专题课:带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题
[模型建构] (1)带电粒子射入磁场的速度方向不变,大小变化,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径随速度的变化而变化,但所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上.
动态放缩法:以入射点为定点,圆心位于入射速度的垂线上,将半径放缩作一系列轨迹,从而探索出临界条件.
(2)如图所示,①、③两条轨迹的射出点间的距离为粒子能射到挡板上的范围,为x=2R=.当带电粒子射入磁场的速率v一定,但射入的方向变化时,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、R=为半径的圆上.
例1 B [解析] 由左手定则和题意知,沿ba方向射出的粒子在磁场区域内转动半周,运动的时间最长,运动的半径最大的为轨迹恰与ac边相切的粒子,其轨迹如图所示,由几何关系知r+=,解得r=L,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,所以速度的最大值v=,故B正确.
变式1 C [解析] 由左手定则可知粒子带负电,A错误;如图甲所示,粒子从ab边射出时在磁场中转过的圆心角最大,运动的时间最长,最长时间为t=T=·=,B错误;如图乙所示,由几何关系得从b点飞出的粒子的轨迹半径为R==L,C正确;如图丙所示,从bc边飞出的粒子的飞出点越靠近c,则对应的圆心角越小,运动的时间越短,D错误.
例2 C [解析] 电子从圆心沿半径方向进入磁场,在磁场中做匀速圆周运动,当其圆周轨迹恰好与磁场外圆边界相切时,磁场的磁感应强度最小,如图所示,由几何关系得a2+r2=(3a-r)2,解得r=,电子的向心力由洛伦兹力提供,有eBv=m,解得B=,故C正确.
例3 (1) (2)① ②d
[解析] (1)设粒子做圆周运动的半径为R,由于粒子恰能垂直于DE边界射出磁场,所以速度偏转角为53°,由几何关系得Rsin 53°=d
解得R=d
由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m
解得v=
(2)①若粒子均以的速率沿不同方向垂直射入磁场,设粒子做圆周运动半径为R1,由洛伦兹力提供向心力,有
qB=m
解得R1=d
当粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长为d时,对应运动的时间最短,设对应的圆心角为2α,由几何关系得2R1sin α=d
解得α=53°
粒子运动的周期为T==
则粒子在磁场中运动的最短时间tmin=×=
②当粒子沿AC方向射入时,粒子从DE边界射出时的位置最低,如图甲所示,由几何关系可知,M与S在平行于DE边界方向上的距离为l1==
当粒子运动的轨迹与DE边界相切时,粒子从DE边界射出时的位置最高,如图乙所示,由几何关系可知,N与S在平行于DE边界方向上的距离为l2==
所以粒子从DE边界射出的区域的长度为l=l1+l2=d
例4 C [解析] 因质子带正电,且经过C点,故其可能的轨迹如图所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,质子可能的运动半径r=(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,解得v==(n=1,2,3,…),所以质子的速度不可能为BkL和BkL,故A、B错误;质子由A到C的时间可能为t=×n×==(n=1,2,3,…),故C正确,D错误.
例5 BC [解析] 粒子在磁场中运动的周期T==,粒子打到E点时,偏转角度最小,运动的时间最短,根据几何关系可知偏转角度为θ=60°,最短时间为t1=T=,设弧EFC上存在一点B,A点和B点连线恰与弧EFC相切,则从B点射出的粒子偏转角度最大,运动的时间最长,根据几何关系可知偏转角度为θ'=120°,最长时间为t2=T=,故运动的时间范围为~,选项B、C正确,A、D错误.
例6 BC [解析] 质子的运动轨迹如图所示,其圆心在x=处,其半径R=,质子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得evB=m,解得v=,故A错误,B正确;质子在磁场中做匀速圆周运动的周期TH==,同理,α粒子的周期是质子周期的2倍,由于α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇,故相遇时质子可能运动了半个周期,也有可能运动了一个半周期,如果相遇时质子只运动了半个周期,则质子运动的时间为t=TH=,如果相遇时质子运动了一个半周期,则质子运动的时间为t'=TH=×=,因两个粒子在原点相遇,故它们运动的时间一定相同,因此α粒子运动的时间可能是t=或t'=,故C正确,D错误.
