专题课:波的图像和振动图像综合应用
例1 (1) s(n=0,1,2,3,…) (8n+2) m(n=0,1,2,3,…) (2) s(n=0,1,2,3,…) (8n+6) m(n=0,1,2,3,…)
[解析] 由波的图像可以看出,波长为λ=8 m,波的周期为T== s=0.5 s.
(1)若波向右传播,从波的图像上看,t2时刻的虚线波形在t1时刻的实线波形的右侧波长处,再考虑到波传播的周期性,所以时间间隔为Δt右=t2-t1=T= s(n=0,1,2,3,…),波传播的距离为Δx右=vΔt右=16× m=(8n+2) m(n=0,1,2,3,…).
(2)若波向左传播,从波的图像上看,t2时刻的虚线波形在t1时刻的实线波形的左侧波长处,再考虑到波传播的周期性,所以时间间隔为Δt左=t2-t1=T= s(n=0,1,2,3,…),波传播的距离为Δx左=vΔt左=16× m=(8n+6) m(n=0,1,2,3,…).
例2 CD [解析] 根据“同侧法”可知,t=0时刻,质点M运动方向沿y轴负方向,选项A错误;由图可知nT+=0.5 s,则T= s(n=0,1,2,3,…),当n=0时可得最大周期为Tmax=2 s,则该简谐波的最小频率为0.5 Hz,选项B错误;该简谐波的最小传播速度为vmin== m/s=4 m/s,选项C正确;若n=1,则T=0.4 s,则当t=0.8 s时,质点M位移为0,选项D正确.
例3 AC [解析] 根据y t图像可知,a、b两质点的距离为nλ+λ或nλ+λ,即nλ+λ=9 m或nλ+λ=9 m(n=0,1,2,3,…),解得波长λ= m或λ= m,即该波的波长λ=36 m、7.2 m、4 m、…或λ=12 m、 m、 m、…,图中选项A、B、C、D的波长分别为4 m、8 m、12 m、16 m,故选项A、C正确,选项B、D错误.
例4 (1)18 cm/s 沿x轴负方向传播 (2)9 cm
[解析] (1)由图甲可以看出,该波的波长为λ=36 cm
由图乙可以看出,周期为T=2 s
则波速为v==18 cm/s
由图乙知,当t= s时,Q点向上运动,结合图甲可得,波沿x轴负方向传播
(2)设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ.由图甲知,x=0处y=-=Asin (-30°),因此xP=λ=3 cm
由图乙知,在t=0时Q点处于平衡位置,经Δt= s,其振动状态向x轴负方向传播至P点处,有xQ-xP=vΔt=6 cm
则质点Q的平衡位置的x坐标为xQ=9 cm
例5 BD [解析] 由图可知,振幅、波长和周期分别为A=4 cm,λ=4 m ,T=2 s,波速为v==2 m/s,A错误,B正确;质点P在t=0时刻向上振动,根据“上下坡”法,可知该波的传播方向沿x轴负方向,C错误;t=1 s时质点P回到平衡位置向下运动,D正确.
例6 C [解析] 由于A点为波源,所以波的传播方向向右,由同侧法可知,此时B点的振动方向应与传播方向都在波形的同侧,即竖直向上,故A错误;由于2 s时AE间第一次形成如图丙所示的波形,所以波传播到E点用的时间为T,即T=2 s,解得T=0.8 s,故f==1.25 Hz,故B错误;由于B、D两点的间隔为1个波长,由周期性可知这两点运动状态始终相同,故C正确;由公式可得v== m/s=2.5 m/s,故D错误.
随堂巩固
1.BD [解析] 图甲所反映的时刻A质点正处于平衡位置,由A质点的振动图像(图乙)可知,A质点在 t=0 时刻正处于正向最大位移处,A错误;在C指示的时刻,A质点正向平衡位置运动,C错误;由A质点的振动图像可知,B、D正确.
2.BC [解析] 机械波沿x轴负方向传播,由“上下坡”法可知,t=0时刻,质点P向y轴负方向运动,故A错误;由图可知,该波的波长为4 m,故B正确;时间间隔Δt=T(n=0,1,2,3,…),n=0时T=0.8 s,v==5 m/s,故C正确;0~0.6 s时间内,质点P运动的路程最小为0.6 m,故D错误.
3.BD [解析] 若波由A向B传播,设其波长为λ1,则xAB=nλ1+λ1=14 m(n=0,1,2,…),根据题意知=6 s,解得T=4 s,由v=可知,v= m/s(n=0,1,2,…);若波由B向A传播,设其波长为λ2,则xAB=nλ2+λ2=14 m(n=0,1,2,…),由v=可知,v= m/s(n=0,1,2,…);将选项中的速度值代入两个速度表达式可知,A、C错误,B、D正确.专题课:波的图像和振动图像综合应用
1.AB [解析] 某时刻b点到达波峰位置,而a点正处于平衡位置且向上运动,则a、b间距满足nλ+λ=4.2 m,因为波长大于2 m,则当n=0时,λ1=5.6 m,周期T1== s=0.28 s,当n=1时,λ2=2.4 m,周期T2== s=0.12 s,故A、B正确.
2.BC [解析] 由图可知,该机械波的波长为λ=4 m,若波向左传播,它传播的距离可表示为Δx=λ+nλ=3+4n(n=0,1,2,…),由此可知,若波向左传播,它传播的距离可能为3 m、7 m、11 m、15 m、…,不可能为1 m,A错误,B正确;若波向右传播,传播的时间可以表示为Δt=T+nT=0.2 s(n=0,1,2,…),整理得T= s(n=0,1,2,…),若波向右传播,它的周期可能是0.8 s、0.16 s、…,不可能是1.6 s,C正确,D错误.
