7.2 古典概率 同步练习（含解析） 高一年级数学北师大版必修第一册

2 古典概率
2.1　古典概型的概率计算公式　2.2　古典概型的应用
第1课时　古典概型的概率计算公式及其应用
基础练
1.(多选题)下列试验是古典概型的是(　　)
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B.同时掷两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
2.从一副52张的扑克牌中任抽一张,“抽到K或Q”的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(2025北京房山期末)掷一个骰子,观察朝上的面的点数,设事件M=“点数为奇数”,事件N=“点数为3的整数倍”,若P(M),P(N)分别表示事件M,N发生的概率,则(　　)
A.P(M)=,P(N)=
B.P(M)=,P(N)=
C.P(M)=P(N)=
D.P(M)=P(N)=
5.甲、乙、丙三人踢毽子,从甲开始,每个人都可以随意的踢给另外两人,则经过四次后又回到甲的概率为　　　　　.
6.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为　　　　.
7.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为　　　　　.
8.某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数;
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析,求抽取的2名教师均为初级教师的概率.
9.某教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.
(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;
(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.
提升练
10.(2025广东佛山期末)一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球,n个绿球,现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为,则n的值为(　　)
A.4 B.5 C.12 D.15
11.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A. B. C. D.
12.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为　　　　　.
13.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
14.某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.
创新练
15.在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有4个小球,小球上分别写有0,1,2,3的数字,小球除数字外其他完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于4,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于1,则奖励饮料一瓶.
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大 请说明理由.
16.从某商场随机抽取了2 000件商品,按商品价格(单位:元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在[800,1 000),[1 000,1 200),[1 200,1 400]对应的小矩形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=3S2=6S3.
(1)按分层随机抽样从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率.
(2)在节日期间,该商场制定了两种不同的促销方案
方案一:全场商品打八折;
方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案 为什么 (同一组中的数据用该组区间中点值作代表)
商品价格 [200,400) [400,600) [600,800) [800,1 000) [1 000,1 200) [1 200,1 400]
优惠/元 30 50 140 160 280 320
第2课时　互斥事件概率的求法
基础练
1.已知随机事件A,B,C中,事件A与事件B互斥,事件B与事件C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=(　　)
A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.8
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,从中取出2粒都是白子的概率为,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为(　　)
A. B. C. D.1
3.某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试,其中23人成绩为A,其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人,若抽得成绩为B的概率是0.4,则抽得成绩为C的概率是(　　)
A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60
4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A.60% B.30% C.10% D.50%
5.(多选题)某饮料公司对一名员工进行测试.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力,则下列结论正确的是(　　)
A.此人被评为优秀的概率为
B.此人被评为良好的概率为
C.此人被评为不合格的概率为
D.此人被评为良好及以上的概率为
6.掷一枚质地均匀的骰子的试验中,出现各点的概率都为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件表示事件B的对立事件)的概率为　　　　　,事件A+发生的概率为　　　　　.
7.某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测,已知抽到一等品或二等品的概率为0.86,抽到二等品或三等品的概率为0.35,则抽到二等品的概率为　　　　　.
8.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位(单位:m)在各个范围内的概率如下表:
年最高水位/m [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率 0.10 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内,河流此处的年最高水位在下列范围内的概率:(1)[10,16)m;(2)[8,12)m;(3)[14,18)m.
9.一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,…,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少
提升练
10.下列四种说法:
①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.
其中错误的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
11.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是 (　　)
A. B. C. D.
12.(2025湖北期中)某站台经过统计发现,一号列车准点到站的概率为,二号列车准点到站的概率为,一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为,记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件A,“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件B,则P(A+B)=　.
13.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(所有的球除颜色外都相同),从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:
(1)3只球颜色全相同的概率;
(2)3只球颜色不全相同的概率.
创新练
14.一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是(　　)
A.0.3 B.0.55 C.0.7 D.0.75
15.从三名擅长速算的选手A1,A2,A3,三名擅长数独的选手B1,B2,B3,两名擅长魔方的选手C1,C2中各选一名组成一支战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C1已确定入选,而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.
