专题课:带电粒子在有界磁场中的运动
[模型建构] (1)已知入射速度方向和出射速度方向,可以过入射点P和出射点M作两速度的垂线,这两条垂线的交点即为圆心(如图所示).
(2)如果已知入射速度方向和出射点的位置,可以过入射点作速度方向的垂线,连接入射点和出射点并作其中垂线(圆的弦的垂直平分线过圆心),这两条垂线的交点就是圆心(如图所示).
例1 AC [解析] 粒子仅受磁场力作用,在磁场中做圆周运动,如图所示,由几何关系得粒子在磁场中运动的轨迹半径r=,故A正确;粒子做圆周运动的周期为T=,由几何关系得粒子在磁场中运动的时间为t=T=,故C正确;由qvB=m,可得=,由于粒子的质量、电荷量和磁感应强度均未知,所以粒子带的电荷量、粒子的比荷均不可求出,故B、D错误.
变式1 (1)1.8×10-6 s (2)0.314 T (3)3.49×105 m/s
[解析] (1)作出粒子的运动轨迹,如图所示.由图可知,粒子由O到P的运动轨迹所对的圆心角为300°,由=,
解得周期T=t=1.8×10-6 s.
(2)由于粒子做圆周运动所需的向心力由洛伦兹力提供,有Bqv=m,
解得B==ω==0.314 T.
(3)由几何知识可知,轨迹半径R=OP=0.1 m
故粒子的速度v==3.49×105 m/s.
[模型建构] (1)当带电粒子沿径向以一定速度垂直于磁场方向射入圆形边界匀强磁场时,因进出磁场具有对称性,所以沿径向射入必沿径向射出,匀速圆周运动的圆心位置如图所示.
(2)射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ,射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.匀速圆周运动的圆心位置如图所示
例2 B [解析] 如图所示,粒子以速度v1、v2进入磁场,做匀速圆周运动的圆心分别为O1和O2,半径分别为R1和R2,偏转角度分别为90°和60°,由几何关系得R1=R,R2=,由洛伦兹力提供向心力得qv1B=m,qv2B=m,联立解得=,B正确.
随堂巩固
1.D [解析] 粒子在磁场中运动的周期为T=,由此可知,两粒子在磁场中运动的周期相同,由粒子运动的轨迹可知,通过a点的粒子的偏转角为90°,通过b点的粒子的偏转角为60°,则通过a点的粒子运动的时间为T,通过b点的粒子运动的时间为T,所以从S到a、b所需时间之比t1∶t2=T∶T=3∶2,故D正确.
2.A [解析] 如图所示,找出轨迹圆心O',画出带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹,利用三角函数知识求出轨迹半径r=,则轨迹方程为x2+=a2(x>0,y>0),故A正确;由洛伦兹力提供向心力,有qvB=,故v=,因为B和v均未知,故B、D错误;因为T==,B未知,不能求出周期T,故不能求出带电粒子在磁场中运动的时间,故C错误.
3.D [解析] 粒子运动轨迹如图所示,由图可知,粒子在磁场中向下偏转,根据左手定则可知,粒子应带负电,A错误;由几何关系可知Rsin 30°=d,解得R=2d,根据洛伦兹力充当向心力可知Bqv=m,磁感应强度为B=,B、C错误;粒子在磁场中转过的圆心角为30°,粒子在磁场中运动时间为t=×=,D正确.
4.A [解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,画出轨迹,如图所示,由几何关系得,轨迹半径r=R,故粒子在磁场中的运动时间t==,故A正确.
5.B [解析] 粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径 R=,周期T==,运动的时间t=T=,由于三个带电粒子的质量的电荷量均相同,所以它们在同一个磁场中运动时,周期相同,R∝v,t∝θ,由题图可知c粒子运动的半径最大,则速率最大,动能最大;a粒子转过的圆心角最大,则在磁场中运动的时间最长;三个粒子做圆周运动的周期相等,A、C、D错误,B正确.专题课:带电粒子在有界磁场中的运动
1.AD [解析] 根据左手定则可知,三个离子均为负离子,选项A正确,B错误;根据离子的轨迹可以发现离子1的轨迹半径最小,离子3的轨迹半径最大,选项C错误;三个离子运动的周期均为T=,而运动的时间t=T,画出三个离子的轨迹,可以发现离子1运动轨迹对应的圆心角为90°,离子2运动轨迹对应的圆心角大于离子3运动轨迹对应的圆心角,但都小于90°,所以离子1在磁场中运动的时间最长,离子3在磁场中运动的时间最短,选项D正确.
