人教版（2019） 必修 第三册 第十章 静电场中的能量3 电势差与电场强度的关系同步练习（含解析）

10.3 电势差与电场强度的关系
一、单选题
1.如图，有一匀强电场的电场强度方向与圆所在平面平行，圆的半径，圆周上的个点、、的电势分别为、、，其中为圆的直径，，则该匀强电场电场强度大小为( )
A. B. C. D.
2.如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线、、，已知，带电荷量相等的、两带电粒子从等势线上的点以相同的初速度飞出．仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 一定带正电，一定带负电
B. 、两点间的电势差等于、两点间的电势差
C. 粒子到达等势线的动能变化量比粒子到达等势线的动能变化量小
D. 加速度减小，电势能减少，加速度增大，电势能增加
3.如图所示，空间存在沿轴方向的电场，轴正方向为电场强度正方向，原点到间的图线为直线，轴上下方图像与轴围成的面积相等。一个电荷量大小为的粒子在点由静止释放，一段时间后运动到处，不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
A. 该粒子带负电
B. 处的电势低于处的电势
C. 粒子在处的动能为
D. 点到之间电势差等于到之间电势差
4.如图，、、为圆周上三点，为圆心，半径为，，空间中存在与纸面平行的匀强电场，、、三点的电势分别为、、，下列说法正确的是 ( )
A. 电场强度沿方向 B. 电场强度沿方向
C. 电场强度的大小为 D. 电场强度的大小为
5.真空中有两个点电荷和，分别固定在负半轴上某点和坐标原点处。取无限远处的电势为，正半轴上各点电势随的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A. 带正电，带负电
B. 处的电场强度为零
C. 负半轴上有一点场强与处相同
D. 一带负电的试探电荷在仅受电场力作用下沿轴从运动到的过程中动能一直增加
6.如图所示，平行金属板、相距，板间存在方向向上的匀强电场，电场强度大小，金属板所带电荷量保持不变。 C、为板间两点，点距板，到板。下列说法正确的是( )
A. C、两点间的电势差为
B. 若接地，则点的电势为
C. 若板接地，同时板下移，则点的电势小于
D. 一个电子从点移动到点，电势能减少了
7.某静电场在轴上的场强随的变化关系如图所示，轴正方向为场强正方向，其中、、、是间隔相等的四点，到范围内的图像与横轴所包围的面积为，对于电荷量为，质量为的正点电荷，下列说法正确的是( )
A. 处电势最高
B. 和处电势相等
C. 由静止释放仅在电场力作用下运动到时的动能
D. 由静止释放仅在电场力作用下运动到过程中，电势能先增大后减小
8.空间存在一匀强电场，电场中有三个固定点如图所示，，，。已知电场方向与三点所在的平面平行，三点的电势分别为、、。下列说法正确的是( )
A. 该电场的场强大小为
B. 该电场的方向由连线的中点指向点
C. 电子在点的电势能大于在点的电势能
D. 若一电子从点移动到点，电场力做的功为
9.如图所示，在直角坐标系中有、、三点，点坐标为，点坐标为，点坐标为，在矩形区域内存在平行于平面的匀强电场，一电子以大小为、与轴负方向成角的速度从点进入电场后，在仅受电场力作用下恰好经过点，已知、、三点的电势分别为、、，下列说法正确的是
A. 该匀强电场的电场强度大小为
B. 该匀强电场的电场强度大小为
C. 电子经过点时的速度大小为
D. 电子经过点时的速度大小为
10.如图甲所示，真空中相距固定放置两个点电荷、，以点电荷所在位置为坐标原点，、连线为轴建立坐标系，轴上各点电势随坐标变化的图像如图乙所示。如果取无穷远处为零电势点，点电荷的电势公式为，其中为静电力常量，为场源点电荷的电荷量，为某点距场源点电荷的距离。下列说法正确的是
