12.3.2等腰三角形的判定 课件(共32张PPT) 华东师大版八年级上册

(共32张PPT)
12.3.2 等腰三角形的判定
1.经历等腰三角形判定的发现过程，知道等腰三角形的判定：等角对等边.
2.会用等腰三角形的判定方法判定等腰三角形.
重点：等腰三角形的判定.
填空：等腰三角形的性质定理.
（1）等腰三角形的两个底角 　相等　 ，简称“ 　等边对等角　 ”.
（2）等腰三角形 　底边上的高　 、 　底边上的中线　 、 　顶角的平分线　 互相重合，简称“三线合一”.
相等　
等边对等
角　
底边上的高　
底边上的中线　
顶角
的平分线　
　等腰三角形的判定
阅读课本本课时“例4”前面的内容，完成下列问题.
1.（1）“请在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的终边相交于点A.此时△ABC中，保证了什么条件成立？
解：（1）两个角相等；
（2）量一量，线段AB与AC的长度.你发现了什么结论？你发现了什么规律？
解：（2）相等；两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.　
2.用折纸的方法.如图，△ABC中，∠B＝∠C，利用刻度尺找到BC 的中点D，连结AD，然后沿AD对折，观察发现AB、AC 　完全重合　 ，即可得出 　AB＝AC　 .
完
全重合　
AB＝AC　
3.“等腰三角形的底角相等”的逆命题是什么？它是真题吗？若是请证明.
解：逆命题“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，是真命题.
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.求证： AB＝AC.
证明：作∠BAC的平分线AD.在△BAD和△CAD中，
∵ ∠B＝∠C，∠1＝∠2， AD＝AD，∴ △BAD≌△CAD（AAS），
∴ AB＝AC（全等三角形的对应边相等）.　
1.下列三角形是等腰三角形的是 　②③　 .
②③　
　1.在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝60°，则△ABC是 　等边　 三角形.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形.
等边　
　1.如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论.
解：△APQ是等腰三角形.
证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，
又因为PD⊥BC，
所以∠BDP＝∠PDC＝90°，所以∠P＝∠DQC，
又因为∠DQC＝∠AQP，所以∠AQP＝∠P.
所以△APQ为等腰三角形.　
2.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC＝BD.求证：（1）BC＝AD；（2）△OAB是等腰三角形.
证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴ ∠D＝∠C＝90°.在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD， ∴△ACB≌△BDA（HL）.∴BC＝AD .
（2）由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA，
∴△OAB是等腰三角形.　
【方法归纳交流】判断三角形的形状，其探索思路是：根据 　图形　 结合我们学习过的特殊的 　三角形　 （如等腰三角形，等边三角形，直角三角形等）进行探究.
图形　
三角形　
　1.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于点E，交AC于F，图中的等腰三角形有几个？分别是哪几个？并说明理由.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC.
∵等边△ABC的三条角平分线相交于点O，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠7＝∠8＝30°，∵EF∥BC，∴∠4＝∠5＝30°，∠6＝∠8＝30°，∠9＝∠ABC＝60°，∠10＝∠ACB＝60°.∴∠9＝∠10，∠3＝∠5，∠6＝∠7.∴△BEO，△CFO，△BOC，△AOB，△AOC，△AEF，△ABC是等腰三角形，共有7个.　
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）.
操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连结DE、DF，猜想△DEF的形状并证明.
解：△DEF为等腰直角三角形.
证明：如图，连接CD，
∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°，
∵∠ACE＋∠BCF＝90°，∠BCF＋∠CBF＝90°，
在△ACE与△CBF中，

∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，∠CAE＝∠BCF，
∵∠CAB＝∠DCB＝45°，
∴∠FCD＝∠DAE，又AD＝CD，
∴△AED≌△CFD，
∴∠ACE＝∠CBF，
∴ED＝FD，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形.　

1.在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的命题共有（　C　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
C
2.小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（　B　）
A.4 B.3 C.2 D.1
B
3.若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（b－c）（c－a）＝0，那么△ABC的形状是（　A　）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.锐角三角形
A
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连结DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 　△EAD或△MBD或△MDE　 .（写出一个即可）
第4题图
△EAD或△MBD或△MDE　
5.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 　3　 .
第5题图
3　
6.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝ 　30°　 .
30°　
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC＝∠DCB.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.又∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD（SAS），
∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB. 　

8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（　D　）
A.12 B.10
C.9 D.8
D
9.如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有多少个？请画出图形.
解：符合条件的点C有 8个.如图：分情况讨论.①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.
10.（1）如图，在四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C.
证明：（1）如图，连接AC.
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA，即∠A＝∠C.
（2）如图，在四边形ABCD中，若AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD.
证明：（2）∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA.
又∵∠A＝∠C，即∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD.　

11.如图，在△ABC中，点D在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由.
证明：在△BAD与△BCE中，
∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，
∴△BAD≌△BCE，
∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，
即∠FAC＝∠FCA，
∴△AFC是等腰三角形.　
解：△AFC是等腰三角形.