专题课:带电粒子在复合场中的运动
例1 (1)0.2 T (2)(0.5π+1) m
[解析] (1)沿x轴正方向射入磁场的粒子进入电场后,速度减小到0,粒子一定是从如图所示的P点射出磁场,沿与电场方向相反的方向运动,所以粒子在磁场中做圆周运动的半径r=R=0.5 m
根据Bqv=m,解得B=0.2 T
(2)粒子返回磁场后,经磁场偏转后从N点射出磁场,MN为直径,粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长,即l1=πR
设在电场中的路程为s2,根据动能定理得Eq=mv2,解得l2=
故总路程l=l1+l2=πR+=(0.5π+1) m
例2 (1)v0 (2) (3)1.5B1
[解析] (1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v,与水平方向成θ角,粒子在匀强电场中做类平抛运动,由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有tan θ==
解得θ=30°
根据速度关系有v==v0
(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨迹半径为r1,由洛伦兹力提供向心力得qvB1=m
粒子运动的轨迹如图甲所示,由几何关系得L=2r1sin θ
解得L=
(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时,粒子在磁场中运动的时间最长.设区域Ⅱ中的磁感应强度的最小值为B2m,此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场,对应的轨迹半径为r2,粒子运动的轨迹如图乙所示,由洛伦兹力提供向心力得qvB2m=m
根据几何关系有L=r2(1+sin θ)
解得B2m=1.5B1
例3 BC [解析] 小球在该区域的竖直平面内做匀速圆周运动,则小球受到的电场力和重力大小相等、方向相反,所以小球带负电,A错误;小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,有qvB=m,由动能定理得qU=mv2,且mg=qE,联立解得小球做匀速圆周运动的半径r=,故B正确;由运动学公式可得T=,联立可得T=,说明周期与电压U无关,故C正确,D错误.
变式1 (1)20 m/s 方向与电场的方向之间的夹角为60°斜向上 (2)2 s
[解析] (1)小球做匀速直线运动时的受力分析如图所示,其所受的三个力在同一平面内,合力为零,有qvB=
解得v=20 m/s
速度v的方向与电场的方向之间的夹角θ满足tan θ=
解得tan θ=
则θ=60°.
(2)解法一:
撤去磁场,小球在重力与静电力的合力作用下做类平抛运动,其加速度a==20 m/s2
撤去磁场后,小球在初速度方向上的分位移x=vt
小球在重力与静电力的合力方向上的分位移y=at2
a与mg的夹角和v与E的夹角相同,均为θ,又tan θ=
联立解得t=2 s.
解法二:
撤去磁场后,由于静电力垂直于竖直方向,它对竖直方向的分运动没有影响,以P点为坐标原点,竖直向上为正方向建立坐标系,小球在竖直方向上做匀减速运动,其初速度为vy=vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的电场线,仅需小球在竖直方向上的分位移为零,则有vyt-gt2=0
联立解得t=2 s.
随堂巩固
1.B [解析] 由洛伦兹力提供向心力可得,粒子在第二象限中运动的时间t1=T1=,在第一象限中的周期T2=2T1=,轨道半径为在第二象限中轨道半径的2倍,粒子运动的轨迹如图所示,由几何关系可知,粒子在第一象限中运动的圆弧对应的圆心角为60°,运动的时间t2=T2=,所以粒子在磁场中运动的时间t=t1+t2=,选项B正确.
2.D [解析] 由题意可得,qU=mv2,k=,r=,解得r=,若只增大U,则r增大,粒子不可能从d、P之间某位置穿出磁场,若只减小B,则r增大,粒子不可能从ad边某位置穿出磁场,若既减小U又增大B,则r减小,粒子不可能从bc边某位置穿出磁场,若只增大k,则r减小,粒子可以从d、P之间某位置穿出磁场,D正确.
3.AC [解析] 带电小球进入板间恰好沿水平方向做直线运动,所以qvB+qE=mg(小球只能带正电),若从稍低的b点落下,则进入板间的速度将减小,进入时洛伦兹力减小了,因此小球将向下板偏,合外力做功大于零(mg>qE),动能将会增大,速度将会增大,洛伦兹力将会增大;由于向下板偏,则电场力做负功,其电势能将会增大,而电场力大小只与场强及小球的带电荷量有关,所以小球所受的电场力不变.