2.AC [解析] 由qvB=m可得轨迹半径r=,由题知,对于这两个粒子来说,q、m、v、B大小均相同,则r相同,选项A正确.粒子运动的周期T=,则T相同,正、负两粒子运动的轨迹如图所示,带正电的粒子逆时针偏转,带负电的粒子顺时针偏转,重新回到边界时,带正电的粒子的速度偏向角为2π-2θ,轨迹对应的圆心角也为2π-2θ,运动的时间为t=T,同理,带负电的粒子运动的时间为t'=T,所以这两个粒子重新回到边界所用的时间不相同,选项B错误.这两个粒子在磁场中均做匀速圆周运动,由对称性可知,这两个粒子重新回到边界时速度大小与方向均相同,选项C正确.根据几何关系可知,这两个粒子重新回到边界时与O点的距离均为2rsin θ,选项D错误.
3.B [解析] 由几何关系可知,当粒子从a点进入磁场,从b点出磁场时,速度偏转角为120°,所以轨迹对应的圆心角为120°,粒子在磁场中运动的时间为t1=;当粒子从a点进入磁场,从c点出磁场时,速度偏转角为60°,所以轨迹对应的圆心角为60°,粒子在磁场中运动的时间为t2=,因此t1∶t2=2∶1,故选项B正确.
4.C [解析] 由左手定则可判定a带负电,b带正电,选项A错误;两粒子的质量和电荷量均相同,由于b粒子运动的轨道半径大,根据r=可知,b粒子的速率较大,动能较大,所受的洛伦兹力较大,选项C正确,B错误;两粒子的质量和电荷量均相同,根据T=可知,两粒子运动的周期相同,由题图可知,b粒子运动轨迹对应的圆心角比较小,根据t=T可知,b粒子在磁场中运动的时间较短,选项D错误.
5.B [解析] 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得粒子第一次在磁场中运动的半径为r=,运动轨迹对应的圆心角∠AO' C=60°,经历的时间为Δt=T(T为粒子在匀强磁场中运动的周期,大小为T=,与粒子速度大小无关),当粒子速度减小为后,根据r=知其在磁场中运动的半径变为,粒子将从D点射出,根据图中几何关系得运动轨迹对应的圆心角∠AO″ D=120°,经历的时间为Δt'=T=2Δt,故B正确.
6.D [解析] 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r,有qv0B=m,根据几何关系可知,M、N两点间的距离d=2rcos(90°-θ),联立解得d=,故D正确.
7.C [解析] 粒子在磁场中运动的周期T=,角速度ω==,即T、ω与θ、v均无关,A、B错误;粒子在磁场中运动的时间t=T=T=,即t与v无关,t随θ增大而减小,C正确;当v一定时,粒子运动的轨迹半径r=一定,粒子离开磁场时的位置与O点的距离d=2rsin θ,在θ从0增大至的过程中,θ越大,则粒子离开磁场的位置距O点越远,在θ从增大到π的过程中,θ越大,则粒子离开磁场的位置距O点越近,D错误.
8.CD [解析] 两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示,根据左手定则可以判断,粒子a带正电,粒子b带负电,A错误;设圆形有界磁场圆的半径为R,根据几何关系可知r1=Rtan 60°=R,r2=Rtan 30°=R,因此r1∶r2=3∶1,B错误;根据洛伦兹力提供向心力得qvB=m,解得v=,由于a、b两粒子的质量相等,电荷量也相等,所以v1∶v2=r1∶r2=3∶1,C正确;由T=可知,两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同,由几何关系可知,a、b两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹对应的圆心角分别为60°、120°,由t=T可知,a、b两粒子在磁场中运动的时间之比t1∶t2=60°∶120°=1∶2,选项D正确.
