2025年秋期沪科版数学九年级上册全册综合训练题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025年秋期沪科版数学九年级上册全册综合训练题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 564.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-20 19:00:01 | ||
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文档简介
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2025年秋期沪科版数学九年级上册全册综合题
一、单选题
1．下列各式中， 是 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若 ＝ ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，两条直线被三条平行线所截，若AC＝4，CE＝6，BD＝2，则DF＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列函数表达式中，是二次函数的是（ ）．
A． B．y=x+2
C．y=x2+1 D．y=（x+3）2-x2
7．把抛物线向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．二次函数 的图象如图所示，对称轴为 ．给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆 、卡槽 相切.水平横杆 米， 米，吊舱半径为10米.放开挡板 后，吊舱沿着水平横杆 向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米.从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的 为止（ ），吊舱平移的时间为（ ）
A．30秒 B．40秒 C．50秒 D．60秒
二、填空题
11．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数 （ ）的图象上，则m n．（填“＞”，“＜”或“=”）
12．利润 - .当求利润的最值问题时，也可以转化为二次函数求最值问题，并注意自变量的取值范围.
13．抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为 .
14．若函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为 ．
15．如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD=2，DB=4，AC=4.5，则EC= ．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= ，则BC的长是 ．
17．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为 米.
18．小明将一块长方形木板如图1所示切割，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状，且成轴对称图形.切割过程中木材的消耗忽略不计， ， ，则 .
三、解答题
19．已知一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm．试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
20．等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式.在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869.）
21．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
22．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=4cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上以每秒2cm的速度向点B运动，点Q在边BC上以每秒1cm的速度向点C运动，当P，Q中的一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为xs(x>0)，△PBQ的面积为ycm2．
（1）y关于x的函数表达式为 ，x的取值范围为 .
（2）求△PBQ的最大面积．
23．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度，一同学站在门内，在离门脚B点远的D处，垂直于地面立起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．
（1）在图中建立适当的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式．
（2）求出该大门的高h．
24．（1）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A=∠D.若∠AEB+∠BFD=180°，求证：AB//CD.
（2）某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动，他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据：
老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3
①观察表中的数据，你发现了什么？
②如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7m，那么你估计这副老花镜的度数是多少？
25．已知：抛物线y=-+bx+c经过A（-1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．
求：（1）求b，c的值；
（2）求△ABP的面积；
（3）若点C（，）和点D（，）在该抛物线上，则当时，请写出与的大小关系．
26．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP= ，求CF的长．
27．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求k、b的值．
（2）点C是轴上一点，若的面积为24，求点的坐标．
28．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
6．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
10．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
11．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
12．【答案】销售总额；销售成本
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
14．【答案】2
【知识点】二次函数的定义
15．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
16．【答案】6
【知识点】锐角三角函数的定义
17．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
18．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；图形的剪拼；相似三角形的判定与性质
19．【答案】解：相似，
∵，，，
即，
∴这两个三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定
20．【答案】解：作AD丄BC，垂足为D点
∵AB=AC，BC=20，
∴BD=CD= BC=10.
在Rt△ACD中，∠C=41°，
∴tan C=tan41°= ，
∴AD= ≈10×0.869 ≈8.7.
答：顶点A到BC边的距离是8.7米.
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
21．【答案】（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1， 4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x 1)2 4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0 1)2 4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x 1)2 4，
即y=x2 2x 3；
（2）令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
22．【答案】（1）；
（2）解：由(1)得.
当时，随的增大而增大，
而当时，函数有最大值20，
即的最大面积是.
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题
23．【答案】（1）解：以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
设该函数解析式为（），
把代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线的表达式为；
∴代入，
得．
故该大门的高度．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平面直角坐标系的构成；二次函数的实际应用-拱桥问题
24．【答案】（1）证明：，，
，
，，
，
.
（2）解：①随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑的距离逐渐减小，二者之间的大致关系是：
D=×100；
②D=×100≈143
所以，这副老花镜的度数大约140度到150度.
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用；三角形内角和定理；内错角相等，两直线平行
25．【答案】（1）把点A（，0）、B（5，0）分别代入，得
解得．
（2）由（1）得抛物线解析式
∴
∴P（2，9）
∵A（，0）、B（5，0）
∴AB=6
∴．
（3）∵抛物线开口向下
∴在对称轴直线x=2的左侧y随着x的增大而增大
∴＜．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
26．【答案】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC= =10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CPCD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP= AC=5，
③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，
则PQ=CQ，
∵S△ADC= AD DC= AC DQ，
∴DQ= = ，
∴CQ= = ，
∴PC=2CQ= ，
∴AP=AC﹣PC=10﹣ = ；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或 ；
（Ⅱ）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC= ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC= PF，
∵OP=OF= PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCD+∠FCD=90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴ ，
∵AP= ，
∴CF= ．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用
27．【答案】（1）解：将点代入，得：，
将点代入，得：，解得：．
（2）解：对于，当时，，当时，，
点的坐标为，与轴的交点的坐标为，
过点作轴，
点，点，
，，，，
点是轴上的一点，设点的坐标为．
分两种情况讨论如下：
①当点在轴的正半轴上时，
则，，
，
，
即：，
解得：，
点的坐标为；
②当点在轴的负半轴上时，
则，，
，
即：，
，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
28．【答案】解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=﹣4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数y=a（x﹣2）2或y=a（x+2）2
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2或y=0.5x2+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；
（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴=，
∴=，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，
将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=，
当D为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D，
∴=，
=，
解得：AP2=11.25，
则OP2=11.25﹣4=7.25，
故P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：，
∴，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
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2025年秋期沪科版数学九年级上册全册综合题
一、单选题
1．下列各式中， 是 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若 ＝ ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，两条直线被三条平行线所截，若AC＝4，CE＝6，BD＝2，则DF＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列函数表达式中，是二次函数的是（ ）．
A． B．y=x+2
C．y=x2+1 D．y=（x+3）2-x2
7．把抛物线向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．二次函数 的图象如图所示，对称轴为 ．给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆 、卡槽 相切.水平横杆 米， 米，吊舱半径为10米.放开挡板 后，吊舱沿着水平横杆 向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米.从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的 为止（ ），吊舱平移的时间为（ ）
A．30秒 B．40秒 C．50秒 D．60秒
二、填空题
11．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数 （ ）的图象上，则m n．（填“＞”，“＜”或“=”）
12．利润 - .当求利润的最值问题时，也可以转化为二次函数求最值问题，并注意自变量的取值范围.