随堂巩固
1.D [解析] 由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得r=0.2 m,粒子运动的轨迹如图所示,由几何关系可得r+rsin θ=0.3 m,解得θ=30°,所以粒子的偏转角为α=240°,粒子在磁场中运动的周期T==2π×10-5 s,所以运动的最长时间为t=×2π×10-5 s=×10-5 s,故选项D正确.
2.C [解析] 当电子刚好从C点射出时,电子运动轨迹如图所示,圆周运动的圆心为O点,由几何关系得2rcos 30°=a,由洛伦兹力提供向心力得r=,联立解得B=,因B越小,则r越大,越易从BC边射出,故欲使电子从BC边射出,B应不大于,C正确.
3.BC [解析] 电子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得v==kBr,电子能够从ab边射出时,运动半径最小的是从b点射出,如图甲所示,由几何关系可知2r1cos 30°=2Lcos 60°+L,解得r1=L,则v1=,运动半径最大的是从a点射出,如图乙所示,由几何关系可知2r2sin 30°=Ltan 60°,解得r2=L,则v2=kBL,所以电子的速度v的取值范围为≤v≤kBL,故B、C正确,A、D错误.
4.BC [解析] 粒子可能在两磁场间交替多次运动,画出可能的运动轨迹,如图所示,所有圆弧对应的圆心角都是60°,根据几何关系可得粒子运动的半径为r=(n=1,2,3,…),根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,联立解得v=,n=1,2,3,…,故A、D错误,B、C正确.专题课:带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题
1.A [解析] 作出不同速度情况下的质子运动轨迹,得到质子速度最大的临界状态是轨迹与PQ相切时,如图所示,由几何知识可得r+rcos 60°=d,解得r=d,质子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=,解得v=,故A正确.
2.C [解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,随着速度从零开始增大,粒子运动的轨道半径变大,直到粒子运动的轨迹恰好与BC边相切,如图所示,这一过程中,粒子从AC边射出,粒子在磁场中运动的时间不随速度变化,粒子速度再增大时,粒子将从BC边射出,随着速度增大,粒子在磁场中运动的路程变小,选项A、B错误;当粒子运动的轨迹与BC边相切时,由几何知识得,粒子运动的轨迹半径r=AB=L,此时粒子在磁场中运动的路程最长,为s=×2πr=πL,选项C正确;当粒子从BC边射出时,粒子的速度越大,则粒子运动的轨迹半径越大,出射点越靠近B点,运动的时间越短,直到从B点射出时粒子的速度无穷大,时间趋近于零,选项D错误.
3.(1)10 m/s (2)5 T
[解析] (1)对带电粒子的加速过程,由动能定理可得
qU0=mv2
解得v=10 m/s.
(2)当带电粒子恰好不能进入x轴上方时,其轨迹应与x轴相切,如图所示
由几何关系得OP=R+Rsin 37°,其中OP=16 cm=0.16 m
解得R=0.1 m
若要求粒子不能进入x轴上方,则粒子运动的轨道半径r应满足r≤0.1 m.
根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m
联立解得B≥5 T
即磁感应强度的最小值为5 T.
4.AB [解析] 质子可能的运动轨迹如图所示,由几何关系可得2Rcos 60°=(n=1,2,…),由洛伦兹力提供向心力,有qvB=,其中=k,联立解得v=(n=1,2,…),故A、B正确,C、D错误.
5.BC [解析] 若粒子带正电,则由几何关系得a=r(1-sin 30°),由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,联立解得B=,选项B正确;若粒子带负电,则由几何关系得a=r(1+sin 30°),由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,联立解得B=,选项C正确.
6.(1) (2)(k=1,2,3,…)
[解析] (1)若磁场的周期T满足T>,粒子恰好打在屏上P(d,0)处,则粒子的运动轨迹如图甲所示
由洛伦兹力提供向心力有qv1B0=m
由几何关系可得2R1=d
联立解得v1=.