3.BD [解析] 由振动图像可知,质点振动周期T=4 s,在t=0时刻,a点位于波谷,b点经过平衡位置向上运动,结合波形得2 m=λ,解得λ= m(n=0,1,2,…),则波速v== m/s(n=0,1,2,…),当n=0时,波长λ= m,波速v= m/s;当n=1时,波长λ= m,波速v= m/s;当n=2时,波长λ= m,波速v= m/s;当n=10时,波长λ= m,波速v= m/s,故B、D正确.
4.C [解析] 图乙为平衡位置在x=1.5 m处的质点P的振动图像,则在t=2 s时,振动方向为y轴负方向,则图甲中,根据质点振动方向和传播方向在图像同一侧可知波的传播方向沿x轴负向,故A错误;由图甲可知,机械波的波长为λ=2 m;图乙可知振动周期为T=4 s,则波速为v== m/s=0.5 m/s,故B错误;由图乙可知,在t=4 s时P向y轴正方向运动,故C正确;由图乙可知,在t=7 s时,P在y轴负方向最大位置,故D错误.
5.AD [解析] 从图甲中可以知道,该简谐横波的波长为4 m,A正确;图乙中0时刻质点正从平衡位置向负方向振动,根据同侧法,波向x轴正方向传播,图甲中0时刻质点M正从平衡位置向y轴正方向振动,图乙不可能是图甲中质点M的振动图像,B错误;根据同侧法,0时刻质点Q正向y轴正方向振动,到最大位移处再回到平衡位置,而P已经在最大位移处了,故P质点先回到平衡位置,C错误;从图乙中可以知道,该波的周期为1 s,0~1 s时,质点P运动的路程为4A=0.8 cm,D正确.
6.CD [解析] 由图乙可知,在t=时刻,质点正处于平衡位置沿y轴负方向振动,而从图甲可知,质点Q在t=时正处于平衡位置沿y轴正方向运动,平衡位置在坐标原点处的质点正处于平衡位置沿y轴负方向振动,故A错误,D正确.由t=的波形图推知在t=0时刻,质点P位于波谷,速率为零,加速度最大,离开平衡位置的距离最大;质点Q位于平衡位置,速率最大,加速度为零,离开平衡位置的距离为零,故B错误,C正确.
7.BC [解析] 根据图乙可知,周期T=0.2 s,在t=0时质点P在平衡位置向y轴正方向振动,所以波沿x轴正方向传播,经过0.05 s,即经过T,质点P到达波峰处,质点Q到达平衡位置处,质点Q与平衡位置的距离小于质点P与平衡位置的距离,根据a=-可知,质点Q的加速度小于质点P的加速度,A错误,B正确;该波的波速v== m/s=20 m/s,经过0.15 s,波沿x轴的正方向传播了x=vt=3 m,C正确;经过0.1 s,即经过,质点Q运动到负向最大位移处,速度为零,D错误.
8.AC [解析] 由图可知,波长λ=6 m,若波向右传播则有3 s=T1(n=0,1,2,…),T1= s(n=0,1,2,…),当n=0时,周期最大为4 s,波速v==(2n+1.5) m/s(n=0,1,2,…),n=0时速度有最小值1.5 m/s;若波向左传播则有3 s=T2(n=0,1,2,…),T2= s(n=0,1,2,…),波速v==(2n+0.5) m/s(n=0,1,2,…),当n=4时,v=8.5 m/s,当n=0时,速度有最小值0.5 m/s,故选A、C.
9.6 2 负方向
[解析] 由题图可知波长为λ=6 m;该波的周期满足T=0.5 s,n=0,1,2,…,解得T=,n=0,1,2,…,由题意可知T>0.5 s,则n=0,T=3 s,由v=,解得v=2 m/s;经过t1==7 s,波传播到P点,则在t=22 s时P点的振动时间t2= s=13 s=4T,此时P点的振动方向沿y轴负方向.
10.(1)沿y轴负方向 (2)50 m/s
[解析] (1)由图可知,在t=0.2 s时刻质点P经过平衡位置向y轴负方向运动,则振动方向沿y轴负方向
(2)由图可知,该波的周期为0.4 s.简谐横波沿x轴正方向传播,质点P比质点Q先起振,波从P传到Q.比较甲、乙两图可知,二者振动的步调相反,则它们之间的距离为半波长的奇数倍,则有
d=λ(n=0,1,2,…)
当n=0时,该波的波长最大,为
λm=2d=2×10 m=20 m
此时波速最大,最大波速为
v== m/s=50 m/s
11.(1)向右传播 (2)12.5 Hz (3)75 m/s
[解析] (1)在t=0时刻,x=1.5 m处的质点向y轴正方向运动,则该波向右传播
(2)由波形图可知nT+T=0.06 s
解得T= s (n=0,1,2,3,…)
当n=0时,周期最大,最大周期Tm=0.08 s,则最小频率fm==12.5 Hz
(3)若3T0.06 s=(3+)T,解得T= s
由图像可知,波长为λ=1.2 m,则波速为
v==×15 m/s=75 m/s专题课:波的图像和振动图像综合应用
学习任务一 机械波的多解问题
[科学思维] 波的多解的情况
多解因素 波的多解
周期性 因素 波的时间的周期性 机械波在介质中传播的过程,t时刻与t+nT(n=1,2,…)时刻的波形完全重合,即同一波形图可能是不同时刻形成的
波的空间的周期性 将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍的距离,平移后的波形与原波形完全重合,这就是波的空间周期性
双向性 因素 波的传播方向的双向性 在中学阶段,一般只限于讨论机械波沿一直线传播的简单情形,凡是没有指明机械波沿哪个方向传播,就要讨论两个方向的可能性
质点的振动方向的双向性 在波动问题中,若某质点在某时刻处于最大位移处,则有处于负向最大位移处与正向最大位移处两种可能;若质点从平衡位置开始振动,则可能是沿y轴正方向或负方向两个方向振动
例1 一列简谐横波沿x轴传播,如图所示的实线和虚线分别为t1和t2(t2>t1)两个时刻的波的图像,已知波速为16 m/s.