4.(1)v0,方向与x轴正方向成45°角斜向下 (2)
(3)
[解析] (1)带电粒子在电场中做类平抛运动,设粒子出电场时大小为v,方向与x轴正方向夹角为θ,由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系可知tan θ=
解得θ=45°
根据速度关系有v==v0,方向与x轴正方向成45°角斜向下.
(2)带电粒子在组合场中的运动轨迹如图所示
由几何关系可知,带电粒子在磁场中运动的轨迹半径
r=
带电粒子在电场中做类平抛运动,设运动的时间为t1,则
平行于x轴方向有ON=v0t1
平行于y轴方向有OM=·
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m
联立解得B=
(3)带电粒子出电场时,平行于y轴方向有vy=at1
其中加速度a=
根据速度关系有vy=v0tan θ
解得t1=
粒子在磁场中运动的周期T=
粒子在磁场中运动的时间为t2=T
联立解得t2=
所以粒子从M点运动到P点所用的时间为t=t1+t2=专题课:带电粒子在复合场中的运动
1.B [解析] 由图可知,粒子进入磁场后向左偏转,即粒子刚进入磁场时受到的洛伦兹力方向水平向左,由左手定则可知,粒子带正电,粒子在D、C两板间加速,则D与电源正极相连,C与电源负极相连,A错误;粒子在电场中加速,由动能定理得qU=mv2-0,粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得r=,由图可知,ra2.(1)如图所示 (2)0.4 m (3)7.68×10-18 J
[解析] (1)粒子运动轨迹如图所示.
(2)带电粒子在磁场中运动,由洛伦兹力提供向心力,有
|q|vB=m
解得r=0.4 m.
(3)粒子射出电场过程,根据动能定理得Ek-mv2=-qEL
解得Ek=7.68×10-18 J.
3.BC [解析] 小球受到重力和洛伦兹力作用,且洛伦兹力逐渐增大,小球受的不是恒力,轨迹不可能是抛物线,选项A错误;小球受到的洛伦兹力不做功,只有重力做功,小球的机械能守恒,故小球经过b点后一定能到ac水平线,故选项B正确;b为最低点,小球到b点时,重力做功最多,由动能定理可知,速度最大,速度沿切线方向即沿水平方向,选项C正确;小球做曲线运动,在b点时有竖直向上的向心力,洛伦兹力大于重力,选项D错误.
4.D [解析] 由动能定理得q=m-m,-q=m-m,解得v0=,故D正确.
5.BD [解析] 带电小球在叠加场中,只有满足重力与电场力大小相等、方向相反,小球受的合力才等于洛伦兹力,由洛伦兹力提供向心力时,小球才能做圆周运动,故小球所受电场力方向向上,小球带正电,小球受的洛伦兹力方向要指向圆心,由左手定则判断,小球绕行方向为逆时针方向,由mg=qE可得q=,故A错误,B正确;洛伦兹力不做功,但电场力做功,故机械能不守恒,故C错误;由于合外力做功等于零,根据动能定理知,小球在运动过程中动能不变,故D正确.
6.BC [解析] 离子最初在电场力作用下开始向下运动,即电场力方向向下,故离子带正电,A错误;根据动能定理知,洛伦兹力不做功,在离子由A到B的过程中,动能变化为零,则电场力做功为零,A、B两点电势相等,因为该电场是匀强电场,所以A、B两点位于同一高度,B正确;根据动能定理知,离子运动到C点时电场力做功最多,则速度最大,C正确;只要将离子在B点的状态与A点进行比较,就可以发现它们的状态(速度为零,电势能相等)相同,如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域,离子就将在B点的右侧重现前面的曲线运动,因此离子是不可能沿原曲线返回A点的,D错误.