(2)若磁场的周期T满足T=,粒子恰好打在屏上Q(d,d)处,则粒子的运动轨迹如图乙所示
由几何关系可得d=k·R2,其中k=1,2,3,…
由洛伦兹力提供向心力有qv2B0=m
加速度a=
联立解得a=(k=1,2,3,…)
7.C [解析] 粒子在小圆内做圆周运动的半径为r==R,如图所示,由轨迹图可知,粒子将从A点沿与OA成30°角的方向射入环形区域,为使粒子不射出大圆,粒子在环形区域中运动的轨道半径最大时其轨迹圆应与大圆相切,设最大的轨道半径为r,由几何关系可知∠OAO2=120°,由余弦定理可知(2R-r)2=r2+R2-2Rrcos 120°,解得r=R,由洛伦兹力提供向心力有qvB'=m,解得环形区域匀强磁场的最小磁感应强度B'==·=B,故C正确.
8.AD [解析] 带电粒子的电性不确定,其运动轨迹可能是如图所示的两种情况,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,可得qvB=m,根据线速度和周期的关系,可得v=,联立解得T=,由图可知,若粒子带正电,则轨迹对应的圆心角为φ1=300°,若粒子带负电,则轨迹对应的圆心角为φ2=60°,所以粒子运动的时间可能为t1=T=T=,也可能为t2=T=T=,故A、D正确,B、C错误.
9.(1)(-2)L (2)v0≥
[解析] (1)当v0=时,粒子做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得qv0B=
解得r=2L
粒子的运动轨迹如图所示
则C点为圆周运动的圆心,CD为半径,即CD=r=2L,由几何关系可知AC==L
则AD=AC-CD=(-2)L
(2)当带电粒子恰好与AC相切从C点射出时,弦切角为∠C,由几何关系可知
sin ∠C==
设带电粒子运动的轨迹半径为R,由几何关系可知
sin∠C=
解得R=L
由牛顿第二定律得qvB=
解得v=
所以当v0≥时即可经过C点专题课:带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题
学习任务一 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
[科学思维] 这类题目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语,关键是从轨迹入手找准临界状态及其条件.
(1)当粒子的入射方向不变而速度大小可变时,由于半径不确定,可从轨迹圆的缩放中发现临界点.
(2)当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时,轨迹圆大小不变,只是位置绕入射点发生了旋转,可从确定圆的动态旋转中发现临界点.
[模型建构] 质量为m、电荷量为+q(重力不计)的带电粒子从A点垂直射入匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里,MN是一块足够大的挡板.
(1)如图所示,若发射粒子的速度方向不变、大小变化,试着画出几条不同速率下粒子运动的轨迹,这些运动轨迹的圆心有何联系
(2)如图所示,若可从A点向挡板上方任意方向发射粒子,但速度大小v不变,试通过画图判断粒子能射到挡板上的范围.不同入射方向的粒子运动轨迹的圆心有何特点
例1 [2024·福州高级中学月考] 如图所示,在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,∠a=60°,∠b=90°,边长ab=L.一个粒子源在b点将质量为m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场,在磁场中运动时间最长的粒子中,速度的最大值是 ( )
A.
B.
C.
D.
[反思感悟]
变式 [2023·平潭一中月考] 如图所示,在边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,有一群质量为m、电荷量为q的粒子以大小不同的速度从a点沿ac方向进入磁场,从ab边或bc边射出磁场.不计粒子重力和粒子间的相互作用.下列说法正确的是 ( )
A.粒子带正电
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.从b点飞出的粒子的轨迹半径为L
D.从bc边飞出的粒子的飞出点越靠近c,则在磁场中运动的时间越长
[反思感悟]
例2 真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示. 一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为 ( )
A. B.
C. D.
[反思感悟]
例3 [2024·江苏南通期中] 真空区域有宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,AC、DE是磁场的边界.S是位于AC边界上的一个粒子源,可以发出质量为m、电荷量为q的同种带电粒子.某一粒子以速率v沿与AC成θ=37°角的方向垂直射入磁场,恰能垂直于DE边界射出磁场,不计粒子的重力.(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(1)求粒子射入磁场时的速率v.
