四川省达州市2016年高考数学二诊试卷（理科）（解析版）

四川省达州市2016年高考数学二诊试卷（理科）（解析版）
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知集合A={x|2x﹣1＜1}，B=（﹣2，2]，则A∩B=（　　）
A．（﹣2，0）
B．（﹣2，2]
C．（1，2]
D．（﹣2，1）
2．i是虚数单位，复数z=+2﹣3i，则|z|=（　　）
A．5
B．4
C．3
D．1
3．已知a＜﹣1＜b＜0＜c＜1，则下列不等式成立的是（　　）
A．b2＜c＜a2
B．ab+＜c
C．＜＜
D．b2＞ab﹣bc+ac
4．一个几何体的正视图和俯视图都是边长为6cm的正方形，侧视图是等腰直角三角形（如图所示），这个几何体的体积是（　　）
A．216cm3
B．54cm3
C．36cm3
D．108cm3
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若=（m∈N
），则=（　　）
A．
B．4
C．
D．5
6．已知四边形ABCD是直角梯形，AB⊥BC，下列结论中成立的是（　　）
A．
＜0
B．
＞0
C．
＜0
D．
＞0
7．当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是（　　）
A．50
B．1440
C．720
D．2160
8．已知角x始边与x轴的非负半轴重合，与圆x2+y2=4相交于点A，终边与圆x2+y2=4相交于点B，点B在x轴上的射影为C，△ABC的面积为S（x），函数y=S（x）的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．A、B、O是抛物线E：y2=2px（p＞0）上不同三点，其中O是坐标原点，
=0，直线AB交x轴于C点，D是线段OC的中点，以E上一点M为圆心、以|MD|为半径的圆被y轴截得的弦长为d，下列结论正确的是（　　）
A．d＞|OC|＞2p
B．d＜|OC|＜2p
C．d=|OC|=2p
D．d＜|OC|=2p
10．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+4）=f（x），f（x）=，当x∈[0，+∞）时，方程f（x）﹣4xa=0（a＞0）有且只有3个不等实根，则实数a的值为（e是自然对数底数）（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题：本题共5小题，每题5分。
11．（x+2）（x﹣）6的展开式中，常数项是　　　　　　（用数字作答）．
12．运行如图所示的程序框图，输出的S=　　　　　　．
13．为了了解某火车站候车旅客用手机使用火车站WIFI情况，在某日15：00时，把该候车厅10至50岁年龄段的旅客按年龄分区间[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]得到如图所示的人数频率分布直方图，现用分层抽样的方法从中得到一样本．若样本在区间[20，30）上有6人，则该样本在区间[40，50]上有　　　　　　人．
14．已知a、b是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出以下命题：
①若α∥β，β∥γ，则α∥γ；
②若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．
以上命题中真命题的个数是　　　　　　．
15．已知实数x、y满足=3，则x﹣|y|的最小值是　　　　　　．
　
三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（12分）（2016达州模拟）已知数列{an}是等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，S5=30，a7+a9=32．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=+（n∈N
），求数列{bn}的前n项和Tn．
17．（12分）（2016达州模拟）已知△ABC是锐角三角形，cos22A+sin2A=1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若BC=1，B=x，求△ABC的周长f（x）的单调区间．
18．（12分）（2016达州模拟）某企业拟对员工进行一次伤寒疫情防治，共有甲、乙、丙三套方案．在员工中随机抽取6人，并对这6人依次检查．如果这6人都没有感染伤寒，就不采取措施；如果6人中只有1人或2人感染伤寒，就用甲方案；如果这6人中只有3人感染伤寒，就用乙方案，其余用丙方案．
（Ⅰ）若这6人中只有2人感染伤寒，求检查时恰好前2人感染伤寒的概率；
（Ⅱ）若每个员工感染伤寒的概率为，求采用乙方案的概率；
（Ⅲ）这次伤寒疫情防治的费用为ξ元．当员工无人感染伤寒时，ξ为0，采用甲、乙、丙三套方案的ξ分别为512、512和1024．求ξ的分布列和数学期望Eξ．
19．（12分）（2016达州模拟）如图，点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AD、AA1的中点，G是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：平面A1B1E⊥平面D1FG；
