值.
1.2　利用二分法求方程的近似解
基础练
1.(2025上海长宁高一期末)设f(x)=x-2+lg x,现用二分法求方程x-2+lg x=0在区间(1,3)内的近似解,计算得f(1)<0,f<0,f(2)>0,f(3)>0,则近似解所在的区间为(　　)
A.1, B.,2
C.(2,3) D.不能确定
2.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有(　　)
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-4x+4
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-2
3.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是(　　)
A.(4,+∞) B.(-∞,4)
C.{4} D.[4,+∞)
4.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:
f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为(　　)
A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75
5.(2025上海徐汇高一期末)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,3)上的零点的近似值,由计算得f(2)=-2,f(3)=0.625,f(2.5)=-0.984,f(2.75)=-0.26.下一个求f(m),则m=　　　　　.
6.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为　　　　　.
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
7.一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测　　　　　次.
8.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).
提升练
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是(　　)
A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f
10.已知f(x)=-ln x,在区间(n,n+1)(n∈Z)内有一个零点x0,则n=　　　　　.若用二分法求x0的近似值(精确度0.01),则至少需要将区间等分　　　　　次.
11.求方程3x+=0的近似解(精确度0.1).
12.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值:
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
13.某公司生产A种型号的电脑,2020年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2021年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2024年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2020年的80%,实现了纯利润50%.
(1)求2024年每台A种型号电脑的生产成本;
(2)以2020年的生产成本为基数,用二分法求2020~2024年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).
创新练
14.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明.
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,3)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3);若没有零点,请说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
第1 课时 参考答案
1.A
2.B　由f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0得2x=2,解得x=1.
3.ABD　由于y=()x在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=()x-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数,当0f(b)>f(c),又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0,所以①当f(a),f(b),f(c)都为负值时,则a,b,c都大于d,②当f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0时,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c不可能成立.
4.C　由列表可知f(-1)=g(-1)+1-3=0.37-2=-1.63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2,f(1)=-1.28,f(2)=2.39,f(3)=14.39,∵f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).
5.C　当0≤x≤2时,f(x)=x2,此时f(x)单调递增,
当x>2时,f(x)=x+1,此时f(x)单调递减,
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于y轴对称,作出函数f(x)的图象如右.
因为函数y=f(x)-m有且仅有4个零点,所以函数y=f(x)与y=m的图象有4个交点,根据图象可知16.1　因为f(x)=ln(2x)-=ln x-+ln 2定义域为(0,+∞),且y=ln x与y=-均在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4->ln e-=1-,所以f(1)f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上存在唯一零点,所以k=1.
7.3　当x<0时,由f(x)=0,得x=-4,当x≥0时,由f(x)=0,得x=4或x=0.
故函数共有3个零点.
8.C　
∵α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.
又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
9.B　令f(x)=ex-x-2,在定义域R上为连续函数,又f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,所以方程ex-x-2=0的一个实根必在(1,2),所以k=2.故选B.
10.-1　(0,1)　由方程f(x0)=-1得解得x0=-1,关于x的方程f(x)=k有两个不同零点等价于y=f(x)的图象与y=k有两个不同的交点,观察图象可知,当011.解由f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),故函数f(x)为周期为2的周期函数.∵函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,∴f(x)-a|x|=0在(-∞,0)上有四个解,即f(x)的图象与直线y=a|x|在(-∞,0)上有4个公共点.又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,∴当直线y=-ax与y=-(x+4)2+1相切时,即可在(-∞,0)上有4个公共点,
∴x2+(8-a)x+15=0.∴Δ=(8-a)2-60=0.
∵a>0,∴a=8-2.
1.2 参考答案
1.B　因为函数f(x)=x-2+lg x为增函数且在区间(1,3)内连续,又f<0,f(2)>0,所以方程x-2+lg x=0的近似解所在的区间为,2.故选B.
2.ACD　f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,f(2)=0,当x<2时,f(x)>0,当x>2时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
3.C　易知方程x2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4.