(2)若粒子均以的速率沿不同方向垂直射入磁场,仅考虑能从DE边界射出磁场的粒子.求:
①粒子在磁场中运动的最短时间tmin;
②粒子从DE边界射出的区域的长度l.
【要点总结】
1.寻找临界点常用的结论
(1)带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.
(2)当运动速度v不变时,弧长(或弦长)越长,则圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(3)当速度v变化时,圆心角越大,则运动时间越长.
2.解决带电粒子的临界问题的技巧方法
学习任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
[科学思维] 带电粒子在匀强磁场中运动形成多解的常见情况如下:
(1)带电粒子电性不确定形成多解.
受洛伦兹力作用的带电粒子,由于电性不同,当速度相同时,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,形成多解.
如图甲所示,带电粒子以速率v垂直磁场方向进入匀强磁场.若粒子带正电,则其轨迹为a;若粒子带负电,则其轨迹为b.
(2)磁场方向不确定形成多解.
有些题目只知道磁感应强度的大小,而不知道其方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.
如图乙所示,带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若B垂直于纸面向里,则其轨迹为a;若B垂直于纸面向外,则其轨迹为b.
(3)临界状态不唯一形成多解.
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过去,也可能转过180°从入射界面这边反向飞出,从而形成多解,如图所示.
(4)运动的往复性形成多解.
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时,运动往往具有往复性,从而形成多解.
例4 [2024·黑龙江哈九中月考] 如图所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC分开,三角形内磁场方向垂直于纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),所有质子均能通过C点,质子比荷=k,则以下说法正确的是( )
A.质子的速度可能为BkL
B.质子的速度可能为BkL
C.质子由A到C的时间可能为
D.质子由A到C的时间可能为
[反思感悟]
例5 (多选)[2024·南平一中月考] 如图所示,AEFCD区域内有一方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,∠A=30°,AE=L,弧EFC是直径为2L的半圆,AEC在一条直线上.在A点有一个粒子源,可以沿AD方向发射速度大小不同的带正电的粒子,均打到弧EFC上.已知粒子的比荷均为k,不计粒子间相互作用及重力,则粒子磁场中运动的时间可能是 ( )
A.
B.
C.
D.
[反思感悟]
例6 (多选)[2024·厦门大学附中月考] 如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于xOy平面向外.某时刻一个质子从点(L0,0)处沿y轴负方向进入磁场;一个α粒子同时从点(-L0,0)进入磁场,速度方向在xOy平面内.设质子的质量为m,电荷量为e,不计质子与α粒子的重力和它们之间的相互作用.若α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇,已知质子和α粒子都带正电,且α粒子的质量是质子质量的4倍,α粒子带的电荷量是质子的2倍,则 ( )
A.质子的速度大小为
B.质子的速度大小为
C.两粒子相遇时,α粒子运动的时间可能是
D.两粒子相遇时,α粒子运动的时间可能是
[反思感悟]
【要点总结】
解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是要充分考虑各种可能性,仔细分析其物理过程,画出各种可能的运动轨迹,找出隐含的几何关系,综合运用数学、物理知识解决问题.
1.(带电粒子在磁场中运动的临界问题)[2024·漳平三中月考] 如图所示,在0≤x≤0.3 m区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小B=0.2 T,方向垂直于纸面向外.一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带正电粒子,所有粒子的初速度大小均为2×104 m/s,方向与y轴正方向的夹角分布在0~180°范围内. 已知粒子的电荷量为2×10-4 C,质量为4×10-10 kg,则这些粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.×10-5 s
B.×10-5 s
C.π×10-5 s
D.×10-5 s
2.(带电粒子在磁场中运动的临界问题)如图所示,ABC是与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形,比荷为的电子以速度v0从A点沿AB方向射入,欲使电子从BC边射出, 则磁感应强度B的取值范围为 ( )
A.B≥ B.B≤
C.B≤ D.B≥
3.(带电粒子在磁场中运动的多解问题)(多选)[2024·北京八中月考] 如图所示,空间中有一个底角均为60°的梯形,上底与腰长相等,约为L,梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中.c点存在一个粒子源,可以源源不断射出速度方向沿cd、大小可变的电子,电子的比荷为k.为使电子能从ab边射出,速度大小可能为 ( )
A. B.
C. D.
4.(带电粒子在磁场中运动的多解问题)(多选)如图所示,直线ab与水平面成30°角,ab的右上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B.一粒子源位于a点,能水平向右发射不同速率、比荷为k的带正电粒子.已知a、b两点间的距离为L,不计带电粒子受到的重力,若所有带电粒子均能通过b点,则粒子的速度可能为 ( )
A.