9.BD [解析] 根据左手定则判断可知,粒子a带正电,粒子b带负电,A错误;在磁场中,洛伦兹力提供向心力,粒子的运动轨迹如图所示,对粒子a,由几何知识可得(Ra-d)2+(d)2=,解得Ra=2d,由图可知粒子b在磁场中做圆周运动的半径为Rb=d,则a、b两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比Ra∶Rb=4∶1,B正确;在磁场中,洛伦兹力提供向心力,根据qvB=m,可得v=,由于a、b两粒子的质量相等,电荷量也相等,所以a、b两粒子在磁场中运动的速率大小之比va∶vb=Ra∶Rb=4∶1,C错误;根据T=可知,两粒子运动的周期相同,由几何关系知,粒子a运动轨迹对应的圆心角为,粒子b运动轨迹对应的圆心角为π,根据t=T可得,a、b两粒子在磁场中运动的时间之比ta∶tb=∶π=1∶3,D正确.
10.D [解析] 粒子沿θ=60°角方向射入时,恰好垂直于PQ射出,则粒子在磁场中转过30°,如图所示,由几何关系可知Rsin 30°=a,解得R=2a,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得v=,故A、B错误;沿θ=60°角方向射入的粒子在磁场中运动的时间为t=T=×=,故C错误;θ=0°时,粒子离开磁场的位置在PQ上过O的水平线上方距离为l1==a处,当θ增大时,粒子离开磁场的位置在PQ上向下移,直到粒子运动轨迹与PQ相切,θ继续增大后,粒子不能从PQ边界射出,粒子运动轨迹与PQ相切时,由半径R=2a可知,粒子的出射点在过O的水平线下方距离为l2==a处,所以PQ边界上有粒子射出的长度为Δl=l1+l2=2a,故D正确.
11.(1)垂直于纸面向里 (2)
[解析] (1)粒子沿弧AE运动,洛伦兹力指向弧线内侧,根据带电粒子所受洛伦兹力的方向结合左手定则可判断出磁场的方向垂直于纸面向里.
(2)如图所示,连接A、E,作线段AE的中垂线,交AD的延长线于O点,O即为粒子运动轨迹的圆心,α为弦切角,因AE=2BE=2d,所以α=30°,圆弧轨迹对应的圆心角θ=2α=60°,△AOE为等边三角形,则轨迹半径R=2d,
由qvB=m,解得m=.
又因为T==,所以粒子在磁场区域中运动的时间t=T=.专题课:带电粒子在有界磁场中的运动
学习任务一 带电粒子在直线有界匀强磁场中的运动
[模型建构] 一电子以垂直于磁场方向并垂直于磁场边界的速度v0 从P点射入宽度为 d 的匀强磁场中,从M点离开磁场,如图所示.思考下列两种情况中如何确定电子做匀速圆周运动的圆心位置.
(1)如图甲所示,电子从M点射出时速度的方向已知.
(2)如图乙所示,电子从M点射出时速度的方向未知.
例1 (多选)[2024·山东青岛期末] 如图所示,带电粒子从O点以速度v射入宽度为d的有界匀强磁场,粒子的入射方向垂直于磁场方向且与磁场边界的夹角为θ,并垂直于磁场的右边界离开.已知粒子仅受磁场力作用.下列说法正确的是 ( )
A.可以求出粒子在磁场中运动的轨迹半径
B.可以求出粒子带的电荷量
C.可以求出粒子在磁场中运动的时间
D.可以求出粒子的比荷
[反思感悟]
变式1 如图所示,一带电荷量为2.0×10-9 C、质量为1.8×10-16 kg的粒子从直线上一点O沿与直线夹角为30°方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中,经过1.5×10-6 s后到达直线上另一点P,粒子重力不计.
(1)求粒子做圆周运动的周期T;
(2)求磁感应强度B的大小;
(3)若O、P之间的距离为0.1 m,则粒子的运动速度为多大
学习任务二 带电粒子在圆弧有界匀强磁场中的运动
[模型建构] 思考下列两种圆形有界匀强磁场中,如何确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心位置.
