第23章 解直角三角形 单元测试（培优）（含答案）
文档属性
| 名称 | 第23章 解直角三角形 单元测试（培优）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 626.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-20 19:01:04 | ||
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文档简介
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第23章 解直角三角形（培优）
一、单选题
1．如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形交于点M，连接，设．若点Q、B、F三点共线，，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形中，点E、分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有（ ）．
A．①②③ B．①② C．①②③④ D．③④
3．等腰三角形的底角为15，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（ ）
A． B． C． D． a
4．如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
5．如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的是（ ）
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②④
6．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ；⑤S四边形CDEF= S△ABF，其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
7．如图，矩形中，，，点，分别在边，边上运动，点在矩形内，且，，，则线段的取值范围为 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在y轴上，点C在x轴上，BC⊥x轴，tan∠ACO＝ ．延长AC到点D，过点D作DE⊥x轴于点G，且DG＝GE，连接CE，反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点B，和CE交于点F，且CF：FE＝2：1．若△ABE面积为6，则点D的坐标为 ．
9．如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.如图，在凹四边形ABCD中， ∠A =15°， 则凹四边形ABCD 的周长为 .
10．用一张斜边BC长为10的等腰直角三角形纸片进行折“狗脸”活动(如图1所示)第一步，如图2，沿MN向后折一个面积为1的等腰直角三角形△A'MN；第二步，在直角边AC，AB上各取一点E、F， D为BC的中点，将△CDE、△BDF分别沿DE、DF折叠，使得点B、C对应点B'、C'落在直线MN上，DC'交AC于点P，DB'交AB于点Q，则“狗脸”(图形 DEC'PMNOB'F)的面积为 。
11．如图，ED 为一条宽为 的河， 河的西岸建有一道防洪堤， 防洪堤与东岸的高度差为 （即 ）． 因为施工需要， 现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上， 防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架， 现准备在东岸找一个点 作为另一端的固定点． 已知吊篮的截面为直径为 的半圆 （直径 ）， 绳子 ， 钢架高度为 ， 距离防洪堤边缘为 ．
（1） 西岸边缘点 与东岸边缘点 之间的距离为 ．
（2）滑轨在运送货物时保持笔直， 要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点 ， 则 的长应大于 ．
12．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图，为固定底座，且于点O，为固定支撑杆，为可绕着点B旋转的调节杆，灯体始终保持垂直为台灯照射在桌面的区域，如图2，旋转调节杆使，已知此时，，点M恰好为的中点，此时 ，如图3，旋转调节杆使，则此时 .
三、计算题
13．我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，，）
（1）求容器的高度．
（2）求水的折射率．
（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到）
14．计算题
（1）计算： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=2 ，y= ．
四、解答题
15．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
16．如图1，平面上，四边形中，，，，，，点M在边上，且.点P沿折线以1个单位速度向终点C运动，点是点A关于直线的对称点，连接，设点P在该折线上运动的时间为.
（1）直接写出线段的长；
（2）如图2，连接.
①求的度数，并直接写出当、M、A共线时t的值；
②若点P到的距离为1，求的值；
（3）当时，请直接写出点到直线的距离（用含t的式子表示）.
17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB=1.5米，CD=1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；求正切值
2．【答案】A
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；求正切值
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
7．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；求正切值
8．【答案】（ ，﹣3）
【知识点】锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
9．【答案】4+2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
10．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
11．【答案】（1）5
（2）0.7
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
12．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
13．【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：如图，作于点，
易得四边形EBPH是矩形，
∴∠AEH=∠CPH=90°，EH=BP，BE=PH=AE=12cm，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠HCP，
∴△AEH≌△HPC（AAS）
∴EH=BP=，
∴ ，
∴，，
∴；
（3）解：由题可知：，，
∴，
∵E'F'∥EF
∴，即，
∴
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形的其他实际应用；三角形全等的判定-AAS
14．【答案】（1）解： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
=0.2+
=0.2+
=0.7；
（2）解：（ ﹣ ）÷
=
=
=
=
= ，
当x=2 ，y= 时，原式= ．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
15．【答案】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD=12米，∠DCE=60°，
∴DE=CD sin60°=12× =6 米，CE=CD cos60°=12× =6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE=D′E′=6 米．
∵∠D′CE′=39°，
∴CE′= ≈ ≈12.8，
∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
16．【答案】（1）解：当时，；
当时，；
（2）解：①如图所示，当当、M、A共线时，设交与点，
∵平分，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
∴
；
②如图所示，当点在上时，，
，
，
，
，
如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
综上所述，的值为或；
（3）解：∵当时，在上，
如图所示，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，
由，
，
，
设，
即，
，
，
整理得，
即点到直线的距离为
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
17．【答案】【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，
∴DF=HG，
在Rt△ABC中，AC=AB cos∠CAB=1.5×cos（90°﹣∠CBA）=1.5×sin∠CBA=1.5×0.6820≈1.02，
∵∠CDE=60°，
∴∠EDH=30°，
∴EH=DE=0.9，
∴DF=GH=EG﹣EH=6﹣0.9=5.1，
∴OF=OA+AC+CD+DF=1.5+1.02+1+5.1=8.62m．
答：灯杆OF至少要8.62m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
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第23章 解直角三角形（培优）
一、单选题
1．如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形交于点M，连接，设．若点Q、B、F三点共线，，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形中，点E、分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有（ ）．
A．①②③ B．①② C．①②③④ D．③④
3．等腰三角形的底角为15，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（ ）
A． B． C． D． a
4．如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
5．如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的是（ ）
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②④
6．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ；⑤S四边形CDEF= S△ABF，其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
7．如图，矩形中，，，点，分别在边，边上运动，点在矩形内，且，，，则线段的取值范围为 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在y轴上，点C在x轴上，BC⊥x轴，tan∠ACO＝ ．延长AC到点D，过点D作DE⊥x轴于点G，且DG＝GE，连接CE，反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点B，和CE交于点F，且CF：FE＝2：1．若△ABE面积为6，则点D的坐标为 ．
9．如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.如图，在凹四边形ABCD中， ∠A =15°， 则凹四边形ABCD 的周长为 .
