专题课:电磁感应中动力学和能量问题
[科学推理] (1)导体棒切割磁感线运动,产生的感应电动势E=Blv,由闭合电路欧姆定律得I=,导体棒受到的安培力F安=IlB,解得F安=.
(2)导体棒运动过程中,在水平方向上受到拉力F、安培力F安的作用,根据牛顿第二定律得F-F安=ma,即F-=ma,由上式可以看出,随着速度的增大,安培力增大,加速度a减小,当加速度a减小到0时,速度达到最大,所以导体棒运动过程中的加速度越来越小,最后为0,而速度越来越大,达到最大值后保持速度不变做匀速直线运动.
例1 (1)10 m/s (2)如图所示
[解析] (1)导体棒切割磁感线运动,产生的感应电动势E=Blv
由闭合电路欧姆定律得I=
导体棒受到的安培力F安=BIl
导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力f的作用,根据牛顿第二定律得F-μmg-F安=ma
联立得F-μmg-=ma
由上式可以看出,随着速度的增大,安培力增大,加速度a减小,当加速度a减小到0时,速度达到最大
此时有F-μmg-=0
可得vm==10 m/s.
(2)棒的速度—时间图像如图所示.
变式1 (1)如图所示 (2) gsin θ- (3)
[解析] (1)如图所示,ab杆受到重力mg,方向竖直向下;受到支持力N,方向垂直于斜面向上;受到安培力F,方向沿斜面向上.
(2)当ab杆速度大小为v时,感应电动势E=Blv,此时电路中电流I==
ab杆受到的安培力F=IlB=
根据牛顿第二定律得mgsin θ-F=ma
故a=gsin θ-.
(3)当a=0时,ab杆有最大速度,vm=.
[科学推理] (1)导体棒受到向左的安培力而做减速运动,根据F安==ma,随着速度的减小,安培力逐渐减小,导体棒做加速度不断减小的减速运动,最后静止在水平导轨上.
(2)安培力做负功,导体棒的动能转化为电能,电流做功又把电能转化为内能.
方法一:根据能量守恒定律,导体棒运动过程中产生的内能为Q=m.
方法二:根据动能定理得-W克安=0- m,则Q=W克安=m.
例2 (1)1.8 J (2)5.4 J
[解析] (1)设撤去外力时棒的速度为v,对棒的匀加速运动过程,由运动学公式得v2=2as
设在撤去外力后的过程中安培力做功为W安,由动能定理得W安=0-mv2
撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2=-W安
联立解得Q2=1.8 J.
(2)由题意知,撤去外力前、后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2=2∶1,可得Q1=3.6 J
在棒运动的整个过程中,由功能关系知W=Q1+Q2=5.4 J.
随堂巩固
1.D [解析] 线框进磁场的过程中,由楞次定律知电流方向为逆时针方向,A错误;线框出磁场的过程中,根据E=Blv,I=,FA=IlB,FA=ma,联立得=ma,由左手定则可知线框受到的安培力向左,则v减小,FA减小,线框做加速度减小的减速运动,B错误;由能量守恒定律得线框产生的焦耳热Q=FAL,线框进和出磁场的两过程中均做减速运动,但线框进磁场的过程中平均速度大,安培力的平均值大,则产生的焦耳热多,C错误;通过导线横截面的电荷量q=t,其中=,=Bl,联立得q=s,由于线框在进和出的两过程中的位移均为l,所以线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等,故D正确.
2.BD [解析] 杆ab切割磁感线,产生感应电流,由右手定则可判断,电流由b到a,选项A错误;可把杆ab等效成电源,所以a端电势高,选项B正确;产生的感应电动势E=Blv,电流I==,因杆ab匀速运动,所以F=F安=BIl=,选项C错误;定值电阻上消耗的功率P=I2R=R,选项D正确.
3.(1)0.5 A 由b到a (2)8 m/s (3)2 W (4)2.5×10-2 kg
[解析] (1)导体棒ab沿导轨匀速下滑时,导体棒切割磁感线,根据右手定则可判断出导体棒中电流方向是由b到a,因灯泡正常发光,故I== A=0.5 A.
(2)导体棒与导轨、灯泡组成闭合回路,根据闭合电路欧姆定律得I==
其中r为灯泡的电阻,r== Ω=6 Ω
解得v=8 m/s.