B.
C.
D.专题课:带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一 带电粒子在有界磁场中的临界问题
1.如图所示,宽为d的带状区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为e的质子从A 点出发,沿纸面与边界成60°角进入匀强磁场,要使质子从左边界飞出磁场,则质子速度的最大值为( )
A. B.
C. D.
2.[2024·晋江南侨中学月考] 如图所示,直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场,磁感应强度为B,已知AB边长为L,∠C=30°,∠B=90°.比荷均为的带正电粒子以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场(不计粒子重力),则 ( )
A.粒子速度越大,在磁场中运动的时间就越短
B.粒子速度越大,在磁场中运动的路程就越大
C.粒子在磁场中运动的最长路程为πL
D.粒子在磁场中运动的最短时间为
3.[2023·福州三中月考] 如图所示, 在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场.一质量为m=5.0×10-8 kg、电荷量为q=1.0×10-6 C的带正电粒子从静止开始经U0=2.5 V的电压加速后,从P点沿图示方向进入磁场,已知OP=16 cm.(粒子重力不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),
(1)求带电粒子到达P点时的速度大小v;
(2)若要求粒子不能进入x轴上方,求磁感应强度的最小值(要求画出粒子运动的轨迹).
◆ 知识点二 带电粒子在有界磁场中的多解问题
4.(多选)[2024·云南昆明八中期末] 如图所示,边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B,方向分别垂直于纸面向里、向外.三角形顶点A处有一质子源,能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计, 质子间的相互作用可忽略),所有质子都能通过D点,已知质子的比荷=k,则质子的速度可能为 ( )
A. B.BkL C. D.
5.(多选)[2023·长汀一中月考] 如图所示,在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场.一个质量为m、电荷量大小为q(不计重力)的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角,若粒子在磁场中运动时与x轴的最大距离为a,则磁感应强度B的大小和该粒子的电性可能是( )
A.,带正电 B.,带正电
C.,带负电 D.,带负电
6.[2024·华中师大一附中月考] 在如图甲所示的平面直角坐标系xOy内,正方形区域(0(1)调节磁场的周期,满足T>,若粒子恰好打在屏上P(d,0)处,求粒子的速度大小v1;
(2)调节磁场的周期,满足T=,若粒子恰好打在屏上Q(d,d)处,求粒子的加速度大小a.
7.如图所示,在水平面内存在半径为2R和半径为R的两个同心圆,半径为R的小圆和半径为2R的大圆之间形成一环形区域.小圆和环形区域内分别存在垂直于水平面、方向相反的匀强磁场.小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B.位于圆心处的粒子源S沿水平面向各个方向发射速率为的带正电粒子,粒子的电荷量为q、质量为m.为了将所有粒子束缚在半径为2R的圆内,环形区域内匀强磁场的磁感应强度大小至少为 ( )
A.B B.B C.B D.B
8.(多选)[2024·福建师大附中月考] 如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里,MN是它的下边界.现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿与MN成30°角方向垂直于磁场射入,则粒子在磁场中运动的时间可能为 ( )
A. B.
C. D.
9.如图所示,有界匀强磁场区域以直角三角形AOC为边界,磁感应强度为B,CO=2L,AO=L,∠C=90°.在O点放置一个粒子源,同时向磁场内各个方向均匀发射某种带正电的粒子(不计重力作用和粒子间的相互作用),粒子的比荷为,发射速度大小都为v0.
