2025-2026学年度高中数学选择性必修一1.1-2.4圆的方程滚动测试卷（基础）（含解析）

2025-2026学年度高中数学选择性必修一
1.1-2.4圆的方程滚动测试卷（基础）
考试范围：选择性必修一第一章第二章.2.1-2.4；考试时间：100分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直角坐标系中，连接两点的所有直线中倾斜角最大的直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．
7．已知动直线恒过定点，圆，则以为圆心，半径与圆半径相等的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为
B．点都在曲线内部
C．当三点不共线时，则
D．若，则的最小值为
11．下列说法正确的是（ ）
A．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
B．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称
C．若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于
D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则点P到平面的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=2BC=2，D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为30°，则AD的长为 .
13．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 .
14．已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．如图，三棱锥中，，，，E为中点.
(1)证明；
(2)点F满足，求平面与平面的夹角的余弦值.
16．设直线，().
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
17．四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点， .
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
18．如图（1），在中，，，.，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图（2）.
（1）求证：平面；
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的大小.
19．若方程为表示圆.点，在圆上，
(1)求实数的取值范围.
(2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程.
(3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程.
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
《2025-2026学年度高中数学选择性必修一1.1-2.4圆的方程滚动测试卷（基础）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D D C D C CD ACD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】由题意求出，，结合投影向量的计算公式即可求解.
【详解】向量，，
，，
向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：D.
2．B
【分析】根据斜率的定义以及斜率的坐标公式即可判断．
【详解】因为，，，而在上单调递增，且，在上递增，且，，所以连接两点的所有直线中倾斜角最大的直线为，其斜率为．
故选：B．
3．A
【分析】根据夹角为钝角，得到且不反向共线，得到不等式，求出答案.
【详解】与的夹角为钝角，故且不反向共线，
则，且，
解得且，
故选：A
4．D
【分析】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．
【详解】、分别是对边、的中点，
，．
，
因此，．
故选：D
5．D
【分析】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】联立直线与，，解得：，
所以直线：，：的交点为，
又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，
故该直线方程为：，即
故选：D
6．C
【分析】根据空间向量可得，两边平方即可得出答案．
【详解】∵AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴＝＝＝，
∵，
∴＝6，
∴|=．
故选C．
【点睛】本题考查平行四面形法则、向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力.
7．D
【分析】先求出定点，再根据圆C的方程得出半径2，最后根据圆的标准方程写出圆的方程即可.
【详解】动直线，可化为，故恒过定点，
又易得圆的半径为2，则以为圆心，以圆的半径为半径的圆的标准方程是．
故选：D.
8．C
【分析】根据向量的数量积可得的轨迹圆，从而可求线段PB的长度的最小值.
【详解】取的中点为，的中点为，连接，
则平面，而平面，故.
而，
而，故，
而，故即，
由正方体的性质可得，故，
故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而，
故线段的长度的最小值为，
当且仅当三点共线且在之间时的长度取最小值，
故选：C.
9．CD
【分析】由题得，解方程组即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以或.
故选：CD
10．ACD
【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；
对于B，利用点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系；
对于C，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；
对于D，将转化为进行判断即可．
【详解】设，不与，重合），
由，，有，，
，即，化简得，
所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示，
对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确；
对于B选项，由，点在曲线外，选项B错误；
对于C选项，由，，有，
则当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线，
所以，选项C正确；
对于D选项，由，得，
则，
当且仅当在线段上时，等号成立，
则的最小值为，选项D正确．
故选：ACD．
11．ABD
【分析】利用空间向量基底的意义判断A；求出对称点坐标判断B；求出线面角判断C；求出点到平面距离判断D.
【详解】对于A，假定向量共面，则存在实数使得，
而不共面，则，此方程组无解，即不共面，
可构成空间的另一个基底，A正确；
对于B，点关于平面对称点为，B正确；
对于C，直线l与平面α所成的角等于，C错误；
对于D，点P到平面的距离为，D正确.
故选：ABD
12．
【分析】建立空间直角坐标系，设出D的坐标，进而通过空间向量的夹角运算求出答案.
【详解】如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，∴=(0，1，2)，=(0，1，0).设AD=a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2，0，a)，=(2，0，a).
设平面B1CD的法向量为=(x，y，z)，则 令z=-1，得=.又平面C1DC的一个法向量为=(0，1，0)，记为，则由，解得a=(负值舍去)，故AD=.
故答案为：.
13．/
【分析】由题意可得，，利用计算即可.
【详解】因为平面，平面，所以，，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
故答案为：.
14．或
【分析】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为列方程求参数.
【详解】当时，
直线化为：，
直线化为，
此时两直线垂直，满足题意；
当时，
直线化为：，
直线化为，
此时两直线不垂直，不满足题意；
当且时，
直线的斜率为，
直线的斜率为，
因为两直线垂直，所以，解得，
综上可得：实数的值为或，
故答案为: 或.
15．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）连接，
因为E为中点.， ，
所以，
又因为，，
所以是等腰三角形，
于是有，而E为中点.，
因此，而平面，
因此平面，而平面，
所以；
（2）设，
因为E为中点.，，
所以
，显然有，
因此，显然，
于是有，因此建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
于是有，
设平面的法向量为，
于是有，
平面与平面的夹角的余弦值为：
.
16．（1）证明见解析，坐标；（2）或.
【分析】（1）根据直线方程，列出方程组，求解，即可得出定点坐标；
（2）根据直线在两坐标轴上的截距相等，分别讨论直线过原点，和直线不过原点，两种情况，分别求解，即可得出结果；
【详解】（1）因为，
由，解得，则定点为；
（2）因为直线在两坐标轴上的截距相等，
当直线过原点时，，则，此时直线的方程为；
当直线不过原点时，直线方程化为，
则，解得，所求直线为；
综上，直线方程为或.
17．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）连结交于，连结，利用中位线定理以及线面平行的判定定理
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可；
（3）利用向量法求点到平面的距离即可.
【详解】（1）证明：连结交于，连结
因为四边形是矩形，所以为中点
又因为是的中点，所以
因为平面，平面
所以平面
（2）四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，因此以为原点，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系.
所以
设平面的一个法向量为
，即：
设直线与平面所成角为
由，平面的一个法向量为
所以
即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设点到平面的距离，则
所以点到平面的距离
【点睛】关键点睛：在求线面角以及点到平面的距离时，关键是建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角以及点到平面的距离.
18．(1)见解析(2)
【详解】分析：(1)根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理证得结果；
(2)建立相应的空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的正弦值，从而求得角的大小.
详解：（1）证明：∵，，∴.∴，，∴平面，又平面，∴.又，∴平面.
（2）解：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，
则，.又，，∴.
令，则，，∴.
设与平面所成的角为.∵，
∴.
∴与平面所成角的大小为.
点睛：该题所考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面角的大小的求解，在解题的过程中，需要把握线面垂直的判定定理的内容以及空间向量法求解线面角的思路与过程，建立适当的空间直角坐标系是解题的关键.
19．(1)或；
(2)圆心，半径，；
(3).
【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得.
（2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程.
（3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解.
【详解】（1）由方程为表示圆，得，
整理得，解得或，
所以实数的取值范围是或.
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当时，圆的方程为.
（3）线段的中点为，直线的斜率，
则线段的中垂线的方程为，由解得，
因此圆的圆心，半径，
所以圆的方程为.
答案第2页，共13页
答案第1页，共13页