(1)求A1被选中的概率;
(2)求A1,B1不全被选中的概率.
第1课时　古典概型的概率计算公式及其应用
参考答案
1.ABD　ABD是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.
2.D　设“抽到K或Q”为事件A,∵基本事件总数为52,事件A包含的基本事件数为8,∴P(A)=.
3.C　从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,这个试验的样本空间Ω={(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)},共10个样本点.用事件A表示“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”,则A={(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫)},共4个样本点.故所求概率P(A)=.
4.B　投掷的点数有1,2,3,4,5,6,对于M,符合条件的有1,3,5,对于N,符合条件的有3,6,故P(M)=,P(N)=,故B正确.故选B.
5.　利用树状图进行列举,如图所示.
共包含16个样本点.又事件“经过四次后又回到甲”包含6个样本点,故所求概率为.
6.　“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个样本点,又“它们的长度恰好相差0.3 m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为.
7.　甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种样本点,其中甲、乙相邻有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种样本点.
所以甲、乙两人相邻而站的概率为.
8.解 (1)由题知应从初级教师中抽取6×=3人,从中级教师中抽取6×=2人,从高级教师中抽取6×=1人.
(2)记3名初级教师分别记为A1,A2,A3,2名中级教师分别记为A4,A5,高级教师记为A6,则从中抽取2名教师的样本空间为Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)},共含有15个样本点.设事件B表示“抽取的2名教师均为初级教师”,则B={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共含有3个样本点,所以P(B)=.
9.解根据题意可知其样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点.
(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的样本点有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2个,所以P(A)=.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.
(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的样本点有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4个,所以P(B)=.
所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为.
10.A　一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球,其中有6个红球,n个绿球,从袋中不放回地依次随机取出2个球,取出的2个球都是红球的概率是,则,解得n=4或n=-15(舍去).故选A.
11.A　甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为.
12.　由题可得,样本空间Ω={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)},共11个样本点,其中使方程x2+mx+n=0有实根的样本点有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7个,故所求事件的概率为P=.
13.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B,“314.解(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.020.
(2)设中位数为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75.
(3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,A包含的样本点个数为4,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4.
15.解 样本空间Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)},共16个样本点.
(1)记“获得飞机玩具”为事件A,则A={(2,3),(3,2),(3,3)},共3个样本点.
故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)=.
(2)记“获得汽车玩具”为事件B,记“获得饮料”为事件C.
则B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},共6个样本点.所以P(B)=.则C={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(2,0),(3,0)},共7个样本点,所以P(C)=.所以P(B)16.解(1)根据频率和为1的性质知0.000 50×200+0.001 00×200+0.001 25×200+S1+S2+S3=1,
又S1=3S2=6S3,得到S1=0.30,S2=0.10,S3=0.05.价格在[200,400)的频率为0.000 50×200=0.10,价格在[1 200,1 400]的频率为S3=0.05.按分层随机抽样的方法从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中抽取6件,则在[200,400)上抽取4件,记为a1,a2,a3,a4,在[1 200,1 400]上抽取2件,记为b1,b2.现从中抽出2件,所有可能情况为a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共计15个样本点,其中符合题意的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2共8个样本点,因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为P=.
(2)对于方案一,优惠的价钱的平均值为(300×0.10+500×0.20+700×0.25+900×0.30+1 100×0.10+1 300×0.05)×20%=150;
对于方案二,优惠的价钱的平均值为30×0.10+50×0.20+140×0.25+160×0.30+280×0.10+320×0.05=140.
因为150>140,所以选择方案一更好.
第2课时　互斥事件概率的求法
参考答案
1.C　因为事件A与事件B互斥,事件B与事件C对立,
所以P(B)=1-P(C)=0.4,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7.
2.C　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与事件B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
3.A　由于成绩为A的有23人,则抽到成绩为A的概率为.故抽到成绩为C的概率为1--0.4=0.14.