7.(1) (2)
[解析] (1)画出粒子运动的轨迹如图所示(O1为粒子在磁场中做圆周运动的圆心),∠PO1C=180°-θ=120°
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r,由几何关系可知
r+rcos 60°=OC=L
粒子在磁场中做圆周运动,受到的洛伦兹力充当向心力,有qv0B=
联立解得B=.
(2)粒子在电场中做类平抛运动,由牛顿第二定律得加速度为a=
水平方向上,有2L=v0t
竖直方向上,有L=at2
联立解得E=.
8.(1) (2)
[解析] (1)粒子在板间做类平抛运动,有50%的粒子能从板间射出,说明沿两板间中线射入的粒子恰好从板右边缘射出,有
2d=v0t
=at2
a=
=k
联立解得U=.
(2)如图所示,设粒子以速度v进入磁场,速度偏转角为θ,有
v=
qvB=m
由几何关系可知2Rcos θ≤
联立解得B≥
故磁感应强度的最小值为.专题课:带电粒子在复合场中的运动
学习任务一 带电粒子在组合场中的运动
[科学思维] 组合场:电场与磁场分别位于一定的区域内,并不重叠,或在一定区域内电场、磁场交替出现.
(1)带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动.通常按时间的先后顺序分成若干个小过程,在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手,分析粒子在电场中做什么运动,在磁场中做什么运动.
(2)“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力)
受力情况 只受恒定的静电力F=Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F=qvB,方向始终与速度方向垂直
运动情况 匀变速曲线运动(类平抛运动) 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
求解方法 利用平抛运动的规律 x=v0t,y=at2,a=,tan θ= 利用牛顿第二定律、向心力公式 r=,T=,t==
例1 [2024·莆田二十四中月考] 如图所示,真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域,半径为R=0.5 m,磁场方向垂直于纸面向里.在y>R的区域存在沿y轴负方向的匀强电场,电场强度为E=1.0×105 V/m.在M点(坐标原点)有一带正电荷的粒子以速率v=1.0×106 m/s沿x轴正方向射入磁场,粒子穿出磁场进入电场,速度减小到0后又返回磁场,最终又从磁场离开.已知粒子的比荷=1.0×107 C/kg,粒子重力不计.求:
(1)磁感应强度的大小;
(2)粒子从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程.
例2 [2024·泉州七中月考] 如图所示,在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场,在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场,宽度相同,方向如图所示,L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合),区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为+q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场,粒子恰好从B点进入磁场,经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的倍.
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小;
(2)求区域Ⅰ的磁场宽度L;
(3)要使带电粒子在区域Ⅱ的磁场中运动的时间最长,求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值.
【要点总结】
解决带电粒子在组合场中运动的基本思路
学习任务二 带电粒子在叠加场中的运动
[科学思维] 叠加场:电场、磁场、重力场共同存在,或者其中两种场存在.
(1)重力、静电力、洛伦兹力的比较
力的特点 功和能的特点
重力 大小:G=mg 方向:竖直向下 重力做功与路径无关,W=mgh 重力做功改变物体的重力势能
静电力 大小:F=Eq 方向:正电荷受力方向与场强方向相同,负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关,W=Uq 静电力做功改变电荷在电场中的电势能
洛伦 兹力 大小:f=qvB(v⊥B) 方向:遵守左手定则,既垂直于磁场方向,也垂直于速度方向 洛伦兹力不做功,不改变带电粒子速度的大小
(2)带电粒子在叠加场中的运动一般有两种情况:
①直线运动:如果带电粒子在叠加场中做直线运动,则一定是做匀速直线运动,合力为零.
②圆周运动:如果带电粒子在叠加场中做圆周运动,则一定是做匀速圆周运动,重力和电场力的合力为零,洛伦兹力提供向心力.
