1.3.2　空间向量运算的坐标表示 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

1.3.2　空间向量运算的坐标表示
学案设计(一)
学习目标
1.掌握空间向量运算的坐标表示,并会判断两个向量是否共线或垂直;
2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.
自主预习
知识点一:空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示:
运算 坐标表示
加法 a+b=　　　　　　　　　　　　
减法 a-b=　　　　　　　　　　　　
数乘 λa=　　　　　　　　　　　　
数量积 a·b=　　　　　　　
知识点二:空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a=λb 　　　　　　　
垂直(a⊥b) a⊥b a·b=0 　　　　　　　　　　　　　　　(a,b均为非零向量)
模 |a|==　　　　　　　　
夹角公式 cos==　　　　　　　　　
知识点三:向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则
(1)=　　　　　　　　　　　　;
(2)dAB=||=　　　　　　　　　　　　.
课堂探究
[导入新课]
问题1:上一节我们学习了空间直角坐标系的概念,能够利用空间直角坐标系,借助空间向量基本定理写出空间向量的坐标.那么在此基础上能否借助已经学过的平面向量的相关知识得出空间向量运算的坐标表示,并给出证明呢 请大家回顾平面向量运算的坐标表示.
[讲授新课]
问题2:通过上面对平面向量坐标运算的复习,大家类比到空间向量的坐标能够得到对应的结论吗
问题3:面对空间向量坐标运算的数量积表达式,我们该如何证明呢
【迁移应用】
例1　设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),若(ka+b)⊥(a-3b),求k.
例2　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥DA1.
例3　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1,D1F1=C1D1.
(1)求AM的长;
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
核心素养专练
1.(多选题)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.cos=- B.a⊥b
C.a∥b D.|a|=|b|
2.已知空间向量a=(0,2,1),b=(0,-1,1),则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是(　　)
A.(0,1,2) B.(0,-1,-2)
C.0, D.0,-,-
3.在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为(　　)
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
4.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).
(1)若a∥b,分别求λ与m的值;
(2)若|a|=,且与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.
5.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H是C1G的中点.
(1)求证:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值;
(3)求FH的长.
参考答案
自主预习
知识点一:(a1+b1,a2+b2,a3+b3)　(a1-b1,a2-b2,a3-b3)　(λa1,λa2,λa3),λ∈R　a1b1+a2b2+a3b3
知识点二:　a1b1+a2b2+a3b3=0　
知识点三:(a2-a1,b2-b1,c2-c1)
课堂探究
问题1:平面向量坐标运算:
已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),写出下列向量的坐标表示.
a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2),λa=(λa1,λa2),a·b=a1b1+a2b2.
当b≠0时,a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2(λ∈R),
a⊥b a1b1+a2b2=0,|a|=.
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|=(平面内两点间的距离公式).
cos=.
问题2:1.空间向量运算的坐标表示:
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则:
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),
λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R),a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
2.空间中平行向量、垂直向量满足的坐标关系式:
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则:
当b≠0时,a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),
a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0.
3.空间向量的模长公式:若a=(a1,a2,a3),则|a|=.
4.空间两向量夹角的余弦值公式:cos=.
5.空间中两点间的距离公式
利用空间向量运算的坐标表示能够推导出空间中两点间的距离公式.
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||=.
如图,建立空间直角坐标系Oxyz,
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
于是||=
=.
所以P1P2=||
=.
问题3:设{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,所以a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k).
利用向量数量积的分配律以及i·i=j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0,得a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
例1　解 因为(ka+b)⊥(a-3b),所以(ka+b)·(a-3b)=0,即7(k-2)-4(5k+3)-16(-k+5)=0,所以k=.
例2　证明 不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则E1,1,,F,1,
所以=-,-.
又A1(1,0,1),D(0,0,0),所以=(1,0,1).
所以=-,-·(1,0,1)=0.
所以,即EF⊥DA1.
例3　解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则点A的坐标为(1,0,0),点M的坐标为,1,.
于是AM=.
(2)由已知,得B(1,1,0),E11,,1,D(0,0,0),F10,,1,
所以=1,,1-(1,1,0)=0,-,1,=0,,1-(0,0,0)=0,,1,||=,||=.
所以=0×0+-+1×1=.
所以cos<>=.所以BE1与DF1所成角的余弦值是.
核心素养专练
1.AD　解析 ∵向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),
∴|a|=,|b|=,a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,cos==-.故选A,D.
2.D　解析 ∵a=(0,2,1),b=(0,-1,1),∴a+b=(0,1,2),|a+b|=,∴与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是-×(0,1,2)=0,-,-,故选D.
3.B　解析 设O为坐标原点,
∵E,F分别为线段BC,AD的中点,∴),).
∴)-)=)=[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).
4.解 (1)∵a∥b,∴(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),
∴解得∴实数λ=,m=3.
(2)∵|a|=,且a⊥c,
∴
化简得解得λ=-1.
因此,a=(0,1,-2).
5.解 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,
则B1(1,1,1),C(0,1,0),E0,0,,F,0,G0,,0,C1(0,1,1),H0,.
(1)∵=,-,=(-1,0,-1),
∴=,-·(-1,0,-1)=0,
∴EF⊥B1C.
(2)∵=0,-,-1,
∴=,-·0,-,-1=,
||=,||=,
∴cos<>=,∴EF与C1G所成角的余弦值是.
(3)∵=-,
∴||=.
学案设计(二)
学习目标
1.掌握空间向量运算的坐标表示,并会判断两个向量是否共线或垂直;
2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.
