2.5.1　直线与圆的位置关系 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时
学案设计
学习目标
1.能根据直线和圆的方程,熟练求出它们的交点坐标.
2.能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系.
3.理解直线和圆的三种位置关系(相离、相切、相交)与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解(无解、有唯一解、有两组解)的对应关系.
自主预习
知识点:直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有　　　公共点
相切 只有　　　公共点
相离 　　　公共点
2.直线与圆的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
判定 方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 　　
课堂探究
问题1:如果我们把太阳近似看作一个圆,海天交线看作一条直线,请大家观察一下,在日出的过程,体现了直线与圆的哪些位置关系
问题2:自己作一个圆,将直尺的一边当作一条直线,固定圆的位置,随机变化直尺的位置,观察直线与圆有几种位置关系,如何判断呢
问题3:画图的方法判断直线与圆的位置关系时存在误差,那思考一下若不画图,不通过图形该如何判断直线与圆的位置关系 思考下列两个问题:
(1)直线x+y-3=0与圆x2+y2+2x-3=0的位置关系;
(2)直线x+2y-3=0与圆x2+y2+2x-3=0的位置关系.
问题4:已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.
问题5:思考已知直线与圆的位置关系,能得到什么结论呢
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图形
交点个数
d与r的关系
直线与圆联立方程组解的个数
问题6:过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线l的方程.
【迁移应用】
变式1:过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3,3)的切线方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0
C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0
变式2:已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则(　　)
A.l与C相交
B.l与C相切
C.l与C相离
D.以上三个选项均有可能
核心素养专练
1.圆(x-1)2+(y-4)2=4的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　)
A.- B.- C. D.2
2.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(　　)
A.-3C.m<1 D.-43.若直线x-y-2=0被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　)
A.-1或3 B.1或3
C.0或4 D.-2或6
4.(多选题)若函数y=-的图象与直线x-2y+m=0有公共点,则实数m的可能取值为(　　)
A.-2-1 B.1
C.-2+1 D.2
5.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.直线2x+y=2与直线x+2y=1垂直
B.过点(1,2)的直线被圆x2+y2-6x=0所截得的弦的长度的最小值为2
C.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系不确定
D.若直线mx+ny=1与圆x2+y2=1相交,则点P(m,n)在圆外
6.若一条过原点的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为2,则该直线的倾斜角为　　　　　.
7.若直线ax+y-1=0始终平分圆C:(x-1)2+(y-4)2=4的周长,则a=　　　　　.
8.过原点且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2-4y=0相交,则直线被圆截得的弦长为　　　　　.
9.已知圆C经过坐标原点O和点(4,0),且圆心在x轴上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l:3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,求所得弦长|AB|的值.
10.求过点M(1,6)且与圆x2+y2+2x-3=0相切的切线方程.
11.在直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x-6y+m=0与直线l:x+y-1=0相切.
(1)求实数m的值;
(2)过点(3,1)的直线与圆C交于M,N两点,如果|MN|=2,求.
参考答案
自主预习
1.两个　一个　没有
2.d>r　Δ<0
课堂探究
问题1:相交、相切、相离.
问题2:直线与圆有三种位置关系:相交、相切、相离.判断位置关系的方法为判断直线与圆的交点个数:直线与圆有2个交点,直线与圆相交;直线与圆只有1个交点,直线与圆相切;直线与圆没有交点,直线与圆相离.
问题3:两条直线与圆都相离.
问题4:解法1:联立直线l与圆C的方程,得
消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.
所以直线l与圆C相交,有两个公共点.
把x1=2,x2=1分别代入第一个方程,得y1=0,y2=3.
所以直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3).
因此|AB|=.
解法2:圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐标为(0,1),半径为,圆心C(0,1)到直线l的距离d=.
所以直线l与圆C相交,有两个公共点.
如图所示,由垂径定理,得|AB|=2.
问题5:
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图形
交点个数 2 1 0
d与r的关系 dr
直线与圆联立方程组解的个数 2 1 0
问题6:
解法1:设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得=1,解得k=0或k=.
