2.2.2　直线的两点式方程 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程
学案设计(一)
学习目标
1.能根据两定点的坐标,由点斜式方程推导建立直线的两点式方程.
2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围.
3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决问题.
自主预习
1.直线的两点式方程
名称 两点式方程
已知条件 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)
示意图
续　表
名称 两点式方程
方程形式 　　　　　　　
适用条件 　　　　　　　
2.直线的截距式方程
名称 截距式方程
已知条件 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且a≠0,b≠0
示意图
方程形式 　　　　　　　
适用条件 　　　　　　　
课堂探究
问题:已知直线l经过两点P1(2,1),P2(6,-3),求直线l的方程.
推广(一般化):已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求直线l的方程.
【概念形成】
直线的两点式方程:直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)确定的方程可以写成　　　　　　　　,叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
追问1:请同学们分析交流两点式方程的结构有什么特点
追问2:当x1=x2,y1=y2时,直线方程怎么表示
【学以致用】
练习1　求经过下列两点的直线的两点式方程:
(1)P1(1,2),P2(-1,4);
(2)P1(-4,-5),P2(-4,0);
(3)P1(0,-4),P2(5,-4);
(4)P1(a,0),P2(0,b)(a≠0,b≠0).
【概念形成】
经过两点P1(a,0),P2(0,b)的直线方程可以写成　　　　　　　　　　.
该方程由直线在x轴和y轴的截距a与b确定,所以叫做直线的截距式方程,简称截距式.
【学以致用】
练习2　写出下列直线的方程:
(1)倾斜角为45°,在y轴上的截距为0;
(2)在x轴上的截距是-5,在y轴上的截距是6;
(3)在x轴上的截距是-3,与y轴平行;
(4)在y轴上的截距是-4,与x轴平行.
思考:总结不能用截距式方程的情况有哪些
【学以致用】
例题　已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求这个三角形三边所在直线的方程.
变式训练　已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求经过顶点B(3,-3)且　　　　　的直线方程,请在下划线处添加一个条件,将题目补充完整.
核心素养专练
1.(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线
B.=1与=-1是直线的截距式方程
C.直线方程的斜截式都可以化为截距式
D.在x轴、y轴上的截距分别是5,-2的直线方程为=1
2.经过点(0,-2),且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.若直线=1过第二、三、四象限,则(　　)
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
4.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(单位:元)与行李质量x(单位:kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的质量为(　　)
A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg
5.在x轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是　　　　　　　　　　.
6.已知直线=1与坐标轴围成的图形面积为6,则a的值为　　　　　.
7.已知A(3,0),B(0,4),P(m,n)是直线AB上一动点,则mn的最大值为　　　　　.
8.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过点(6,-2),求直线l的方程.
参考答案
自主预习
1.　斜率存在且不为零
2.=1　斜率存在且不为零,不过原点
课堂探究
问题:k==-1,由点斜式方程可知,直线l的方程为y-1=-1(x-2),即y=-x+3.
推广:(1)当x1≠x2时,由题意知,
将P1(x1,y1)代入点斜式方程得直线l的方程为y-y1=(x-x1).
(2)当x1=x2时,直线l斜率不存在,方程为x=x1.
概念形成:.
追问1:①运算:两边均是分式形式;②数量:左边均是纵坐标(y),右边均是横坐标(x);③下标:上下、左右下标序号一致;④两边分子之比与分母之比相等,且都等于直线的斜率.所以直线的两点式方程具有结构美、对称美、有序美、运算美等特点.
追问2:当x1=x2时,直线P1P2不能用两点式方程表示,此时直线垂直于x轴,方程为x=x1;
当y1=y2时,直线P1P2不能用两点式方程表示,此时直线垂直于y轴,方程为y=y1.
练习1　(1);(2)x=-4;(3)y=-4;(4),即=1.
概念形成:=1(a≠0,b≠0)
练习2　(1)y=x;(2)=1;(3)x=-3;(4)y=-4.
思考:略.
例题　解 两点式:直线AB的方程为,整理得3x+8y+15=0.
截距式:直线AC的方程为=1.
斜截式:kBC==-,则直线BC的方程为y=-x+2.
