第22章 相似形单元测试（培优）（含答案）

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第22章 相似形（培优）
一、单选题
1．下列说法中正确的是（　　）
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则 为（　　）
A． B． C． D．
3．中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点，为的中点，则下列结论：①，②，③，④.其中正确结论的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，在正△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，BD＝2CE，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连结DF，若想求△ABC的周长，则只需知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（　　）
A．△CEF B．△BDF C．△DEF D．△ADE
6．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是 （　　）
A．△ADC∽△CFB B．AD＝DF
C． ＝ D． ＝
二、填空题
7．如图，在 ， ， ，直线 经过原点O， 交x轴于点D， ，若反比例函数 经过A，B两点，则k的值为　 　.
8．两块全等的等腰直角三角形如图放置，∠A＝90°，DE交AB于点P，E在斜边BC上移动，斜边EF交AC于点Q，BP＝3 ，BC＝10，当△BPE是等腰三角形时，则AQ的长为 　 　．
9．在矩形中，，，点在边上．且，是射线ED上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为　 　．
10．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥I，BF⊥I，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1=∠2测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°。
（1）AB为　 　米；
（2）矩形ABCD的面积为　 　米2。
11．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线 y=2x2+bx 上一点，顶点 B 的横坐标是1，当△AOB 是直角三角形时，点 A 的坐标为　 　．
12．如图，等腰Rt△ABC的直角顶点B在y轴上，边AB交x轴于点D( ，0)，点C的坐标为(﹣4，0)，反比例函数y＝ (k≠0)的图象过点A，则k＝　 　.
三、计算题
13．已知xyz≠0且 ，求k的值．
四、解答题
14．在平面直角坐标系中，O是坐标原点， ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2 ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点．
（Ⅰ）如图1，求∠DAO的大小及线段DE的长；
（Ⅱ）过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．连接OE，△OEF′是△OEF关于直线OE对称的图形，记直线EF′与射线DC的交点为H，△EHC的面积为3 ．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求GH，DG的长；
②当点G在点H的右侧时，求点F的坐标（直接写出结果即可）．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且、的长满足，的平分线交轴于点过点作的垂线，垂足为点，交轴于点．
（1）求线段的长；
（2）求直线的解析式；
（3）若是射线上的一个动点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．【背景知识】
宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米 （结果保留根号）
【实验操作】
折一个黄金矩形
第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处；
第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．
【问题思考】
（2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形；
（3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；等腰三角形的性质-三线合一
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；相似三角形的判定与性质
8．【答案】 ， ，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
9．【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
10．【答案】（1）
（2）600
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用；矩形的性质；相似三角形的实际应用
11．【答案】 或 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
12．【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
13．【答案】解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵ ，∴k= =2，②当x+y+z=0时，x+y=-z，z+x=-y，y+z=-x，所以，k=-1，综上所述，k=2或-1．
【知识点】比例的性质
14．【答案】解：（Ⅰ）∵A（﹣2，0），D（0，2 ）∴AO=2，DO=2 ，∴tan∠DAO= = ，∴∠DAO=60°，∴∠ADO=30°，∴AD=2AO=4，∵点E为线段AD中点，∴DE=2；（Ⅱ）①如图2，由平行线的性质的到∠EDM=∠DAB=60°，从而得到EM的长度，由平行线的性质及关于直线对称图形的性质的△EAO 是等 边三角形，利用等边三角形的性质及等量代换找到∠EOF′=∠AEO，所以AD∥OF′，从而得到△DHE∽△DEG，再由相似三角形的性质对应边成比例求出DG的长度。过点E作EM⊥CD，∴CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°= ，∴GH=6，∵CD∥AB，∴∠DGE=∠OFE，∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，∴△OEF′≌△OEF，∴∠OFE=∠OF′E，∵点E是AD的中点，∴OE= AD=AE，∵∠EAO=60°，∴△EAO是等边三角形，∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，∵△OEF′≌△OEF，∴∠EOF′=∠EOA=60°，∴∠EOF′=∠AEO，∴AD∥OF′，∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEH=∠DGE，∵∠DEH=∠EDG，∴△DHE∽△DEG，∴ ，∴DE2=DG×DH，设DG=x，则DH=x+6，∴4=x（x+6），∴x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ，∴DG=﹣3+ ．②如图3，过点E作EM⊥CD，∴CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°= ，∴GH=6，∵CD∥AB，∴∠DHE=∠OFE，∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，∴△OEF′≌△OEF，∴∠OFE=∠OF′E，∵点E是AD的中点，∴OE= AD=AE，∵∠EAO=60°，∴△EAO是等边三角形，∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，∵△OEF′≌△OEF，∴∠EOF′=∠EOA=60°，∴∠EOF′=∠AEO，∴AD∥OF′，∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEG=∠DHE，∵∠DEG=∠EDH，∴△DGE∽△DEH，∴ ，∴DE2=DG×DH，设DH=x，则DG=x+6，∴4=x（x+6），∴x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ，∴DH=﹣3+ ．∴DG=3+ ∴DG=AF=3+ ，∴OF=5+ ，∴F（﹣5﹣ ，0）．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】（1）解：∵，
∴，，
在直角中，；
（2）解：∵平分，于点，于点，
∴，
设，则，．
在和中，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：．
即，，
∴，
∴的坐标是．
在和中，
，
∴（）
∴，
∴的坐标是．
设所对应的解析式是，
∵过和．
∴
解得，．
∴直线所对应的解析式是．
（3）点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
16．【答案】解：（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于，
∴它的宽为：（米）．
（2）证明：，
由题意得，，，
，
，
，
，
∴矩形是黄金矩形．
（3）由折叠的性质可得，
又，
，
∴
，
又，
，
．
当 为黄金矩形的长时，则宽为，
则面积为．
当 为黄金矩形的宽时，则长为，
则面积为．
综上，矩形的面积为：或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；黄金分割
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