A. 处的电场强度为零 B. 与处电场强度方向相同
C. D. 的电荷量是的电荷量的倍
二、多选题
11.如图所示，在匀强电场中有一个圆心为的虚线圆，电场方向与圆所在的平面平行，、、、分别为圆上的四个点，其中过圆心，，，。现将一个电子从点移动到点，电场力做的功为若将该电子从点移到点，电场力做的功为。下列说法正确的是( )
A. 取点电势为零，则点的电势为
B. 点处的电势比点处的电势高
C. 电场强度大小为，方向由点指向点
D. 若将电子从点移到点，则其电势能减小
12.如图所示，匀强电场的方向与直角所在的平面平行，，，将一电子从电场中的点移到点，克服静电力做功，将一质子从电场中的点移到点，静电力做功。关于该匀强电场，下列说法正确的是( )
A. 点的电势比点的电势高
B. 匀强电场的电场强度大小为
C. 匀强电场的场强方向垂直于斜向左上方
D. 三角形外接圆上所有点中电势差的最大值为
13.如图所示，两正对平行金属板、水平放置且与电源相连，下极板接地，在两金属板之间的点处固定一带正电的点电荷。初始时开关闭合，则下列说法正确的是( )
A. 若在两金属板之间放置一与金属板等大且具有一定厚度的金属板，则点的电场强度变大
B. 若在两金属板之间放置一与金属板等大且具有一定厚度的金属板，则点电荷的电势能增大
C. 断开开关，若在两金属板之间放置一与金属板等大且具有一定厚度的金属板，则点的电场强度不变
D. 断开开关，若在两金属板之间放置一与金属板等大且具有一定厚度的金属板，则点电荷的电势能增大
14.如图所示，竖直虚线、、、、是等势线且相邻之间电势差相等，一带正电粒子从点以竖直向上的初速度开始运动，经最高点后回到与点在同一水平线上的点，、、、、为粒子轨迹与等势线的交点。粒子从点运动到点的过程中克服重力做的功为，电场力做的功为。已知，则下列说法正确的是( )
A. B. 粒子在点时的电势能为
C. 粒子在点时的动能为 D. 粒子在点时的动能为
15.、两个点电荷分别固定于轴上，电量大小关系为。在它们形成的电场中，将试探电荷沿轴从移动到坐标原点，其电势能随变化的关系如图所示，当时，电势能当时，电势能。根据图像提供的信息，可以确定( )
A. 在轴上上各点的电场方向均沿轴正方向
B. 电荷在轴上的坐标为
C. 电荷为正电荷
D. 电荷在轴上的坐标为原点
16.如图所示，无限大接地金属板的垂线上、、三点恰将均分为四段，每段长度均为。在点固定一电荷量为的正点电荷，虚线分别为过、、三点的等势线，实线为某试探电荷仅在电场力作用下运动的轨迹，轨迹与等势线分别交于、、、、点。当该试探电荷运动到点时，其电势能、动能。已知一个点电荷与无限大金属板间的电场与等量异种点电荷连线中垂线一侧的电场分布相同。单个点电荷周围某点的电势，为该点到点电荷的距离，下列说法正确的是( )
A. 该试探电荷带负电
B. 点的场强大小为
C. 该试探电荷运动到点时的动能为
D. 该试探电荷分别从到和从到的运动过程中，电场力做的功相等
17.光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有、、三点，如图甲所示。时刻，将一质量为、电荷量为的带电小物块从点由静止释放，小物块沿光滑水平面经过、两点，其运动过程的图像如图乙所示，其中点的切线已画出且此时斜率最大，下列说法正确的是( )
A. 两点电荷均为正电荷
B. 中垂线上点电场强度最大，最大值为
C. 电势差
D. ，且
18.在轴上的点和点分别固定电荷量为和的点电荷，则轴上、之间的电势分布如图所示，为间电势最低点且距离更近，则下列说法正确的是( )
A. 从到区间的的场强沿轴正方向
B. 、为异种电荷