（Ⅱ）若AB=2，CG=2﹣，M是棱DD1的中点，点N在线段D1G上，MN∥DC，求二面角D1﹣FN﹣M的大小．
20．（13分）（2016达州模拟）过椭圆C：
+=1（a＞0，b＞0）右焦点F（c，0）的直线l与C相交于A、B两点，l交y轴于E点，C的离心率e=．当直线l斜率为1时，点（0，b）到l的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若M（t，0）满足：
=，求实数t的取值范围．
21．（14分）（2016达州模拟）设f（x）=ax3+3ax2+1，g（x）=ex（e=2.71828…是自然对数的底数），f′（x）是f（x）的导数．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜0时，若函数f′（x）与g（x）的图象都与直线l相切于点P（x0，y0），求实数x0的值；
（Ⅲ）求证：当a≤﹣1时，函数f（x）与g（x）的图象在（﹣2，0）上有公共点．
　
2016年四川省达州市高考数学二诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知集合A={x|2x﹣1＜1}，B=（﹣2，2]，则A∩B=（　　）
A．（﹣2，0）
B．（﹣2，2]
C．（1，2]
D．（﹣2，1）
【分析】先对集合A进行化简，再利用交集运算的法则求出集合A、B的交集，得本题结论．
【解答】解：∵2x﹣1＜1=20，
∴x＜1，
∴A=（﹣∞，1），
∵B=（﹣2，2]，
则A∩B=（﹣2，1）
故选D．
【点评】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．
　
2．i是虚数单位，复数z=+2﹣3i，则|z|=（　　）
A．5
B．4
C．3
D．1
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．
【解答】解：∵z=+2﹣3i=，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．
　
3．已知a＜﹣1＜b＜0＜c＜1，则下列不等式成立的是（　　）
A．b2＜c＜a2
B．ab+＜c
C．＜＜
D．b2＞ab﹣bc+ac
【分析】可通过举反例的方法说明选项A，B错误，而由不等式的性质及条件便可判断出选项C正确，通过作差，分解因式及条件便可判断出b2和ab﹣bc+ac的关系不确定，即选项D错误．
【解答】解：A错误，比如b=，时，不满足b2＜c；
B错误，比如时，不满足；
C正确，a＜b＜0，∴；
又；
∴；
D错误，b2﹣（ab﹣bc+ac）=（b2﹣ab）+（bc﹣ac）=（b﹣a）（b+c）；
∵a＜b；
∴b﹣a＞0；
又﹣1＜b＜0＜c＜1；
∴b+c的符号不确定；
∴不能判断b2和ab﹣bc+ac的关系．
故选：C．
【点评】考查通过举反例的方法说明选项错误，以及不等式的性质，作差法比较两个式子的大小．
　
4．一个几何体的正视图和俯视图都是边长为6cm的正方形，侧视图是等腰直角三角形（如图所示），这个几何体的体积是（　　）
A．216cm3
B．54cm3
C．36cm3
D．108cm3
【分析】由三视图可知：该几何体为横放的三棱柱，为正方体的一半．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为横放的三棱柱，为正方体的一半．
其体积==108cm3．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的有关知识、正方体的体积计算公式，考查了推理能力与计算公式，属于基础题．
　
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若=（m∈N
），则=（　　）
A．
B．4
C．
D．5
【分析】Sn是等比数列{an}的前n项和，若=（m∈N
），不妨取m=1，则=，化简即可得出．
【解答】解：∵Sn是等比数列{an}的前n项和，若=（m∈N
），
不妨取m=1，则=，可得a2=4a1．
则==，
故选：A．
【点评】本题考查了等比数的通项公式、取特殊值方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
6．已知四边形ABCD是直角梯形，AB⊥BC，下列结论中成立的是（　　）
A．
＜0
B．
＞0
C．
＜0
D．
＞0
【分析】可根据条件画出图形，由图形及向量数量积的计算公式便可判断每个选项数量积的符号是否恒成立，从而找出正确选项．
【解答】解：根据条件可以画出以下两种图形：
（1）；
（2）；
A．由图（1）看出的夹角为锐角，∴，∴该选项错误；
B．由图（1），图（2）看出的夹角为锐角，∴，∴该选项正确；
C．由图（1）看出的夹角为锐角，∴，∴该选项错误；
D．由图（2）看出的夹角为钝角，∴，∴该选项错误．
故选B．
【点评】考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，清楚锐角和钝角的余弦值的符号，举反例排除选项的方法．
　
7．当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是（　　）
A．50
B．1440
C．720
D．2160
【分析】确定B、C两路军车的量数类型，然后求解这6辆军车不同的分开行驶方案总数．
【解答】解：由题意可知B、C两路军车的量数类型有2、4；3、3；4、2；三种类型．由于军车互不相同，排列是有顺序的，2、4；4、2；类型的结果都是：A62A44．3、3类型的结果为：A63A33．
