第2课时 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.A [解析] 当带正电的粒子以速度v沿螺线管中轴线进入该通电螺线管时,速度方向与磁场方向平行,粒子不受洛伦兹力作用,故沿螺线管中轴线做匀速直线运动,A正确.
2.C [解析] 若电子沿着磁感线进入匀强磁场,则电子所受的洛伦兹力为零,电子不会偏转,所以此空间可能有磁场,故A错误;若电子沿着电场线进入匀强电场,则电子做匀变速直线运动,电子不发生偏转,所以此空间可能有电场,故B错误;若电子在该区域内既受到电场力作用,又受到洛伦兹力作用,且这两个力大小相等、方向相反,则电子不发生偏转,做匀速直线运动,此时电场方向与磁场方向相互垂直,或者若电子速度方向与电场方向、磁场方向均平行,则电子会做直线运动,不发生偏转,所以此空间可能同时有电场和磁场,故C正确;若只有匀强磁场,且磁场方向与电子速度方向垂直,则洛伦兹力方向与速度方向垂直,电子做匀速圆周运动,会发生偏转,故D错误.
3.D [解析] 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,有T=,可知T与v无关,故A、B错误;当v与B平行时,电子不受洛伦兹力作用,不可能做圆周运动,只有当v与B垂直时,电子才能在与v和B都垂直的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,故C错误,D正确.
4.B [解析] 水平导线在导线下方产生的磁场方向垂直于纸面向外,且越远离导线则磁感应强度越小,由左手定则可判断出电子运动轨迹向下弯曲,由r=知,B减小时,r变大,所以电子可能沿路径a运动,轨迹半径越来越大,故B正确.
5.B [解析] 若两粒子带正电,则由左手定则可知,两磁场的方向均垂直于纸面向外,若两粒子带负电,则由左手定则可知,两磁场的方向均垂直于纸面向里,所以两磁场的方向一定相同,故A错误;由于两粒子运动半个圆周的时间相同,故两粒子做圆周运动的周期相同,由v=ωR=,可得v1∶v2=R1∶R2=2∶1,则v1=2v2,故B正确,C错误;由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得粒子的比荷=,由于v1∶v2=R1∶R2=2∶1,若B1=B2,则甲、乙两粒子的比荷相同,故D错误.
6.D [解析] 绳未断时,小球沿顺时针方向运动,洛伦兹力与绳的拉力方向相反,有F-qvB=m,绳断开后,小球只受到洛伦兹力,小球在洛伦兹力的作用下沿逆时针方向做匀速圆周运动,有qvB=m,小球与圆心O的距离发生周期性变化,只有当F-qvB=qvB时,绳断前后的运动半径才相等,周期才相等,选项A、B、C错误,D正确.
7.A [解析] 电流由金属导线中的自由电子定向移动(向左移动)形成,根据左手定则可判断,自由电子所受洛伦兹力方向指向a表面一侧,并在a表面聚集,由于整个导体是呈电中性的(正、负电荷总量相等),所以在b的表面“裸露”出正电荷层,则b表面电势高于a表面电势,选项A正确,B、C、D错误.
8.AC [解析] 设粒子的入射点到磁场下边界的距离为d,画出粒子运动的轨迹如图所示,第一个粒子的轨迹圆心为O1,由几何关系可知R1=d,第二个粒子的轨迹圆心为O2,由几何关系可知R2sin 30°+d=R2,解得R2=2d,所以两粒子在磁场中运动的轨道半径之比R1∶R2=1∶2,故A正确;由R=,可知v与R成正比,所以两粒子在磁场中运动的速度之比v1∶v2=R1∶R2=1∶2,故B错误;粒子在磁场中运动的周期T=,由此可知,粒子运动的周期与粒子的速度大小无关,所以两粒子在磁场中运动的周期相同,两粒子的偏转角分别为90°、60°,则偏转角为90°的粒子运动的时间为,偏转角为60°的粒子运动的时间为,所以两粒子在磁场中运动的时间之比t1∶t2=∶=3∶2,故C正确,D错误.
9.C [解析] 由左手定则知,金属中的自由电子在洛伦兹力的作用下将向前侧面聚集,故两电极的正负为M负、N正;由平衡条件得F电=F洛,即e=evB,由电流微观表达式得I=nevS=nevab,解得B=,选项C正确.
10.D [解析] 由qvB=m,解得v=,由题图可知,粒子c的轨迹半径最小,则其射入磁场时速率最小,A错误.由题图可知,a向左偏,b、c向右偏,根据左手定则可知,粒子a带正电,粒子b、c带负电,B错误.粒子的动能Ek=mv2=,由于q、B、m都相同,粒子b的轨迹半径最大,所以粒子b的动能最大,C错误.粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T=,粒子在磁场中运动的时间t=T=,由于m、q、B都相同,粒子b转过的角度θ最小,所以粒子b在磁场中运动的时间最短,D正确.
11.D [解析] 由于粒子在匀强磁场中做圆周运动,所以粒子的运动轨迹不是抛物线,故A错误;粒子在匀强磁场中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得r=,由图示粒子的运动轨迹可知,在铅板上方粒子的轨道半径较小,速度较小,故B错误;粒子穿过铅板后能量有损失,粒子的速度v减小,做圆周运动的轨道半径r减小,所以粒子从下向上穿过铅板,故C错误;粒子带正电,由左手定则可知,磁场方向垂直于纸面向里,故D正确.
12.负电 = >
[解析] 由左手定则可知, M带负电;根据T=可知,两粒子做圆周运动的周期相同,都运动了半个圆周,所以M运动的时间等于N运动的时间;根据qvB=m,可得v=,因M的轨道半径较大,所以M的入射速度大于N的入射速度.