(1)如图甲所示,电子沿径向以一定速度垂直于磁场方向射入圆形匀强磁场区并穿出磁场.
(2)如图乙所示,带正电粒子射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ,以一定速度垂直于磁场方向射入圆形匀强磁场区并穿出磁场.
例2 [2021·全国乙卷] 如图所示,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v1,则离开磁场时速度方向偏转90°;若粒子射入磁场时的速度大小为v2,则离开磁场时速度方向偏转60°.不计重力,则为( )
A. B. C. D.
[反思感悟]
【要点总结】
1.分析解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的基本思路:定圆心、找半径、画轨迹、求时间.
2. 半径的确定和计算
一般利用几何关系,通过解三角形的办法求半径.求解时注意:
(1)如图所示,粒子速度的偏向角φ等于圆心角α,并且等于AB弦与切线的夹角θ的2倍,即φ=α=2θ.
(2)相对的弦切角(θ)相等,与相邻的弦切角(θ')互补,即θ+θ'=180°.
3.运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的轨迹所对应的圆心角为α时,其运动时间可以由下式表示:t=T、t=T或t=(l为弧长).
4.各种有界模型举例如下:
(1)直线有界(进、出磁场具有对称性,以多大的角进,就以多大的角出,如图所示).
(2)平行有界(存在临界条件,如图所示).
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图所示).
1.(直线边界问题)如图所示,有界匀强磁场边界线SP∥MN,速度不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场,其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直,穿过b点的粒子速度方向与MN成60°角,设两粒子从S运动到a、b所需的时间分别为t1、t2,则t1∶t2为( )
A.1∶3
B.4∶3
C.1∶1
D.3∶2
2.(直线边界问题)[2021·北京卷] 如图所示,在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场.一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入,并恰好垂直于y轴射出磁场.已知带电粒子质量为m、电荷量为q、OP=a.不计重力.根据上述信息可以得出( )
A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.该匀强磁场的磁感应强度
3.(直线边界问题)如图所示,一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v垂直射入一有界匀强磁场区域内,速度方向跟磁场左边界垂直,从右边界离开磁场时速度方向偏转角θ=30°,磁场区域的宽度为d,则下列说法正确的是 ( )
A.该粒子带正电
B.磁感应强度B=
C.粒子在磁场中做圆周运动的半径R=d
D.粒子在磁场中运动的时间t=
4.(圆弧边界问题)[2024·南平一中月考] 如图所示,半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场.重力不计、电荷量一定的带电粒子以速度v正对着圆心O射入磁场, 若粒子射入、射出磁场点间的距离为R,则粒子在磁场中的运动时间为 ( )
A. B.
C. D.
5.(圆弧边界问题)[2023·厦门六中月考] 如图所示,圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场,三个质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场,其运动轨迹如图所示.若带电粒子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是( )
A.a粒子的动能最大
B.c粒子的速率最大
C.b粒子在磁场中运动的时间最长
D.它们做圆周运动的周期Ta◆ 知识点一 带电粒子在直线有界匀强磁场中的运动
1.(多选)[2024·福州八中月考] 三个速度大小不同而质量相同的一价离子从长方形区域的匀强磁场上边缘的同一位置平行于磁场边界射入磁场,它们从磁场下边缘飞出时的速度方向如图所示,以下判断正确的是( )
A.三个离子均带负电
B.三个离子均带正电
C.离子1在磁场中运动的轨道半径最大
D.离子3在磁场中运动的时间最短
2.(多选)[2024·泉州五中月考] 如图所示,在边界上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁场,有两个电荷量、质量均相同但分别带正电和负电的粒子(不计重力)从边界上的O点以相同的速度先后射入磁场中,入射方向与边界成θ角,则这两个粒子在磁场中( )
A.运动的轨迹半径相同
B.重新回到边界所用的时间相同
C.重新回到边界时速度大小和方向均相同
D.重新回到边界时与O点的距离不相等