(3)电路的总功率P=IE=IBlv=0.5×1×0.5×8 W=2 W.
(4)导体棒ab受到重力和安培力,由于ab沿导轨匀速下滑,所以mg=F=IlB
解得m=2.5×10-2 kg.专题课:电磁感应中动力学和能量问题
1.CD [解析] S闭合时,若>mg,则ab先减速运动再匀速运动;若=mg,则ab匀速运动;若2.D [解析] 导体棒ab、电阻R、导轨构成闭合回路,磁感应强度均匀减小(=k为一定值),则闭合回路中的磁通量减小,根据楞次定律可知,回路中产生顺时针方向的感应电流,ab中的电流方向由a到b,故A错误;根据法拉第电磁感应定律可知,感应电动势E==·S=|k|S,由于回路面积S不变,所以感应电动势为定值,根据闭合电路欧姆定律得I=,所以ab中的电流大小不变,故B错误;ab所受的安培力F=IlB,由于电流大小不变,而磁感应强度随时间均匀减小,所以安培力逐渐减小,故C错误;导体棒处于静止状态,所受的合力为零,对其受力分析,水平方向上ab所受的静摩擦力f与安培力F等大、反向,由于安培力逐渐减小,所以静摩擦力也逐渐减小,故D正确.
3.B [解析] 线框右边刚进入磁场时,线框做匀速运动,由平衡条件得F=F安=,线框所受合力为零,所以在0~L位移内,加速度a=0;线框完全进入磁场后,在L~2L位移内,穿过线框的磁通量不变,感应电流为零,不受安培力作用,所受合外力为F,加速度a=,方向向右,线框做匀加速直线运动;当线框右边离开磁场时,线框的速度大于进入磁场时的速度,所受安培力大于拉力F,加速度a==-,方向向左,线框做减速运动,速度v变小,加速度a减小,线框做加速度减小的减速运动,所以在2L~3L位移内,加速度逐渐减小,故A、C、D可能,B不可能.
4.B [解析] 因线框匀速穿过磁场,在穿过磁场的过程中合力做功为零,而重力做功为2mgh,所以克服安培力做功为2mgh,产生的内能为2mgh,故B正确.
5.D [解析] 撤去外力后,导体棒ab在水平方向上只受安培力作用,在安培力作用下做减速运动,由牛顿第二定律得=ma,则a随v减小而减小,故ab做加速度减小的减速运动,A错误;对整个过程,由动能定理得W合=ΔEk=0,B错误;由能量守恒定律知,外力做的功等于整个回路产生的电能,电能又转化为R上产生的热量,故Q=Fs,C错误,D正确.
6.(1) (2) (3)6mgL
[解析] (1)根据平衡条件得mg=I·2L·B
根据闭合电路欧姆定律得I=
根据法拉第电磁感应定律得E=B·2L·v1
联立解得v1=.
(2)线框在进入磁场的过程中,流过导线横截面的电荷量
q=·Δt
根据闭合电路欧姆定律得=
根据法拉第电磁感应定律得=
其中ΔΦ=BS,S=2L·L
联立解得q=.
(3)根据平衡条件,线框的ab边进入磁场上边界以及穿出磁场下边界时,线框的速度大小均是v1;从线框的ab边进入磁场上边界到穿出磁场下边界的过程中,根据动能定理得
mg·3L-W安=m-m
根据功能关系得W安=Q
解得Q=3mgL
根据对称性可知,线框刚进磁场和刚出磁场的速度也一样,即线框进磁场过程中感应电流产生的热量和出磁场过程中感应电流产生的热量相同,因此总热量为Q1=2Q=6mgL.
