2.3.4　两条平行直线间的距离 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

2.3.4　两条平行直线间的距离
学案设计
学习目标
1.理解两条平行直线间距离的定义.
2.会求两条平行直线间的距离,及应用公式求距离.
3.学会运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题.
自主预习
1.概念
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的　　　　　的长度.
2.公式
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离d=　　　　　　　　.
课堂探究
1.温故知新
点到直线的距离公式:　　　　　　　　.
2.探究新知
活动1:已知两条平行直线l1,l2的方程,如何求直线l1与直线l2间的距离
根据两条平行直线间距离的含义,在直线l1上　　　　　　　　　　,点　　　　　到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离,这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离.
【活动预设】引导学生归纳概括出两条平行直线间的距离定义.
(1)图示:
(2)定义:夹在两条平行直线间的　　　　　的长.
(3)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
活动2:已知两条平行直线l1:2x-7x-8=0,l2:6x-21y-1=0,求直线l1与直线l2间的距离.
活动3:两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为　　　　　.
结论:两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为　　　　　.
思考:两条平行直线间的距离公式对两条直线应有什么要求
验证:已知两条平行直线l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,求直线l1与直线l2间的距离.
3.例题讲解
例1　已知两条平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则直线l1与直线l2间的距离为　　　　　.
例2　 ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0,l4:2x+y+1=0,求 ABCD的面积.
核心素养专练
1.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是　　　　　.
2.已知P,Q分别为直线3x+4y-10=0与直线6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.3 D.6
3.如果点P到点A,B及直线x=-的距离都相等,那么满足条件的点P有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
4.求与直线l:5x-12y+6=0平行且与直线l的距离为3的直线方程.
5.已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行,且l1,l2之间的距离为,求直线l1的方程.
6.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着点A、点B旋转,如果两条平行直线间的距离为d,求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时,两条直线的方程.
7.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,求直线l2的方程.
参考答案
自主预习
1.公垂线段　2.
课堂探究
1.温故知新
d=
2.探究新知
活动1:任取一点P(x0,y0)　P(x0,y0)
【活动预设】
(2)公垂线段
活动2:解 在直线2x-7y-8=0上任取一点,如P(4,0),则两条平行直线间的距离就是点P(4,0)到直线6x-21y-1=0的距离.
因此d=.
活动3:　解析 在直线Ax+By+C1=0上任取一点P(x0,y0),点P(x0,y0)到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离,即d=.
因为点P(x0,y0)在直线Ax+By+C1=0上,所以Ax0+By0+C1=0,即Ax0+By0=-C1,因此d= .
结论:d= .
思考:(1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.
验证:略.
3.例题讲解
例1　　解析 将l1的系数扩大2倍,即l1:6x+10y+2=0.
由两条平行直线间的距离公式知
d=.
例2　解 联立l1,l2和l1,l4求点C、点D的坐标.
解得C(3,2);
解得D(-1,1).
故|CD|=.
利用两条平行直线间的距离公式得d=.
所以 ABCD的面积S=|CD|·d=9.
核心素养专练
1.5　解析 由题意知两直线方程分别是x=-2和x=3,故两条直线间的距离d=|-2-3|=5.
2.B　解析 因为直线3x+4y-10=0与直线6x+8y+5=0平行,所以两直线上任意两点间距离的最小值即两条平行直线间的距离.
因为直线3x+4y-10=0可化为6x+8y-20=0,故两条平行直线间的距离为d=.
3.B　解析 因为点P到点A,B的距离相等,所以点P在线段AB的垂直平分线y=上.直线AB与直线x=-平行,且两平行线间的距离为1.
又1<,所以满足条件的点P有1个.
4.解 设所求直线的方程为5x-12y+b=0,
根据两平行直线间的距离公式得=3,
解得b=45或b=-33.
所以所求直线方程为5x-12y+45=0或5x-12y-33=0.
5.解 因为l1∥l2,所以,
所以
①当m=4时,直线l1的方程为4x+8y+n=0,
把直线l2的方程写成4x+8y-2=0,
所以,解得n=-22或n=18.
所求直线l1的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.
②当m=-4时,直线l1的方程为4x-8y-n=0,
把直线l2的方程写成4x-8y-2=0,
所以,解得n=-18或n=22.
所求直线l1的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.
综上,所求直线l1的方程为2x±4y-11=0或2x±4y+9=0.
6.解 (1)①当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9.
②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线的方程为l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),
即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,
所以d=,
即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.
因为k∈R,且d≠9,d>0,
所以Δ=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,
即0综合①②可知,所求d的变化范围为(0,3].
(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于AB.
而kAB=,所以所求直线的斜率为-3.
故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6),
y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0和3x+y+10=0.
7.解 设直线l2的方程为y=-x+b(b>1),
则图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b),
所以|AD|=,|BC|=b.
梯形的高为直线l1与直线l2之间的距离,
故h=(b>1),
由梯形面积公式得=4,
所以b2=9,b=±3.但b>1,故b=3.
从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.