自主预习
1.空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联系
2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则一定有成立吗
3.空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2).则
(1)=　　　　　　　　;
(2)P1P2=||=　.
课堂探究
[导入新课]
问题1:前面我们学习了空间向量基本定理,请回忆一下空间向量基本定理的内容.
问题2:空间向量基本定理可以概括为:空间任意一个向量都可以用不共面的3个向量唯一线性表示.请回忆一下,空间向量基本定理是由什么类比推广得到的
[讲授新课]
类比平面向量运算的坐标表示,我们得到空间向量的坐标表示如下:
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),
λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R,
a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
问题3:刚才我们通过类比平面向量运算的坐标表示得到了空间向量运算的坐标表示.这种形式化的类比得到的结论一定是正确的吗 以数量积运算的坐标表示为例,请大家思考如何去论证
问题4:在学习平面向量运算的过程中,我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题,这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗
追问(1):如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直 类比到空间向量呢
追问(2):除了上述对空间向量位置关系的研究,类比平面向量运算的应用,能否总结出空间向量的度量关系,如空间向量长度和夹角的坐标表示
【迁移应用】
例题　如图,在空间直角坐标系Oxyz中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,D1B1的中点.
(1)求证EF⊥DA1;
(2)求AE与CD1所成角的余弦值.
核心素养专练
1.若A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[1,3] B.[1,5]
C.[,5] D.[3,]
2.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
3.已知△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的中线BM的长为　　　　　;高BD的长为　　　　　.
4.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则异面直线ON,AM所成角的大小为　　　　　,线段MN的长度为　　　　　.
5.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中AB边上的高.
参考答案
自主预习
1.提示:空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致.
2.提示:当b1,b2,b3均不为0时,成立.
3.(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
课堂探究
问题1:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.
问题2:由平面向量基本定理推广得到.
问题3:不一定是正确的,结合空间向量坐标的定义,我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明:
第一步:由空间向量基本定理,设{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,由向量a的坐标为(a1,a2,a3),则可将向量a唯一分解为a=a1i+a2j+a3k,同理可将向量b表示为b=b1i+b2j+b3k.
第二步:a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k)=a1b1i·i+a1b2i·j+a1b3i·k+a2b1j·i+a2b2j·j+a2b3j·k+a3b1k·i+a3b2k·j+a3b3k·k,
利用向量数量积的分配律以及i·i=j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0,
得a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
其他运算的坐标表示可以类似证明,请同学们课下自主完成.
由上述结论可知,空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.
类似地,我们还可以得到:一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.即若A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3),则向量=(b1-a1,b2-a2,b3-a3).
问题4:成立.追问(1):设a=(a1,a2),b=(b1,b2),当b≠0时,a∥b的充要条件是a=λb,λ∈R,用坐标表示为(a1,a2)=λ(b1,b2),得到方程组消去λ,得到平面向量平行的充要条件的坐标表示:a1b2-a2b1=0.
类比平面向量平行的坐标表示,我们可以得到:
设空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
当b≠0时,a∥b的充要条件是a=λb,λ∈R,
可以用坐标表示为(a1,a2,a3)=λ(b1,b2,b3),得到方程组(λ∈R).这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.
已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),a⊥b的充要条件是a·b=0,得到平面向量垂直的充要条件的坐标表示为a1b1+a2b2=0;
类比平面向量垂直的坐标表示,我们可以得到,设空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b的充要条件是a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0.
追问(2):
①平面向量的长度和夹角公式
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),
|a|=.
cos=.
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2=||=.
②空间向量的长度和夹角公式
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
|a|=.
cos=.
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=||=.
例题　解 因为E(2,2,1),F(1,1,2),所以=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1).得到向量的坐标后,同理,
又因为点A1(2,0,2),D(0,0,0),所以=(2,0,2).
所以=(-1,-1,1)·(2,0,2)=-2+0+2=0.所以.所以EF⊥DA1.
(2)因为A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,2,1),D1(0,0,2),
所以=(2,2,1)-(2,0,0)=(0,2,1),=(0,0,2)-(0,2,0)=(0,-2,2),
||=,||=2.
所以=0×0+2×(-2)+1×2=-2.
所以cos<>==-.
所以AE与CD1所成角为向量夹角的补角.
所以AE与CD1所成角的余弦值是.
核心素养专练
1.B　解析 ∵A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),
∴=(2cos θ-3cos α,2sin θ-3sin α,0),
∴||=
=
=,
∴1≤||≤5.故选B.
2.C　解析 设=λ,则-λ=(1-λ,2-λ,3-2λ),-λ=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23.所以当λ=时,最小,此时,即点Q的坐标为.
3.　5　解析 由题设易知点M的坐标为1,1,,则=-4,7,-,||=,
设=λ,又=(0,4,-3),
则=(0,4λ,-3λ).
又∵=(4,-5,0),
∴=(-4,4λ+5,-3λ),
由=0,得0+4(4λ+5)+9λ=0,解得λ=-,
∴=-4,,∴||=5.
4.90°　　解析 以A为原点,分别以所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),M0,1,,O,0,N,0,1.可得出=0,1,·0,-,1=0,从而可知异面直线ON与AM所成角的大小为90°.
又=,-1,,
故MN=||=.
5.解 (1)∵A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),
∴=(1,-3,2),=(2,0,-8),
∴||=,||==2,
=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14.
∴cos<>=,
∴sin<>=.
∴S△ABC=|·||·sin<>=×2=3.
(2)设AB边上的高为CD,则||==3,即△ABC中AB边上的高为3.