7.AB [解析] 导体棒a在恒力F的作用下沿导轨向上运动,回路中产生感应电流,导体棒a受到的安培力沿导轨向下,导体棒b受到的安培力沿导轨向上,对导体棒a有F-μmgcos θ-mgsin θ-=ma,可知加速度a随速度v的增大而减小,导体棒a先加速运动,最后匀速运动,导体棒a所受安培力F安=先增大后不变,且始终有F>mgsin θ,F>,由平衡条件可知,导体棒b受到的摩擦力f=mgsin θ-,若最终安培力小于重力沿导轨向下的分力,则摩擦力沿导轨向上先减小后不变,若最终安培力大于重力沿导轨向下的分力,则摩擦力沿导轨先向上减小至零后向下增大到某一值不变,但始终有f8.C [解析] 金属棒向右运动时受到向左的安培力作用,金属棒做减速运动,由牛顿第二定律得=ma,则加速度a随速度v减小而减小,所以金属棒向右做加速度减小的减速运动,选项A错误;根据==,=,q=Δt,联立解得s=,选项B错误;整个过程中金属棒克服安培力做的功等于金属棒动能的减少量,即W克安=mv2,选项C正确;整个过程中电路产生的焦耳热等于金属棒克服安培力做的功,即Q=W克安=mv2,则电阻R上产生的焦耳热QR=Q=mv2,选项D错误.
9.BC [解析] 根据楞次定律可知,甲线框进入磁场与离开磁场时,感应电流的方向一定相反,而安培力阻碍线框的运动,故安培力的方向一定相同,A错误;甲、乙两线框进入磁场前,由动能定理都有2FL=mv2,所以甲、乙两线框进入磁场时的速度大小相同,则安培力大小相同,若甲线框进入磁场时恰好做匀速运动,说明安培力大小为2F,大于乙线框受到的拉力,则乙线框进入磁场时一定做减速运动,B正确;甲、乙两线框进入磁场时速度大小相同,则受到的安培力大小相同,由于甲线框所受的拉力大于乙线框所受的拉力,故甲线框相对乙线框来说,速度增加得更快或减小得更慢,安培力也是增加得更快或减小得更慢,在进入和穿出磁场的整个过程中,甲线框所受的安培力平均值大于乙线框所受的安培力平均值(进入瞬间安培力大小相等),而克服安培力做功的位移相同,故甲线框克服安培力做功较多,甲线框产生的焦耳热较多,C正确;进入磁场的过程中,通过线框截面的电荷量q=,由于穿过两线框的磁通量的变化量均为ΔΦ=BS=BL2,则通过两线框横截面的电荷量相同,D错误.专题课:电磁感应中动力学和能量问题
学习任务一 电磁感应中的动力学问题
[科学推理] 如图所示,一对足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ放置在水平面上,两导轨间距为l,一端连接阻值为R的电阻.有一电阻不计的导体棒静止地放置在导轨上,与两导轨垂直且接触良好,棒的质量为m, 导轨的电阻可忽略不计,整个装置处于垂直于导轨向下的匀强磁场中,磁感应强度为B.现用一水平恒力F沿导轨方向向右拉杆使其开始运动.回答下列问题:
(1)试推导导体棒受到的安培力大小与其速度大小v的关系式.
(2)试分析导体棒运动过程中加速度和速度的变化情况.
例1 如图所示,空间存在磁感应强度B=0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场,MN、PQ是水平放置的平行长直金属导轨,其间距l=0.2 m,阻值为R=0.3 Ω的电阻接在导轨一端,跨放在导轨上的导体棒质量m=0.1 kg、接入电路的电阻r=0.1 Ω,已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始,对导体棒施加一个大小为F=0.45 N、方向水平向左的恒定拉力,使其从静止开始沿导轨滑动,棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好,g取10 m/s2.
(1)求导体棒所能达到的最大速度.
(2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图像.
变式1 如图甲所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为l,M、P两点间接有阻值为R的电阻,一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上并与导轨垂直,整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向下,导轨和金属杆的电阻可忽略.让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦,重力加速度为g.
(1)由b向a方向看到的装置示意图如图乙所示,请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图.
(2)在加速下滑过程中,当ab杆的速度大小为v时,ab杆中的电流及ab杆的加速度大小为多少
(3)在下滑过程中,求ab杆可以达到的最大速度.
【要点总结】
1.求解电磁感应中的动力学问题的基本策略
2.电磁感应中的动力学问题的动态分析思路
电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题中,关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析. 周而复始地循环,加速度等于零时,导体达到稳定运动状态.
学习任务二 电磁感应中的能量问题
[科学推理] 如图所示,光滑平行长直金属导轨固定在同一水平面内,处于竖直向下的匀强磁场中,两导轨间的距离为l,导轨左端接有定值电阻R.长度为l的导体棒垂直放置在导轨上,以初速度v0向右开始运动,运动过程中与导轨垂直且接触良好.已知导体棒MN的电阻为r,质量为m,导轨电阻不计.思考下列问题:
(1)定性分析并描述导体棒MN的运动情况.