13.(1)2 m/s (2)0.1 N,方向竖直向下 (3)20.1 N,方向竖直向下
[解析] (1)滑块运动过程中洛伦兹力不做功,由动能定理得mgR-qER=m
解得滑块到达C点时的速度vC=2 m/s.
(2)根据洛伦兹力公式得f=qvCB=0.1 N
由左手定则可知,洛伦兹力方向竖直向下.
(3)在C点时,滑块受到四个力作用,如图所示
由牛顿第二定律得N-mg-qvCB=m
解得N=20.1 N
根据牛顿第三定律可得,在C点时滑块对轨道的压力为N'=20.1 N,方向竖直向下.
14.(1) (2)
[解析] (1)正、负粒子在磁场中做匀速圆周运动,轨迹如图所示,由洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m
由几何关系可知2×2rsin 30°=L
联立解得B=.
(2)由图可知,正粒子在磁场中转过的圆心角为300°,负粒子在磁场中转过的圆心角为60°,两粒子运动的周期均为T=
则两粒子射入磁场的时间差Δt=T=·== .第2课时 带电粒子在匀强磁场中的运动
学习任务一 带电粒子在匀强磁场中的运动
[物理观念] 如果沿着与磁场垂直的方向发射一带电粒子(带电粒子的重力忽略不计),则:
(1)粒子 (选填“一定”或“不一定”)在与磁场垂直的平面内运动.
(2)粒子在磁场中做 运动,判断的依据是什么
例1 [2024·厦门一中月考] 一质子在匀强磁场中运动,不考虑其他场力(重力)作用,下列说法中正确的是( )
A.可能做匀变速直线运动
B.可能做匀变速曲线运动
C.可能做匀速直线运动
D.只能做匀速圆周运动
[反思感悟]
【要点总结】
1.若v∥B,则带电粒子以速度v做匀速直线运动.(此情况下洛伦兹力F=0)
2.若v⊥B,则带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动.
学习任务二 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
[教材链接] 阅读教材,完成以下填空:
(1)向心力:若v⊥B,则向心力由洛伦兹力f提供,即 =m.
(2)轨道半径:r= .由半径公式可知,带电粒子运动的轨道半径与运动的速率、粒子的质量成正比,与电荷量和磁感应强度成反比.
(3)运动周期:由T=可得T= .由周期公式可知,带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比,与电荷量和磁感应强度成反比,而与 和 无关.
[科学探究] 如图所示,可用洛伦兹力演示仪观察带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹.
(1)不加磁场时,电子束的运动轨迹为 .
(2)加上磁场时,电子束的运动轨迹为 .
(3)如果保持出射电子的速度不变,增大磁感应强度,轨迹圆的半径将 ,如果保持磁感应强度不变,增大出射电子的速度,轨迹圆的半径将 .
例2 [2024·福州四中月考] 两个粒子带电荷量相等,在同一匀强磁场中只受洛伦兹力而做匀速圆周运动.下列说法正确的是 ( )
A.若速率相等,则轨道半径必相等
B.若质量相等,则周期必相等
C.若质量相等,则轨道半径必相等
D.若动能相等,则周期必相等
变式1 质量和电荷量都相等的带电粒子M和N以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场,运动的轨迹如图中虚线所示,下列说法正确的是 ( )
A.M带负电,N带正电
B.M的速率小于N的速率
C.洛伦兹力对M、N做正功
D.M在磁场中运动的时间大于N在磁场中运动的时间
[反思感悟]
【要点总结】
1.分析带电粒子在磁场中的匀速圆周运动,要紧抓洛伦兹力提供向心力,即qvB=m.
2.轨道半径:r=.同一粒子在同一磁场中,r与v成正比.
3.周期:T==.T与速度v无关,与半径r无关.
学习任务三 霍尔效应
[模型建构] 如图所示,高为h、宽为d的金属导体(自由电荷是电子)置于磁感应强度为B的匀强磁场中,当电流通过金属导体时,在金属导体的上表面A和下表面A'之间产生电势差,这种现象称为霍尔效应,此电压称为霍尔电压.
(1)分析说明霍尔电压产生的原因.
(2)如图所示,金属导体中的电流I向右时,上表面A和下表面A'谁的电势高
(3)设电子电荷量为e,金属导体单位体积中的自由电子数为n,电流大小为I,请推导AA'间的霍尔电压U的表达式.
例3 [2023·福建师大附中月考] 笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件.当显示屏开启时磁体远离霍尔元件,电脑正常工作;当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件,屏幕熄灭,电脑进入休眠状态.如图所示,有一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件,元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子,通入方向向右的电流时,电子的定向移动速度为v.当显示屏闭合时,元件处于垂直于上表面向下的匀强磁场中,于是元件的前、后表面间出现电压U,以此控制屏幕的熄灭.由此可知 ( )
A.元件的前表面的电势比后表面的电势低
B.元件前、后表面间的电压U与v无关
C.元件前、后表面间的电压U与c成正比
D.元件中的自由电子受到的洛伦兹力大小为
[反思感悟]
【要点总结】
1.当磁场方向与电流方向垂直时,由于电子受到洛伦兹力的作用发生偏转,导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差.
2.根据左手定则判断电势的高低.
3.根据静电力与洛伦兹力平衡,有qE=qvB,电流的微观表达式为I=nqvS,又知S=hd,则霍尔电压U=Eh=Bhv=.利用霍尔效应可以测量磁感应强度B,B=∝U.