3.[2024·漳州实验中学月考] 如图所示,正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场.一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场,粒子从b点离开磁场,在磁场中运动的时间为t1; 如果只改变粒子射入磁场的速度大小,粒子从c点离开磁场,在磁场中运动的时间为t2,不计粒子重力,则t1与t2之比为 ( )
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶3 D.3∶1
◆ 知识点二 带电粒子在圆弧有界匀强磁场中的运动
4.两个质量相同、带电荷量相同的带电粒子a、b以不同的速率沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域,其运动轨迹如图所示.若不计粒子的重力,则下列说法正确的是( )
A.a粒子带正电,b粒子带负电
B.a粒子在磁场中所受的洛伦兹力较大
C.b粒子的动能较大
D.b粒子在磁场中运动的时间较长
5.[2024·福州期末] 如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过Δt时间从C点射出磁场,OC与OB成60°角.现将带电粒子的速度变为,仍从A点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中运动的时间变为 ( )
A.Δt B.2Δt
C.Δt D.3Δt
6.[2024·晋江平山中学月考] 如图所示,质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以大小为v0、方向与竖直方向成θ角斜向下的初速度垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场,最后从边界上的N点射出磁场.已知磁场的磁感应强度大小为B,不计粒子受到的重力,则M、N两点间的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
7.如图所示,在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,在xOy平面内,从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计),下列说法正确的是 ( )
A.当θ一定时,v越大,则粒子在磁场中运动的时间越短
B.当θ一定时,v越大,则粒子在磁场中运动的角速度越大
C.当v一定时,θ越大,则粒子在磁场中运动的时间越短
D.当v一定时,θ越大,则粒子离开磁场时的位置距O点越远
8.(多选)圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,在圆上A点沿半径方向射入粒子a,粒子a经磁场偏转后的速度偏转角为60°,轨迹如图所示.若仍从A点沿半径方向射入粒子b,粒子b经磁场偏转,从磁场出射时的出射速度与a粒子的出射速度方向相反.已知a、b两粒子的质量相等,电荷量也相等,不计粒子的重力,则 ( )
A.a、b两粒子均带正电
B.a、b两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为∶1
C.a、b两粒子在磁场中运动的速度大小之比为3∶1
D.a、b两粒子在磁场中运动的时间之比为1∶2
9.(多选)如图所示,矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,AB=2d,BC=d,E为AB中点.从E点沿垂直于AB方向射入粒子a,粒子a经磁场偏转后从D点出磁场.若仍从E点沿垂直于AB方向射入粒子b,粒子b经磁场偏转后从B点出磁场.已知a、b两粒子的质量相等,电荷量也相等,不计粒子的重力,则( )
A.a、b两粒子均带正电
B.a、b两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为4∶1
C.a、b两粒子在磁场中运动的速率之比为2∶1
D.a、b两粒子在磁场中运动的时间之比为1∶3
10.[2024·建宁一中月考] 如图所示,竖直平行线MN、PQ间距离为a,其间存在垂直于纸面向里的匀强磁场(含边界PQ),磁感应强度为B. MN上O处的粒子源能沿不同方向释放速度大小相等、方向均垂直于磁场的带负电粒子,粒子的电荷量均为q,质量均为m,粒子间的相互作用及重力不计,其中沿θ=60°角方向射入的粒子恰好垂直于PQ射出,则 ( )
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B.粒子的速率为
C.沿θ=60°角方向射入的粒子在磁场中运动的时间为
D.PQ边界上有粒子射出的长度为2a
11.[2024·泉州期末] 如图所示,空间存在一方向垂直于纸面、磁感应强度为B的正方形匀强磁场区域,一电荷量为-q的粒子(不计重力)从A点沿AB方向以速度v射入磁场,粒子从BC边上的E点离开磁场,且AE=2BE=2d.求:
(1)磁场的方向;
(2)带电粒子的质量及其在磁场区域中运动的时间.(共36张PPT)
专题课：带电粒子在有界磁场中的运动
学习任务一 带电粒子在直线有界匀强磁场中的运动
学习任务二 带电粒子在圆弧有界匀强磁场中的运动
备用习题
随堂巩固
学习任务一 带电粒子在直线有界匀强磁场中的运动
［模型建构］ 一电子以垂直于磁场方向并垂直于磁场边界的速度从点射入宽度为的匀强磁场中，从点离开磁场，如图所示.思考下列两种情况中如何确定电子做匀速圆周运动的圆心位置.