(2)从做功和能量角度分析导体棒运动过程中的能量转化关系,求导体棒运动过程中回路产生的焦耳热Q.
例2 [2024·莆田一中月考] 如图所示,一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内,导轨间距l=0.5 m,左端接有阻值R=0.3 Ω的电阻.一质量m=0.1 kg、电阻r=0.1 Ω的金属棒MN放置在导轨上,整个装置置于竖直向上的匀强磁场中,磁场的磁感应强度B=0.4 T.棒在水平向右的外力作用下由静止开始以a=2 m/s2的加速度做匀加速运动,在棒的位移s=9 m时撤去外力,棒继续运动一段距离后停下来.已知撤去外力前、后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2=2∶1,导轨足够长且电阻不计,棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触.求:
(1)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2;
(2)外力做的功W.
【要点总结】
1.电磁感应中的能量转化
2.电磁感应中常见的功能关系
做功情况 能量转化
滑动摩擦力做功 有内能产生
重力做功 重力势能变化
克服安培力做功 有其他形式的能转化为电能,克服安培力做多少功,就转化为多少电能
安培力做正功 电能转化为其他形式的能
3.求解焦耳热Q的三种方法
1.(电磁感应中的能量问题)[2023·北京卷] 如图所示,光滑水平面上的正方形导线框以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出,线框的边长小于磁场宽度.下列说法正确的是 ( )
A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
2.(电磁感应中的能量问题)(多选)如图所示,水平放置的两根平行金属导轨间距为l,左端与一阻值为R的定值电阻相连,导轨电阻不计,导轨间有竖直向下的匀强磁场,磁感应强度为B,金属杆ab垂直于导轨放置,电阻为r,与导轨间无摩擦.现对杆ab施加向右的拉力F,使杆ab向右以速度v匀速运动,则( )
A.金属杆中的电流由a到b
B.金属杆a端的电势高于b端的电势
C.拉力F=
D.定值电阻上消耗的功率P=R
3.(电磁感应中的动力学问题)[2024·古田一中月考] 如图所示,光滑平行金属导轨竖直放置,匀强磁场的磁感应强度为B=1 T,磁场方向垂直于导轨平面向外,导体棒ab的长度与导轨宽度均为l=0.5 m,导体棒ab的电阻R=2.0 Ω.导体棒与导轨接触良好,导轨电阻不计.当导体棒ab沿导轨匀速下滑时,标有“3 V 1.5 W”字样的小灯泡恰好正常发光,g取10 m/s2,求:
(1)导体棒ab中的电流I的大小和方向;
(2)导体棒ab匀速运动的速度大小v;
(3)电路的总电功率P;
(4)导体棒ab的质量m.专题课:电磁感应中动力学和能量问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一 电磁感应中的动力学问题
1.(多选)如图所示,MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨,已知导轨足够长,且电阻不计.ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆.开始时,将开关S断开,让杆ab由静止开始自由下落,过段时间后,再将S闭合,若从S闭合开始计时,则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是图中的( )
2.如图所示,两根平行金属导轨置于水平面内,导轨之间接有电阻R,导体棒ab与两导轨垂直并保持良好接触,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下.现使磁感应强度随时间均匀减小,ab始终保持静止,下列说法正确的是 ( )
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.ab中的感应电流逐渐减小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
3.[2024·漳平一中月考] 如图所示,正方形线框A的边长为L,总电阻为R.正方形磁场区域的宽度为2L,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里.线框在一水平恒力F作用下沿光滑水平面向右运动,已知线框刚进入磁场便做匀速运动.从线框刚进入磁场到完全离开磁场的过程中,它的加速度a随坐标值x变化的关系图像不可能是图中的 ( )