带电粒子斜射入匀强磁场时的运动情况
带电粒子以某一角度θ斜射入匀强磁场时,在垂直于磁场的方向上以分速度v1做匀速圆周运动,在平行于磁场的方向上以分速度v2做匀速直线运动,因此带电粒子沿着磁感线方向做螺旋形运动.
分析带电粒子做螺旋形运动示意图
示例1 [2024·漳州一中月考] 2023年12月1日晚,我国多地出现绝美极光,实际上极光是太阳风和地球磁场相互作用产生的.地磁产生至少有35亿年历史,它通过地球内部延伸到宇宙中,形成地球磁层,这个磁层可以阻挡太阳带电粒子流的侵害,保护地球的大气层和自然生态.如图所示是来自太阳的高能带电粒子流被地磁场俘获后的运动轨迹示意图.忽略引力和带电粒子间的相互作用,以下说法正确的是 ( )
A.极光现象只能出现在北半球
B.带电粒子在靠近地球北极过程中旋转周期变大
C.带电粒子在靠近地球北极过程中动能增大
D.图中所示的带电粒子流带负电
示例2 [2024·湖南长郡中学月考] 我国最北的城市漠河地处高纬度地区,在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”.极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响,与空气分子作用的发光现象,若宇宙粒子带正电,因入射速度与地磁方向不垂直,故其轨迹偶成螺旋状,如图所示(相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距Δs).下列说法正确的是 ( )
A.带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用,在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
B.若越靠近两极地磁场越强,则随着纬度的增加,以相同速度入射的宇宙粒子的旋转半径增大
C.漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向(从下往上看)向前旋进
D.当不计空气阻力时,若入射粒子的速率不变,仅减小与地磁场的夹角,则旋转半径减小,而螺距Δs增大
1.(半径公式的应用)[2023·福州一中月考] 电子与质子速度相同,都从O点射入匀强磁场区,画出了其四个粒子的运动轨迹如图所示,关于电子和质子运动的可能轨迹,下列判断正确的是 ( )
A.a是电子的运动轨迹,d是质子的运动轨迹
B.b是电子的运动轨迹,c是质子的运动轨迹
C.c是电子的运动轨迹,b是质子的运动轨迹
D.d是电子的运动轨迹,a是质子的运动轨迹
2.(半径公式和周期公式) 质子和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,轨迹半径分别为R1和R2,周期分别为T1和T2,则 ( )
A.R1∶R2=1∶2,T1∶T2=1∶2
B.R1∶R2=1∶1,T1∶T2=1∶1
C.R1∶R2=1∶1,T1∶T2=1∶2
D.R1∶R2=1∶2,T1∶T2=1∶1
3.(带电粒子在匀强磁场中的运动)[2024·三明一中月考] 某带电粒子以速度v垂直射入匀强磁场中,粒子
做半径为R的匀速圆周运动;若粒子的速度变为2v,则下列说法正确的是 ( )
A.粒子运动的周期变为原来的
B.粒子运动的半径仍为R
C.粒子运动的加速度变为原来的4倍
D.粒子运动轨迹所包围的磁通量变为原来的4倍
4.(霍尔效应)[2024·福州一中月考] 利用霍尔效应制作的霍尔元件广泛应用于测量和自动控制等领域.如图所示是霍尔元件的工作原理示意图,磁感应强度B方向垂直于霍尔元件的表面向下,通入图示方向的电流I,C、D两侧面会形成电势差UCD.下列说法中正确的是 ( )
A.霍尔元件的上、下表面的距离越大,则UCD越大
B.若霍尔元件的载流子是自由电子,则电势差UCD<0
C.仅增大电流I时,电势差UCD不变
D.如果仅将霍尔元件改为电解质溶液,其他条件不变,则电势差UCD将变大第2课时 带电粒子在匀强磁场中的运动建议用时:40分钟
◆ 知识点一 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.如图所示,一带正电的粒子以速度v沿螺线管中轴线进入该通电螺线管,若不计重力,则粒子 ( )
A.沿螺线管中轴线做匀速直线运动
B.沿螺线管中轴线做匀加速直线运动
C.沿螺线管中轴线做往复运动
D.沿螺线管中轴线做匀减速直线运动
2.[2024·三明一中期末] 一个电子穿过某一空间而未发生偏转,则 ( )
A.此空间一定不存在磁场
B.此空间一定不存在电场
C.此空间可能同时有电场和磁场
D.此空间可能只有匀强磁场,且磁场方向与电子速度方向垂直
◆ 知识点二 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
3.[2024·南平一中月考] 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.速度越大,则周期越大
B.速度越小,则周期越大
C.速度方向与磁场方向平行
D.速度方向与磁场方向垂直
4.如图所示,水平导线中有电流I通过,导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同,则电子可能 ( )
A.沿路径a运动,轨迹是圆
B.沿路径a运动,轨迹半径越来越大
C.沿路径a运动,轨迹半径越来越小
D.沿路径b运动,轨迹半径越来越小
5.[2024·平潭一中月考] 如图所示,磁感应强度分别为B1、B2的两个相邻的匀强磁场区域以MN为分界线,方向均垂直于纸面.有甲、乙两个电性相同的粒子沿纸面分别以速率v1和v2同时从边界的a、c点垂直于边界射入磁场,经过一段时间后甲、乙两粒子恰好在b点相遇(不计重力及两粒子间的相互作用力),O1和O2分别位于所在半圆的圆心, 其中R1=2R2.下列说法正确的是 ( )