(1)若v0=,沿OA方向射入的带电粒子经磁场偏转后从D点射出AC边界,求AD的长度;
(2)若带电粒子能够经过C点,请给出v0的取值范围.(共40张PPT)
专题课：带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题
学习任务一 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
学习任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
备用习题
随堂巩固
学习任务一 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
［科学思维］ 这类题目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语，关键是从轨迹入手找准临界状态及其条件.
(1)当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，由于半径不确定，可从轨迹圆的缩放中发现临界点.
(2)当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，轨迹圆大小不变，只是位置绕入射点发生了旋转，可从确定圆的动态旋转中发现临界点.
［模型建构］ 质量为、电荷量为(重力不计)的带电粒子从点垂直射入匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，是一块足够大的挡板.
(1) 如图所示，若发射粒子的速度方向不变、大小变化，试着画出几条不同速率下粒子运动的轨迹，这些运动轨迹的圆心有何联系？
[答案] 带电粒子射入磁场的速度方向不变，大小变化，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径随速度的变化而变化，但所有粒子运
动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上.
动态放缩法:以入射点为定点，圆心位于入射速度的垂线上，将半径放缩作一系列轨迹，从而探索出临界条件.
(2) 如图所示，若可从点向挡板上方任意方向发射粒子，但速度大小不变，试通过画图判断粒子能射到挡板上的范围.不同入射方向的粒子运动轨迹的圆心有何特点？
[答案] 如图所示，①、③两条轨迹的射出点间的距离为粒子能射到挡板上的范围，为.当带电粒子射入磁场的速率一定,但射入的方向变化时，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、为半径的圆上.
例1 [2024·福州高级中学月考] 如图所示，在直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为， ， ，边长.一个粒子源在点将质量为、电荷量为的带负电粒子以
B
A. B. C. D.
大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是 ( )
[解析] 由左手定则和题意知，沿方向射出的粒子在磁场区域内转动半周，运动的时间最长，运动的半径最大的为轨迹恰与边相切的粒子，其轨迹如图所示，由几何关系知，解得，由洛伦
兹力提供向心力有，所以速度的最大值，故B正确.
变式 [2023·平潭一中月考] 如图所示，在边长为的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，有一群质量为、电荷量为的粒子以大小不同的速度从点沿方向进入磁场，从边或边射出磁场.不计粒子重力和粒子间的相互作用.下列说法正确的是( )
C
A.粒子带正电
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.从点飞出的粒子的轨迹半径为
D.从边飞出的粒子的飞出点越靠近，则在磁场中运动的时间越长
[解析] 由左手定则可知粒子带负电，A错误；如图甲所示，粒子从边射出时在磁场中转过的圆心角最大，运动的时间最长，最长时间为，B错误；如图乙所示，由几何关系得从点飞出的粒子的轨迹半径为，C正确；如图丙所示，从边飞出的粒子的飞出点越靠近，则对应的圆心角越小，运动的时间越短，D错误.
例2 真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为和的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为，电荷量为，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 电子从圆心沿半径方向进入磁场,在磁场中做匀速圆周运动，当其圆周轨迹恰好与磁场外圆边界相切时，磁场的磁感应强度最小，如图所示，由几何关系得，解得，电子的向心力由洛伦兹力提供，有，解得，故C正确.
例3 [2024·江苏南通期中] 真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界.是位于边界上的一个粒子源，可以发出质量为、电荷量为的同种带电粒子.某一粒子以速率沿与成 角的方向垂直射入磁场，恰能垂直于边界射出磁场，不计粒子的重力.
(1) 求粒子射入磁场时的速率.
[答案]
[解析] 设粒子做圆周运动的半径为，由于粒子恰能垂直于边界射出磁场，所以速度偏转角为 ，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力，有
解得
(2) 若粒子均以的速率沿不同方向垂直射入磁场，仅考虑能从边界射出磁场的粒子.求:
① 粒子在磁场中运动的最短时间；
[答案]
[解析] 若粒子均以的速率沿不同方向垂直射入磁场，设粒子做圆周运动半径为，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
当粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长为时，对应运动的时间最短，设对应的圆心角为 ，由几何关系得
解得
粒子运动的周期为
则粒子在磁场中运动的最短时间
② 粒子从边界射出的区域的长度.