则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是：2A62A44+A63A33=2160．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力．
　
8．已知角x始边与x轴的非负半轴重合，与圆x2+y2=4相交于点A，终边与圆x2+y2=4相交于点B，点B在x轴上的射影为C，△ABC的面积为S（x），函数y=S（x）的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意画出图象，由三角形的面积公式表示出S（x），利用排除法和特值法选出正确答案．
【解答】解：如图：A（2，0），在RT△AOC中，
|BC|=2|sinx|，|OC|=2|cosx|，
∴△ABC的面积为S（x）=|BC||AC|≥0，
所以排除C、D；
选项A、B的区别是△ABC的面积为S（x）何时取到最大值？
下面结合选项A、B中的图象利用特值验证：
当x=时，△ABC的面积为S（x）==2，
当x=时，|BC|=2|sin|=，|OC|=2|cos|=，
则|AC|=2+，
∴△ABC的面积为S（x）==，
综上可知，答案B的图象正确，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积公式，以及选择题的解题方法：排除法和特值法，考查了数形结合思想，属于中档题．
　
9．A、B、O是抛物线E：y2=2px（p＞0）上不同三点，其中O是坐标原点，
=0，直线AB交x轴于C点，D是线段OC的中点，以E上一点M为圆心、以|MD|为半径的圆被y轴截得的弦长为d，下列结论正确的是（　　）
A．d＞|OC|＞2p
B．d＜|OC|＜2p
C．d=|OC|=2p
D．d＜|OC|=2p
【分析】设直线OA的方程为y=kx（k≠1，0），可得直线OB的方程为：y=﹣x，直线方程分别与抛物线方程联立可得A，B的坐标．由直线AB的方程可得C（2p，0），D（p，0）．设M（x0，y0），可得d=2，即可得出结论．
【解答】解：设直线OA的方程为y=kx（k≠1，0），则直线OB的方程为：y=﹣x，
联立，解得A，同理可得B（2pk2，﹣2pk）．
∴直线AB的方程为：y+2pk=（x﹣2pk2），化为：y+2pk=（x﹣2pk2），令y=0，解得x=2p，
∴C（2p，0），|OC|=2p．
D（p，0）．
设M（x0，y0），
则d=2=2=2p．
综上可得：d=|OC|=2p．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、直线与圆相交弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
　
10．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+4）=f（x），f（x）=，当x∈[0，+∞）时，方程f（x）﹣4xa=0（a＞0）有且只有3个不等实根，则实数a的值为（e是自然对数底数）（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】作出函数f（x）的图象，利用程f（x）﹣4xa=0（a＞0）有且只有3个不等实根，等价为函数g（x）=4xa与直线f（x）=2（x﹣4）相切，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出a的值即可．
【解答】解：由f（x）﹣4xa=0得f（x）=4xa，
∵f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
作出函数在[0，+∞）上的图象如图：
若方程f（x）﹣4xa=0（a＞0）有且只有3个不等实根，
则等价为当3≤x≤5时，﹣1≤x﹣4≤1，此时f（x）=f（x﹣4）=2（x﹣4），
函数g（x）=4xa与直线f（x）=2（x﹣4）相切，
设切点为（m，n），n=4ma，
则g′（x））=4xaln4，则g′（m）=4maln4，
则对应的切线方程为y﹣4ma=4maln4（x﹣m），
即y=4maln4（x﹣m）+4ma=4maln4x+4ma（1﹣mln4），
∵f（x）=2（x﹣4）=2x﹣8，
∴4maln4=2且4ma（1﹣mln4）=﹣8，
两式相除得=﹣，
得=﹣，即m==4+=4+log4e，
则4m===28e，
则a===，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数相切问题，利用到是的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
　
二、填空题：本题共5小题，每题5分。
11．（x+2）（x﹣）6的展开式中，常数项是　﹣40　（用数字作答）．
【分析】首先写出（x﹣）6的展开式的通项，由x的指数为0求得常数项，与2相乘得答案．
【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项，
当r=3时该通项为常数项，
∴（x+2）（x﹣）6的展开式中，常数项是2×=﹣40．
故答案为：﹣40．
【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
　
