1.3.1 空间直角坐标系 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

1.3.1　空间直角坐标系
学案设计(一)
学习目标
1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.
自主预习
一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:　　　　　　,它们都叫做　　　　　　.这时我们就建立了一个　　　　　　　　　　.
2.相关概念:　　　叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做　　　　　　　,分别称为　　　平面、　　　平面、　　　平面,它们把空间分成八个部分.
注意点:
(1)基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系.
二、求空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中(如下图),i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组　　　　　,叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的　　　　　　,y叫做点A的　　　　　　,z叫做点A的　　　　　　.
问题:空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 　　　　 　　　　 　　　　
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 　　　　 　　　　 　　　　
课堂探究
[导入新课]
问题1:请同学们回忆上节课的内容,什么是空间向量基本定理 它的用途是什么 你能举出一些具体的例子吗
问题2:请同学们回忆平面向量与平面直角坐标系之间的联系和对应关系,能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底,建立空间直角坐标系,进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢
[讲授新课]
探究一:类比平面直角坐标系,你能猜想如何构建空间直角坐标系吗 以小组为单位进行讨论.
问题3:平面直角坐标系包含哪些要素 类比到空间直角坐标系应该有哪些要素 它们需要满足什么条件
坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系
原点 坐标原点O
坐标轴 相互垂直的两条坐标轴:x轴和y轴
单位长度 单位长度
问题4:利用单位正交基底概念,我们可以如下这样理解平面直角坐标系.类比到空间,你能否给出空间直角坐标系的定义呢
平面直角坐标系 空间直角坐标系
在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j}
以O为原点,分别以i,j的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴
问题5:请回忆平面直角坐标系是怎么画的,空间坐标系又如何画呢 回忆学习立体几何时用到的斜二测画法.
探究二:在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示,对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢
问题6:空间中任意一点A与哪个向量的坐标相同 在空间直角坐标系中如何定义向量的坐标呢 那么对于给定的向量a又该如何定义它的坐标呢
平面直角坐标系内 空间直角坐标系内
取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,由平面向量基本定理,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做a的坐标,记作a=(x,y)
探究三:在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任意一点A,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标(x,y,z)吗
【学以致用】
例题　如图,在长方体OABC-D'A'B'C'中,OA=3,OC=4,OD'=2,以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出D',C,A',B'四点的坐标;
(2)写出向量的坐标.
核心素养专练
1.在空间直角坐标系Oxyz中,点(1,-2,4)关于y轴对称的点为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,-2,-4) B.(-1,-2,4)
C.(1,2,-4) D.(1,2,4)
2.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,P是B1C1的中点,则点P的坐标为(　　)
A.(3,5,4) B.,3,4
C.,5,4 D.5,,2
3.在空间直角坐标系中,点(1,2,3)与点(-1,2,3)(　　)
A.关于Oxy平面对称
B.关于Ozx平面对称
C.关于Oyz平面对称
D.关于x轴对称
4.在空间直角坐标系中,已知点P(1,),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为(　　)
A.(0,,0) B.(0,)
C.(1,0,) D.(1,,0)
5.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,B1E=A1B1,则等于(　　)
A.0,,-1 B.-,0,1
C.0,-,1 D.,0,-1
6.设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别为　　　　　　　　.
7.如图是一个正方体截下的一角P-ABC,其中PA=a,PB=b,PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系,则△ABC的重心G的坐标是　　　　　.
8.建立如图所示的空间直角坐标系,正方体DABC-D'A'B'C'的棱长为a,E,F,G,H,I,J分别是棱C'D',D'A',A'A,AB,BC,CC'的中点,写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标.
9.如图所示,过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2,OP=2,连接AP,BP,CP,DP,M,N分别是AB,BC的中点,以O为原点,为单位正交基底建立空间直角坐标系.若E,F分别为PA,PB的中点,求点A,B,C,D,E,F的坐标.
参考答案
自主预习
一、1.x轴、y轴、z轴　坐标轴　空间直角坐标系Oxyz
2.O　坐标平面　Oxy　Oyz　Ozx
二、(x,y,z)　横坐标　纵坐标　竖坐标
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的 形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的 形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
课堂探究
问题1:空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.
应用:可以利用基底表示任意一个空间向量,进而把空间向量的运算转化为基向量的运算,为解决问题带来方便;比如用基底法判断空间中线、面的位置关系(教科书习题1.2 第6,7题),用基底法求空间中线段的长度(教科书习题1.2第5题).
问题2:在平面向量中,我们以平面直角坐标系中的与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,结合平面向量基本定理,建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系,从而把平面向量的运算化归为数的运算.