[答案]
[解析] 当粒子沿方向射入时，粒子从边界射出时的位置最低，如图甲所示，由几何关系可知，与在平行于边界方向上的距离为
当粒子运动的轨迹与边界相切时，粒子从边界射出时的位置最高，如图乙所示，由几何关系可知，与在平行于边界方向上的距离为
所以粒子从边界射出的区域的长度为
【要点总结】
1.寻找临界点常用的结论
(1)带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.
(2)当运动速度不变时，弧长(或弦长)越长，则圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(3)当速度变化时，圆心角越大，则运动时间越长.
2.解决带电粒子的临界问题的技巧方法
学习任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
［科学思维］ 带电粒子在匀强磁场中运动形成多解的常见情况如下：
(1)带电粒子电性不确定形成多解.
受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解.
如图甲所示，带电粒子以速率垂直磁场方向进入匀强磁场.若粒子带正电，则其轨迹为；若粒子带负电，则其轨迹为.
(2)磁场方向不确定形成多解.
有些题目只知道磁感应强度的大小，而不知道其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.
如图乙所示，带正电粒子以速率垂直进入匀强磁场，若垂直于纸面向里，则其轨迹为；若垂直于纸面向外，则其轨迹为.
(3)临界状态不唯一形成多解.
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过 从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示.
(4)运动的往复性形成多解.
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解.
例4 [2024·黑龙江哈九中月考] 如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为的匀强磁场被边长为的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直于纸面向里，三角形顶点处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过点，质子比荷，则以下说法正确的是( )
C
A.质子的速度可能为 B.质子的速度可能为
C.质子由到的时间可能为 D.质子由到的时间可能为
[解析] 因质子带正电，且经过C点，故其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为 ，质子可能的运动半径，由洛伦兹力提供向心力得，解得，所以质子的速度不可能为和，故A、B错误；质子由
A到C的时间可能为，故C正确，D错误.
例5 (多选)[2024·南平一中月考] 如图所示，区域内有一方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场， ，，弧是直径为的半圆，在一条直线上.在点有一个粒子源，可以沿方向发射速度大小不同的带正电的粒子，均打到弧上.已知粒子的比荷均为，不计粒子间相互作用及重力，则粒子磁场中运动的时间可能是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 粒子在磁场中运动的周期，粒子打到点时，偏转角度最小，运动的时间最短，根据几何关系可知偏转角度为 ，最短时间为，设弧上存在一点B，A点和B点连线恰与弧相切，则从B点射出的粒子偏转角度最大，运动的时间最长，根据几何关系可知偏转角度为 ，最长时间为，故运动的时间范围为~，选项B、C正确，A、D错误.
例6 (多选)[2024·厦门大学附中月考] 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于平面向外.某时刻一个质子从点处沿轴负方向进入磁场；一个 粒子同时从点进入磁场，速度方向在平面内.设质子的质量为，电荷量为，不计质子与 粒子的重力和它们之间的相互作用.若 粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，已知质子和 粒子都带正电，且 粒子的质量是质子质量的4倍， 粒子带的电荷量是质子的2倍，则( )
A.质子的速度大小为
B.质子的速度大小为
C.两粒子相遇时， 粒子运动的时间可能是
D.两粒子相遇时， 粒子运动的时间可能是
BC
[解析] 质子的运动轨迹如图所示，其圆心在处，其半径，质子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得，解得，故A错误，B正确；质子在磁场中做匀速圆周运动的周期，同理， 粒子的周期是
质子周期的2倍，由于 粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，故相遇时质子可能运动了半个周期，也有可能运动了一个半周期，如果相遇时质子只运动了半个周期，则质子运动的时间为，如果相遇时质子运动了一个半周期，则质子运动的时间为，因两个粒子在原点相遇，故它们运动的时间一定相同，因此 粒子运动的时间可能是或,故C正确，D错误.
【要点总结】
解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是要充分考虑各种可能性，仔细分析其物理过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识解决问题.