◆ 知识点二 电磁感应中的能量问题
4.如图所示,质量为m、高为h的矩形导线框在竖直面内自由下落,其上、下两边始终保持水平,途中恰好匀速穿过一有边界、高也为h的匀强磁场区域,重力加速度为g,则线框在此过程中产生的内能为 ( )
A.mgh
B.2mgh
C.大于mgh但小于2mgh
D.大于2mgh
5.如图所示,水平放置的光滑平行金属导轨上放置一根长为L、质量为m的导体棒ab,ab处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中,导轨的一端接一阻值为R的电阻,导轨及导体棒电阻不计.现使ab在水平恒力F作用下由静止开始沿垂直于磁场的方向运动,当通过位移为s时,ab达到最大速度vm,此时撤去外力,最后ab静止在导轨上.在ab运动的整个过程中,下列说法正确的是 ( )
A.撤去外力后,ab做匀减速运动
B.合力对ab做的功为Fs
C.R上产生的热量为Fs+m
D.R上产生的热量为Fs
6.[2024·漳州三中月考] 如图所示,单匝矩形导线框abcd竖直放置,其下方有一磁感应强度大小为B的有界匀强磁场区域,该区域的上边界PP'、下边界QQ'均水平,并与线框的cd边平行,磁场方向与线框平面垂直,磁场区域高度为3L.已知线框的ab边长为2L,ad边长为L,线框质量为m,总电阻为R.从磁场上方某处无初速地释放线框,在下落过程中线框所在平面始终与磁场垂直,且线框的cd边始终与PP'平行.若已知线框的ab边进入磁场上边界以及穿出磁场下边界时,线框的加速度均恰好为零,重力加速度为g.求:
(1)ab边刚进入磁场时,线框的速度大小v1;
(2)线框进入磁场的过程中流过导线横截面的电荷量;
(3)线框穿过磁场的过程中,感应电流产生的热量.
7.(多选)如图所示,电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上,两根相同的金属导体棒a、b垂直于导轨静止放置,且与导轨接触良好,匀强磁场垂直穿过导轨平面. 现用一平行于导轨的恒力F作用在a的中点,使其沿导轨向上运动.若b始终保持静止,则它所受的摩擦力可能 ( )
A.为0 B.先减小后不变
C.等于F D.先增大再减小
8.如图所示,间距为L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置,导轨左端连有一阻值为R的电阻,导轨上横跨一根质量为m、有效电阻也为R的金属棒,金属棒与导轨垂直且接触良好.整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中.现使金属棒以初速度v沿导轨向右运动,若在整个运动过程中通过金属棒的电荷量为q,则下列说法正确的是 ( )
A.金属棒在导轨上做匀减速运动
B.整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为
C.整个过程中金属棒克服安培力做的功为mv2
D.整个过程中电阻R上产生的焦耳热为mv2
9.(多选)[2024·南安一中月考] 如图所示,在光滑水平面上方有一有界匀强磁场区域,磁感应强度为B,磁场宽度大于L.有两个相同的矩形线框,长为L,宽为,按图中方式放置.甲线框到磁场左边界的距离为L,在恒力2F的作用下由静止开始向右运动;乙线框到磁场左边界的距离为2L,在恒力F的作用下由静止开始向右运动.下列说法中正确的是 ( )
A.甲线框进入磁场与离开磁场时,感应电流的方向一定相反,安培力的方向也一定相反
B.若甲线框进入磁场后恰好做匀速运动,则乙线框进入磁场后一定做减速运动
C.甲线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热一定大于乙线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热
D.进入磁场的过程中,通过两线框横截面的电荷量不相同(共48张PPT)
专题课：电磁感应中动力学和能量问题
学习任务一 电磁感应中的动力学问题
学习任务二 电磁感应中的能量问题
备用习题
随堂巩固
学习任务一 电磁感应中的动力学问题
［科学推理］ 如图所示，一对足够长的平行光滑金属导轨、放置在水平面上，两导轨间距为，一端连接阻值为的电阻.有一电阻不计的导体棒静止地放置在导轨上，与两导轨垂直且接触良
(1) 试推导导体棒受到的安培力大小与其速度大小的关系式.
[答案] 导体棒切割磁感线运动,产生的感应电动势，由闭合电路欧姆定律得，导体棒受到的安培力,解得.
好，棒的质量为，导轨的电阻可忽略不计，整个装置处于垂直于导轨向下的匀强磁场中，磁感应强度为.现用一水平恒力沿导轨方向向右拉杆使其开始运动.回答下列问题：
(2) 试分析导体棒运动过程中加速度和速度的变化情况.