C. 点的左侧存在场强与相同的点
D. 电子由点移动到点的过程中，电子的动能先减小后增大
三、填空题
19.如图，匀强电场中有一平行于电场方向的正六边形，其顶点分别为、、、、、。电荷量为的负电荷在外力作用下从点移动到点，克服电场力做功从点移动到点，其电势能减少。正六边形顶点中电势最高的是 ，顶点、间的电势差为 。
20.平行的带电金属板、间是匀强电场，如图所示，两板间距离是，两板间的电压是。
两板间的场强是
电场中有和两点，点离板，点离板也是，和两点间的电势差 ，若将一个带电量为的电荷放在点，则该电荷在处的电势能是 。
21.两电荷量分别为和的点电荷放在轴上的，两点，两电荷连线上各点电势随变化的关系如图所示，其中，两点的电势均为零，段中的点电势最高，则，_____填、、，间的电场强度方向向____________轴正方向或轴负方向，点的电场强度大小为__________。
四、计算题
22.如图所示，粗糙水平绝缘轨道与光滑的竖直半圆绝缘轨道相切于点，半圆轨道的半径为，空间中存在着方向水平向右的匀强电场，将质量为、电荷量为的滑块可视为质点在距点为处的点由静止释放，滑块经点后恰能沿半圆轨道运动到点，取滑块在点时的电势能为零，滑块与水平绝缘轨道间的动摩擦因数，重力加速度为，求：
滑块在点的速度大小；
点的电势；
滑块在半圆轨道上运动的最大速度。
23.如图所示，两个带有等量异种电荷的平行金属板之间相距，板接地，、为电场中的两点，点距板，点距板，将电荷量的试探电荷从电场中点移到点，克服静电力做的功为，求：
、间的电势差；
两极板间的电场强度；
该试探电荷在点时所具有的电势能。
24.如图，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点，用一根长为的绝缘细线把质量为，带有正电荷的金属小球悬挂在点，小球静止在点时细线与竖直方向的夹角为，已知，，重力加速度，求：
两点间的电势差；
将小球拉至位置使细线水平后由静止释放，小球通过最低点时细线对小球的拉力的大小；
如果要使小球能绕点做完整的圆周运动，则小球在点时沿垂直于方向运动的初速度的大小．
25.如图，竖直平面内有水平向右的匀强电场，电场强度的大小为，场中有一根长为的绝缘细线，一端固定在点，另一端系着质量为的带正电小球，初始时小球静止于电场中的点，此时细线与竖直方向夹角为，已知重力加速度大小为，。
求、两点间电势差
求小球的带电量
现给小球一个方向与细线垂直的初速度，让小球恰能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球运动的最小速度。
26.如图所示，在水平向右的、强度的匀强电场中，质量的带电粒子以大小、方向和水平方向成的初速度从点射入，发现它恰能做直线运动。以点所在的等势面为参考平面，电场区域足够大。试求：
粒子的电性和电量；
粒子沿直线前进的最大距离；
粒子在问过程中电势能的变化量是多少。
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据匀强电场的特点可得点的电势为，则可知点与点是等势点，这两点的连线是等势线，电场线方向与垂直，则可作出电场线如图所示：
由几何关系可得，两点沿电场方向的距离为，根据电势差与电场强度的关系可行是该匀强电场的电场强度的大小为，故B正确，ACD错误。故选B。
2.【答案】
【解析】A.由图，粒子的轨迹方向向右弯曲，粒子所受电场力方向向右，粒子的轨迹向左弯曲，粒子所受电场力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；
B.已知，由于段场强大于段场强，所以两点电势差大于两点电势差，故B错误；
C.根据电场力做功公式，粒子从等势线到电场力做功小于粒子从等势线到电场力做功，所以粒子到达等势线的动能变化量比粒子到达等势线的动能变化量小，故C正确；