A.两磁场的方向相反
B.v1=2v2
C.甲、乙两粒子做匀速圆周运动的周期不同
D.若B1=B2,则甲、乙两粒子的比荷不同
6.[2024·莆田二中月考] 在光滑水平面上,细绳的一端拴一带正电的小球,小球绕细绳的另一端沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆心为O,水平面处于竖直向下的足够大的匀强磁场中,如图所示(俯视).某时刻细绳突然断裂,则下列推断正确的是 ( )
A.小球将离圆心O越来越远,且速率越来越小
B.小球将离圆心O越来越远,且速率保持不变
C.小球将做匀速圆周运动,运动周期与绳断前的周期一定相等
D.小球将做匀速圆周运动,运动半径与绳断前的半径可能相等
◆ 知识点三 霍尔效应
7.如图所示,截面为矩形的载流金属导线置于磁场中,对于将出现的情况,下列说法正确的是 ( )
A.在b表面聚集正电荷,a表面聚集负电荷
B.在a表面聚集正电荷,b表面聚集负电荷
C.开始通电时,电子做定向移动并向b偏转
D.两个表面电势不同,a表面电势较高
8.(多选)如图所示, 两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面向里,不计粒子的重力.当它们从磁场下边界飞出时,相对入射方向的偏转角分别为90°、60°,则它们在磁场中运动的 ( )
A.轨道半径之比为1∶2
B.速度之比为2∶1
C.时间之比为3∶2
D.周期之比为2∶1
9.[2024·南安一中期末] 目前有一种磁强计,用于测定地磁场的磁感应强度.磁强计的原理如图所示,电路中有一段金属导体,它的横截面是宽为a、高为b的长方形,放在沿y轴正方向的匀强磁场中,导体中通有沿x轴正方向、大小为I的电流.已知金属导体单位体积中的自由电子数为n,电子电荷量为e,金属导电过程中,自由电子所做的定向移动可视为匀速运动.两电极M、N分别与金属导体的前、后两侧面接触,用电压表测出金属导体前、后两个侧面间的电势差为U,则磁感应强度的大小和电极M、N的正负为 ( )
A.,M正、N负
B.,M正、N负
C.,M负、N正
D.,M负、N正
10.[2024·宁德高级中学月考] 如图所示,在矩形区域MNQP中有一垂直于纸面向里的匀强磁场,质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场,图中实线是它们的运动轨迹.已知O是PQ的中点,不计粒子重力.下列说法中正确的是 ( )
A.射入磁场时粒子a的速率最小
B.粒子a带负电,粒子b、c带正电
C.射出磁场时粒子b的动能最小
D.粒子b在磁场中运动的时间最短
11.[2024·漳州三中月考] 安德森利用云室照片观察到宇宙射线垂直进入匀强磁场时运动轨迹发生弯曲.照片如图所示,在垂直于照片平面的匀强磁场(照片中未标出)中,高能宇宙射线穿过铅板时,有一个粒子的轨迹和电子的轨迹相同,但弯曲的方向相反.这种前所未知的粒子与电子质量相同,但电性却相反.安德森发现这正是狄拉克预言的正电子.正电子的发现,开辟了反物质领域的研究,安德森获得1936年诺贝尔物理学奖.关于照片中的信息,下列说法正确的是 ( )
A.粒子的运动轨迹是抛物线
B.粒子在铅板上方运动的速度大于在铅板下方运动的速度
C.粒子从上向下穿过铅板
D.匀强磁场的方向垂直于照片平面向里
12.[2024·福建师大附中月考] 质量和电荷量大小都相等的带电粒子M和N以不同的速率经小孔S垂直进入有界匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,不计粒子重力,M和N运动的半圆轨迹如图中的虚线所示,则 M带 (选填“正电”或“负电”);M运动的时间 (选填“>”“=”或“<”)N运动的时间,M的入射速度 (选填“>”“=”或“<”)N的入射速度.
13.[2024·福州三中月考] 如图所示,质量为m=1 kg、电荷量为q=5×10-2 C的带正电荷的小滑块从半径为R=0.4 m的光滑固定绝缘圆弧轨道上由静止自A端滑下,OA为水平半径,OC为竖直半径.整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中.已知电场强度大小为E=100 V/m,方向水平向右,磁感应强度大小为B=1 T,方向垂直于纸面向里,g取10 m/s2.求:
(1)滑块到达C点时的速度大小;
(2)在C点时滑块所受的洛伦兹力;
(3)在C点时滑块对轨道的压力.
14.如图所示,坐标系xOy的第一、二象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0射入磁场,v0与x轴正方向的夹角为30°,一段时间后另一个质量为m、带电荷量为-q的粒子以相同的速度从O点射入磁场,最后两粒子同时从x轴上离开磁场,离开磁场时两粒子相距为L.不计粒子的重力和粒子之间的相互作用,求:
(1)磁感应强度B的大小;
(2)两粒子射入磁场的时间差.(共40张PPT)
第2节 洛伦兹力
第2课时 带电粒子在匀强磁场中的运动
学习任务一 带电粒子在匀强磁场中的运动
学习任务二 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
学习任务三 霍尔效应
素养提升
备用习题
随堂巩固
学习任务一 带电粒子在匀强磁场中的运动
［物理观念］ 如果沿着与磁场垂直的方向发射一带电粒子(带电粒子的重力忽略不计)，则：
(1) 粒子______(选填“一定”或“不一定”)在与磁场垂直的平面内运动.
(2) 粒子在磁场中做__________运动，判断的依据是什么？
一定
匀速圆周
[答案] 由于洛伦兹力始终与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，因此洛伦兹力起到向心力的作用，粒子做匀速圆周运动.