[答案] 导体棒运动过程中，在水平方向上受到拉力、安培力的作用,根据牛顿第二定律得,即,由上式可以看出,随着速度的增大,安培力增大,加速度减小,当加速度减小到0时,速度达到最大，所以导体棒运动过程中的加速度越来越小，最后为0，而速度越来越大，达到最大值后保持速度不变做匀速直线运动.
例1 如图所示，空间存在磁感应强度、方向竖直向下的匀强磁场，、是水平放置的平行长直金属导轨，其间距，阻值为的电阻接在导轨一端，跨放在导轨上的导体棒质量、接入电路的电阻，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对导体棒施加一个大小为、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好，取.
(1) 求导体棒所能达到的最大速度.
[答案]
[解析] 导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势
由闭合电路欧姆定律得
导体棒受到的安培力
导体棒运动过程中受到拉力、安培力和摩擦力的作用，根据牛顿第二定律得
联立得
由上式可以看出，随着速度的增大，安培力增大，加速度减小，当加速度减小到0时，速度达到最大
此时有
可得.
(2) 试定性画出导体棒运动的速度—时间图像.
[答案] 如图所示
[解析] 棒的速度—时间图像如图所示.
变式 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨、平行放置在倾角为 的绝缘斜面上，两导轨间距为，、两点间接有阻值为的电阻，一根质量为的均匀直金属杆放在两导轨上并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略.让杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦，重力加速度为.
(1) 由向方向看到的装置示意图如图乙所示，请在此图中画出杆下滑过程中某时刻的受力示意图.
[答案] 如图所示
[解析] 如图所示，杆受到重力，方向竖直向下；受到支持力，方向垂直于斜面向上；受到安培力，方向沿斜面向上.
(2) 在加速下滑过程中，当杆的速度大小为时，杆中的电流及杆的加速度大小为多少？
[答案]
[解析] 当杆速度大小为时，感应电动势
，此时电路中电流
杆受到的安培力
根据牛顿第二定律得
故.
(3) 在下滑过程中，求杆可以达到的最大速度.
[答案]
[解析] 当时，杆有最大速度,.
【要点总结】
1.求解电磁感应中的动力学问题的基本策略
2.电磁感应中的动力学问题的动态分析思路
电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题中,关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析.
周而复始地循环,加速度等于零时,导体达到稳定运动状态.
学习任务二 电磁感应中的能量问题
［科学推理］ 如图所示，光滑平行长直金属导轨固定在同一水平面内，处于竖直向下的匀强磁场中，两导轨间的距离为，导轨左端接有定值电阻.长度为的导体棒垂直放置在导轨上，以初速度
(1) 定性分析并描述导体棒的运动情况.
[答案] 导体棒受到向左的安培力而做减速运动，根据，随着速度的减小，安培力逐渐减小，导体棒做加速度不断减小的减速运动，最后静止在水平导轨上.
向右开始运动，运动过程中与导轨垂直且接触良好.已知导体棒的电阻为，质量为，导轨电阻不计.思考下列问题：
(2) 从做功和能量角度分析导体棒运动过程中的能量转化关系，求导体棒运动过程中回路产生的焦耳热.
[答案] 安培力做负功，导体棒的动能转化为电能，电流做功又把电能转化为内能.
方法一：根据能量守恒定律,导体棒运动过程中产生的内能为.
方法二：根据动能定理得，则.
例2 [2024·莆田一中月考] 如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距，左端接有阻值 的电阻.一质量、电阻 的金属棒放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感
应强度.棒在水平向右的外力作用下由静止开始以的加速度做匀加速运动，在棒的位移时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来.已知撤去外力前、后回路中产生的焦耳热之比，导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触.求：
(1) 撤去外力后回路中产生的焦耳热；
[答案]
[解析] 设撤去外力时棒的速度为，对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得
设在撤去外力后的过程中安培力做功为，由动能定理得
撤去外力后回路中产生的焦耳热
联立解得.
(2) 外力做的功.
[答案]
[解析] 由题意知，撤去外力前、后回路中产生的焦耳热之比，可得
在棒运动的整个过程中，由功能关系知.