D.所受电场力逐渐减小，加速度减小，所受电场力增大，加速度增大，根据图知、两粒子的电场力、速度的夹角均为锐角，电场力对两电荷均做正功，两电荷的电势能均减小，故D错误。故选C。
3.【答案】
【解析】A.粒子从点静止释放后沿电场方向运动，故粒子带正电，故A错误；
B.图像包围的面积表示电势差可知，与之间的电势差为负值，即处的电势低于处的电势，故B正确；
C.从点到位置，电场力做功为，故粒子在处的动能为，故C错误；
D.轴上下方图像与轴围成的面积相等，则根据图像包围的面积表示电势差可知，点到之间电势差与到之间电势差大小相等，但符号相反，故D错误。
4.【答案】
【解析】、与平行且相等，则有，则，即为等势线，根据几何关系垂直于，电场强度沿方向，故AB错误。
、，，故C错误，D正确。
5.【答案】
【解析】 图像斜率的绝对值表示场强的大小，故处的场强不为，而处的场强为。 处的场强为两个点电荷的合场强，由场强叠加原理和点电荷场强公式 可判断 、 带异种电荷且 ，又因正半轴上越靠近 的位置电势越大，且电势为正，可知 带正电，故AB错误；
C.同理由场强叠加原理和点电荷场强公式 可知，负半轴上没有场强为的点，故C错误；
D.由图像可知 ，负电荷仅受电场力作用下沿轴从运动到的过程中，静电力做正功，动能一直增加，故D正确。故选D。
6.【答案】
【解析】A、由匀强电场电势差与电场强度关系得，电势差与零势面的选取无关，选项A正确
B、沿电场线方向电势降低，有，又，则当板接地时有，所以，选项B错误
C、若板接地，因，，则点的电势，若将板下移，根据，由于金属板所带电荷量保持不变，所以两板间的电场强度保持不变，故不影响点的电势，选项C错误
D、将一个电子从点移动到点，静电力做功为，由功能关系得，故电势能减少了，不是减少了，选项D错误。
7.【答案】
【解析】由图可知，电场方向沿轴负方向，电场方向沿轴正方向，由于电势沿着电场线方向降低，所以处电势最高，处电势高于处电势，故AB错误；
．根据，可得电荷量为、质量为的正点电荷由静止释放仅在电场力作用下运动到时的动能，故C正确；
D.由静止释放仅在电场力作用下运动到过程中，电场强度的方向不变，则电场力做正功，则电势能始终减小，故D错误。故选C。
8.【答案】
【解析】设电场线方向与连线的夹角为，则，，
联立解得，，，
设的中点为，若该电场的方向由连线的中点指向点，由，
可得，由题知不是等腰直角三角形，即，
故假设不成立，即该电场的方向不是由连线的中点指向点，故A正确，B错误；
C. 电子带负电，点电势比点电势高，由可知，电子在点的电势能小于在点的电势能，故C错误；
D. 一电子从点移动到点，电场力做功，故D错误。
故选A。
9.【答案】
【解析】设该匀强电场在方向的分电场强度大小为，在方向的分电场强度大小为，则有
，，解得，，该匀强电场的电场强度大小，选项A、B错误
电子经过点时垂直于电场方向的分速度大小为，平行于电场方向的分速度大小为，则有
，，，电子在点的速度大小，选项C正确、D错误。
10.【答案】
【解析】A、图像的斜率为电场强度，点斜率不为零，电场强度不为零，A错误；
B、电荷所在位置为原点，根据图像，电荷周围的电势为正值，可知电荷带正电电荷所在位置，根据图像，电荷周围的电势为负值，分析可知电荷带负电，两点电荷为异种电荷，在轴上的区域内，电势逐渐升高，电场强度沿轴负方向，在轴上的区域内，电势逐渐降低，电场强度沿轴正方向，即与点场强方向相反， B错误；
、图像中图线的斜率绝对值表示电场强度大小，则处的电场强度为零，有，由题图可知、处的电势为零，根据电势公式有，，解得，，，即，故D错误，C正确。
11.【答案】
【解析】A.由结合题意可知，、两点的电势差为，点的电势为，则点的电势为，则圆心点的电势为，A错误；