探究一　略
问题3:
坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系
原点 坐标原点O 坐标原点O
坐标轴 相互垂直的两条坐标轴:x轴和y轴 三条互相垂直的坐标轴:x轴、y轴和z轴
单位长度 单位长度 单位长度
问题4:能,见下表.
平面直角坐标系 空间直角坐标系
在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j} 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}
以O为原点,分别以i,j的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴 以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴
问题5:平面直角坐标系Oxy的画法:在平面内画两条与单位正交基底向量i,j方向相同的数轴:x轴和y轴,它们互相垂直、原点重合.
拓展到空间中,在x轴和y轴的基础上添加与x轴和y轴都垂直的z轴.
借鉴在立体几何中学习的斜二测画法,在画空间直角坐标系Oxy时,让x轴与y轴所成的角为135°(或45°),即∠xOy=135°(或45°),画z轴和y轴垂直,即∠yOz=90°.
探究二　略
问题6:(1)点A的坐标与从原点出发的坐标相同.
(2)
平面直角坐标系内 空间直角坐标系内
取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,由平面向量基本定理,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做a的坐标,记作a=(x,y) 取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i,j,k为基底,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得a=xi+yj+zk
所以,在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
(3)因为空间向量是可以进行平移的,我们在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).
这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
探究三　略
【学以致用】
例题　解 (1)D'(0,0,2),C(0,4,0),A'(3,0,2),B'(3,4,2).
(2)=0i+4j+0k=(0,4,0);
=-=0i+0j-2k=(0,0,-2);
=(-3i+0i+0k)+(0i+4j+0k)=-3i+4j+0k=(-3,4,0);
=(-3i+0j+0k)+(0i+4j+0k)+(0i+0j+2k)=-3i+4j+2k=(-3,4,2).
核心素养专练
1.A　解析 关于y轴对称,则y值不变,x和z的值变为原来的相反数,故所求的点的坐标为(-1,-2,-4).
2.C　解析 由题图知,点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1,P2,P3,它们在坐标轴上的坐标分别是,5,4,故点P的坐标是,5,4.
3.C　解析 因为空间中的两个点(1,2,3)和(-1,2,3),纵坐标和竖坐标相同,横坐标相反,故此两点关于Oyz平面对称.
4.B　解析 由于垂足在平面Oyz上,所以纵坐标、竖坐标不变,横坐标为0.
5.C　解析 设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,B1E=A1B1,∴=k-j=0,-,1.
6.(2,-4,5),(1,2,-3)　解析 由空间向量坐标概念知a=(2,-4,5),b=(1,2,-3).
7.　解析 由题意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c).
由重心坐标公式得点G的坐标为.
8.解 ∵正方体DABC-D'A'B'C'的棱长为a,且E,F,G,H,I,J分别是棱C'D',D'A',A'A,AB,BC,CC'的中点,
∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E0,,a,F,0,a,Ga,0,,Ha,,0,I,a,0,J0,a,.
9.解 由题意知,点B的坐标为(1,1,0),点P的坐标为(0,0,2).
由点A与点B关于x轴对称,得A(1,-1,0),
由点C与点B关于y轴对称,得C(-1,1,0),
由点D与点C关于x轴对称,得D(-1,-1,0).
又E为AP的中点,F为PB的中点,所以由中点坐标公式可得E,-,1,F,1.
学案设计(二)
学习目标
1.了解空间直角坐标系;
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.
自主预面直角坐标系 空间直角坐标系
坐标轴 上的点 x轴　　　 y轴　　　 坐标轴 上的点 x轴　　　 y轴　　　 z轴　　　
坐标平面 上的点 Oxy平面　　　 Oyz面　　　 Ozx平面　　　
点P(x, y)关于 坐标轴 对称 x轴　　　 y轴　　　 原点O　　 点P(x, y,z)关 于坐标 轴对称 原点O　　　 x轴　　　 y轴　　　 z轴　　　
点P(x, y,z)关于 坐标平 面对称 Oxy平面　　　 Oyz平面　　　 Ozx平面　　　
课堂探究
[导入新课]
问题1:请画一个数轴,并指出数轴上的点是如何表示的
问题2:请画一个平面直角坐标系,并指出坐标系上的点是如何表示的
问题3:空中有一架飞机在飞行,如何确定这架飞机的位置呢
[讲授新课]
【概念形成】
重点强调以下几个知识点:
(1)从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,即建立了空间直角坐标系Oxyz.
(2)三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面.
(3)对右手直角坐标系的认识:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(4)构成空间直角坐标系的元素:点(原点),线(x轴、y轴、z轴),面(Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面).
(5)空间直角坐标系的画法:x轴与y轴,x轴与z轴均成135°,而z轴垂直于y轴,且单位长度相同.