(1)若波是向右传播的,则时间间隔t2-t1是多少 波传播的距离为多少
(2)若波是向左传播的,则时间间隔t2-t1是多少 波传播的距离为多少
例2 (多选)如图所示,一列简谐横波沿x轴负方向传播,实线为t=0时刻的波形图,虚线为t=0.5 s时刻的波形图,M是x=4 m处的质点.则下列说法正确的是 ( )
A.t=0时刻,质点M运动方向沿y轴正方向
B.该简谐波的最小频率为2 Hz
C.该简谐波的最小传播速度为4 m/s
D.t=0.8 s时,质点M位移可能为0
[反思感悟]
例3 (多选)[2024·河南濮阳油田一中月考] 一列简谐横波沿直线传播,该直线上平衡位置相距9 m的a、b两质点的振动图像如图所示.该波的图像可能正确的是图中的 ( )
[反思感悟]
【要点总结】
确定一段时间Δt内波传播的距离Δs的方法——从特殊到一般的方法
(1)从空间上确定
①沿波的传播方向,将前一时刻的波形平移最小距离smin与后一时刻的波形重合;
②考虑到波传播在空间上的周期性,则两个时刻对应时间Δt内波传播的距离为Δs=smin+nλ,n=0,1,2,….
(2)从时间上确定
①任意质点从前一时刻沿振动方向振动最少时间tmin到后一时刻的振动状态;
②考虑到振动的周期性,则Δt=tmin+nT,n=0,1,2,….波传播的距离Δs=·λ+nλ,n=0,1,2,….
学习任务二 波的图像和振动图像的综合应用
[科学思维]
振动图像 波动图像
图像
物理 意义 表示某质点各个 时刻的位移 表示某时刻各 质点的位移
图像 信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)各时刻质点的位移 (4)各时刻质点的速度、加速度方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
图像 变化 随着时间推移,图像延续,但已有形状不变 随着时间推移,图像沿传播方向平移
形象 比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片
例4 [2024·河北唐县一中高二月考] 一列简谐横波在t= s时的波形图如图甲所示,P、Q是介质中的两个质点.图乙是质点Q的振动图像.求:
(1)波速及波的传播方向;
(2)质点Q的平衡位置的x坐标.
例5 (多选)一列简谐横波在t=0时刻的波形图如图甲所示,P是介质中的一个质点,图乙是质点P的振动图像.下列说法正确的是 ( )
A.该波的振幅为8 cm
B.该波的波速为2 m/s
C.该波的传播方向沿x轴正方向
D.t=1 s时质点P沿y轴负方向运动
[反思感悟]
例6 一根柔软轻绳水平静止,A、B、C、D、E为绳上标记的5个点,彼此间隔1米排成一条直线,如图甲所示.现使标记点A在竖直方向上做简谐运动,运动图像如图乙所示,2 s时A、E间第一次形成如图丙所示的波形,由此可判断 ( )
A.此时B点的振动方向向下
B.A点振动频率为1 Hz
C.此后B、D两点运动状态始终相同
D.绳上波的传播速度为2 m/s
[反思感悟]
【要点总结】
求解波的图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法.
(1)分清振动图像与波的图像.此步骤最简单,只要看清横坐标即可,横坐标为x则为波的图像,横坐标为t则为振动图像.
(2)看清横、纵坐标的单位.尤其要注意单位前的数量级.
(3)找准波的图像对应的时刻.
(4)找准振动图像对应的质点.