10．用一张斜边BC长为10的等腰直角三角形纸片进行折“狗脸”活动(如图1所示)第一步，如图2，沿MN向后折一个面积为1的等腰直角三角形△A'MN；第二步，在直角边AC，AB上各取一点E、F， D为BC的中点，将△CDE、△BDF分别沿DE、DF折叠，使得点B、C对应点B'、C'落在直线MN上，DC'交AC于点P，DB'交AB于点Q，则“狗脸”(图形 DEC'PMNOB'F)的面积为 。
11．如图，ED 为一条宽为 的河， 河的西岸建有一道防洪堤， 防洪堤与东岸的高度差为 （即 ）． 因为施工需要， 现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上， 防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架， 现准备在东岸找一个点 作为另一端的固定点． 已知吊篮的截面为直径为 的半圆 （直径 ）， 绳子 ， 钢架高度为 ， 距离防洪堤边缘为 ．
（1） 西岸边缘点 与东岸边缘点 之间的距离为 ．
（2）滑轨在运送货物时保持笔直， 要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点 ， 则 的长应大于 ．
12．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图，为固定底座，且于点O，为固定支撑杆，为可绕着点B旋转的调节杆，灯体始终保持垂直为台灯照射在桌面的区域，如图2，旋转调节杆使，已知此时，，点M恰好为的中点，此时 ，如图3，旋转调节杆使，则此时 .
三、计算题
13．我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，，）
（1）求容器的高度．
（2）求水的折射率．
（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到）
14．计算题
（1）计算： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=2 ，y= ．
四、解答题
15．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
16．如图1，平面上，四边形中，，，，，，点M在边上，且.点P沿折线以1个单位速度向终点C运动，点是点A关于直线的对称点，连接，设点P在该折线上运动的时间为.
（1）直接写出线段的长；
（2）如图2，连接.
①求的度数，并直接写出当、M、A共线时t的值；
②若点P到的距离为1，求的值；
（3）当时，请直接写出点到直线的距离（用含t的式子表示）.
17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB=1.5米，CD=1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；求正切值
2．【答案】A
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；求正切值
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
7．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；求正切值
8．【答案】（ ，﹣3）
【知识点】锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
9．【答案】4+2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
10．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
11．【答案】（1）5
（2）0.7
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
12．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
13．【答案】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：如图，作于点，
易得四边形EBPH是矩形，
∴∠AEH=∠CPH=90°，EH=BP，BE=PH=AE=12cm，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠HCP，
∴△AEH≌△HPC（AAS）
∴EH=BP=，
∴ ，
∴，，
∴；
（3）解：由题可知：，，
∴，
∵E'F'∥EF
∴，即，
∴
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形的其他实际应用；三角形全等的判定-AAS
14．【答案】（1）解： +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ |
=0.2+
=0.2+
=0.7；
（2）解：（ ﹣ ）÷
=
=
=
=
= ，
当x=2 ，y= 时，原式= ．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
15．【答案】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD=12米，∠DCE=60°，
∴DE=CD sin60°=12× =6 米，CE=CD cos60°=12× =6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE=D′E′=6 米．
∵∠D′CE′=39°，
∴CE′= ≈ ≈12.8，
∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
16．【答案】（1）解：当时，；
当时，；
（2）解：①如图所示，当当、M、A共线时，设交与点，
∵平分，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
∴
；
②如图所示，当点在上时，，
，
，
，
，
如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
综上所述，的值为或；
（3）解：∵当时，在上，
如图所示，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，
由，
，
，
设，
即，
，
，
整理得，
即点到直线的距离为
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
17．【答案】【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，
∴DF=HG，
在Rt△ABC中，AC=AB cos∠CAB=1.5×cos（90°﹣∠CBA）=1.5×sin∠CBA=1.5×0.6820≈1.02，
∵∠CDE=60°，
∴∠EDH=30°，
∴EH=DE=0.9，
∴DF=GH=EG﹣EH=6﹣0.9=5.1，
∴OF=OA+AC+CD+DF=1.5+1.02+1+5.1=8.62m．
答：灯杆OF至少要8.62m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
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