12．运行如图所示的程序框图，输出的S=　﹣1　．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值为﹣1．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=0，i=1
满足条件i≤9，执行循环体，S=﹣lg2，i=2
满足条件i≤9，执行循环体，S=﹣lg3，i=3
满足条件i≤9，执行循环体，S=﹣lg4，i=4
…
满足条件i≤9，执行循环体，S=﹣lg9，i=9
满足条件i≤9，执行循环体，S=﹣1，i=10
不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
　
13．为了了解某火车站候车旅客用手机使用火车站WIFI情况，在某日15：00时，把该候车厅10至50岁年龄段的旅客按年龄分区间[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]得到如图所示的人数频率分布直方图，现用分层抽样的方法从中得到一样本．若样本在区间[20，30）上有6人，则该样本在区间[40，50]上有　4　人．
【分析】根据频率分布直方图，利用频率=，即可求出对应的数值．
【解答】解：根据频率分布直方图，得；
在区间[20，30）上的频率为0.03×10=0.3，
所以样本容量为=20，
又该样本在区间[40，50]上的频率为1﹣0.1﹣0.3﹣0.4=0.2，
所以该区间上的频数为20×0.2=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．
　
14．已知a、b是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出以下命题：
①若α∥β，β∥γ，则α∥γ；
②若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．
以上命题中真命题的个数是　3　．
【分析】①根据面面平行的性质定理进行判断．
②根据面面垂直的性质进行判断．
③根据线面垂直的性质进行判断．
④根据线面垂直和面面垂直的性质进行判断．
【解答】解：①若α∥β，β∥γ，则α∥γ正确，同时和一个平面都平行的两个平面是平行的；故①正确，
②若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ错误，同时和一个平面都垂直的两个平面可能是平行的也可能是相交的；故②错误
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β正确，同时和一条直线垂直的两个平面是平行的；故③正确；
④若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a 平面β，b⊥β，则a⊥b成立，故④正确，
故正确的是①③④．
故答案为：3
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．
　
15．已知实数x、y满足=3，则x﹣|y|的最小值是　2　．
【分析】由题意可得x+3y≥0，x﹣3y≥0，即有x2﹣9y2=9（x＞0），令x﹣|y|=t，即有|y|=x﹣t，代入双曲线的方程，运用判别式非负，解不等式即可得到最小值．
【解答】解：由=3，可得
x+3y≥0，x﹣3y≥0，即有x2﹣9y2=9（x＞0），
令x﹣|y|=t，即有|y|=x﹣t，
可得y2=（x﹣t）2，代入x2﹣9y2=9（x＞0），
即有8x2﹣18tx+9t2+9=0，
由x＞0可得t＞0，
由△=324t2﹣32（9t2+9）≥0，
解得t2≥8，解得t≥2．
即有x=，y=±，x﹣|y|取得最小值2．
故答案为：2．
【点评】本题考查最值的求法，注意运用转化思想和二次方程的判别式法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
　
三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（12分）（2016达州模拟）已知数列{an}是等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，S5=30，a7+a9=32．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=+（n∈N
），求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列，等差中项求的a8=16，a3=6，即可求得d，a1，即可写出通项公式；
（Ⅱ）先求得{bn}的通项公式，采用裂项法即可求得数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：数列{an}是等差数列，a7+a9=32，即2a8=32，a8=16，
S5=30，
=30，
∴a1+a5=12，2a3=12，a3=6，
a8﹣a3=5d=10，
d=2，
∴a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（2）bn=+（n∈N
），
=+，
=+（﹣），
数列{bn}的前n项和Tn．
Tn=+
[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
=1﹣+（1﹣），
=﹣﹣．
Tn=﹣﹣．