变式训练　略,根据实际情况补充.
核心素养专练
1.ABC　解析 因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线,所以A错误.因为方程=1与=-1不符合截距式方程的结构特点,所以B错误.因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况,而此类直线不可以化为截距式,如直线y=2x,所以C错误.易知D正确.
2.D　解析 设直线在x轴上的截距为a,由题意知直线在y轴上的截距为-2,所以-2+a=2,a=4.故直线方程为=1.
3.D　解析 因为直线=1过第二、三、四象限,所以直线在两坐标轴上的截距都小于0,所以a<0,b<0.故选D.
4.C　解析 由题图知点A(60,6),B(80,10),由直线方程的两点式,得直线AB的方程是,即y=x-6.依题意,令y=0,得x=30,即旅客最多可免费携带30 kg行李.
5.=1
6.±2　解析 由=1知S=|a|·|6|=6,所以a=±2.
7.3　解析 易求得直线AB的方程为=1,
∵P(m,n)在直线AB上,∴m=3-n,∴mn=3n-n2=(-n2+4n)=[-(n-2)2+4]≤3,当n=2时,mn取得最大值,最大值为3.
8.解法1 设直线l的截距式方程为=1,
把点(6,-2)代入得=1,
化简整理得a2-3a+2=0,解得a=2或a=1,
故直线l的方程为=1或+y=1.
解法2 设直线l的点斜式方程为y+2=k(x-6)(k≠0).
令x=0,得y=-6k-2;
令y=0,得x=+6.
于是-(-6k-2)=1,
解得k1=-或k2=-.
故直线l的方程为y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6),即y=-x+2或y=-x+1.
学案设计(二)
学习目标
1.能根据两定点的坐标,由点斜式方程推导建立直线的两点式方程.
2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围.
3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决问题.
4.能进行不同形式方程的转化.
自主预习
预习教科书第62至64页内容,思考以下问题:
1.什么是直线的两点式方程 通过这个方程能找到哪些直线要素
2.什么是直线的截距式方程 通过这个方程能找到哪些直线要素
3.运用直线的两点式、截距式方程时要注意什么适用条件
4.判断正误.
(1)不经过原点的直线都可以用方程=1表示. (　　)
(2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示. (　　)
(3)直线y=x在x轴和y轴上的截距均为0. (　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. (　　)
课堂探究
1.温故知新
(1)已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何求直线P1P2的斜率
(2)经过点P0(x0,y0),且斜率为k的直线l的方程是什么
(3)什么叫直线在y轴上的截距
2.探究新知
思考:已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),因为两点确定一条直线,所以直线l是唯一确定的.也就是说,对于直线l上的任意一点P(x,y),它的坐标与点P1,P2的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢
追问1:不利用点斜式方程,你能求出直线l的两点式方程吗
追问2:在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,那么直线l的方程是什么
【学以致用】
练习1　求经过两点P1(2,1),P2(0,3)的直线的两点式方程.
例1　如图,已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0.求直线l的方程.
概念形成:
直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线l在y轴上的截距为b,由a,b确定的方程　　　　　　　　叫做直线的截距式方程.
练习2　若直线在x轴、y轴上的截距分别是-5,6,求该直线的截距式方程,并画出图形.
例2　已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求边BC所在直线的方程,以及这条边上的中线AM所在直线的方程.
归纳总结:请同学们写出直线方程的四种形式,它们之间有什么联系
核心素养专练
1.已知△ABC的两个顶点A(-3,0),B(2,1),△ABC的重心G(-1,1),则AB边中线所在的直线方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x+y=0 B.x-y=0
C.x+2y=0 D.x-2y=0
2.直线l1:=1和直线l2:=1在同一平面直角坐标系中的位置可以是(　　)
3.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P,则直线AB的方程为(　　)
A.y=-x+5 B.y=x-5
C.y=x+5 D.y=-x-5
4.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪
D.(-∞,-1)∪
5.若直线l:=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是　　　　　.
6.求过点A(5,2),且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
7.求经过点A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
8.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线MN的方程.
9.已知直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.