B.同理可得、两点的电势差为，若仍取点的电势为，则，根据几何关系可知与平行且相等，在匀强电场中有，则，即，B正确；
D.根据，说明电子的电势能减小，D正确；
C.过点作的垂线交于点，如图所示，根据几何关系可知，在中，，则、两点的电势差为，而说明、两点等势，且电势高于点的电势，根据“电场线与等势面处处垂直、沿着电场线方向电势逐渐降低”可知，该电场的电场强度方向由点指向点，大小为，C错误。
12.【答案】
【解析】A. 将电子从电场中的点移到点，克服静电力做功，根据静电力做功与电势差的关系，解得，将一质子从电场中的点移到点，静电力做功，可以得到，因此，A错误；
如图所示，将连线四等分，最靠近顶点处的等分点记为点，则、为等势点，
因为，根据几何关系可知跟垂直，因此电场强度方向沿方向，
，，
解得，B正确，C错误；
D. 的外接圆的直径为，长度为，
外接圆上所有点中电势差的最大值为，D正确。
故选BD。
13.【答案】
【解析】A、两极板和电源相连，两极板之间的电压不变，在放置金属板之前和之后的电场分别如图、所示
，
对图，，对图，，因，则故A正确；
B、上极板与点之间的电势差增大，则点与下极板之间的电势差减小，由于下极板接地，则点电势降低，点电荷的电势能减小，故B错误；
C、与电源断开，两极板电荷量不变，电荷密度不变，则场强不变，故C正确；
D、存在全属板的情况下，点与下极板具有的电场长度减小，则点的电势降低，点电荷的电势能减小，故D错误。
14.【答案】
【解析】A、粒子带正电，由知，，故A正确；
B、粒子在点的电势能，由题知，，则，由解得粒子在点的电势能，故B错误；
、设，粒子运动后水平方向做初速度为的匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，为最高点，则，粒子由点运动到点过程，由动能定理：，解得粒子在点的动能，粒子由点运动到点过程，由动能定理：，解得粒子在点的动能，粒子由点运动到点过程，由动能定理：，解得粒子在点时的动能，故D正确，C错误。
15.【答案】
【解析】由图知，从到区间正电荷的电势能减小，电势降低，电场方向沿轴正方向，故 A正确。
图线的斜率表示试探电荷所受的电场力大小，因为电场力，所以也可以用斜率表示电场强度的大小，在处，图线的斜率为零，即该点的电场强度为零，再结合电势特点，说明两个点电荷一定是一正一负当时，电势能，说明了处一定是正电荷，由合场强的方向，可以进一步判定，正电荷的电荷量一定小于负电荷的电荷量，且离点的距离近，点电荷为正电荷，设正电荷电荷量大小为，则负电荷的电荷量大小是。设和点电荷到点的距离分别为和，由，得，即点电荷到的距离是到的距离的倍，所以电荷在轴上的位置坐标是，综上可知电荷带正电荷，位于原点，带负电荷，在轴上的坐标为，故B、D正确， C错误。
16.【答案】
【解析】A.根据等量异种点电荷电场分布特点，电场线方向指向，做曲线运动的物体合力指向轨迹凹侧，可知电场力在点的向右，故粒子带负电，故A正确；
B.根据电场叠加可知点场强，故B错误；
C.设电荷电量为，根据题意有，同理粒子在点有联立解得，根据能量守恒有；代入题中数据，解得，故C正确；
D.根据等量异种点电荷电场分布特点，可知平均场强大于平均场强，根据可知间电势差大于间电势差，根据电场力做功可知，该试探电荷分别从到和从到的运动过程中，电场力做的功不相等，故D错误。
17.【答案】
【解析】A、两点电荷对小物块的力是排斥力，故两个点电荷与小物块带同种电荷，均带负电荷，故A错误；
B、图像的斜率表示加速度，点斜率最大，则加速度最大，又，所以点场强最大，根据图像，斜率，
解得，故B正确；
C、从到，根据动能定理有，解得，故C错误；
D、从到到，动能增加，电势能减小，因为物块带负电，所以电势升高，故，
