第24章 圆单元测试（培优）（含答案）
文档属性
| 名称 | 第24章 圆单元测试（培优）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 811.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-20 19:06:34 | ||
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文档简介
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第24章 圆（培优）
一、单选题
1．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作： 将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（ ）
A．2.2 B．-2.2 C．2.3 D．-2.3
2．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，D是AC上一动点(不与点A，C重合)，有下列结论：①∠ADB=∠BDC；②DA=DC；③当DB最长时，DB=2DC；④DA+DC=DB，其中一定正确的结论是（ ）
A．①②. B．①③ C．③④ D．①③④
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．2
5． 如图，O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点 D，过点 D 作DE⊥AB于点 E，若∠ADC=2∠C，DE=2，则AC的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，圆心为的动圆经过点且始终与轴相切，切点为，与轴交于点C，连接、、．则有个结论∶；；， 其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
7．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则点M的坐标为 ．
9．如图，在边长为6的等边 中，点 ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，则 的最小值为 .
10．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为CD上一动点，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE，交BC于点H，连结AH、HE，AH与BD交于点G，下列结论：①AF=HE，②∠HAE=45°，③BG2+DF2=GF2，④△CEH的周长为12，其中正确的结论有 。
11．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动翻转，使它的三边依次与x轴重合，第一次翻转后圆心为，第二次翻转后圆心为，依此规律，第21次翻转后，内切圆的圆心的坐标是 ．
12．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三、计算题
13．【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5．
依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表：
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d 1.000 0.382 0.268 0.198 0.152 0.121 0.098 0.081
请你协助小青完成以下任务．
（1）求当时，d为何值？（参考数据：）
（2）根据表格数据，d随n的变化情况为 ；当车轮设计成圆形时， ．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．
（3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？
14．地球有多大？多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．
项目任务 （一） 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的代数式表示）
项目任务 （二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为，，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，，l的代数式表示）
项目任务 （三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，的代数式表示）
四、解答题
15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．
16．如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）求的正切值．
17．平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点的坐标；图形的旋转
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；矩形的判定；图形的旋转
5．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质
7．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；求特殊角的三角函数值
8．【答案】（-1，）
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
9．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
10．【答案】(2)(3)(4)
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质；图形的旋转
11．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形变化﹣旋转；切线长定理；探索规律-点的坐标规律
12．【答案】；
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
13．【答案】（1）解：当时，
∵点C为的中点
∴
∵
∴，
∴为等腰直角三角形
在中，
∴
∴
∴
（2）d随n的增大而减小；0
（3）解：设对应的圆心角为
∵长为
∴
∴
∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形．
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；正多边形的概念；正多边形的性质；用表格表示变量间的关系
14．【答案】解：任务（一）：，；
任务（二）：，；
任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H，
同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接，
设地球半径为，
∴，
∵HQ，PT为圆的切线
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴地球的半径为，
∴地球的周长.
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
15．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ADO，
∴∠1=∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过0，
∴DE与⊙O相切.
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠1=∠2，CD=BD，
∵CD=BF，
∴BF=BD，
∴∠3=∠F，
∴∠4=∠3+∠F=2∠3，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠4=2∠3，
∵∠ODF=90°，
∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠2=∠1=30°，
∴∠2=∠F，
∴DF=AD，
∵∠1=30°，∠AED=90°，
∴AD=2ED，
∵AE2+DE2=AD2，AE=3，
∴AD=2 ，
∴DF=2 ．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定
16．【答案】（1）证明：在中
是直角三角形
是的的直径
是的切线；
（2）证明：是直径，
（公共角）
即；
（3）解：由（2）得
即
解这个方程，得或（舍去）
连结
与都是的直径，
与互相平分
四边形为平行四边形，
在中
．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）F
（2）解：由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）解：如图所示，
当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r=4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r= =5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【知识点】直线与圆的位置关系；定义新运算
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第24章 圆（培优）
一、单选题
1．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作： 将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（ ）
A．2.2 B．-2.2 C．2.3 D．-2.3
2．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，D是AC上一动点(不与点A，C重合)，有下列结论：①∠ADB=∠BDC；②DA=DC；③当DB最长时，DB=2DC；④DA+DC=DB，其中一定正确的结论是（ ）
A．①②. B．①③ C．③④ D．①③④
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．2
5． 如图，O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点 D，过点 D 作DE⊥AB于点 E，若∠ADC=2∠C，DE=2，则AC的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，圆心为的动圆经过点且始终与轴相切，切点为，与轴交于点C，连接、、．则有个结论∶；；， 其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
7．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则点M的坐标为 ．
9．如图，在边长为6的等边 中，点 ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，则 的最小值为 .
10．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为CD上一动点，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE，交BC于点H，连结AH、HE，AH与BD交于点G，下列结论：①AF=HE，②∠HAE=45°，③BG2+DF2=GF2，④△CEH的周长为12，其中正确的结论有 。
11．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动翻转，使它的三边依次与x轴重合，第一次翻转后圆心为，第二次翻转后圆心为，依此规律，第21次翻转后，内切圆的圆心的坐标是 ．
12．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三、计算题
13．【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5．
依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表：
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d 1.000 0.382 0.268 0.198 0.152 0.121 0.098 0.081
请你协助小青完成以下任务．
（1）求当时，d为何值？（参考数据：）
（2）根据表格数据，d随n的变化情况为 ；当车轮设计成圆形时， ．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．
（3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？
14．地球有多大？多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．
项目任务 （一） 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的代数式表示）
项目任务 （二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为，，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，，l的代数式表示）
项目任务 （三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，的代数式表示）
四、解答题
15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．
16．如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）求的正切值．
17．平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点的坐标；图形的旋转
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；矩形的判定；图形的旋转
5．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质
7．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；求特殊角的三角函数值
8．【答案】（-1，）
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
9．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
10．【答案】(2)(3)(4)
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质；图形的旋转
11．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形变化﹣旋转；切线长定理；探索规律-点的坐标规律
12．【答案】；
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
13．【答案】（1）解：当时，
∵点C为的中点
∴
∵
∴，
∴为等腰直角三角形
在中，
∴
∴
∴
（2）d随n的增大而减小；0
（3）解：设对应的圆心角为
∵长为
∴
∴
∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形．
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；正多边形的概念；正多边形的性质；用表格表示变量间的关系
14．【答案】解：任务（一）：，；
任务（二）：，；
任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H，
同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接，
设地球半径为，
∴，
∵HQ，PT为圆的切线
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴地球的半径为，
∴地球的周长.
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
15．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ADO，
∴∠1=∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过0，
∴DE与⊙O相切.
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠1=∠2，CD=BD，
∵CD=BF，
∴BF=BD，
∴∠3=∠F，
∴∠4=∠3+∠F=2∠3，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠4=2∠3，
∵∠ODF=90°，
∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠2=∠1=30°，
∴∠2=∠F，
∴DF=AD，
∵∠1=30°，∠AED=90°，
∴AD=2ED，
∵AE2+DE2=AD2，AE=3，
∴AD=2 ，
∴DF=2 ．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定
16．【答案】（1）证明：在中
是直角三角形
是的的直径
是的切线；
（2）证明：是直径，
（公共角）
即；
（3）解：由（2）得
即
解这个方程，得或（舍去）
连结
与都是的直径，
与互相平分
四边形为平行四边形，
在中
．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）F
（2）解：由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）解：如图所示，
当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r=4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r= =5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【知识点】直线与圆的位置关系；定义新运算
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