例3 (多选)[2024·福州四中月考] 如图所示,一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压为U的加速电场后,水平进入互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域(电场强度E和磁感应强度B已知),小球在此区域的竖直平面内做匀速圆周运动,则(重力加速度为g) ( )
A.小球可能带正电
B.小球做匀速圆周运动的半径为r=
C.小球做匀速圆周运动的周期为T=
D.若电压U增大,则小球做匀速圆周运动的周期增大
[反思感悟]
变式1 如图所示,空间中存在着水平向右的匀强电场,电场强度大小E=5 N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场,其方向与电场方向垂直,磁感应强度大小B=0.5 T.有一带正电的小球,质量m=1×10-6 kg,电荷量q=2×10-6 C,正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动,若当小球经过P点时撤去磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象),g取10 m/s2.求:
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向;
(2)从撤去磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
【要点总结】
带电粒子在叠加场中运动的分析思路
1.(带电粒子在组合场中的运动)如图所示,在坐标系的第一和第二象限内存在着磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限,随后垂直于y轴进入第一象限,最后经过x轴离开第一象限.则粒子在磁场中运动的时间为 ( )
A. B.
C. D.
2.(带电粒子在组合场中的运动)如图所示,有理想边界的匀强磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度大小为B,某带电粒子的比荷大小为k,由静止开始经电压为U的加速电场加速后,从O点垂直射入磁场,又从P点穿出磁场.下列说法正确的是(不计粒子所受重力) ( )
A.如果只增大U,粒子可以从d、P之间某位置穿出磁场
B.如果只减小B,粒子可以从ad边某位置穿出磁场
C.如果既减小U又增大B,粒子可以从bc边某位置穿出磁场
D.如果只增大k,粒子可以从d、P之间某位置穿出磁场
3.(带电粒子在叠加场中的运动)(多选)[2024·厦门一中月考] 如图所示,带电平行板中有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由滑下,经过轨道端点P点进入板间,恰好沿水平方向做直线运动.现让小球从较低的b点开始自由滑下,经P点进入板间,在板间运动的过程中 ( )
A.小球的动能将会增加
B.小球的电势能将会减少
C.小球所受的洛伦兹力将会增大
D.小球所受的电场力将会增大
4.(带电粒子在组合场中的运动)[2024·福州一中月考] 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,第Ⅰ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场,电场强度为E,第Ⅳ象限内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场,经x轴上的N点与x轴正方向成某一角度射入磁场,最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场(P点未画出).已知ON=2OM,不计粒子重力,求:
(1)带电粒子从N点进入磁场时的速度大小和方向;
(2)磁感应强度大小B;
(3)粒子由M点运动到P点所用的时间.专题课:带电粒子在复合场中的运动建议用时:40分钟
◆ 知识点一 带电粒子在组合场中的运动
1.[2024·福州三中月考] 如图所示,一对水平放置的足够大的平行金属板C、D始终与一直流电源两极相连,在C板上方存在一垂直于纸面向里的匀强磁场,在D板中央有一能发出a、b两种带电粒子的粒子源,而在C板上正对着粒子源处有一小孔.若a、b两种粒子经电场加速后,从C板上的小孔进入磁场的部分运动轨迹如图所示,不计粒子重力及粒子间的相互作用,则 ( )
A.C板一定与电源的正极相连
B.粒子a的比荷一定比粒子b的比荷大
C.在磁场中,粒子a运动的时间与粒子b运动的时间相等
D.粒子a进入磁场时的动能一定比粒子b进入磁场时的动能大
2.[2024·厦门一中月考] 如图所示,有界匀强磁场的磁感应强度B=2×10-3 T,磁场右边是宽度L=0.2 m、场强E=40 V/m、方向水平向左的匀强电场,一粒子(不计重力)带电荷量为q=-3.2×10-19 C、质量m=6.4×10-27 kg,以v=4×104 m/s的速度沿OO'垂直射入磁场,在磁场中偏转后进入右侧的电场,最后从电场右边界射出.
(1)请大致画出带电粒子的运动轨迹(画在题图上);
(2)求带电粒子在磁场中运动的轨道半径;
(3)求带电粒子飞出电场时的动能.