1.(波的图像和振动图像的综合应用)(多选)如图所示,若图乙是图甲中A质点的振动图像,则 ( )
A.在图乙中t=0时刻,A质点在平衡位置
B.在图乙中B指示的时刻,A质点的加速度为零
C.在图乙中C指示的时刻,A质点正远离平衡位置
D.在图乙中C指示的时刻,A质点的加速度方向向着平衡位置
2.(机械波的多解问题)(多选)[2024·黑龙江大庆二中高二期末] 一列沿x轴负方向传播的机械波,其图像如图所示,实线是t=0时刻的波形,此时质点P位于平衡位置.虚线是t=0.6 s时刻的波形,此时质点P位于波峰位置.下列说法正确的是 ( )
A.t=0时刻,质点P向y轴正方向运动
B.该波的波长为4 m
C.该波的波速可能为5 m/s
D.0~0.6 s时间内,质点P运动的路程可能为0.2 m
3.(机械波的多解问题)(多选)如图所示,A、B是同一介质在同一直线上的两点,相距14 m.现有一波源发出的一列横波经过A、B两点,某时刻发现A点恰经过平衡位置向下振动时,B点恰好达到波峰位置,并测得再经过6 s时B点恰好在波谷,且6 s内B点出现在波谷两次(包括6 s时),则这列波的波速可能值为 ( )
A.2.5 m/s
B.2.0 m/s
C.1.0 m/s
D. m/s专题课:波的图像和振动图像综合应用(时间:40分钟 总分:76分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)
◆ 知识点一 机械波的多解问题
1.(多选)[2024·海南海口一中高二月考] 如图所示,一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点相距4.2 m,b点在a点的右方,一列简谐波沿水平绳向右传播,波速为20 m/s,波长大于2 m.某时刻b点到达波峰位置,而a点正处于平衡位置且向上运动,则这列波的周期可能是 ( )
A.0.12 s
B.0.28 s
C.0.168 s
D.0.84 s
2.(多选)[2024·广东广州六中高二月考] 如图是某横波的波形图,实线表示某时刻的波形,虚线表示0.2 s后的波形图,则下列说法中正确的是 ( )
A.若波向左传播,它传播的距离可能是1 m
B.若波向左传播,它传播的距离可能是3 m
C.若波向右传播,它的周期可能是0.8 s
D.若波向右传播,它的周期可能是1.6 s
3.(多选)如图甲所示,一列机械波沿直线ab向右传播,ab=2 m,a、b两点的振动情况如图乙所示,下列说法中正确的是 ( )
A.波速可能是 m/s B.波长可能是 m
C.波速可能是 m/s D.波速可能是 m/s
◆ 知识点二 波的图像与振动图像的综合应用
4.[2025·山东济宁一中高二月考] 图甲为一列波在t=2 s时的波形图,图乙为介质中平衡位置在x=1.5 m处的质点P的振动图像,下列说法正确的是 ( )
A.波沿x轴正向传播
B.波在介质中的传播速度为2 m/s
C.t=4 s时,P向y轴正方向运动
D.t=7 s时,P恰好回到平衡位置
5.(多选)图甲为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的波形图,图乙为参与波动的某一质点的振动图像,下列说法正确的是 ( )
A.该简谐横波的波长为4 m
B.图乙可能是图甲中质点M的振动图像
C.从此刻起,质点Q比P先回到平衡位置
D.0~1 s内,质点P运动的路程为0.8 cm
6.(多选)[2025·天津河北区期末] 一简谐横波沿x轴正方向传播,在t=时刻,该波的波形图如图甲所示,P、Q是介质中的两个质点.图乙表示介质中某质点的振动图像.下列说法正确的是 ( )
A.质点Q的振动图像与图乙相同
B.在t=0时刻,质点P的速率比质点Q的大
C.在t=0时刻,质点P的加速度的大小比质点Q的大
D.平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图乙所示
7.(多选)[2024·甘肃天水一中高二开学考] 图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图,图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图像,从该时刻起,下列说法正确的是 ( )
A.经过0.05 s,质点Q与平衡位置的距离大于质点P与平衡位置的距离
B.经过0.25 s,质点Q的加速度小于质点P的加速度
C.经过0.15 s,波沿x轴的正方向传播了3 m
D.经过0.1 s,质点Q的速度最大
8.(多选)一列横波沿直线传播,在波的传播方向上有A、B两点,在t时刻A、B两点间形成的波形如实线所示,在(t+3 s)时刻A、B两点间形成的波形如虚线所示,已知A、B两点间距离s=9 m,则 ( )
A.若周期为4 s,波一定向右传播
B.若周期大于4 s,波可能向右传播
C.若波速为8.5 m/s,波一定向左传播
D.该波波速可能的最小值为1 m/s
9.(3分)[2024·福州二中高二期中] 如图所示,一列简谐横波沿x轴正方向传播,实线为t=2 s时的波形图,虚线为t=2.5 s时的波形图.已知该简谐波的周期大于0.5 s.关于该简谐波,则该波的波长为 m,该波的波速为 m/s;横坐标x=20 m处的质点P(图中未画出)在t=22 s时的振动方向沿y轴 (选填“正方向”或“负方向”).
10.(11分)一简谐横波沿x轴正方向传播,依次经过x轴上相距d=10 m的两质点P和Q,它们的振动图像分别如图甲和乙所示,求:
(1)(5分)t=0.2 s时质点P的振动方向;
(2)(6分)这列波的最大传播速度.
11.(16分)[2024·湖南沅陵一中高二期末] 如图所示,实线和虚线分别是沿x轴传播的一列简谐横波在t=0和t=0.06 s时刻的波形图.已知在t=0时刻,x=1.5 m处的质点向y轴正方向运动.
(1)(4分)判断该波的传播方向;
(2)(6分)求该波的最小频率;
(3)(6分)若3T专题课:波的图像和振动图像综合应用
学习任务一 机械波的多解问题
学习任务二 波的图像和振动图像的综合应用
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 机械波的多解问题
［科学思维］
波的多解的情况
多解因素 波的多解
周期 性因 素 波的时间 的周期性
波的空间 的周期性 将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍的距离,平移
后的波形与原波形完全重合,这就是波的空间周期性
多解因素 波的多解
双向 性因 素 波的传播 方向的双 向性 在中学阶段,一般只限于讨论机械波沿一直线传播的简单情
形,凡是没有指明机械波沿哪个方向传播,就要讨论两个方向
的可能性
质点的振 动方向的 双向性
续表
例1 一列简谐横波沿轴传播,如图所示的实线和虚线分别为和 两个
时刻的波的图像,已知波速为 .