10.已知直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)△AOB的周长为12;(2)△AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案
自主预习
1.经过两点P1(x1,y1),P(x2,y2)的直线方程可以写成(x1≠x2且y1≠y2),这是经过两点的直线方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式.
两点式是两点确定一条直线的体现.
2.经过两点(a,0),(0,b)的直线方程为=1,该方程由直线在x轴和y轴上的截距确定,所以叫做直线的截距式方程,简称截距式.
截距式体现直线在x轴和y轴上的截距.
3.两点式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
截距式:在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a≠0,b≠0)
4.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
课堂探究
1.温故知新
(1)k=.
(2)y-y0=k(x-x0).
(3)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
2.探究新知
思考:当x1≠x2时,经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率k=.
任取P1,P2中的一点,例如取点P1(x1,y1),由直线的点斜式方程,得y-y1=(x-x1).
当y1≠y2时,上式可写为.
追问1:直线l上的任意一点P(x,y),,即,可以变形为.
追问2:如果x1=x2或y1=y2,则直线l没有两点式方程.当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线l的方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线P1P2垂直于y轴,直线l的方程为y-y1=0,即y=y1.
练习1　解 将两点P1(2,1),P2(0,3)的坐标代入两点式,得.
例1　解 将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得,即=1.
概念形成:=1
练习2　解 将a=-5,b=6代入截距式,得=1.画出的图形如图所示.
例2　解 如图,过B(3,-3),C(0,2)的直线的两点式方程为,整理得5x+3y-6=0.这就是边BC所在直线的方程,边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段,由中点坐标公式,可得点M的坐标为,即.
过A(-5,0),M两点的直线方程为,整理可得x+13y+5=0.这就是边BC上中线AM所在直线的方程.
归纳总结:
核心素养专练
1.A
2.A
3.C　解析 依题意,a=2,P(0,5).设A(x0,2x0),B(-2y0,y0),则由中点坐标公式,得解得所以A(4,8),B(-4,2).由直线的两点式方程,得直线AB的方程是,即y=x+5.
4.D　解析 设直线l的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=,所以满足条件的直线l的斜率的取值范围是(-∞,-1)∪.
5.3+2　解析 由直线经过点(1,2)得=1,于是a+b=(a+b)×=3+.
因为≥2=2,当且仅当,即a=1+,b=2+时取等号,所以a+b≥3+2.
6.解法1 ①当直线l在坐标轴上的截距均为0时,方程为y=x,即2x-5y=0;
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时,
可设方程为=1,即x-y=a,
又∵l过点A(5,2),∴5-2=a,a=3,
∴直线l的方程为x-y-3=0.
综上所述,直线l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
解法2 由题意知直线l的斜率一定存在.
设直线l的点斜式方程为y-2=k(x-5),
则x=0时,y=2-5k;y=0时,x=5-.
根据题意得2-5k=-,解方程得k=或k=1.
当k=时,直线方程为y-2=(x-5),即2x-5y=0;
当k=1时,直线方程为y-2=1×(x-5),即x-y-3=0.
综上所述,直线l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
7.解 过A,B两点的直线的两点式方程是.
因为kAB==-,所以点斜式方程为y-(-1)=-(x-4)或y-3=-(x+2).
因为当x=0时,y=,所以斜截式方程为y=-x+.
又当y=0时,x=,所以截距式方程为=1.
8.解 (1)设点C的坐标为(x0,y0),则AC边的中点为M,BC边的中点为N.
因为点M在y轴上,所以=0,解得x0=-5.
又点N在x轴上,所以=0,解得y0=-3.
所以顶点C的坐标为(-5,-3).
(2)由(1)可得M,N(1,0),
故直线MN的方程为=1,即5x-2y-5=0.
9.解 当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经检验符合题目要求.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx-2k+2.
令y=0,得x=.
由三角形的面积为2,得×2=2.
解得k=.
可得直线l的方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.
综上可知,直线l的方程为x=2或x-2y+2=0.
10.解 设直线方程为=1(a>0,b>0),
若满足条件(1),则a+b+=12.①
∵直线过点P,∴=1.②
由①②可得5a2-32a+48=0,解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12,③
由题意得=1,④
由③④整理得a2-6a+8=0,解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.