根据，，结合为负，可知，即，解得，故D正确。
故选BD。
18.【答案】
【解析】A、根据沿电场线方向电势降低可知从到区间的的场强沿轴正方向，故A正确；
B、距离两个电荷越近电势越高，说明、均为正电荷，故B错误；
C、图线的切线斜率表示电场强度的大小，点切线斜率为零，则点的电场强度为零，两个点电荷在点左侧的场强方向均指向左，合场强不可能为零，故C错误；
D、电子由点移动到点的过程中，电势先降低后升高，电势能先升高后降低，则根据能量守恒可知电子的动能先减小后增大，故 D正确。
19.【答案】
【解析】从点移动到点，克服电场力做功，即电场力做功为，从点移动到点，其电势能减少，知到点，电场力做正功，从点移动到点，电场力做功为，故A、为等势点，所以电场线方向垂直于，负电荷从到电场力做负功，可知电场力方向为指向；则电场的方向由指向，沿电场线方向电势降低，可知点电势最高．
间的电势差为， 设六边形边长为，间沿电场线方向上距离，电场强度，、间沿电场线方向上距离为，、间的电势差，。
20.【答案】； ；。
【解析】两板间距离是
两板间的场强是；
和两点间的电势差为
与下极板间的电势差为
因，，则得处的电势为
该电荷在处的电势能是
故答案为：；，。
带电金属板、间是匀强电场，根据求解场强的大小；
根据公式求解和两点间的电势差。根据求与下极板间的电势差，从而求得处的电势，再求电荷在处的电势能。
本题的关键是要根据匀强电场的公式和电势差公式列式，确定电势差和电势．
21.【答案】；轴负方向；
【解析】电势差，，可知
根据公式，图象的斜率等于电场强度，点的切线斜率不为零，点为电势的拐点，切线斜率为零，故C点的电场强度大小为零；
由图可知：段中，电势升高，所以场强方向沿轴负方向。
故答案为：；轴负方向；
22.【解析】滑块恰能沿半圆轨道运动到 点，有
解得
滑块从 点运动到 点的过程中，电场力做功为，由动能定理可得
解得
滑块由点运动到点的过程中，受到的摩擦力
设匀强电场的电场强度大小为 ，滑块由 点运动到 点过程中，由动能定理可得
解得电场强度大小
、两点的电势差
解得 点的电势
滑块在半圆轨道上等效最低点 的速度最大，与竖直方向的夹角为 ，如图所示，则
由动能定理有
解得

23.【解析】负电荷从电场中点移到点，克服静电力做功，即负电荷受电场力向上，可知金属板带正电；、间的电势差
两极板间的电场强度为；
与板的电势差
则试探电荷在点时所具有的电势能。
24.【解析】带电小球在点静止受力平衡，根据平衡条件得：
，
解得：，
由有：；
设小球运动至点时速度为，
由动能定理得：，
解得：，
在点，小球受重力和细线的合力提供向心力，根据向心力公式得：
，
联立解得：；
小球做完整圆周运动时必须通过点关于点的对称点，设在该点时小球的最小速度为，则：
小球由点到点的对称点由动能定理得：
联立解得：。
答：两点间的电势差是；
将小球拉至位置使细线水平后由静止释放，小球通过最低点时细线对小球的拉力的大小是。
如果要使小球能绕点做完整的圆周运动，则小球在点时沿垂直于方向运动的初速度的大小是。
25.【解析】、两点间电势差为
解得
小球静止时，由平衡条件得
解得
重力和电场力都是恒力，它们的合力也是恒力，等效重力为
如图所示
小球做圆周运动过程，在等效最高点点时速度最小，有
解得
26.【解析】由粒子可以沿直线运动，可知粒子受到的合力与运动方向共线，如下图：
根据电场线方向，可知粒子的电性为负电，电量满足：
，
解得：；
由粒子受力与初速度方向相反，可知粒子的加速度大小满足：
，
结合匀变速直线运动特点，可知粒子沿直线前进的最大距离为：
，
解得：；
由电场力做功的公式和功能关系，可得电势能的变化量满足：
，
解得：。
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