【概念深化】
问题4:在平面直角坐标系中,点与有序数对(x,y)是一一对应的,那么在空间直角坐标系中的点又是如何对应的呢 (x,y,z)是怎么得到的呢
问题5:如何在空间直角坐标系中作出点P(3,4,5)呢
问题6:在空间直角坐标系中,x轴、y轴、z轴上的点的坐标有什么特点
问题7:在空间直角坐标系中,Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面上点的坐标有什么特点
【迁移应用】
例1　如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为AB=12,AD=8,AA'=5,以这个长方体的顶点A为坐标原点,射线AB,AD,AA'分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体每个顶点的坐标.
例2　(1)在空间直角坐标系Oxyz中,画出不共线的3个点P,Q,R,使得这三个点的坐标都满足z=3,并画出图形;
(2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.
例3　分别求出点P(4,-3,7)关于x轴、坐标平面Oxy及坐标原点的对称点的坐标.
核心素养专练
1.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　)
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,以{}为基底,则的坐标为　　　　　　　　.
3.如图,在棱长为1的正方体OABC-D'A'B'C'中,G为侧面正方形BCC'B'的中心,以顶点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则点G的坐标为　　　　　.
4.定义向量p在基底{a,b,c}下的坐标如下:若p=xa+yb+zc,则(x,y,z)叫做p在基底{a,b,c}下的坐标.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1,-1),则p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为　　　　　,在基底{2a,b,-c}下的坐标为　　　　　.
5.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,求的坐标.
参考答案
自主预面直角坐标系 空间直角坐标系
坐标轴 上的点 x轴(x,0) y轴(0,y) 坐标轴 上的点 x轴(x,0,0) y轴(0,y,0) z轴(0,0,z)
坐标平面 上的点 Oxy平面(x,y,0) Oyz平面(0,y,z) Ozx平面(x,0,z)
点P(x, y)关于 坐标轴 对称 x轴(x,-y) y轴(-x,y) 原点O(-x,-y) 点P(x, y,z)关 于坐标 轴对称 原点O(-x,-y,-z) x轴(x,-y,-z) y轴(-x,y,-z) z轴(-x,-y,z)
点P(x, y,z)关于 坐标平 面对称 Oxy平面(x,y,-z) Oyz平面(-x,y,z) Ozx平面(x,-y,z)
课堂探究
问题1:如下图所示.
问题2:如下图所示.
问题3:略
问题4:我们通过空间中的点A作三个平面,分别垂直于x轴、y轴、z轴,分别交x轴、y轴、z轴于点P,Q,R,它们在相应数轴上的坐标即x,y,z.
问题5:提示　通过从原点出发沿坐标轴平移的方法或构造一个长方体.
问题6:具体坐标特点见下表.
点的位置 原点O x轴上点A y轴上点B z轴上点C
坐标形式 (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
问题7:具体坐标特点见下表.
点的位置 Oxy平面内点D Oyz平面内点E Ozx平面内点F
坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
例1　解 A(0,0,0),B(12,0,0),C(12,8,0),D(0,8,0),A'(0,0,5),B'(12,0,5),C'(12,8,5),D'(0,8,5).
例2　解 (1)取三个点P(0,0,3),Q(4,0,3),R(0,4,3),画图如图.
(2)P,Q,R三点不共线,可以确定一个平面,又因为这三点在Oxy平面的同侧,且到Oxy平面的距离相等,所以平面PQR平行于平面Oxy,而且平面PQR内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离等于3,即该平面上的点的坐标都满足z=3.
例3　解 点P(4,-3,7)关于x轴的对称点的坐标为(4,3,-7),关于坐标平面Oxy的对称点的坐标为(4,-3,-7),关于坐标原点的对称点的坐标为(-4,3,-7).
核心素养专练
1.ACD　解析 根据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),选项A正确;
点B的坐标为(4,5,0),点C1的坐标为(0,5,3),故点C1关于点B对称的点为(8,5,-3),选项B错误;
在长方体中AD1=BC1==5=AB,所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),选项C正确;
点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),选项D正确.
2.　解析 如图所示,建立空间直角坐标系.
=(1,0,0),=(0,0,1),=(0,1,0),
)-)=(1,0,0)-(0,0,1)=,0,-,
故答案为,0,-.
3.　解析 ∵G为侧面正方形BCC'B'的中心,∴G是BC'的中点.
∵B(1,1,0),C'(0,1,1),∴点G的坐标为,1,.
4.　(1,1,1)　解析 由条件知p=2a+b-c.
设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc.
∵a,b,c不共面,
∴
即p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为,-1,同理可求得p在基底{2a,b,-c}下的坐标为(1,1,1).
5.解 因为=-=-()
=-
=-,
所以=(-2,-1,-4).
因为-()=,
所以=(-4,2,-4).