1.2　空间向量基本定理 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理
学案设计
学习目标
1.经历空间向量基本定理的形成过程,了解空间向量基本定理及其意义.
2.在简单问题中学会选择恰当的基底表示任意向量.
3.体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.
自主预习
1.空间向量基本定理
定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得　　　　　　　　.
其中,把{a,b,c}叫做空间的一个　　　　　,a,b,c都叫做　　　　　.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
思考:空间向量基本定理中,有序实数组(x,y,z)为什么是唯一的
2.单位正交基底与正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量　　　　　　,且长度都为　　,那么这个基底叫做　　　　　　　　,常用　　　　　表示.
(2)正交分解
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行　　　　　　.
课堂探究
[导入新课]
前面我们学习了空间向量的有关概念,并学习了空间中三个向量共面的充要条件,即:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb.
问题1:空间向量共面定理的本质就是平面向量基本定理,揭示了向量的分解与合成.请用图形语言表示平面向量基本定理.
问题2:在△ABC中,设M是BC的中点,试用表示.
问题3:在空间向量中,三个非零向量有哪两种位置关系
[讲授新课]
探究一:如图所示,设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量p=,怎样用i,j,k表示p呢
探究二:在空间中,如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的i,j,k,你能得出类似的结论吗
小组交流:
1.什么是空间向量的基底 它有什么作用
2.空间向量的基底是否唯一 如果不唯一,该选择怎样的向量作为基向量呢
3.基底与基向量是同一概念吗 有何区别与联系
4.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,从a,b,c中选哪一个向量,一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空间的另一个基底
【学以致用】
例1　若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底
例2　如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,用向量表示.
例3　在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分别为D1C1,C1B1的中点.
求证:MN⊥AC1.
核心素养专练
1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知M,A,B,C四点互不重合且无三点共线,则能使向量成为空间一个基底的关系是(　　)
A.
B.
C.
D.=2
3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{}为基底,若=x+y+z,则x,y,z的值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x=y=z=1 B.x=y=z=
C.x=y=z= D.x=y=z=2
4.如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,若以{}为基底,则=　　　　　　　.
5.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m与n共线,则x=　　　　　,y=　　　　　.
6.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',CD'和DC'相交于点O,连接AO,求证AO⊥CD'.
参考答案
自主预习
1.p=xa+yb+zc　基底　基向量
思考:提示　方法一:如果p=xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c,可推出x=x',y=y',z=z',这就说明了有序实数组(x,y,z)是唯一的.
方法二:平移向量a,b,c,p使它们共起点,以p为体对角线,在a,b,c方向上作平行六面体,易知这个平行六面体是唯一的,因此p在a,b,c方向上的分解是唯一的,即有序实数组(x,y,z)是唯一的.
2.(1)两两垂直　1　单位正交基底　{i,j,k}　(2)正交分解
课堂探究
[导入新课]
问题1:用图形语言表示如下.
问题2:),.
问题3:在空间向量中,三个非零向量有共面和不共面两种位置关系.
[讲授新课]
探究一:解 如图所示,设在i,j所确定的平面上的投影向量,则.又向量,k共线,因此存在唯一的实数z,使得=zk,从而+zk.
而在i,j所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xi+yj.从而+zk=xi+yj+zk.
因此,如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk分别为向量p在i,j,k上的分向量.
显然,当p为零向量或者与其中任意两个向量共面时,也满足上式.
探究二:能,如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
小组交流:
1.如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.我们可以根据几何图形的特征选定恰当的基底,利用这个基底表示空间图形中的任意元素,通过向量的代数运算解决立体几何的问题.
2.不唯一.可以选择共起点的且与题目条件有关的三个不共面向量作为基向量.
3.两者概念不一样.一个基底是指一个向量组,而一个基向量是指基底中的某一个向量.两者是有关联的不同概念,可类比集合与元素的关系.
4.向量c.
【学以致用】
例1　解 方法1:假设有一组实数x,y,z,使得x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=0,即(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c=0,
由于a,b,c线性无关,所以x+z=0,x+y=0,y+z=0,解得x=y=z=0,所以a+b,b+c,c+a线性无关,所以可以作为空间的一个基底.
方法2(反证法):
假设{a+b,b+c,c+a}不能作为空间的一个基底.
则存在实数x,y使得a+b=x(b+c)+y(c+a),
即(1-y)a+(1-x)b-(x+y)c=0,
也即此方程组无解,
因此假设不成立,故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
例2　解 )==.
例3　证明 设=a,=b,=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,
我们用它们表示,则a-b,=a+b+c,
所以=a-b·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c-b·a-b·b-b·c=×42+×42×cos 60°+×4×5×cos 60°-×42×cos 60°-×42-×4×5×cos 60°=0.
所以MN⊥AC1.
核心素养专练
1.C　解析 如图所示,令a=,b=,c=,
则x=,y=,z=,a+b+c=,
由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,而a,b,x共面,故选C.
2.C　解析 对于选项A,由=x+y+z(x+y+z=1)可得M,A,B,C四点共面,知共面;对于选项B,D,易知共面.故选C.
3.A　解析 )+)+)=,由空间向量基本定理,得x=y=z=1.
4.-　解析 =-)+)=-.
5.2　-2　解析 因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+2λc,
于是有解得
6.证明 设=a,=b,=c,且|a|=|b|=|c|=t,
∵=()+=(a+b)+=a+b+(c-a)=a+b+c,
=c-a=-a+c,
∴·(-a+c)
=-a2+a·c-a·b+b·c-a·c+c2
=-t2+0-0+0-0+t2
=0.
∴,
∴AO⊥CD'.