2025-2026学年度高中数学选择性必修一1.1-2.4圆的方程滚动测试卷（含解析）

2025-2026学年度高中数学选择性必修一
1.1-2.4圆的方程滚动测试卷
考试范围：选择性必修第一册第一章、第二章2.1-2.4；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
2．直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
7．在空间直角坐标系中，已知长方体的顶点，，，，则直线与平面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．将正方形纸片沿对角线折成直二面角，设、两边的中点分别为、，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，两条直线的交点为 D．若直线不过第二象限时，有
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
B．已知两个向量，，且，则
C．若，且，，则
D．点关于平面对称的点的坐标是
11．有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（ ）
A．圆 的圆心坐标为，半径为5
B．若分别为两圆上两个点，则的最大距离为
C．两圆外切
D．若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在底面边长为2，侧棱长为3的正三棱柱中，E，F分别为棱BC，AB的中点，点D在棱上，且，若平面与平面AED的交线为l，则l与直线所成角的余弦值为 ．
13．如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是 .
14．在三棱锥O-ABC中，OA OB OC两两垂直，，，，D是AB的中点，则CD与平面OAB所成的角的正切值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．已知的三个顶点，，.
（1）求外接圆的方程；
（2）求内切圆的方程.
16．已知顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程．
17．已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________
①过点；
②圆恒被直线平分；
③与轴相切.
(1)求圆的为程；
(2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
18．如图，且，，且，且，平面，．
(1)若点为的中点，点为的中点，点为线段上动点，
且平面平面，求的值；
(2)求二面角的正弦值．
19．如图，在三棱柱中，，，，分别是线段上的点，且，平面，侧面底面．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
《2025-2026学年度高中数学选择性必修一1.1-2.4圆的方程滚动测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D D A B BC BCD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】连接，以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，根据空间向量数量积的坐标公式及投影向量的定义即可得解.
【详解】如图，连接，则底面圆，
以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设圆台的高为，，则，
故，
则，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
2．C
【解析】令，可得；令，可得，可得，，解出即可．
【详解】解：令，可得；令，可得，
，，
解得，且．
故选：．
【点睛】本题考查了直线的截距意义、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
3．D
【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可.
【详解】，，，，
显然，所以，
而平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离．
设平面的法向量为，则,令，得，
所以点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离是．
故选：D
4．A
【分析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为2的正方形，侧棱，且，
则 ，，，，，，
则
，
故选：A.
5．D
【分析】建立空间直角坐标系，结合实例分析空间两直线所成角即可得解.
【详解】取正方体的相邻两个面，它们的中心分别为，是对应钟面圆心，
0点时，两个钟面时针分别指向点，显然，
直线分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线，它们成的角，
即两个钟面时针分别指向点时，两个时针所成的角为，
当两个钟面时针分别指向点时，有，因此当时针从0点转到3点的过程中，
两个时针所在直线所成的角从逐渐增大到，令成角的位置时针分别指向棱上的点，
如图，建立空间直角坐标系，令，则，
设，显然，则，，
，解得，
因此时针从0点转到3点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有1个，
同理时针从3点转到6点，6点转到9点，9点转到12点，两个时针所成的角为的位置各有1个，
所以从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有4个.
故选：D
6．D
【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，即，
由，解得，所以直线过定点；
同理可得直线过定点；
又因为，所以，
即有，所以，
所以，
当且仅当时，取等号.
所以的最大值为4.
故选：D.
7．A
【分析】根据题意可知，，，直线与平面之间的距离可转化为点到平面的距离，结合线面垂直的性质与三角形面积公式，即可求解.
【详解】由，，，，得，，且.如图所示，连接，过点作，垂足在上.
由长方体的性质易得，又因且，所以平面，因此直线与平面之间的距离为线段的长.
因，所以，
因此直线与平面之间的距离为.
故选：A.
8．B
【分析】取线段的中点，连接、，分析可知，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.
【详解】取线段的中点，连接、，
易知、都是斜边为的等腰直角三角形，则，，
所以，二面角的平面角为，即，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则、、、，

所以，，，
，
所以，直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
9．BC
【分析】由得出重合判断A；由垂直关系判断B；求出交点判断C；由判断D.
【详解】对于A：当时，直线，重合，故A错误；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，由，解得，即两条直线的交点为，故C正确；
对于D：当时，直线不过第二象限，故D错误；
故选：BC
10．BCD
【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；根据空间直角坐标系中点的对称性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得，
即，
所以，且，
因为对空间中任意一点有，且，
故、、、四点不共面，A错；
对于B选项，已知两个向量，，且，
设，即，则，解得，故，B对；
对于C选项，若，且，，
则，C对；
对于D选项，点关于平面对称的点的坐标是，D对.
故选：BCD.
11．ABD
【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程即可判断；对于B，画出图形结合三角不等式即可求解；对于C，由的关系即可判断；对于D，画出图形，结合垂径分线定理分析即可.
【详解】对于A，将圆的方程化为标准方程得，
由此可知圆 的圆心坐标为，半径为5，故A选项正确；
对于B，将圆的方程化为，如图所示：

