第21章 二次函数与反比例函数单元测试（培优）（含答案）

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第21章 二次函数与反比例函数（培优）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，点B在x轴上，点C（1，a）为OA的中点，反比例函数y= 的图象经过点C，交AB于点D，且∠AOD=∠BOD，则k=（　　）
A．8 B．2 C． D．2
5．如图，直线y=x+4与双曲线y=﹣ 相交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为（　　）
A．（0， ） B．（0， ）
C．（0，﹣ ） D．（0，﹣ ）
6．设双曲线 （k ＞ 0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于点P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”.当双曲线 （k ＞ 0）的眸径为4时，k的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
二、填空题
7．已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，则下列结论：
①；
②；
③若该抛物线经过点，，则
④若关于x的一元二次方程 无实数根，则．
其中正确的结论是　 　．(只填序号)
8．如图，正方形ABCD是边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF．有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的是 　 　（把正确结论的序号都填上）
9．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为　 　cm，液面到点所在水平地面的距离是　 　cm
10．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为　 　．
11．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形 的顶点 分别在 轴， 轴上，点 在反比例函数 图象上，过 的中点 作矩形 ，使顶点 落在反比例函数 图象上，再过 的中点 作矩形 ，使顶点 落在反比例函数 图象上，…，依此规律，作出矩形 时，落在反比例函数 图象上的顶点 的坐标为　 　．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为　 　。
三、计算题
13．为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为6米．
　
（1）按图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示．
若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离；
为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．
14．如图，已知抛物线经过原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、，点是的中点．
（1）求的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使得？若存在，试求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线（），与x轴交于、O两点，为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为的中点，以点E为圆心、以1为半径作，交x轴于B、C两点
①射线交抛物线于点P，若，求点P的坐标；
②如图2，连接，取的中点N，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出的最值，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），抛物线与轴交于点，对称轴为直线．设是抛物线与轴交点的横坐标．
（1）求的值；
（2）若点是对称轴上的一动点，当最小时，求点的坐标；
（3）若，求的值．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若此拋物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求此3个点的坐标；
（3）以，，，四个点为顶点作矩形，将此抛物线在矩形内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当时，求出a的值．
18．二次函数．
（1）如图，当时，二次函数图象与x轴和y轴的正半轴分别交于点A，B．请解答下列问题：
①直接写出点A和点B的坐标及直线的表达式；
②P为线段上一动点，过点P作交二次函数在第一象限内的图象于点Q，求出线段取得最大值时点Q的坐标；
（2）当时，y取得最大为，求实数m的值．
19． 对于函数P与函数Q作如下定义；若函数P与函数Q只有一个公共点，则称函数P与函数Q互为“融创函数”，唯一的公共点记为．
（1）下列函数与一次函数互为“融创函数”的是　 　，
①；②﹔③．
（2）若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数y上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数y上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求n的取值范围；
（3）已知函数与函数互为“融创函数”，若将函数向左平移个单位得到函数M．若函数P与函数M有两个交点记为A、B，求线段长度的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
4．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
5．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
6．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
7．【答案】①③
【知识点】二次函数图象与系数的关系
8．【答案】①②
【知识点】二次函数的最值；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
9．【答案】；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
10．【答案】．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
11．【答案】 ，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；探索图形规律
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
13．【答案】（1）
（2）两根支撑柱之间的水平距离为6米“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为18米
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
14．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
15．【答案】（1）
（2）①点或②的最大值为，最小值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；三角形的中位线定理
16．【答案】（1），．
（2）
（3）
【知识点】一元二次方程的根；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
17．【答案】（1）
（2）或或
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质
18．【答案】（1）①，，；②Q的坐标
（2）或1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值
19．【答案】（1）①③
（2）解：∵函数与函数互为“融创函数”，
联立，消去y得：．
则，即，
∵当，恒有，
∴点R在函数Q顶点的右侧，
即，解得，
∴，
∴．
（3）解：∵函数与函数互为“融创函数”，
则联立，消去y得：．
则，
解得，
∴函数，
∴函数，
联立，消去y得：．
∵函数P与函数M有两个交点A，B；
∴，
整理得：．
设，则，
，
∴，
，
∴
，
∴当，即，且满足，
∴线段AB长度的最大值为．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象的几何变换；一次函数的性质
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