◆ 知识点二 带电粒子在叠加场中的运动
3.(多选)[2024·湖北黄冈中学月考] 如图所示,整个空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场,ac为一水平线.一带电小球从a点由静止释放,部分运动轨迹如图中曲线所示,b为整段轨迹的最低点.下列说法正确的是 ( )
A.轨迹ab为一段抛物线
B.小球经过b点后一定能到ac水平线
C.小球到b点时速度一定最大,且沿水平方向
D.小球在b点时受到的洛伦兹力与重力大小相等
4.[2024·厦门双十中学月考] 如图所示,一带电粒子(重力不计)从平行带电金属板左侧的中点垂直于电场线方向以速度v0射入电场中,恰好能从下极板边缘以速度v1飞出电场.若其他条件不变,在两极板间加入垂直于纸面向里的匀强磁场,该带电粒子恰能从上极板边缘以速度v2射出,则 ( )
A.2v0=v1+v2
B.v0C.v0=
D.v0=
5.(多选)如图所示,一带电小球在相互垂直的匀强电场、匀强磁场中做圆周运动,匀强电场的场强大小为E且方向竖直向上,匀强磁场垂直于纸面向里,小球质量为m,重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A.沿垂直于纸面方向向里看,小球绕行方向为顺时针方向
B.小球一定带正电且小球所带电荷量为q=
C.由于洛伦兹力不做功,故小球运动过程中机械能守恒
D.由于合外力做功等于零,故小球运动过程中动能不变
6.(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和水平方向(垂直于纸面向里)的匀强磁场,如图所示,一离子在静电力和洛伦兹力共同作用下,从静止开始自A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为零,C为运动的最低点.不计粒子重力,则 ( )
A.该离子带负电
B.A、B两点位于同一高度
C.到达C点时离子速度最大
D.离子到达B点后,将沿原曲线返回A点
7.如图所示的区域中,OM左边为垂直于纸面向里的匀强磁场,右边是一个电场强度大小未知的匀强电场,其方向平行于OM,且垂直于磁场方向.一个质量为m、带电荷量为-q的带电粒子从小孔P以初速度v0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中,初速度方向与边界线的夹角θ=60°,粒子恰好从小孔C垂直于
OC射入匀强电场,最后打在Q点.已知OC=L,OQ=2L,不计粒子的重力,求:
(1)磁感应强度B的大小;
(2)电场强度E的大小.
8.[2024·厦门一中月考] 如图所示,平行金属板M、N水平放置,两板间距为d,板长为2d,两板上加有恒定电压,两板间电场可看作匀强电场,且两板外无电场.紧邻金属板右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场,边界线为CD.线状离子源均匀发射出大量比荷为k的带电粒子,粒子以相同的速度由板的左侧进入板间,粒子速度方向与板平行,有50%的粒子能从板间射出,不计粒子间的相互作用及粒子重力.
(1)求两极板所加电压U的大小;
(2)若射出的粒子经磁场偏转后能全部回到板间,求磁感应强度B的最小值.
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一、选择题(共49张PPT)
专题课：带电粒子在复合场中的运动
学习任务一 带电粒子在组合场中的运动
学习任务二 带电粒子在叠加场中的运动
备用习题
随堂巩固
学习任务一 带电粒子在组合场中的运动
［科学思维］ 组合场：电场与磁场分别位于一定的区域内，并不重叠，或在一定区域内电场、磁场交替出现.
(1)带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动.通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动.
(2)“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以进入匀强磁场(不计重力)
受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力，方向始终与速度方向垂直
运动情况 匀变速曲线运动(类平抛运动) 匀速圆周运动
电偏转 磁偏转
运动轨迹 抛物线 ________________________________________________________________________________________ 圆弧
_____________________________________________________________________________________
求解方法 利用平抛运动的规律 ，，， 利用牛顿第二定律、向心力公式
，，
续表
例1 [2024·莆田二十四中月考] 如图所示,真空中有一以点为圆心的圆形匀强磁场区域,半径为，磁场方向垂直于纸面向里.在的区域存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度为.在点(坐标原点)有一带正电荷的粒子以速率沿轴正方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开.已知粒子的比荷，粒子重力不计.求：
(1) 磁感应强度的大小；
[答案]
[解析] 沿轴正方向射入磁场的粒子进入电场后,速度减小到0，粒子一定是从如图所示的点射出磁场，沿与电场方向相反的方向运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径
根据，解得
(2) 粒子从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程.