13．抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为 .
14．若函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为 ．
15．如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD=2，DB=4，AC=4.5，则EC= ．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= ，则BC的长是 ．
17．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为 米.
18．小明将一块长方形木板如图1所示切割，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状，且成轴对称图形.切割过程中木材的消耗忽略不计， ， ，则 .
三、解答题
19．已知一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm．试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
20．等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式.在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869.）
21．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
22．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=4cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上以每秒2cm的速度向点B运动，点Q在边BC上以每秒1cm的速度向点C运动，当P，Q中的一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为xs(x>0)，△PBQ的面积为ycm2．
（1）y关于x的函数表达式为 ，x的取值范围为 .
（2）求△PBQ的最大面积．
23．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度，一同学站在门内，在离门脚B点远的D处，垂直于地面立起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．
（1）在图中建立适当的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式．
（2）求出该大门的高h．
24．（1）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A=∠D.若∠AEB+∠BFD=180°，求证：AB//CD.
（2）某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动，他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据：
老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3
①观察表中的数据，你发现了什么？
②如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7m，那么你估计这副老花镜的度数是多少？
25．已知：抛物线y=-+bx+c经过A（-1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．
求：（1）求b，c的值；
（2）求△ABP的面积；
（3）若点C（，）和点D（，）在该抛物线上，则当时，请写出与的大小关系．
26．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP= ，求CF的长．
27．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求k、b的值．
（2）点C是轴上一点，若的面积为24，求点的坐标．
28．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
6．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
10．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
11．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
12．【答案】销售总额；销售成本
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
14．【答案】2
【知识点】二次函数的定义
15．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
16．【答案】6
【知识点】锐角三角函数的定义
17．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
18．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；图形的剪拼；相似三角形的判定与性质
19．【答案】解：相似，
∵，，，
即，
∴这两个三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定
20．【答案】解：作AD丄BC，垂足为D点
∵AB=AC，BC=20，
∴BD=CD= BC=10.
在Rt△ACD中，∠C=41°，
∴tan C=tan41°= ，
∴AD= ≈10×0.869 ≈8.7.
答：顶点A到BC边的距离是8.7米.
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
21．【答案】（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1， 4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x 1)2 4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0 1)2 4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x 1)2 4，
即y=x2 2x 3；
（2）令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
22．【答案】（1）；
（2）解：由(1)得.
当时，随的增大而增大，
而当时，函数有最大值20，
即的最大面积是.
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题
23．【答案】（1）解：以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
设该函数解析式为（），
把代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线的表达式为；
∴代入，
得．
故该大门的高度．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平面直角坐标系的构成；二次函数的实际应用-拱桥问题
24．【答案】（1）证明：，，
，
，，
，
.
（2）解：①随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑的距离逐渐减小，二者之间的大致关系是：
D=×100；
②D=×100≈143
所以，这副老花镜的度数大约140度到150度.
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用；三角形内角和定理；内错角相等，两直线平行
25．【答案】（1）把点A（，0）、B（5，0）分别代入，得
解得．
（2）由（1）得抛物线解析式
∴
∴P（2，9）
∵A（，0）、B（5，0）
∴AB=6
∴．
（3）∵抛物线开口向下
∴在对称轴直线x=2的左侧y随着x的增大而增大
∴＜．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
26．【答案】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC= =10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CPCD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP= AC=5，
③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，
则PQ=CQ，
∵S△ADC= AD DC= AC DQ，
∴DQ= = ，
∴CQ= = ，
∴PC=2CQ= ，
∴AP=AC﹣PC=10﹣ = ；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或 ；
（Ⅱ）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC= ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC= PF，
∵OP=OF= PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCD+∠FCD=90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴ ，
∵AP= ，
∴CF= ．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用
27．【答案】（1）解：将点代入，得：，
将点代入，得：，解得：．
（2）解：对于，当时，，当时，，
点的坐标为，与轴的交点的坐标为，
过点作轴，
点，点，
，，，，
点是轴上的一点，设点的坐标为．
分两种情况讨论如下：
①当点在轴的正半轴上时，
则，，
，
，
即：，
解得：，
点的坐标为；
②当点在轴的负半轴上时，
则，，
，
即：，
，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
28．【答案】解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=﹣4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数y=a（x﹣2）2或y=a（x+2）2
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2或y=0.5x2+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；
（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴=，
∴=，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，
将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=，
当D为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D，
∴=，
=，
解得：AP2=11.25，
则OP2=11.25﹣4=7.25，
故P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：，
∴，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
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