1.一匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直于纸面向
外，其边界如图中虚线所示， 为半圆， 、 与直径
共线， 、 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 、电荷量为
的粒子，在纸面内从 点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不
计粒子之间的相互作用.磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间
为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，
由在磁场中运动轨迹对应的圆心角决定，即
采用放缩法，粒子垂直于 射入磁场，
则圆心必在 直线上，将粒子的轨迹半径由零开
始逐渐放大，在 和 时，粒子分
别从 、 边界射出，在磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期.当
时，粒子从半圆边界射出，将轨迹半径从 逐渐放大，粒
子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹所对的圆心角从 逐渐增大，当轨迹
半径为 时，轨迹所对的圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹所对的圆心
角减小，因此当轨迹半径等于 时粒子运动时间最长，即 ，
粒子运动最长时间为 ，C正确.
2.如图甲所示， 、 为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为 ，两
板中央各有一个小孔 、 ，且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，
磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示.有一正离子在 时垂直于 板从
小孔 射入磁场.已知正离子质量为 ，带电荷量为 ，正离子在磁场中做匀
速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为 ，不考虑由于磁场变化而
产生的电场的影响，不计离子所受重力.
(1) 求磁感应强度 的大小；
[答案]
[解析] 正离子射入磁场后做圆周运动，由洛伦兹
力提供向心力，有
做匀速圆周运动的周期
联立解得磁感应强度 .
(2) 要使正离子从 孔垂直于 板射出磁场，求正离子射
入磁场时的速度 的可能值.
[答案]
[解析] 取磁感应强度垂直于纸面向里为正值来研究，要
使正粒子从 孔垂直于 板射出磁场， 的方向应如图
所示，在两板之间正离子只运动一个周期
即 时，有
在两板之间正离子运动 个周期即 时，有
联立解得正离子的速度的可能值为
取磁感应强度垂直于纸面向外为正值来研究，可得出同样的结论.
1.(带电粒子在磁场中运动的临界问题)[2024·漳平三中月考] 如图所示，在区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小，方向垂直于纸面向外.一位于坐标原点的粒子源在平面内发射出大量同种带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为，方向与轴正方向的夹角分布在 范围内.已知粒子的电荷量为，质量为，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由洛伦兹力提供向心力有，解得,粒子运动的轨迹如图所示，由几何关系可得,解得 ，所以粒子的偏转角为 ，粒子在磁场中运动的周期，所以运动的最长时间为，故选项D正确.
2.(带电粒子在磁场中运动的临界问题)如图所示，是与匀强磁场垂直的边长为的等边三角形，比荷为的电子以速度从点沿方向射入，欲使电子从边射出，则磁感应强度的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 当电子刚好从C点射出时，电子运动轨迹如图所示，圆周运动的圆心为点，由几何关系得，由洛伦兹力提供向心力得，联立解得，因B越小，则越大，越易从边射出，故欲使电子从边射出，B应不大于，C正确.
3.(带电粒子在磁场中运动的多解问题)(多选)[2024·北京八中月考] 如图所示，空间中有一个底角均为 的梯形，上底与腰长相等，约为，梯形处于磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中.点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿、大小可变的电子，电子的比荷为.为使电子能从边射出，速度大小可能为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有，解得，电子能够从边射出时，运动半径最小的是从点射出，如图甲所示，由几何关系可知，解得，则，运动半径最大的是从点射出，如图乙所示，由几何关系可知 ，解得，则,所以电子的速度的取值范围为，故B、C正确，A、D错误.
4.(带电粒子在磁场中运动的多解问题)(多选)如图所示，直线与水平面成 角，的右上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为.一粒子源位于点，能水平向右发射不同速率、比荷为的带正电粒子.已知、两点间的距离为，不计带电粒
BC
A. B. C. D.
子受到的重力，若所有带电粒子均能通过点，则粒子的速度可能为( )
[解析] 粒子可能在两磁场间交替多次运动，画出可能的运动轨迹，如图所示，所有圆弧对应的圆心角都是 ，根据几何关系可得粒子运动的半径为，根据洛伦兹力提供向心力可得，联立解得，，2，3， ，故A、D错误，B、C正确.