[答案]
[解析] 粒子返回磁场后，经磁场偏转后从点射出磁场，为直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长，即
设在电场中的路程为，根据动能定理得，解得
故总路程
例2 [2024·泉州七中月考] 如图所示，在矩形区域内存在竖直向上的匀强电场，在右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，宽度相同，方向如图所示，、、是磁场的边界(与重合)，区域Ⅰ的磁感应强度大小为.一电荷量为、质量为的粒子(重力不计)从边中点以初速度沿水平向右方向进入电
场，粒子恰好从点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知长度是长度的倍.
(1) 求带电粒子到达点时的速度大小；
[答案]
[解析] 设带电粒子进入磁场时的速度大小为，与水平方向成 角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有
解得
根据速度关系有
(2) 求区域Ⅰ的磁场宽度；
[答案]
[解析] 设带电粒子在区域Ⅰ中的轨迹半径为，由洛伦兹力提供向心力得
粒子运动的轨迹如图甲所示，由几何关系得
解得
(3) 要使带电粒子在区域Ⅱ的磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度的最小值.
[答案]
[解析] 当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中的磁感应强度的最小值为，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为，粒子运动的轨迹如图乙所示，由洛伦兹力提供向心力得
根据几何关系有
解得
【要点总结】
解决带电粒子在组合场中运动的基本思路
学习任务二 带电粒子在叠加场中的运动
［科学思维］ 叠加场：电场、磁场、重力场共同存在，或者其中两种场存在.
(1)重力、静电力、洛伦兹力的比较
力的特点 功和能的特点
重力 大小： 方向：竖直向下 重力做功与路径无关，
重力做功改变物体的重力势能
静电力 大小： 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关，
静电力做功改变电荷在电场中的电势能
洛伦兹力 大小： 方向：遵守左手定则，既垂直于磁场方向，也垂直于速度方向 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子速度的大小
(2)带电粒子在叠加场中的运动一般有两种情况：
①直线运动：如果带电粒子在叠加场中做直线运动，则一定是做匀速直线运动，合力为零.
②圆周运动：如果带电粒子在叠加场中做圆周运动，则一定是做匀速圆周运动，重力和电场力的合力为零，洛伦兹力提供向心力.
例3 (多选)[2024·福州四中月考] 如图所示，一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压为的加速电场后，水平进入互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域(电场强度和磁感应强度已知)，
BC
A.小球可能带正电
B.小球做匀速圆周运动的半径为
C.小球做匀速圆周运动的周期为
D.若电压增大，则小球做匀速圆周运动的周期增大
小球在此区域的竖直平面内做匀速圆周运动，则(重力加速度为)( )
[解析] 小球在该区域的竖直平面内做匀速圆周运动，则小球受到的电场力和重力大小相等、方向相反，所以小球带负电，A错误；小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，有，由动能定理得，且，联立解得小球做匀速圆周运动的半径，故B正确；由运动学公式可得，联立可得，说明周期与电压无关，故C正确，D错误.
变式 如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小.有一带正电的小球，质量，电荷量，正以速度在图示的竖直面内做匀速直线运动，若当小球经过点时撤去磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取.求：
(1) 小球做匀速直线运动的速度的大小和方向；
[答案] ; 方向与电场的方向之间的夹角为 斜向上
[解析] 小球做匀速直线运动时的受力分析如图所示，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
解得
速度的方向与电场的方向之间的夹角 满足
解得
则 .
(2) 从撤去磁场到小球再次穿过点所在的这条电场线经历的时间.
[答案]
[解析] 解法一：
撤去磁场，小球在重力与静电力的合力作用下做类平抛运动，其加速度
撤去磁场后，小球在初速度方向上的分位移
小球在重力与静电力的合力方向上的分位移
与的夹角和与的夹角相同，均为 ，又
联立解得.
解法二：
撤去磁场后，由于静电力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以点为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标系，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为
若使小球再次穿过点所在的电场线，仅需小球在竖直方向上的分位移为零，则有
联立解得.