(1) 如图甲所示，电子从点射出时速度的方向已知.
[答案] 已知入射速度方向和出射速度方向，可以过入射点和出射点作两速度的垂线，这两条垂线的交点即为圆心(如图所示).
(2) 如图乙所示，电子从点射出时速度的方向未知.
[答案] 如果已知入射速度方向和出射点的位置，可以过入射点作速度方向的垂线，连接入射点和出射点并作其中垂线(圆的弦的垂直平分线过圆心)，这两条垂线的交点就是圆心(如图所示).
例1 (多选)[2024·山东青岛期末] 如图所示，带电粒子从点以速度射入宽度为的有界匀强磁场，粒子的入射方向垂直于磁场方向且与磁场边界的夹角为 ，并垂直于磁场的右边界离开.已知粒子仅受磁场力作用.下列说法正确的是( )
AC
A.可以求出粒子在磁场中运动的轨迹半径 B.可以求出粒子带的电荷量
C.可以求出粒子在磁场中运动的时间 D.可以求出粒子的比荷
[解析] 粒子仅受磁场力作用，在磁场中做圆周运动，如图所示，由几何关系得粒子在磁场中运动的轨迹半径，故A正确；粒子做圆周运动的周期为，由几何关系得粒子在磁场中运动的时间为
，故C正确；由，可得，由于粒子的质量、电荷量和磁感应强度均未知，所以粒子带的电荷量、粒子的比荷均不可求出，故B、D错误.
变式 如图所示，一带电荷量为、质量为的粒子从直线上一点沿与直线夹角为 方向进入磁感应强度为的匀强磁场中，经过后到达直线上另一点，粒子重力不计.
(1) 求粒子做圆周运动的周期；
[答案]
[解析] 作出粒子的运动轨迹，如图所示.由图可知，粒子由到的运动轨迹所对的圆心角为 ，由，
解得周期.
(2) 求磁感应强度的大小；
[答案]
[解析] 由于粒子做圆周运动所需的向心力由洛伦兹力提供，有，
解得.
(3) 若、之间的距离为，则粒子的运动速度为多大？
[答案]
[解析] 由几何知识可知，轨迹半径
故粒子的速度.
学习任务二 带电粒子在圆弧有界匀强磁场中的运动
［模型建构］ 思考下列两种圆形有界匀强磁场中，如何确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心位置.
(1) 如图甲所示，电子沿径向以一定速度垂直于磁场方向射入圆形匀强磁场区并穿出磁场.
[答案] 当带电粒子沿径向以一定速度垂直于磁场方向射入圆形边界匀强磁场时，因进出磁场具有对称性，所以沿径向射入必沿径向射出，匀速圆周运动的圆心位置如图所示.
(2) 如图乙所示，带正电粒子射入时粒子速度方向与半径的夹角为 ，以一定速度垂直于磁场方向射入圆形匀强磁场区并穿出磁场.
[答案] 射入时粒子速度方向与半径的夹角为 ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为 .匀速圆周运动的圆心位置如图所示
例2 [2021·全国乙卷] 如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为的带电粒子从圆周上的点沿直径方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为,则离开磁场时速度方向偏转 ；若粒子射入磁场时的速度大小为，则离开磁场时速度方向偏转 .不计重力，则为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，粒子以速度、进入磁场，做匀速圆周运动的圆心分别为和，半径分别为和，偏转角度分别为 和，由几何关系得，，由洛伦兹力提供向心力得，,联立解得，B正确.
【要点总结】
1.分析解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的基本思路：定圆心、找半径、画轨迹、求时间.
2.半径的确定和计算
一般利用几何关系，通过解三角形的办法求半径.求解时注意：
(1)如图所示，粒子速度的偏向角 等于圆心角 ，并且等于弦与切线的夹角 的2倍，即 .