例1 [2024·厦门一中月考] 一质子在匀强磁场中运动，不考虑其他场力(重力)作用，下列说法中正确的是( )
C
A.可能做匀变速直线运动 B.可能做匀变速曲线运动
C.可能做匀速直线运动 D.只能做匀速圆周运动
[解析] 质子在磁场中若受到洛伦兹力的作用，因洛伦兹力的方向始终与速度方向垂直，改变速度方向，因而同时也改变洛伦兹力的方向，故洛伦兹力是变力，质子不可能做匀变速运动，故A、B错误;质子在匀强磁场中运动时所受的洛伦兹力跟速度方向与磁场方向的夹角有关，当速度方向与磁场方向平行时，它不受洛伦兹力作用，又不受其他力作用，这时它将做匀速直线运动，故C正确; 只有当速度方向与磁场方向垂直时，质子才做匀速圆周运动，如果速度方向与磁场方向不垂直，则质子不做匀速圆周运动，故D错误.
【要点总结】
1.若，则带电粒子以速度做匀速直线运动.(此情况下洛伦兹力)
2.若，则带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度做匀速圆周运动.
学习任务二 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
［教材链接］ 阅读教材,完成以下填空：
(1) 向心力：若,则向心力由洛伦兹力提供，即_____.
(2) 轨道半径：____.由半径公式可知，带电粒子运动的轨道半径与运动的速率、粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比.
(3) 运动周期：由可得_____.由周期公式可知，带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而与__________和__________无关.
轨道半径
运动速率
［科学探究］ 如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹.
(1) 不加磁场时，电子束的运动轨迹为__________.
(2) 加上磁场时，电子束的运动轨迹为________.
(3) 如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆的半径将______，如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆的半径将______.
一条直线
一个圆
变小
变大
例2 [2024·福州四中月考] 两个粒子带电荷量相等，在同一匀强磁场中只受洛伦兹力而做匀速圆周运动.下列说法正确的是( )
B
A.若速率相等，则轨道半径必相等 B.若质量相等，则周期必相等
C.若质量相等，则轨道半径必相等 D.若动能相等，则周期必相等
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，有，可得，.由于两个带电粒子的电荷量相等，磁感应强度B相同，所以若速率相等而质量不相等，或者质量相等而速率不相等，则半径不相等，故A、C错误；两粒子若质量相等，则周期必相等，若动能相等，而速率不相等，则二者质量不相等，周期不相相等，故B正确，D错误.
变式 质量和电荷量都相等的带电粒子和以不同的速率经小孔垂直进入匀强磁场，运动的轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是( )
A
A.带负电，带正电
B.的速率小于的速率
C.洛伦兹力对、做正功
D.在磁场中运动的时间大于在磁场中运动的时间
[解析] 根据左手定则可知，带正电，带负电，A正确；根据半径公式，由于的轨道半径大于的轨道半径，所以的速率大于的速率，B错误；洛伦兹力不做功，C错误；和在磁场中运动的时间都为，D错误.
【要点总结】
1.分析带电粒子在磁场中的匀速圆周运动,要紧抓洛伦兹力提供向心力,即.
2.轨道半径：.同一粒子在同一磁场中，与成正比.
3.周期：.与速度无关,与半径无关.
学习任务三 霍尔效应
［模型建构］ 如图所示，高为、宽为的金属导体(自由电荷是电子)置于磁感应强度为的匀强磁场中,当电流通过金属导体时,在金属导体的上表面和下表面之间产生电势差,这种现象称为霍尔效应,此电压称为霍尔电压.
(1) 分析说明霍尔电压产生的原因.
[答案] 金属导体中电子的定向移动形成电流，外部磁场使运动的电子受到洛伦兹力而聚集在导体板的一侧，导体板的另一侧失去电子而带正电荷，从而形成电场，电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力，当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体上、下两侧会形成稳定的电势差，即霍尔电压.
(2) 如图所示,金属导体中的电流向右时，上表面和下表面谁的电势高？
[答案] 根据左手定则可知，电子受到的洛伦兹力方向向上，所以下表面的电势高.
(3) 设电子电荷量为,金属导体单位体积中的自由电子数为，电流大小为，请推导间的霍尔电压的表达式.
[答案] 设电子定向移动的速度为，根据静电力与洛伦兹力平衡，有，电流的微观表达式为，其中,可知.
例3 [2023·福建师大附中月考] 笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件.当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态.如图所示，有一块宽为、长为的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为.当显示屏闭合时，元件处于垂直于上表面向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压，以此控制屏幕的熄灭.由此可知( )
A.元件的前表面的电势比后表面的电势低
B.元件前、后表面间的电压与无关
C.元件前、后表面间的电压与成正比
D.元件中的自由电子受到的洛伦兹力大小为
D
[解析] 当通入题图所示方向的电流时，根据左手定则可知，后表面聚集大量的自由电子，所以前表面的电势比后表面的电势高，A错误；当电路稳定时，自由电子受到的静电力和洛伦兹力平衡，即，得，前、后表面间的电压，可知B、C错误；自由电子受到的洛伦兹力大小，D正确.
【要点总结】
1.当磁场方向与电流方向垂直时，由于电子受到洛伦兹力的作用发生偏转，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差.
2.根据左手定则判断电势的高低.
3.根据静电力与洛伦兹力平衡，有，电流的微观表达式为，又知,则霍尔电压.利用霍尔效应可以测量磁感应强度,.
带电粒子斜射入匀强磁场时的运动情况
带电粒子以某一角度 斜射入匀强磁场时，在垂直于磁场的方向上以分速度做匀速圆周运动，在平行于磁场的方向上以分速度做匀速直线运动，因此带电粒子沿着磁感线方向做螺旋形运动.