【要点总结】
带电粒子在叠加场中运动的分析思路
1. (多选) 如图甲所示，带电小球以一定的初速度
竖直向上抛出，能够达到的最大高度为 ；若加上
水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为 ，则小
球上升的最大高度为 ，如图乙所示；若加上水平方向的匀强电场，且保持初
速度仍为 ，小球上升的最大高度为 ，如图丙所示.不计空气阻力，
则( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 图甲中小球只受重力，到达最高点的速度为
0，根据机械能守恒定律得 ，解得
；图乙中小球受到重力和洛伦兹力的作用，
洛伦兹力不做功，但使小球速度发生偏转，到最高点时具有水平方向的速度
，根据机械能守恒定律得 ，则 ；图丙中小球
在竖直方向上只受重力的作用，在竖直方向上做匀减速运动，到达最高点时竖
直方向的速度为0，根据运动学公式得 ，解得 .所以
，故B、D正确.
2.如图所示，空间中存在方向垂直于纸面( 平面)向
里的匀强磁场.在 区域，磁感应强度的大小为 ;
在 区域，磁感应强度的大小为 (常数 ).
一质量为 、电荷量为 的带电粒子以速度
从坐标原点 沿 轴正方向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿 轴正方向时，求(不计重力)
(1) 粒子运动的时间；
[答案]
[解析] 在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动.设在
区域，运动半径为 ；在 区域，运动半径
为 .由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得
粒子速度方向转过 时，所需时间
粒子再转过 时，所需时间
联立解得所求时间为
(2) 粒子与 点间的距离.
[答案]
[解析] 由几何关系可得，所求距离为
3.如图甲所示，在空间中存在一个变化的
电场和一个变化的磁场，电场的方向水平
向右(图甲中由 到 的方向)，电场强度
的大小随时间变化的情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面，磁感应强度的大小随时间变化的情况如图丙所示.在 时，从 点沿 方向(垂直于 )以初速度 射入第一个粒子，并在此之后，每隔 有一个相同的粒子沿 方向以初速度 从 处射入，射入的粒子均能击中 点.若 ， ，且粒子由 运动到 的时间均小于 .不计粒子间的相互作用、粒子重力、空气阻力及电磁场变化带来的影响.
(1) 求磁场的方向以及电场强度的大小
和磁感应强度的大小 的比值；
[答案] 垂直于纸面向外
[解析] 磁场方向为垂直于纸面向外.
设带电粒子的质量为 ，电荷量为 ，
第一个带电粒子进入磁场后做匀速圆周
运动，有
第二个带电粒子进入电场后，有
联立解得 .
(2) 假设第一个粒子由 运动到 所经
历的时间为 ，求第二个粒子运动到 的
时间.
[答案]
[解析] 第一个带电粒子进入磁场，打到 点所用时间为
第二个带电粒子进入电场，打到 点所用时间为
所以第二个粒子运动到 的时刻为 .
4.如图所示，在 坐标系的 的区域内分
布着沿 轴正方向的匀强电场，在 的区域
内分布着垂直于 平面向里的匀强磁场， 为电
场和磁场的交界面， 为磁场的上边界.现从原点 处
沿 轴正方向发射出速率为 、比荷(电荷量与质量之比)为 的带正电粒子，
粒子运动轨迹恰与 相切并返回电场.已知电场强度 ，不计粒子重力和
粒子间的相互作用.
(1) 求粒子第一次穿过 时的速度；
[答案] ，方向与水平方向成 角斜向右上
[解析] 粒子从原点 处沿 轴正方向发射，在电场
中做类平抛运动，由动能定理得
将 ， 代入，解得
粒子运动轨迹如图所示
图中 ，
解得
即粒子第一次穿过 时的速度为 ，方向与水平方向成 角斜向右上.
(2) 求磁场的磁感应强度 的大小；
[答案]
[解析] 根据几何关系可知 ，
解得
由牛顿第二定律得
解得 .
(3) 求粒子在磁场中运动的时间；若增大磁感应强度
，试判断粒子在磁场中运动的时间如何变化.