【点评】本题考查求等差数列通项公式，采用裂项法求数列的前n项和，数列是高中数学的重要内容，在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，属于中档题．
　
17．（12分）（2016达州模拟）已知△ABC是锐角三角形，cos22A+sin2A=1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若BC=1，B=x，求△ABC的周长f（x）的单调区间．
【分析】（1）由同角三角函数恒等式及二倍角公式，可得A=．
（2）由正弦定理得到f（x），借助辅助角公式化简后得到单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵cos22A+sin2A=1，
∴cos22A=cos2A，
∴cos2A=±cosA，
∴2cos2A﹣1±cosA=0，
∵△ABC是锐角三角形，
∴cosA=，
∴A=．
（Ⅱ）∵BC=1，B=x，
∴AC=sinx，
AB=cosx+sinx，
∴△ABC的周长f（x）=1+cosx+sinx=1+sin（x+），
∴当﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，（k∈Z）时，x∈[﹣+2kπ，
+2kπ]，
∵x∈（0，）
∴f（x）的单调增区间是（0，]，
单调减区间是[，）．
【点评】本题考查三角函数化简及确定单调区间和正弦定理．
　
18．（12分）（2016达州模拟）某企业拟对员工进行一次伤寒疫情防治，共有甲、乙、丙三套方案．在员工中随机抽取6人，并对这6人依次检查．如果这6人都没有感染伤寒，就不采取措施；如果6人中只有1人或2人感染伤寒，就用甲方案；如果这6人中只有3人感染伤寒，就用乙方案，其余用丙方案．
（Ⅰ）若这6人中只有2人感染伤寒，求检查时恰好前2人感染伤寒的概率；
（Ⅱ）若每个员工感染伤寒的概率为，求采用乙方案的概率；
（Ⅲ）这次伤寒疫情防治的费用为ξ元．当员工无人感染伤寒时，ξ为0，采用甲、乙、丙三套方案的ξ分别为512、512和1024．求ξ的分布列和数学期望Eξ．
【分析】（Ⅰ）由这6人中只有2人感染伤寒，利用相互独立事件概率乘法公式能求出检查时恰好前2人感染伤寒的概率．
（Ⅱ）由这6人中只有3人感染伤寒，就用乙方案，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出采用乙方案的概率．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值为0，512，1024，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解答】解：（Ⅰ）∵这6人中只有2人感染伤寒，
∴检查时恰好前2人感染伤寒的概率：P1==．
（Ⅱ）∵这6人中只有3人感染伤寒，就用乙方案，
∴采用乙方案的概率P2==，
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值为0，512，1024，
P（ξ=0）==，
P（ξ=512）=+=，
P（ξ=1024）=++=，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
512
1024
P
Eξ==680．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．
　
19．（12分）（2016达州模拟）如图，点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AD、AA1的中点，G是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：平面A1B1E⊥平面D1FG；
（Ⅱ）若AB=2，CG=2﹣，M是棱DD1的中点，点N在线段D1G上，MN∥DC，求二面角D1﹣FN﹣M的大小．
【分析】（Ⅰ）建立空间坐标系，求出点的坐标，利用面面垂直的判定定理证明即可．
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法求出向量夹角，即可求出二面角的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）在正方体中，建立以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AD、AA1的中点，
∴设正方体的棱长为2，
则A（0，0，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），E（0，1，0），F（0，0，1），D1（0，2，2），M（0，2，1）
则=（0，2，1），=（2，0，0），=（0，1，﹣2），
则=0，
=2﹣2=0，
则D1F⊥A1B1，D1F⊥A1E，
∵A1B1∩A1E=A，
∴D1F⊥平面A1B1E，
∵D1F 平面D1FG；
∴平面A1B1E⊥平面D1FG；
（Ⅱ）∵若AB=2，CG=2﹣，∴C1G=，
∵M是棱DD1的中点，点N在线段D1G上，MN∥DC，
∴tanD1GC1=tanND1M=，
即，则MN==，
则N（，2，1），
=（，2，0），=（0，2，1），
设平面D1FN的法向量为=（x，y，z），
则=x+2y=0，
=2y+z=0，
令x=，则y=﹣1，z=2，
则=（，﹣1，2），
设平面FNM的法向量为=（x，y，z），
=（0，2，0），
则=x+2y=0，