分析带电粒子做螺旋形运动示意图
示例1 [2024·漳州一中月考] 2023年12月1日晚，我国多地出现绝美极光，实际上极光是太阳风和地球磁场相互作用产生的.地磁产生至少有35亿年历史，它通过地球内部延伸到宇宙中，形成地球磁层，这个磁层可以阻挡太阳带电粒子流的侵害，保护地球的大气层和自然生态.如图所示是来自太阳的高能带电粒子流被地磁场俘获后的运动轨迹示意图.忽略引力和带电粒子间的相互作用，以下说法正确的是( )
A.极光现象只能出现在北半球
B.带电粒子在靠近地球北极过程中旋转周期变大
C.带电粒子在靠近地球北极过程中动能增大
D.图中所示的带电粒子流带负电
D
[解析] 地球的南、北半球的中高纬度都有可能出现极光现象，故A错误；南、北两极的磁感应强度较强，粒子在运动过程中，由洛伦兹力提供向心力，周期为，所以当磁感应强度增大时，周期减小，故B错误；洛伦兹力始终与速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功，粒子的动能不变，故C错误；地球的磁场由南向北，根据左手定则可知，粒子带负电，故D正确.
示例2 [2024·湖南长郡中学月考] 我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”.极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响，与空气分子作用的发光现象，若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状，如图所示(相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距).下列说法正确的是( )
D
A.带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
B.若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的旋转半径增大
C.漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向(从下往上看)向前旋进
D.当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变，仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距增大
[解析] 带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，在洛伦兹力作用下的旋转半径会变小，A错误；若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，地磁场
变强，以相同速度入射的宇宙粒子的旋转半径会变小，B错误；漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，带正电的宇宙粒子入射后，由左手定则可知，从下往上看将以顺时针方向向前旋进，C错误；当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动，若带电粒子运动速率不变，与地磁场的夹角变小，则速度垂直于磁场的分量变小，故粒子在垂直于磁场方向的旋转半径会减小，即直径D减小，而速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的匀速直线运动将变快，即螺距将增大，D正确.
1. (多选) 处于匀强磁场中的一个带电粒子仅在磁场力作用下做匀速圆周运动，
若将该粒子的运动等效为环形电流，则此电流值( )
BD
A.与粒子电荷量成正比 B.与粒子的运动速率无关
C.与粒子质量成正比 D.与磁场的磁感应强度成正比
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 ，解得 ，由
可得 ，则 ，所以等效电流与粒子速率无关，与粒
子电荷量的二次方成正比，与粒子质量成反比，与磁感应强度成正比，故A、
C错误，B、D正确.
2.如图所示，圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)，三个质量和电荷
量均相同的带电粒子 、 、 以不同的速率对准圆心 沿着 方向射入磁
场，其运动轨迹如图所示.若带电粒子只受洛伦兹力的作用，则下列说法正确
的是( )
C
A. 粒子的动能最大
B. 粒子在磁场中运动的时间最长
C. 粒子的速率最大
D.它们做圆周运动的周期
[解析] 当粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹
力提供向心力，根据 可得 ，粒子
的动能 ，三个带电粒子的质量、电荷量相
同，在同一个磁场中，速度越大，则轨迹半径越大，由图知， 粒子的速率最
小， 粒子的速率最大， 粒子的动能最大，故A错误，C正确；粒子运动的周
期 ，由 可知，三粒子运动的周期相同， 在磁场中运动的偏
转角最大，在磁场中运动的时间最长，故B、D错误.
3.环形对撞机是研究高能粒子的重要装置.
如图所示，正、负粒子由静止经过电压为
的直线加速器加速后，沿圆环切线方向
注入对撞机的真空环状空腔内，空腔内存在与圆环平面垂直的匀强磁场，调节
磁感应强度的大小，可使两种带电粒子被局限在环状空腔内沿相反方向做半径
相等的匀速圆周运动，并在碰撞区内迎面相撞.为维持带电粒子沿环状空腔的中
心线做匀速圆周运动，下列说法正确是( )
A.对于给定的加速电压，带电粒子的比荷 越大，则磁感应强度 越小
B.对于给定的加速电压，带电粒子的比荷 越大，则磁感应强度 越大
C.对于给定的带电粒子，加速电压 越大，则粒子做圆周运动的周期越大
D.对于给定的带电粒子，粒子做圆周运动的周期与加速电压 无关
√
[解析] 粒子在加速电场中运动，根据动能定理得 ，粒子在匀强磁
场中运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 ，解得粒
子做圆周运动的半径 ，周期 ，对于给定的加速电压， 不变，
由题意知， 不变，带电粒子的比荷 越大，则 越小，故A正确，B错误；
加速电压 越大，则粒子获得的速度 越大，要保持半径 不变， 应增大，
则 会减小，故C、D错误.
4. (多选) 如图所示，在一匀强磁场中有三个带电粒子，
其中1和2为质子、3为 粒子 的轨迹.它们在同一平
面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，三者轨道半径
，并相切于 点，设 、 、 、 分别表示它们做圆周运动的周期、线速
度、向心加速度以及各自从经过 点算起到第一次通过图中虚线 所经历的
时间，则( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为
， 与比荷成反比，质子与 粒子的比荷之比为
，则 ，A正确；带电粒子在匀强磁场中做
匀速圆周运动的半径为 ，粒子的速度 ，1、
2都是质子， 、 相等，已知 ，故 ，质子的比荷是 粒子比
荷的2倍，如果2的轨道半径是3的两倍，则质子2的速度与 粒子的速度相等，
题目中没有说明2的半径小于3的半径的两倍，所以不能判断 与 的关系，
B错误；粒子的加速度为 ，因为 ，故
， 最小，同时 粒子的 最小，所以可以判
断 最小，C错误；由图可知，质子2轨迹的圆心角大于
质子1轨迹的圆心角，所以质子2的运动时间大于质子1的
运动时间，即 ，同理可得， 粒子轨迹的圆心角大于
质子2轨迹的圆心角，同时由于 ，所以 粒子的运动时间大于质子2的
运动时间，即 ，所以 ，故D正确.