(1) 若波是向右传播的,则时间间隔 是多少 波传播的距离为多少
[答案]
[解析] 由波的图像可以看出,波长为, 波的周期为 .
若波向右传播,从波的图像上看,时刻的虚线波形在 时刻的实线波形的
右侧 波长处,再考虑到波传播的周期性,所以时间间隔为
,
波传播的距离为
.
例1 一列简谐横波沿轴传播,如图所示的实线和虚线分别为和 两个
时刻的波的图像,已知波速为 .
(2) 若波是向左传播的,则时间间隔 是多少 波传播的距离为多少
[答案]
[解析] 若波向左传播,从波的图像上看,时刻的虚线波形在时刻的实线波形的
左侧 波长处,再考虑到波传播的周期性,所以时间间隔为
, 波传播的距离为
.
例2 (多选)如图所示,一列简谐横波沿轴负方向传播,实线为 时刻的波形图,
虚线为时刻的波形图,是 处的质点.则下列说法正确的是
( )
A.时刻,质点运动方向沿 轴正方向
B.该简谐波的最小频率为
C.该简谐波的最小传播速度为
D.时,质点 位移可能为0
√
√
[解析] 根据“同侧法”可知,时刻,质点运动方向沿 轴负方向,选项A错误;由
图可知,则,当 时可得最大周期为
,则该简谐波的最小频率为 ,选项B错误;该简谐波的最小传播速
度为,选项C正确;若,则,则当
时,质点 位移为0,选项D正确.
例3 (多选)［2024·河南濮阳油田一中月考］ 一列简谐横波沿直线传播，该直线
上平衡位置相距的、 两质点的振动图像如图所示.该波的图像可能正确的
是图中的( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 根据图像可知，、两质点的距离为 或 ，即
或，解得波长 或
，即该波的波长、、、…或、 、
、 ，图中选项A、B、C、D的波长分别为、、、 ，故
选项A、C正确，选项B、D错误.
A. B.
C. D.
【要点总结】
确定一段时间内波传播的距离 的方法——从特殊到一般的方法
(1)从空间上确定
①沿波的传播方向,将前一时刻的波形平移最小距离 与后一时刻的波形重合；
②考虑到波传播在空间上的周期性,则两个时刻对应时间 内波传播的距离为
,,1,2, .
(2)从时间上确定
①任意质点从前一时刻沿振动方向振动最少时间 到后一时刻的振动状态；
②考虑到振动的周期性,则,,1,2, .波传播的距离
,,1,2, .
学习任务二 波的图像和振动图像的综合应用
［科学思维］
振动图像 波动图像
图像 _______________________________________________ _________________________________________________
物理意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
振动图像 波动图像
图像信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)各时刻质点的位移 (4)各时刻质点的速度、加速度方 向 (1)波长、振幅
(2)任意一质点在该时刻的位移
(3)任意一质点在该时刻加速度方
向
(4)传播方向、振动方向的互判
图像变化 随着时间推移,图像延续,但已有 形状不变 随着时间推移,图像沿传播方向平
移
形象比喻 记录着一个人一段时间内活动的 录像带 记录着许多人某时刻动作、表情
的集体照片
续表
例4 ［2024·河北唐县一中高二月考］ 一列简谐横波在 时的波形图如图
甲所示，、是介质中的两个质点.图乙是质点 的振动图像.求：
(1) 波速及波的传播方向；
[答案] ; 沿 轴负方向传播
[解析] 由图甲可以看出，该波的波长为
由图乙可以看出，周期为
则波速为
由图乙知，当时，点向上运动，结合图甲可得，波沿 轴负方向传播
(2) 质点的平衡位置的 坐标.
[答案]
例4 ［2024·河北唐县一中高二月考］ 一列简谐横波在 时的波形图如图
甲所示，、是介质中的两个质点.图乙是质点 的振动图像.求：
[解析] 设质点、平衡位置的坐标分别为、.由图甲知， 处
，因此
由图乙知，在时点处于平衡位置，经，其振动状态向 轴负方向
传播至点处，有
则质点的平衡位置的坐标为
例5 (多选)一列简谐横波在时刻的波形图如图甲所示, 是介质中的一个质
点,图乙是质点 的振动图像.下列说法正确的是( )
A.该波的振幅为 B.该波的波速为
C.该波的传播方向沿轴正方向 D.时质点沿 轴负方向运动
√
√
[解析] 由图可知,振幅、波长和周期分别为, , ,波速为
,A错误,B正确;质点在 时刻向上振动,根据“上下坡”法,可知该
波的传播方向沿轴负方向,C错误;时质点 回到平衡位置向下运动,D正确.
例6 一根柔软轻绳水平静止，、、、、 为绳上标记的5个点，彼此间隔1
米排成一条直线，如图甲所示.现使标记点 在竖直方向上做简谐运动，运动图
像如图乙所示，时、 间第一次形成如图丙所示的波形，由此可判断( )
A.此时点的振动方向向下 B.点振动频率为
C.此后、两点运动状态始终相同 D.绳上波的传播速度为
√
[解析] 由于点为波源，所以波的传播方向向右，由同侧法可知，此时 点的振
动方向应与传播方向都在波形的同侧，即竖直向上，故A错误；由于时 间
第一次形成如图丙所示的波形，所以波传播到点用的时间为，即 ，
解得，故，故B错误；由于、 两点的间隔为1个波长，
由周期性可知这两点运动状态始终相同，故C正确；由公式可得
，故D错误.
【要点总结】
求解波的图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法.