4.D　设用事件A表示“甲获胜”,用事件B表示“甲不输”,用事件C表示“甲、乙和棋”,则事件A,C互斥,且B=A∪C,故P(B)=P(A∪C)=P(A)+P(C),即P(C)=P(B)-P(A)=50%.
5.ACD　将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的样本空间Ω={123,124,125,134,135,145,234,235,245,345},共10个样本点.用事件D表示“此人被评为优秀”,用事件E表示“此人被评为良好”,用事件F表示“此人被评为不合格”,用事件G表示“此人被评为良好及以上”.则事件D={123},只有1个样本点,事件E={124,125,134,135,234,235},共6个样本点.故P(D)=,P(E)=,P(F)=1-P(D)-P(E)=,P(G)=P(D)+P(E)=.
6.　由题意知,P(A)=.因为表示“大于或等于5的点数出现”,则P()=.
事件A与事件互斥,由概率的加法计算公式,
可得P(A+)=P(A)+P()=.
7.0.21　设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A,B,C,则
解得P(B)=0.21.故抽到二等品的概率为0.21.
8.解记此河流某处的年最高水位在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)分别为事件A,B,C,D,E.
(1)P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.
(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.10+0.28=0.38.
(3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.
所以年最高水位在[10,16),[8,12),[14,18)m的概率分别为0.82,0.38,0.24.
9.解从9张票中任取2张,有
(1,2),(1,3),…,(1,9),
(2,3),(2,4),…,(2,9),
(3,4),(3,5),…,(3,9),
…
(7,8),(7,9),
(8,9),共计36种取法.
记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数”为事件C,则事件C有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8),共6种取法.所以P(C)=,由对立事件的性质得P(B)=1-P(C)=1-.
10.D　对立事件一定是互斥事件,故①对;
只有A,B为互斥事件时才有P(A+B)=P(A)+P(B),故②错;因为A,B,C并不一定是随机试验中的全部样本点,故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1,故③错;
若A,B不互斥,尽管P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件,故④错.
11.A　∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},
用样本空间Ω={(0,-1),(0,1),(0,3),(0,5),(1,-1),(1,1),(1,3),(1,5),(2,-1),(2,1),(2,3),(2,5)},共含有12个样本点.
函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增,
①当a=0时,f(x)=-2bx,符合条件的只有(0,-1),即a=0,b=-1;
②当a≠0时,需要满足≤1,符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4个样本点.
故函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是P=.
12.　记“一号列车准点到站”为事件M,“二号列车准点到站”为事件N,则P(M)=,P(N)=,P(M+)=,
由P(M+)=P(M)+P()-P(M),故P(M)=,则P(M)=P(MN)+P(M),则P(MN)=,故P(A∪B)=P(MN)=P(M)+P(N)=+P(N),而P(N)=P(MN)+P(N),即+P(N),故P(N)=,则P(A+B)=+P(N)=.
13.解(1)3只球颜色全相同包括3只球全是红球(记为事件A),3只球全是黄球(记为事件B),3只球全是白球(记为事件C),且它们彼此互斥,故3只球颜色全相同这个事件可记为A+B+C.又P(A)=P(B)=P(C)=,故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=.
(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只球颜色全相同”.又P()=P(A+B+C)=,所以P(D)=1-P()=1-,故3只球颜色不全相同的概率为.
14.D　因为从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,所以摸出黑球的概率是1-(0.45+0.25)=0.3.因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件,所以摸出黑球或红球的概率P=0.3+0.45=0.75,故选D.
15.解(1)一切可能的结果组成集合Ω={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)},共9个样本点.由题知每一个样本点被抽取的机会均等,用M表示“A1被选中”,则M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1)},因而P(M)=.
(2)用N表示“A1,B1不全被选中”这一事件,则其对立事件表示“A1,B1全被选中”,由于={(A1,B1,C1)},
∴P()=,从而P(N)=1-P()=.