5.如图所示， 是匀强磁场里的一片金属片，其平面与磁场方向平行，一个
粒子从某点以与 垂直的速度射出，动能为 ，该粒子在磁场中的运动轨
迹如图所示.今测得它在金属片两边的轨道半径之比是 ，若在穿越金属板
过程中粒子受到的阻力大小及电荷量恒定，则下列说法正确的是( )
B
A.该粒子的动能增加了
B.该粒子的动能减少了
C.该粒子做圆周运动的周期减小
D.该粒子最多能穿越金属板6次
[解析] 根据 ，可得 ，所以
，即 ，又因为动能 ，
所以初动能为 ，穿过金属板后的动能
，粒子每穿过一次
金属片，损失的动能 ，所以 ，
即该粒子最多能穿过的金属板的次数为5次，故B正确，A、D错误；带电粒子
在磁场中做圆周运动的周期，根据 可知， ，解得 ，
可知周期与速度无关，故C错误.
6.初速度为零的 粒子和质子经过相同的加速电场后，垂直进入同一匀强磁场
中做匀速圆周运动.已知 粒子和质子的质量之比 ，电荷量之比
，则它们在磁场中做匀速圆周运动的半径之比为多少？
[答案]
[解析] 粒子和质子从同一点由静止出发，经过相同的电场，都做匀加速直线运动，
设加速电场的电压为 ，根据动能定理得 ，解得 ，它们进入
同一匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得
，解得 ，则 .
1.(半径公式的应用)[2023·福州一中月考] 电子与质子速度相同，都从点射入匀强磁场区，画出了其四个粒子的运动轨迹如图所示，关于电子和质子运动的可能轨迹，下列判断正确的是( )
C
A.是电子的运动轨迹，是质子的运动轨迹 B.是电子的运动轨迹，是质子的运动轨迹
C.是电子的运动轨迹，是质子的运动轨迹 D.是电子的运动轨迹，是质子的运动轨迹
[解析] 根据轨道半径公式，由于电子质量小于质子质量，由题意可知，电子与质子有相同的速度，则电子运动轨迹的半径小于质子运动轨迹的半径，由于电子带负电，质子带正电，根据左手定则可知，电子右偏，质子左偏，故C正确，A、B、D错误.
2.(半径公式和周期公式) 质子和 粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径分别为和，周期分别为和，则( )
A
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 质子和 粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，根据轨迹半径公式，可知轨迹半径和粒子的质量与电荷量的比值成正比，故；根据周期公式，可知周期和粒子的质量与电荷量的比值成正比，故，选项A正确.
3.(带电粒子在匀强磁场中的运动)[2024·三明一中月考] 某带电粒子以速度垂直射入匀强磁场中，粒子
做半径为的匀速圆周运动；若粒子的速度变为，则下列说法正确的是( )
D
A.粒子运动的周期变为原来的
B.粒子运动的半径仍为
C.粒子运动的加速度变为原来的4倍
D.粒子运动轨迹所包围的磁通量变为原来的4倍
[解析] 粒子运动的周期，与粒子的速度无关，粒子运动的周期不变，故A错误；带电粒子做圆周运动的半径，若粒子的速度变为，则粒子运动的半径为，故B错误；粒子运动的加速度，若粒子的速度变为，则粒子运动的加速度变为原来的2倍，故C错误；粒子运动轨迹所包围的面积，若粒子的速度变为，则粒子运动轨迹所包围的磁通量变为原来的4倍，故D正确.
4.(霍尔效应)[2024·福州一中月考] 利用霍尔效应制作的霍尔元件广泛应用于测量和自动控制等领域.如图所示是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度方向垂直于霍尔元件的表面向下，通入图示方向的电流，、两侧面会形成电势差.下列说法中正确的是( )
B
A.霍尔元件的上、下表面的距离越大，则越大
B.若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差
C.仅增大电流时，电势差不变
D.如果仅将霍尔元件改为电解质溶液，其他条件不变，则电势差将变大
[解析] 若载流子是自由电子，则根据左手定则，电子向C表面偏转，C表面带负电，D表面带正电，所以D表面的电势高，即，C、D间存在电势差，就存在电场，电子在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡状态，设霍尔元件的长、宽、高分别为、、，有，，联立解得，所以霍尔元件的上、下表面的距离越大，则越小，故A错误，B正确；由表达式可知，仅增大电流时，电势差增大，故C错误；若仅将霍尔元件改为电解质溶液，其他条件不变，则阴、阳离子都向一个方向偏转，电势差将变小或者变为零，故D错误.第2课时 带电粒子在匀强磁场中的运动
[物理观念] (1)一定
(2)匀速圆周 由于洛伦兹力始终与速度方向垂直,不改变速度的大小,只改变速度的方向,因此洛伦兹力起到向心力的作用,粒子做匀速圆周运动.