(2)相对的弦切角相等，与相邻的弦切角互补，即 .
3.运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为，当粒子运动的轨迹所对应的圆心角为 时，其运动时间可以由下式表示：、或(为弧长).
4.各种有界模型举例如下：
(1)直线有界(进、出磁场具有对称性，以多大的角进，就以多大的角出，如图所示).
(2)平行有界(存在临界条件，如图所示).
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示).
1. (多选) 如图所示，正方形 内有垂直于纸面方向的匀强磁场(未画出)，
三个质量和电荷量都相同的带电粒子 、 、 从 点以不同的速率沿着 方
向射入磁场，粒子 从 点射出，粒子 从 边的中点 射出，粒子 从
边的中点 射出.若带电粒子仅受磁场力的作用，则下列说法正确的是( )
BD
A. 粒子的速率是 粒子速率的两倍
B. 在磁场中运动的时间是 的两倍
C. 在磁场中运动的弧长与 的相等
D.若 粒子的速率稍微减小，在磁场中的运动时间不变
[解析] 带电粒子的质量和电荷量都相等，分别设为 和
， 由洛伦兹力提供向心力，有 ，则 ，
找到粒子 运动轨迹的圆心 ，如图所示，设正方形的边
长为 ，在 中，有 2 ，解得
，粒子 运动的半径 ，粒子 运动的半径
，粒子 和 的速率之比 ，故A错误；带电粒子在磁场中
运动的时间 ，其中 ，由几何关系可知，粒子 的轨迹所对的
圆心角为 ，粒子 的轨迹所对的圆心角为 ，两个粒子
的周期 相同，故 在磁场中运动的时间是 的两倍，故B
正确；由弧长公式 可知， ，所以
在磁场中运动的弧长是 的两倍，故C错误；由洛伦兹力提供向心力可知，
轨迹半径 ，粒子 的速率稍微减小，则半径减小，在磁场中运动仍然可
以从 边射出，轨迹对应的圆心角仍然为 ，运动时间为 ，其中周期不变，
所以 粒子的速率稍微减小，在磁场中的运动时间不变，故D正确.
2.如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直于纸面向里的圆形匀强磁场，其
边界过原点 和 轴上的点 .一质量为 、电荷量为 的电子从 点以初
速度 平行于 轴正方向射入磁场，并从 轴上的 点射出磁场.此时速度方向
与 轴正方向的夹角为 .下列说法中正确的是( )
B
A.电子在磁场中运动的半径为
B.电子在磁场中运动的时间为
C.电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为
D.电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为
[解析] 电子在磁场中做匀速圆周运动，电子的运动轨迹如
图所示，设电子的轨道半径为 ，由几何关系可知，电子转
过的圆心角 ， ，解得 ，
故A错误；电子在磁场中做圆周运动的周期 ，
电子在磁场中运动的时间 ，故B正确；根据
几何关系可得 ，解得 ，所以电子做圆周运动的圆心
坐标为 ，故C、D错误.
3.如图所示，在直角三角形 区域内存在匀强磁场，磁
感应强度大小为 、方向垂直于纸面向外.一带正电的粒子从
静止开始经电压为 的加速电场加速后，沿平行于 轴的方
向射入磁场.一段时间后，该粒子在 边上某点以垂直于
轴的方向射出.已知 点为坐标原点， 点在 轴上， 与 轴的夹角为 ，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为 ，不计重力.求：
(1) 带电粒子的比荷；
[答案]
[解析] 设带电粒子的质量为 ，电荷量为 ，加速后的
速度大小为 ，由动能定理有
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 ，由洛伦兹
力公式和牛顿第二定律有
由几何关系知
联立解得
(2) 带电粒子从射入磁场到运动至 轴的时间.
[答案]
[解析] 由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动至 轴所
经过的路程为
带电粒子从射入磁场到运动至 轴的时间为
联立解得
4.如图所示，在 ， 区域中存在
方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度 的大小可调，
方向不变.一质量为 、电荷量为 的粒子以速度
从磁场区域左侧沿 轴进入磁场，不计重力.