(1)分清振动图像与波的图像.此步骤最简单,只要看清横坐标即可,横坐标为 则为
波的图像,横坐标为 则为振动图像.
(2)看清横、纵坐标的单位.尤其要注意单位前的数量级.
(3)找准波的图像对应的时刻.
(4)找准振动图像对应的质点.
1.(多选)［2024·南平一中月考］ 一列简谐横波沿轴正方向传播， 时刻的
波形如图中实线所示， 时刻的波形如图中的虚线所示.波源不在坐标原
点，是传播介质中离坐标原点 处的一个质点.则以下说法正确的是
( )
A.波的频率可能为
B.波的传播速度可能为
C.质点的振幅为
D.在时刻与相距处的质点也一定沿
轴正方向振动
√
√
[解析] 依题意，波沿轴正方向传播，则 ，周期为
，频率为 ，所以波
的频率可能为，故A正确；由图可得该波波长 ，则波速
为 ，波的传播速度可能为
、 ，故B错误；由题
图可知振幅 ，故C正确；从图中可知
时，质点向上振动，与相距 的质点
与质点相距个波长，若该质点在 点左侧，它
正在向下振动，若该质点在 点右侧，它正在向上振动，故D错误.
2.(多选)一列简谐横波沿轴正方向传播，
时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚
好传到点， 时刻的波形图如图中
的虚线所示，、、、、 是介质中的
质点.下列说法正确的是( )
A.这列波的波速可能为
B.质点在这段时间内通过的路程一定小于
C.质点在这段时间内通过的路程可能为
D.若周期，则在时刻，质点、 的位移不同
√
√
[解析] 由波形图可知，波长，且 ，解得
周期，当时，，波速 ，
选项A正确.由传播方向沿轴正方向可知，质点在时刻向上振动，当
时，，则质点在这段时间内通过的路程小于；当 时，
，质点在这段时间内通过的路程大于，选项B错误.若 ，则
，波传播到点所用时间为,，质点 振动的时间为
，故在这段时间内质点 通过的路程为
，选项C正确.若，则在 时刻，
质点、 的位移均为负值，且大小相等，选项D错误.
3.(多选)一列简谐横波在 时刻的波形如图中实线所
示,时刻的波形如图中虚线所示.若该波的周期
大于 ,则该波的传播速度可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 若波向右传播,则在时刻处的质点向上振动, 时刻
该质点运动到波峰的位置,由题意知,则 ,所以
;若波向左传播,则在时刻 处的质点向下
振动,时刻该质点运动到波峰的位置,由于,则 ,
所以 ,故A、C正确,B、D错误.
√
√
4.(多选)［2024·长乐一中月考］ 一列沿着轴正方向传播的横波在 时刻的
波形如图甲所示，图甲中某质点的振动图像如图乙所示.下列说法正确的是
( )
A.该波的波速为
B.图乙表示质点 的振动图像
C.时质点 的位移最大
D.质点经过沿轴正方向移动
√
√
[解析] 由图甲可知，波长，由图乙可知周期 ，则该波的波速
，选项A正确；若图乙是质点的振动图像，则时刻质点 经
过平衡位置向轴正方向振动，由图甲知，时刻质点经过平衡位置向 轴
负方向振动，选项B错误；，所以时质点的位移与
时的位移相同，为负的最大值，选项C正确；横波中，各质点振动的方向与波
的传播方向垂直，所以不可能沿 轴方向运动，选项D错误.
5.(多选)图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中 处的
质点 以此时刻为计时起点的振动图像.下列说法正确的是( )
A.这列波的传播方向是沿 轴正方向
B.这列波的传播速度是
C.经过，质点沿轴的正方向移动了
D.经过，质点的运动方向沿 轴正方向
√
√
[解析] 由甲、乙两图可知，该波向 轴正方向传播，A正确；由图甲知，波长
，由图乙知周期，则波速 ，B正确；
质点不随波迁移，只在其平衡位置附近振动，C错误；时质点沿 轴正方
向运动，经过，即，质点的运动方向沿 轴负方向，D错误.
6.［2024·惠安一中月考］在一列沿水平直线传播的简谐横波上有平衡位置相距
的、两点，图甲、乙分别是、 两质点的振动图像.已知该波波长大于
，求这列波可能的波速.
[答案] 见解析
[解析] 由振动图像得质点振动周期
若波由向传播，则点比点晚振动的时间
所以、间的距离为
则波长为
因为，所以或
当时，，
当时，，
若波由向传播，则点比点晚振动的时间
所以、间的距离为
则波长为
因为，所以或
当时，，
当时，，
7.一列横波在时刻的波形如图中实线所示.在 时刻的波形如图中虚3
线所示.
(1) 该列波的波速可能为多大？
[答案] 或
[解析] 由图可知
①若波沿 轴正方向传播，则这段时间内传播的距离
因此波速为
②若波沿 轴负方向传播，则这段时间内传播的距离
因此波速为
7.［2024·三明二中］一列横波在时刻的波形如图中实线所示.在 时
刻的波形如图中虚线所示.
(2) 若波速为 ，该波沿什么方向传播？
[答案] 波沿 轴负方向传播
[解析] 由题可知
波满足(1)中的第二种情况，因此沿 轴负方向传播
1.(波的图像和振动图像的综合应用)(多选)如图所示，若图乙是图甲中 质点的
振动图像，则( )
A.在图乙中时刻， 质点在平衡位置
B.在图乙中指示的时刻， 质点的加速度为零
C.在图乙中指示的时刻， 质点正远离平衡位置
D.在图乙中指示的时刻， 质点的加速度方向向着平衡位置
√
√
[解析] 图甲所反映的时刻质点正处于平衡位置，由 质点的振动图像(图乙)可
知，质点在时刻正处于正向最大位移处，A错误；在指示的时刻， 质
点正向平衡位置运动，C错误；由 质点的振动图像可知，B、D正确.