【要点总结】
1.电磁感应中的能量转化
2.电磁感应中常见的功能关系
做功情况 能量转化
滑动摩擦力做功 有内能产生
重力做功 重力势能变化
克服安培力做功 有其他形式的能转化为电能，克服安培力做多少功，就转化为多少电能
安培力做正功 电能转化为其他形式的能
3.求解焦耳热的三种方法
1.如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框 ， 边
长大于 边长，置于垂直于纸面向里、边界为 的匀强
磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相
同，方向均垂直于 .第一次 边平行于 进入磁场，
A
A. ， B. ，
C. ， D. ，
线框上产生的热量为 ，通过线框导体横截面的电荷量为 ；第二次 边平
行于 进入磁场，线框上产生的热量为 ，通过线框导体横截面的电荷量
为 ，则( )
[解析] 根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培
力做的功，即 ，同
理 ，又 ，故 ；因
，故 ，选项A正确.
2. (多选) 如图所示，同一竖直面内的正方形导线框 、 的
边长均为 ，电阻均为 ，质量分别为 和 ，它们分别
系在一跨过两个定滑轮的轻绳两端，在两导线框之间有一宽
度为 、磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向里的匀强
磁场区域.开始时，线框 的上边与匀强磁场的下边界重合，线框 的下边到匀
强磁场的上边界的距离为 .现将系统由静止释放，当线框 全部进入磁场时，
、 两个线框开始做匀速运动，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为 ，
则( )
A. 、 两个线框匀速运动的速度大小为
B.线框 从下边进入磁场到上边离开磁场所用时间为
C.从开始运动到线框 全部进入磁场的过程中，线框 所产生的焦耳热为
D.从开始运动到线框 全部进入磁场的过程中，两线框共克服安培力做功为
√
√
[解析] 设两线框匀速运动的速度为 ，此时轻绳上的张力
大小为 ，且 ，则对 有 ，又
， ，解得 ，故A错误；线框 下边进
入磁场后，线框 通过磁场时以速度 匀速运动，则线框
从下边进入磁场到上边离开磁场所用时间 ，
故B正确；
从开始运动到线框 全部进入磁场的过程中，线框 只在其匀速进入磁场的
过程中产生焦耳热，设为 ，由功能关系有 ，解得 ，
故C正确；设两线框从开始运动至 全部进入磁场的过程中，两线框共克服
安培力做的功为 ，此过程中左、右两线框分别向上、向下运动 的距离，
对这一过程，由能量守恒定律得 ，解得
， 故D错误.
3.如图所示，两条相距为 的平行金属
导轨位于同一水平面内，其右端接一阻
值为 的电阻.质量为 的金属杆静置
在导轨上，其左侧的矩形区域 中
有匀强磁场，磁感应强度大小为 ，方向竖直向下.当该磁场区域以速度 匀
速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为 .导轨和金属杆的电阻不计，导轨
光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触.
(1) 当 刚扫过金属杆时，求杆中感
应电流 的大小；
[答案]
[解析] 由题意知，感应电动势
由闭合电路欧姆定律得，感应电流
.
(2) 当 刚扫过金属杆时，求杆的加
速度 的大小；
[答案]
[解析] 安培力
由牛顿第二定律得
解得 .
(3) 当 刚要离开金属杆时，求电路
中的电功率 .
[答案]
[解析] 金属杆切割磁感线的速度
，则感应电动势
电功率 .
4.如图所示，电动机牵引一根原来静止、长 、
质量 、电阻 的导体棒 向上运
动，导体棒靠在竖直放置的框架上，空间中存在方向
垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 .当导体棒上升高度
时获得稳定速度，导体棒产生的热量为 .电动机牵引棒时，电压表、
电流表的读数分别为 、 并保持不变.电动机内阻 ，不计框架电阻
及一切摩擦， 取 .求：
(1) 导体棒所达到的稳定速度的大小；
[答案]
[解析] 电动机的输出功率为
电动机的输出功率就是电动机牵引棒的拉力的功率，
有
当棒达到稳定速度时，有
感应电流为
棒所受的安培力大小为
联立解得棒达到的稳定速度为 .
(2) 导体棒从静止开始运动到达到稳定速度所需的时间.
[答案]
[解析] 由能量守恒定律得
解得 .
5.如图所示，电阻不计的平行金属导轨
和 放置在水平面内， 、 间接有阻值
为 的电阻，导轨相距 ，其
间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度
.质量为 、电阻为 的导体棒 垂直于导轨放置，
并与导轨接触良好.用平行于 、大小为 的恒力 向右拉动 ， 所
受摩擦力 恒为 .求：
(1) 运动的最大速率；
[答案]
[解析] 由 ， ， ，
可得
当 时，有
解得
(2) 的速度为最大速度的一半时的加速度
大小.