(1) 若粒子经磁场偏转后穿过 轴正半轴离开磁场，分析
说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值
；
[答案] 磁场方向垂直于纸面向里
[解析] 由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦
兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中
做圆周运动的半径为 ，根据洛伦兹力公式和圆周运动规
律，有
①
由此可得 ②
粒子穿过 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在 轴正半轴上，
半径应满足 ③
由题意，当磁感应强度大小为 时，粒子的运动半径最大，由此得
.④
(2) 如果磁感应强度大小为 ，粒子将通过虚线所示边
界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与 轴正方
向的夹角及该点到 轴的距离.
[答案]
[解析] 若磁感应强度大小为 ，粒子做圆周运动的圆心仍
在 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为
⑤
粒子会穿过图中 点离开磁场，运动轨迹如图所示.设粒子
在 点的运动方向与 轴正方向的夹角为 ，由几何关系
⑥
即 ⑦
由几何关系可得， 点与 轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
.⑨
1.(直线边界问题)如图所示，有界匀强磁场边界线，速度不同的同种带电粒子从点沿方向同时射入磁场，其中穿过点的粒子速度与垂直，穿过点的粒子速度方向与成 角，
D
A. B. C. D.
[解析] 粒子在磁场中运动的周期为，由此可知，两粒子在磁场中运动的周期相同，由粒子运动的轨迹可知，通过点的粒子的偏转角为 ,通过点的粒子的偏转角为 ,则通过点的粒子运动的时间为，通过点的粒子运动的时间为，所以从到、所需时间之比,故D正确.
设两粒子从运动到、所需的时间分别为、，则为( )
2.(直线边界问题)[2021·北京卷] 如图所示，在坐标系的第一象限内存在匀强磁场.一带电粒子在点以与轴正方向成 的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于轴射出磁场.已知带电粒子质量为、电荷量为、.不计重力.根据上述信息可以得出( )
A
A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程 B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间 D.该匀强磁场的磁感应强度
[解析] 如图所示，找出轨迹圆心，画出带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹，利用三角函数知识求出轨迹半径，则轨迹方程为，故A正确；由洛伦兹力提供向心力，有，故，因为B和均未知，故B、D错误；因为，B未知，不
能求出周期，故不能求出带电粒子在磁场中运动的时间，故C错误.
3.(直线边界问题)如图所示，一质量为、带电荷量为的粒子以速度垂直射入一有界匀强磁场区域内，速度方向跟磁场左边界垂直，从右边界离开磁场时速度方向偏转角 ，磁场区域的宽度为，则下列说法正确的是( )
D
A.该粒子带正电
B.磁感应强度
C.粒子在磁场中做圆周运动的半径
D.粒子在磁场中运动的时间
[解析] 粒子运动轨迹如图所示，由图可知，粒子在磁场中向下偏转，根据左手定则可知，粒子应带负电，A错误；由几何关系可知，解得，根据洛伦兹力充当向心力可知，磁感应强度为，B、C错误；粒子在磁场中转过的圆心角为 ，粒子在磁场中运动时间为，D正确.
4.(圆弧边界问题)[2024·南平一中月考] 如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场.重力不计、电荷量一定的带电粒子以速度正对着圆心射入磁场，若粒子射入、射出磁场点间的距离为，则粒子在磁场中的运动时间为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，如图所示,由几何关系得，轨迹半径，故粒子在磁场中的运动时间，故A正确.
5.(圆弧边界问题)[2023·厦门六中月考] 如图所示，圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量相同的带电粒子、、以不同的速率对准圆心沿着方向射入磁场，其运动轨迹如图所示.若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是( )
B
A.粒子的动能最大 B.粒子的速率最大
C.粒子在磁场中运动的时间最长 D.它们做圆周运动的周期
[解析] 粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径，周期，运动的时间，由于三个带电粒子的质量的电荷量均相同，所以它们在同一个磁场中运动时，周期相同，, ，由题图可知粒子运动的半径最大，则速率最大，动能最大；粒子
转过的圆心角最大，则在磁场中运动的时间最长；三个粒子做圆周运动的周期相等，A、C、D错误，B正确.