例1 C [解析] 质子在磁场中若受到洛伦兹力的作用,因洛伦兹力的方向始终与速度方向垂直,改变速度方向,因而同时也改变洛伦兹力的方向,故洛伦兹力是变力,质子不可能做匀变速运动,故A、B错误;质子在匀强磁场中运动时所受的洛伦兹力跟速度方向与磁场方向的夹角有关,当速度方向与磁场方向平行时,它不受洛伦兹力作用,又不受其他力作用,这时它将做匀速直线运动,故C正确; 只有当速度方向与磁场方向垂直时,质子才做匀速圆周运动,如果速度方向与磁场方向不垂直,则质子不做匀速圆周运动,故D错误.
[教材链接] (1)qvB (2) (3) 轨道半径 运动速率
[科学探究] (1)一条直线 (2)一个圆 (3)变小 变大
例2 B [解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动时由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得r=,T==.由于两个带电粒子的电荷量q相等,磁感应强度B相同,所以若速率相等而质量不相等,或者质量相等而速率不相等,则半径r不相等,故A、C错误;两粒子若质量相等,则周期必相等,若动能相等,而速率不相等,则二者质量不相等,周期不相相等,故B正确,D错误.
变式1 A [解析] 根据左手定则可知,N带正电,M带负电,A正确;根据半径公式r=,由于M的轨道半径大于N的轨道半径,所以M的速率大于N的速率,B错误;洛伦兹力不做功,C错误;M和N在磁场中运动的时间都为t==,D错误.
[模型建构] (1)金属导体中电子的定向移动形成电流,外部磁场使运动的电子受到洛伦兹力而聚集在导体板的一侧,导体板的另一侧失去电子而带正电荷,从而形成电场,电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力,当静电力与洛伦兹力达到平衡时,导体上、下两侧会形成稳定的电势差,即霍尔电压.
(2)根据左手定则可知,电子受到的洛伦兹力方向向上,所以下表面A'的电势高.
(3)设电子定向移动的速度为v,根据静电力与洛伦兹力平衡,有eE=evB,电流的微观表达式为I=nevS,其中S=hd,可知U=Eh=Bhv=.
例3 D [解析] 当通入题图所示方向的电流时,根据左手定则可知,后表面聚集大量的自由电子,所以前表面的电势比后表面的电势高,A错误;当电路稳定时,自由电子受到的静电力和洛伦兹力平衡,即eE=evB,得E=vB,前、后表面间的电压U=Ea=vBa,可知B、C错误;自由电子受到的洛伦兹力大小F=eE=,D正确.
素养提升
示例1 D [解析] 地球的南、北半球的中高纬度都有可能出现极光现象,故A错误;南、北两极的磁感应强度较强,粒子在运动过程中,由洛伦兹力提供向心力,周期为T=,所以当磁感应强度增大时,周期减小,故B错误;洛伦兹力始终与速度方向垂直,所以洛伦兹力不做功,粒子的动能不变,故C错误;地球的磁场由南向北,根据左手定则可知,粒子带负电,故D正确.
示例2 D [解析] 带电粒子进入大气层后,由于与空气相互作用,粒子的运动速度会变小,在洛伦兹力作用下的旋转半径r=会变小,A错误;若越靠近两极地磁场越强,则随着纬度的增加,地磁场变强,以相同速度入射的宇宙粒子的旋转半径会变小,B错误;漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的,带正电的宇宙粒子入射后,由左手定则可知,从下往上看将以顺时针方向向前旋进,C错误;当不计空气阻力时,将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解,沿磁场方向将做匀速直线运动,垂直于磁场方向做匀速圆周运动,若带电粒子运动速率不变,与地磁场的夹角变小,则速度垂直于磁场的分量变小,故粒子在垂直于磁场方向的旋转半径会减小,即直径D减小,而速度沿磁场方向的分量变大,故沿磁场方向的匀速直线运动将变快,即螺距Δs将增大,D正确.
随堂巩固
1.C [解析] 根据轨道半径公式r=,由于电子质量小于质子质量,由题意可知,电子与质子有相同的速度,则电子运动轨迹的半径小于质子运动轨迹的半径,由于电子带负电,质子带正电,根据左手定则可知,电子右偏,质子左偏,故C正确,A、B、D错误.
2.A [解析] 质子和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,根据轨迹半径公式R=,可知轨迹半径和粒子的质量与电荷量的比值成正比,故R1∶R2=∶=1∶2;根据周期公式T=,可知周期和粒子的质量与电荷量的比值成正比,故T1∶T2=1∶2,选项A正确.
3.D [解析] 粒子运动的周期T==,与粒子的速度无关,粒子运动的周期不变,故A错误;带电粒子做圆周运动的半径R=,若粒子的速度变为2v,则粒子运动的半径为2R,故B错误;粒子运动的加速度a==,若粒子的速度变为2v,则粒子运动的加速度变为原来的2倍,故C错误;粒子运动轨迹所包围的面积S=πR2=π,若粒子的速度变为2v,则粒子运动轨迹所包围的磁通量变为原来的4倍,故D正确.
4.B [解析] 若载流子是自由电子,则根据左手定则,电子向C表面偏转,C表面带负电,D表面带正电,所以D表面的电势高,即UCD<0,C、D间存在电势差,就存在电场,电子在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡状态,设霍尔元件的长、宽、高分别为a、b、c,有q=qvB,I=nqvS=nqvbc,联立解得U=,所以霍尔元件的上、下表面的距离越大,则UCD越小,故A错误,B正确;由表达式U=可知,仅增大电流I时,电势差UCD增大,故C错误;若仅将霍尔元件改为电解质溶液,其他条件不变,则阴、阳离子都向一个方向偏转,电势差UCD将变小或者变为零,故D错误.