4.AB　由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f(2.5)≈-0.084,f(2.562 5)≈0.066可知方程ln x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.562 5)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.
5.2.875　由二分法的求解过程知,下一个f(m)为f()=f(2.875),所以m=2.875.
6.1　记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
7.6　第1次取中点把焊点数减半为=32,第2次取中点把焊点数减半为=16,第3次取中点把焊点数减半为=8,第4次取中点把焊点数减半为=4,第5次取中点把焊点数减半为=2,第6次取中点把焊点数减半为=1,所以至多需要检测的次数是6.
8.解 ∵f(1)=1-3=-2<0,f(2)=23-3=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -2 2 5 1
2 1 -2 1.5 0.375 0.5
3 1.25 -1.046 9 1.5 0.375 0.25
4 1.375 -0.400 4 1.5 0.375 0.125
5 1.437 5 -0.029 5 1.5 0.375 0.062 5
从表中可知|1.5-1.437 5|=0.062 5<0.1,
∴函数y=x3-3精确度为0.1的零点,可取1.44.
9.ABD　由二分法的步骤可知①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;④零点在(1,)内,则有f(1)·f()<0,则f(1)>0,f()<0,则取中点;⑤零点在()内,则有f()·f()<0,则f()>0,f()<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f(),故选ABD.
10.1　7　∵f(x)=-ln x在(0,+∞)内为减函数,又f(1)=1>0,f(2)=-ln 2<0,∴f(x)的零点x0∈(1,2),故n=1.设至少需等分m次,则()m≤0.01且m∈N+,解得m≥7,故至少需等分7次.
11.解原方程可化为3x-+1=0,即3x=-1.令g(x)=3x,h(x)=-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=-1的简图.g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一个交点,∴原方程只有一个解x=x0.令f(x)=3x+=3x-+1,∵f(0)=1-1+1=1>0,f(-0.5)=-2+1=<0,∴x0∈(-0.5,0).用二分法逐次计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 -0.5 -0.422 6 0 1.000 0 0.5
2 -0.5 -0.422 6 -0.25 0.426 5 0.25
3 -0.5 -0.422 6 -0.375 0.062 3 0.125
4 -0.437 5 -0.159 4 -0.375 0.062 3 0.062 5
∵|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1,
∴原方程的近似解可取为-0.437 5.
12.解(1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -1.000 0 2 3.000 0 1
2 1 -1.000 0 1.5 0.828 4 0.5
3 1.25 -0.121 6 1.5 0.828 4 0.25
4 1.25 -0.121 6 1.375 0.343 7 0.125
5 1.25 -0.121 6 1.312 5 0.108 7 0.062 5
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数的零点近似值可取1.312 5,
即方程2x+2x=5的近似解为1.312 5.
13.解(1)设2024年每台A种型号电脑的生产成本为p元,根据题意,得(1+50%)p=5 000×(1+20%)×80%,解得p=3 200.故2024年每台A种型号电脑的生产成本为3 200元.
(2)设2020~2024年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0令f(x)=5 000(1-x)4-3 200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 0 1 800 1 -3 200 1
2 0 1 800 0.5 -2 887.5 0.5
3 0 1 800 0.25 -1 617.968 8 0.25
4 0 1 800 0.125 -269.091 8 0.125
5 0.062 5 662.381 0 0.125 -269.091 8 0.062 5
6 0.093 75 172.578 6 0.125 -269.091 8 0.031 25
7 0.093 75 172.578 6 0.109 375 -54.066 6 0.015 625
8 0.101 562 5 57.778 0 0.109 375 -54.066 6 0.007 813
所以原方程的近似解可取0.102 5.
故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%.
14.解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)内是增函数.
理由如下:令0≤x1(2)g(x)=+log2x-2是增函数.∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(3)=+log23-2>0,g(2)=+log22-2=-1>0,∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数的零点在(1.5,1.75)内.∵1.75-1.5=0.25<0.3,∴g(x)零点的近似值为1.6.(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以)