=2y=0，
则y=0，x=0，设z=1，
则=（0，0，1），
则cos==，
则=，
即二面角D1﹣FN﹣M的大小为．
【点评】本题考查了空间中的面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
　
20．（13分）（2016达州模拟）过椭圆C：
+=1（a＞0，b＞0）右焦点F（c，0）的直线l与C相交于A、B两点，l交y轴于E点，C的离心率e=．当直线l斜率为1时，点（0，b）到l的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若M（t，0）满足：
=，求实数t的取值范围．
【分析】（I）直线l的方程为：y=x﹣c，点（0，b）到l的距离为，可得=，即b+c=2，又e==，a2=b2+c2．联立解出即可得出．
（II）F（1，0），可设直线l的方程为：y=k（x﹣1），E（0，﹣k），A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
利用根与系数的关系、数量积运算性质及其=，可得：t=，令2k2﹣1=m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），则t==f（m），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（I）直线l的方程为：y=x﹣c，点（0，b）到l的距离为，∴
=，化为b+c=2，
又e==，a2=b2+c2．联立解得：b=c=1，a2=2．
∴椭圆C的标准方程为=1．
（II）F（1，0），可设直线l的方程为：y=k（x﹣1），E（0，﹣k），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∵=，
∴（x1﹣t，y1）（x2﹣t，y2）=（1﹣t，0）（﹣t，﹣k），
化为：x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2=t2﹣t，
∴x1x2﹣t（x1+x2）+k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣t，
即（1+k2）x1x2﹣（t+k2）（x1+x2）+t=0，
∴（1+k2）﹣（t+k2）×+t=0，k2≠．
化为：t=，
令2k2﹣1=m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），则t===f（m），
f′（m）==，
∴f（m）分别在m∈（﹣1，0），m∈（0，）单调递减；在上单调递增．
∴f（m）∈（﹣∞，﹣1）∪．
∴实数t的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
　
21．（14分）（2016达州模拟）设f（x）=ax3+3ax2+1，g（x）=ex（e=2.71828…是自然对数的底数），f′（x）是f（x）的导数．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜0时，若函数f′（x）与g（x）的图象都与直线l相切于点P（x0，y0），求实数x0的值；
（Ⅲ）求证：当a≤﹣1时，函数f（x）与g（x）的图象在（﹣2，0）上有公共点．
【分析】（Ⅰ）当a＞0时，求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）求出函数f′（x）与g（x）的导数，由题意可得f″（x0）=g′（x0），f（x0）=g（x0），解方程即可得到所求值；
（Ⅲ）求出f（x）的导数，显然f（0）=g（0），当﹣2＜x＜0时，f（x）递增，且f（﹣2）=1﹣4a＜0，求得f（﹣）﹣g（﹣）＜0，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，f（x）=ax3+3ax2+1的导数为：
f′（x）=3ax2+6ax=3ax（x+2），
由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜﹣2；由f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜0．
即有f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；减区间为（﹣2，0）；
（Ⅱ）f′（x）=3ax（x+2），g′（x）=ex，
由题意可得f″（x0）=g′（x0），f（x0）=g（x0），
即为6a（x0+1）=e，3ax0（x0+2）=e，（a＜0），
解得x0=﹣（正的舍去）；
（Ⅲ）证明：f（x）=ax3+3ax2+1，g（x）=ex，
显然f（0）=g（0）=1，
f（x）的导数为f′（x）=3ax（x+2），a≤﹣1，
当x＞0时，f（x）递减，g（x）递增；
当﹣2＜x＜0时，f（x）递增，且f（﹣2）=1﹣4a＜0，
由f（﹣）﹣g（﹣）=1+a﹣e≤1﹣﹣=﹣＜0，
当a无限趋向于﹣∞ 时，f（x）与g（x）的图象的交点趋向于点（0，1）．
即有当a≤﹣1时，函数f（x）与g（x）的图象在（﹣2，0）上有公共点．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数图象的交点问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．