[答案] 运动时间不变
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
，
联立解得粒子运动的周期
故粒子在磁场中运动的时间为
由以上结果可知，粒子在磁场中运动的时间是一个常数，与磁感应强度 无
关，因此增大磁感应强度 ，粒子在磁场中运动的时间不变.
1.(带电粒子在组合场中的运动)如图所示，在坐标系的第一和第二象限内存在着磁感应强度大小分别为和、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场.一质量为、电荷量为的粒子垂直于轴射入第二象限，随后垂直
B
A. B. C. D.
于轴进入第一象限，最后经过轴离开第一象限.则粒子在磁场中运动的时间为( )
[解析] 由洛伦兹力提供向心力可得，粒子在第二象限中运动的时间,在第一象限中的周期,轨道半径为在第二象限中轨道半径的2倍，粒子运动的轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在第
一象限中运动的圆弧对应的圆心角为 ，运动的时间，所以粒子在磁场中运动的时间,选项B正确.
2.(带电粒子在组合场中的运动)如图所示，有理想边界的匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为，某带电粒子的比荷大小为，由静止开始经电压为的加速电场加速后，从点垂直射入磁场，又从点穿出磁场.下列说法正确的是(不计粒子所受重力)( )
D
A.如果只增大，粒子可以从、之间某位置穿出磁场
B.如果只减小，粒子可以从边某位置穿出磁场
C.如果既减小又增大，粒子可以从边某位置穿出磁场
D.如果只增大，粒子可以从、之间某位置穿出磁场
[解析] 由题意可得，，，，解得，若只增大，则增大，粒子不可能从、之间某位置穿出磁场，若只减小B，则增大，粒子不可能从边某位置穿出磁场，若既减小又增大B，则减小，粒子不可能从边某位置穿出磁场，若只增大，则减小，粒子可以从、之间某位置穿出磁场，D正确.
3.(带电粒子在叠加场中的运动)(多选)[2024·厦门一中月考] 如图所示，带电平行板中有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，带电小球从光滑绝缘轨道上的点自由滑下，经过轨道端
AC
A.小球的动能将会增加 B.小球的电势能将会减少
C.小球所受的洛伦兹力将会增大 D.小球所受的电场力将会增大
点点进入板间，恰好沿水平方向做直线运动.现让小球从较低的点开始自由滑下，经点进入板间，在板间运动的过程中( )
[解析] 带电小球进入板间恰好沿水平方向做直线运动，所以(小球只能带正电)，若从稍低的点落下，则进入板间的速度将减小，进入时洛伦兹力减小了，因此小球将向下板偏，合外力做功大于零，动能将会增大，速度将会增大，洛伦兹力将会增大；由于向下板偏，则电场力做负功，其电势能将会增大，而电场力大小只与场强及小球的带电荷量有关，所以小球所受的电场力不变.
4.(带电粒子在组合场中的运动)[2024·福州一中月考] 如图所示，在平面直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度为，第Ⅳ象限内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场.一质量为、电荷量为的带正电粒子从轴正半轴上的点以速度垂直于轴射入电场，经轴上的点与轴正方向成某一角度射入磁场，最后从轴负半轴上的点垂直于轴射出磁场(点未画出).已知，不计粒子重力，求:
(1) 带电粒子从点进入磁场时的速度大小和方向；
[答案] ，方向与轴正方向成 角斜向下
[解析] 带电粒子在电场中做类平抛运动，设粒子出电场时大小为,方向与轴正方向夹角为 ，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系可知
解得
根据速度关系有，方向与轴正方向成 角斜向下.
(2) 磁感应强度大小；
[答案]
[解析] 带电粒子在组合场中的运动轨迹如图所示
由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径
带电粒子在电场中做类平抛运动，设运动的时间为，则
平行于轴方向有
平行于轴方向有
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
(3) 粒子由点运动到点所用的时间.
[答案]
[解析] 带电粒子出电场时，平行于轴方向有
其中加速度
根据速度关系有
解得
粒子在磁场中运动的周期
粒子在磁场中运动的时间为
联立解得
所以粒子从点运动到点所用的时间为