2.(机械波的多解问题)(多选)［2024·黑龙江大庆二中高二期末］ 一列沿 轴负方
向传播的机械波,其图像如图所示,实线是时刻的波形,此时质点 位于平衡
位置.虚线是时刻的波形,此时质点 位于波峰位置.下列说法正确的是
( )
A.时刻,质点向 轴正方向运动
B.该波的波长为
C.该波的波速可能为
D.时间内,质点运动的路程可能为
√
√
[解析] 机械波沿轴负方向传播,由“上下坡”法可知，时刻,质点向 轴负方
向运动,故A错误;由图可知, 该波的波长为 ,故B正确;时间间隔
,时, ,故C正确;
时间内,质点运动的路程最小为 ,故D错误.
3.(机械波的多解问题)(多选)如图所示,、 是同一介质在同一直线上的两点,相
距.现有一波源发出的一列横波经过、两点,某时刻发现 点恰经过平衡位
置向下振动时,点恰好达到波峰位置,并测得再经过时点恰好在波谷,且 内
点出现在波谷两次(包括 时),则这列波的波速可能值为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 若波由向传播,设其波长为 ,则
,根据题意知,解得 ,由
可知,;若波由向传播,设其波长为 ,则
,由 可知,
;将选项中的速度值代入两个速度表达式可知,A、C
错误,B、D正确.
练习册
(时间：40分钟 总分：76分)
(单选题每小题4分，多选题每小题6分)
知识点一 机械波的多解问题
1.(多选)［2024·海南海口一中高二月考］ 如图所示，一根张
紧的水平弹性长绳上的、两点相距，点在 点的右方，
A. B. C. D.
一列简谐波沿水平绳向右传播，波速为，波长大于. 某时刻 点到达
波峰位置，而 点正处于平衡位置且向上运动，则这列波的周期可能是( )
√
√
[解析] 某时刻点到达波峰位置，而点正处于平衡位置且向上运动，则、 间
距满足，因为波长大于，则当时， ，周期
，当时，，周期 ，
故A、B正确.
2.(多选)［2024·广东广州六中高二月考］ 如图是某横波的波形图，实线表示某
时刻的波形，虚线表示 后的波形图，则下列说法中正确的是( )
A.若波向左传播，它传播的距离可能是
B.若波向左传播，它传播的距离可能是
C.若波向右传播，它的周期可能是
D.若波向右传播，它的周期可能是
√
√
[解析] 由图可知，该机械波的波长为 ，若波向左传播，它传播的距离可
表示为 ，由此可知，若波向左传播，它传
播的距离可能为、、、、 ，不可能为 ，A错误，B正确；
若波向右传播，传播的时间可以表示为 ，整
理得，若波向右传播，它的周期可能是、 、
，不可能是 ，C正确，D错误.
3.(多选)如图甲所示,一列机械波沿直线向右传播,,、 两点的振动情
况如图乙所示,下列说法中正确的是( )
A.波速可能是 B.波长可能是
C.波速可能是 D.波速可能是
√
√
[解析] 由振动图像可知,质点振动周期,在时刻,点位于波谷, 点经
过平衡位置向上运动,结合波形得 ,解得
,则波速,当 时,波
长,波速;当时,波长,波速;当 时,波
长,波速;当时,波长,波速 ,故B、D
正确.
知识点二 波的图像与振动图像的综合应用
4.［2025·山东济宁一中高二月考］图甲为一列波在 时的波形图,图乙为介
质中平衡位置在处的质点 的振动图像,下列说法正确的是( )
A.波沿轴正向传播 B.波在介质中的传播速度为
C.时,向轴正方向运动 D.时, 恰好回到平衡位置
√
[解析] 图乙为平衡位置在处的质点的振动图像,则在 时,振动方
向为 轴负方向,则图甲中,根据质点振动方向和传播方向在图像同一侧可知波的
传播方向沿轴负向,故A错误;由图甲可知,机械波的波长为 ;图乙可知振
动周期为,则波速为 ,故B错误;由图乙可知,在
时向轴正方向运动,故C正确;由图乙可知,在时,在 轴负方向最
大位置,故D错误.
5.(多选)图甲为一列沿轴正方向传播的简谐横波在 时刻的波形图,图乙为参
与波动的某一质点的振动图像,下列说法正确的是( )
A.该简谐横波的波长为
B.图乙可能是图甲中质点 的振动图像
C.从此刻起,质点比 先回到平衡位置
D.内,质点运动的路程为
√
√
[解析] 从图甲中可以知道,该简谐横波的波长为 ,A正确;图乙中0时刻质点正
从平衡位置向负方向振动,根据同侧法,波向轴正方向传播,图甲中0时刻质点
正从平衡位置向轴正方向振动,图乙不可能是图甲中质点 的振动图像,B错误;
根据同侧法,0时刻质点正向轴正方向振动,到最大位移处再回到平衡位置,而
已经在最大位移处了,故 质点先回到平衡位置,C错误;从图乙中可以知道,该波的
周期为,时,质点运动的路程为 ,D正确.