[答案]
[解析] 根据题意可知，当 的速度为最大速
度的一半时，有
， ，
由 ，解得
6.如图甲所示，两根足够长的平行金属导轨 、 相距 ，导轨平面
与水平面夹角为 ，金属棒 垂直于 、 放置在导轨上，且始终与
导轨接触良好，金属棒的质量为 .导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面
斜向上，磁感应强度大小 .金属导轨的上端与开关 、定值电阻 和电
阻箱 相连.金属棒和导轨之间的动摩擦因数为 ，不计导轨、金属棒的电阻，
重力加速度为 .现闭合开关 ，将金属棒由静止释放. 取 ，
， .
(1) 若电阻箱 接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为 时，速度为 ，
求此过程中定值电阻上产生的焦耳热 (用 、 、 、 表达)；
[答案]
[解析] 由能量守恒定律知，金属棒减少的重力势能等于增加的动能、电路中产
生的焦耳热、金属棒和导轨之间摩擦产生的热量三者之和，有
解得 .
(2) 已知金属棒能达到的最大速度 随电阻箱 阻值的变化关系如图乙所示，
求 的阻值和金属棒的质量 .
[答案] ;
[解析] 金属棒达到最大速度 时，金属棒切割磁感线产生的
感应电动势
由闭合电路欧姆定律得
从 端向 端看，对金属棒受力分析如图所示
金属棒达到最大速度时，满足
联立解得
由图像可知，斜率 ，纵轴截距
有 ，
解得 ， .
1.(电磁感应中的能量问题)[2023·北京卷] 如图所示，光滑水平面上的正方形导线框以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出，线框的边长小于磁场宽度.下列说法正确的是( )
D
A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
[解析] 线框进磁场的过程中，由楞次定律知电流方向为逆时针方向，A错误；线框出磁场的过程中，根据,,，,联立得,由左手定则可知线框受到的安培力向左，则
减小，减小，线框做加速度减小的减速运动，B错误；由能量守恒定律得线框产生的焦耳热,线框进和出磁场的两过程中均做减速运动，但线框进磁场的过程中平均速度大，安培力的平均值大，则产生的焦耳热多，C错误；通过导线横截面的电荷量,其中，,联立得,由于线框在进和出的两过程中的位移均为，所以线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等，故D正确.
2.(电磁感应中的能量问题)(多选)如图所示，水平放置的两根平行金属导轨间距为，左端与一阻值为的定值电阻相连，导轨电阻不计，导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为，金属杆垂直于导轨放置，电阻为，与导轨间无摩擦.现对杆施加向右的拉力，使杆向右以速度匀速运动，则( )
BD
A.金属杆中的电流由到 B.金属杆端的电势高于端的电势
C.拉力 D.定值电阻上消耗的功率
[解析] 杆切割磁感线，产生感应电流，由右手定则可判断，电流由到，选项A错误；可把杆等效成电源，所以端电势高，选项B正确；产生的感应电动势，电流，因杆匀速运动，所以，选项C错误；定值电阻上消耗的功率，选项D正确.
3.(电磁感应中的动力学问题)[2024·古田一中月考] 如图所示，光滑平行金属导轨竖直放置，匀强磁场的磁感应强度为，磁场方向垂直于导轨平面向外，导体棒的长度与导轨宽度均为，导体棒的电阻 .导体棒与导轨接触良好，导轨电阻不计.当导体棒沿导轨匀速下滑时，标有“”字样的小灯泡恰好正常发光，取，求：
(1) 导体棒中的电流的大小和方向；
[答案] ; 由到
[解析] 导体棒沿导轨匀速下滑时，导体棒切割磁感线，根据右手定则可判断出导体棒中电流方向是由到，因灯泡正常发光，故.
(2) 导体棒匀速运动的速度大小；
[答案]
[解析] 导体棒与导轨、灯泡组成闭合回路，根据闭合电路欧姆定律得
其中为灯泡的电阻，
解得.
(3) 电路的总电功率；
[答案]
[解析] 电路的总功率.
(4) 导体棒的质量.
[答案]
[解析] 导体棒受到重力和安培力，由于沿导轨匀速下滑，所以
解得.