不妨设分别为两圆上两个点，四个点共线，
则由三角不等式可知，
而分别为两圆的半径，即，
是指两圆圆心之间的距离，即，
所以，
由等号成立的条件可知，当且仅当点与点重合，点与点重合时，，故B选项正确；
对于C，由B选项分析可知，
故两圆相交，而不是外切，故C选项错误；
对于D，如图所示：

由题意不妨设，中点为，则，
又由于的半径为，
所以由垂径分线定理可知，即，
所以点的坐标为，又点的坐标为，
所以，故D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于B、D两选项的判断，因而是否能够准确作出图形、利用数学结合的思想来判断B、D两选项是解题的关键.
12．
【分析】根据题意，先找到平面与平面AED的交线，然后建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】
由题意，延长,,相交于点，则直线为平面与平面AED的交线，
取中点为，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
故，
设，则.
设，则.
所以，故,
故，所以，
设l与直线所成角为，
则
故答案为:
13．
【分析】易证得，引入辅助角变量，设，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值，从而可判断所求角的范围.
【详解】解：因为，，
所以，
所以，
又因为为的中点，
所以，
又，所以平面，
设，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面与平面重合，
不妨设，
则，
则，
，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
因为直线与平面所成角为，，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
14．2
【分析】由已知建立空间直角坐标系，求出的坐标和平面的法向量，由数量积公式可得与平面所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.
【详解】因为两两垂直， 所以以为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接，
所以，，，，
，由于底面，所以是底面的法向量，
且，设与平面所成的角为，
所以，
所以，所以.
即与平面所成的角正切值为.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.
15．（1）x2+y2+x+5y﹣6＝0；（2）.
【分析】（1）设外接圆的一般方程用待定系数法即可求解；
（2）内切圆为角平分线交点，由直线AC，直线AB斜率互为相反数，得到圆心在x轴上，设圆心坐标即可求解．
【详解】解：（1）设△ABC外接圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
∵A（﹣3,0），B（3,﹣2），C（0,1）在圆上，
∴，解得，
∴△ABC外接圆的方程为x2+y2+x+5y﹣6＝0，
（2）设△ABC内切圆圆心为P，半径为r，
则CP，AP分别为∠ACB，∠CAB的角平分线，
由A（﹣3,0），B（3,﹣2），C（0,1），
得直线BC：y＝﹣x+1，直线AC：，直线AB：，
∵kAC＝﹣kAB，∴直线AP在x轴上，∴AP方程为：y＝0，
设P（t，0），∵直线BC方程为y＝﹣x+1，∴BC与x轴的交点为（1，0），∴﹣3＜t＜1，∵P到直线CA，CB距离相等，∴，∴，
解得，，
∴内切圆方程为．
16．
【分析】根据题意，设，将中点坐标代入中线方程，将点代入的平分线方程，联立求出点的坐标，再列出方程，求得点关于直线的对称点的坐标，代入点斜式直线方程求解即可.
【详解】设，则的中点在直线上．
所以，即，
又点在直线上，则，
联立可得，，即点的坐标为
设点关于直线的对称点的坐标为，
由题知，得，即所求的对称点的坐标为，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即
17．(1)
(2)
【分析】（1）选①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，
（2）根据相关点法即可求解轨迹方程．
【详解】（1）选条件①．设圆的方程为，
将，代入可得
，解得，
则圆的方程为．
选条件②．
直线恒过点．
因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为，即．
选条件③．
设圆的方程为，
由题意可得，解得，
则圆的方程为，即．
（2）设，，
因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
所以的轨迹方程为．
18．(1)1
(2)
【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出相关向量的坐标，先求出平面的法向量，再利用向量垂直进行求解；
（2）先求出平面和平面的法向量，再利用空间向量的夹角公式进行求解.
【详解】（1）解：依题意，以为原点，分别以，，为
轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），
所以，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
，1，，，0，，，，，，0，，
所以，2，，，0，，
设平面的法向量为，，，
所以，
令，可得，0，，
设，0，，则，0，，
若平面平面，
则平面，
故，
所以，
解得，
所以，0，，
此时；
（2）解：依题意可得，，0，，，，，
，，，设平面的法向量为，，，
所以，
令，所以可得，2，，
同理可求平面的法向量为，1，，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】考虑到条件，侧面底面．，因此取中点，有，这样取中点后，易知两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，
（1）只要求得平面的法向量，然后证明与法向量垂直（数量积为0）即可证明线面平行；
（2）再求得的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值（注意判断二面角是锐角还是钝角，本题是钝角）．
【详解】（1）设为中点，为中点，
因为，所以为等边三角形，所以，侧面底面，且侧面底面，所以底面，
，，所以，易知两两垂直，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，
设，即，从而，
显然，，
，则要使平面，则且，
即，故，从而点的坐标为，即为中点．
设平面的法向量，由于，，
由于，则，从而，
取，
由于，从而，从而，
又平面，从而平面，

（2）设平面的法向量，由于，，
由于，则，从而，
取，
又平面的法向量，
设二面角的平面角的大小为，
则，
综上所述，二面角的余弦值为．
答案第16页，共17页
答案第1页，共17页