6.(多选)［2025·天津河北区期末］ 一简谐横波沿轴正方向传播,在 时刻,该
波的波形图如图甲所示,、 是介质中的两个质点.图乙表示介质中某质点的振
动图像.下列说法正确的是( )
A.质点 的振动图像与图乙相同
B.在时刻,质点的速率比质点 的大
C.在时刻,质点的加速度的大小比质点 的大
D.平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图乙所示
√
√
[解析] 由图乙可知,在时刻,质点正处于平衡位置沿 轴负方向振动,而从图
甲可知,质点在时正处于平衡位置沿 轴正方向运动,平衡位置在坐标原点
处的质点正处于平衡位置沿轴负方向振动,故A错误,D正确.由 的波形图推
知在时刻,质点 位于波谷,速率为零,加速度最大,离开平衡位置的距离最大;
质点 位于平衡位置,速率最大,加速度为零,离开平衡位置的距离为零,故B错误,C
正确.
7.(多选)［2024·甘肃天水一中高二开学考］ 图甲为一列简谐横波在某一时刻的
波形图，图乙为质点 以此时刻为计时起点的振动图像，从该时刻起，下列说
法正确的是( )
A.经过，质点与平衡位置的距离大于质点 与平衡位置的距离
B.经过，质点的加速度小于质点 的加速度
C.经过，波沿轴的正方向传播了
D.经过，质点 的速度最大
√
√
[解析] 根据图乙可知，周期，在时质点在平衡位置向 轴正方向
振动，所以波沿轴正方向传播，经过，即经过，质点 到达波峰处，
质点到达平衡位置处，质点与平衡位置的距离小于质点 与平衡位置的距离，
根据可知，质点的加速度小于质点 的加速度，A错误，B正确；该波
的波速，经过，波沿 轴的正方向传播了
，C正确；经过，即经过，质点 运动到负向最大位移处，速
度为零，D错误.
8.(多选)一列横波沿直线传播,在波的传播方向上有、两点,在时刻、 两点
间形成的波形如实线所示,在时刻、 两点间形成的波形如虚线所示,已
知、两点间距离 ,则( )
A.若周期为 ,波一定向右传播
B.若周期大于 ,波可能向右传播
C.若波速为 ,波一定向左传播
D.该波波速可能的最小值为
√
√
[解析] 由图可知,波长,若波向右传播则有 ,
,当时,周期最大为 ,波速
, 时速度有最小值 ；若波向
左传播则有 ,
,波速
,当
时,,当时,速度有最小值 ,
故选A、C.
9.(3分)［2024·福州二中高二期中］ 如图所示，一列简谐横波沿 轴正方向传播，
实线为时的波形图，虚线为 时的波形图.已知该简谐波的周期大
于.关于该简谐波，则该波的波长为___，该波的波速为___ ；横坐标
处的质点(图中未画出)在时的振动方向沿 轴________
(选填“正方向”或“负方向”).
6
2
负方向
[解析] 由题图可知波长为；该波的周期满足， ,
1,2, ，解得，,1,2, ，由题意可知，则 ，
，由，解得；经过，波传播到 点，则在
时点的振动时间，此时 点的振动方
向沿 轴负方向.
10.(11分)一简谐横波沿轴正方向传播，依次经过轴上相距 的两质点
和 ，它们的振动图像分别如图甲和乙所示，求：
(1) (5分)时质点 的振动方向；
[答案] 沿 轴负方向
[解析] 由图可知，在时刻质点经过平衡位置向 轴负方向运动，则振
动方向沿 轴负方向
10.(11分)一简谐横波沿轴正方向传播，依次经过轴上相距 的两质点
和 ，它们的振动图像分别如图甲和乙所示，求：
(2) (6分)这列波的最大传播速度.
[答案]
[解析] 由图可知，该波的周期为.简谐横波沿轴正方向传播，质点 比质点
先起振，波从传到 .比较甲、乙两图可知，二者振动的步调相反，则它们之
间的距离为半波长的奇数倍，则有
当 时，该波的波长最大，为
此时波速最大，最大波速为
11.(16分)［2024·湖南沅陵一中高二期末］ 如图所示，实线和虚线分别是沿 轴
传播的一列简谐横波在和时刻的波形图.已知在 时刻，
处的质点向 轴正方向运动.
(1) (4分)判断该波的传播方向；
[答案] 向右传播
[解析] 在时刻，处的质点向 轴
正方向运动，则该波向右传播
11.(16分)［2024·湖南沅陵一中高二期末］ 如图所示，实线和虚线分别是沿 轴
传播的一列简谐横波在和时刻的波形图.已知在 时刻，
处的质点向 轴正方向运动.
(2) (6分)求该波的最小频率；
[答案]
[解析] 由波形图可知
解得
当时，周期最大，最大周期 ，则最小
频率
11.(16分)［2024·湖南沅陵一中高二期末］ 如图所示，实线和虚线分别是沿 轴
传播的一列简谐横波在和时刻的波形图.已知在 时刻，
处的质点向 轴正方向运动.
(3) (6分)若 ，求该波的波速.
[答案]
[解析] 若，则由上述表达式可知 ，
即，解得
由图像可知，波长为 ，则波速为
例1.（1）
（2）
例2.CD 例3.AC
例4.（1）,沿轴负方向传播 （2）
例5.BD 例6.C
随堂巩固
1.BD 2.BC 3.BD
基础巩固练
1.AB 2.BC 3.BD 4.C 5.AD 6.CD 7.BC
综合提升练
8.AC 9.6,2,负方向
10.（1）沿轴负方向 （2）
11.（1）向右传播 （2） （3）