因此所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.
解法2:设切线l的斜率为k,则切线的方程为y-1=k(x-2).因为直线l与圆相切,
所以方程组只有一组解.
消元得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.
因为方程只有一个解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或k=,所以所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.
变式1:B
变式2:A
核心素养专练
1.A　解析 因为圆(x-1)2+(y-4)2=4的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以d==1,
解得a=-.故选A.
2.B　解析 圆x2+y2-2x-1=0的标准方程为(x-1)2+y2=2,其圆心为(1,0),半径为,直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点,
即直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0相交,
则,解得-3根据充分性和必要性的概念,直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是-23.C　解析 由圆(x-a)2+y2=4得圆心为(a,0),半径r=2,则圆心到直线的距离d=,
弦长=2=2=2,解得a=0或a=4.故选C.
4.ABC　解析 函数y=-变形可得(x-1)2+y2=4(-2≤y≤0),其对应图形为圆(x-1)2+y2=4的下半部分,如图所示.
若直线x-2y+m=0与函数y=-有公共点,
则=2,解得m=-2-1或m=2-1,结合图形知m=2-1不合题意,舍去,
所以m=-2-1,
且当m=-2-1时,直线x-2y+m=0与圆(x-1)2+y2=4的下半部分相切,此时m最小,
把(-1,0)代入直线x-2y+m=0,得m=1,此时m最大,故实数m的取值范围为[-2-1,1],结合选项可知ABC符合.故选ABC
5.BD　解析 对于A,因为直线2x+y=2与直线x+2y=1的斜率分别为k1=-2,k2=-,且k1·k2=1≠-1,所以两直线不垂直,所以A错误;
对于B,圆x2+y2-6x=0可化为(x-3)2+y2=9,圆心(3,0),半径为3,当弦与圆心和点(1,2)的连线垂直时,弦最短,最短弦长为2=2,所以B正确;
对于C,直线l:mx-y+1-m=0化为m(x-1)-y+1=0,所以直线l恒过点(1,1),因为点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5内,所以直线l与圆C必相交,所以C错误;
对于D,因为直线mx+ny=1与圆x2+y2=1相交,所以<1,所以m2+n2>1,所以点P(m,n)在圆x2+y2=1外,所以D正确.故选BD
6.60°或120°　解析 圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2,
由题意,直线斜率存在,设直线方程为y=kx,
因为直线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,
所以圆心到直线的距离为,解得k=±,所以该直线的倾斜角为60°或120°.
故答案为60°或120°.
7.-3　解析 圆C:(x-1)2+(y-4)2=4的圆心为C(1,4),
因为直线ax+y-1=0始终平分圆C:(x-1)2+(y-4)2=4的周长,所以直线ax+y-1=0过圆心C(1,4),
所以a+4-1=0,解得a=-3.
故答案为-3.
8.2　解析 由题意得直线方程为y=tan 60°x=x,即x-y=0,由x2+y2-4y=0,得x2+(y-2)2=4,则圆心为(0,2),半径为2,所以圆心(0,2)到直线x-y=0的距离为d==1,
所以所求弦长为2=2.
故答案为2.
9.解 (1)由题意可得,圆心为(2,0),半径为2,
则圆的方程为(x-2)2+y2=4.
(2)圆心(2,0)到直线l的距离为d,d==1,
故|AB|=2=2.
10.解 因为12+62+2×1-3>0,
所以点M(1,6)在圆x2+y2+2x-3=0外,所以过点M(1,6)的切线有2条,
当直线的斜率不存在时,切线方程为x=1,符合题意,
当直线的斜率存在时,设过点M(1,6)的切线为y-6=k(x-1),即kx-y+6-k=0,
由x2+y2+2x-3=0得(x+1)2+y2=4,可得圆心为(-1,0),半径r=2,
因为直线与圆相切,
所以圆心(-1,0)到直线的距离为d==2,
整理得k=,
所以切线方程为x-y+=0,
即4x-3y+14=0.
所以过点M(1,6)且与圆x2+y2+2x-3=0相切的切线方程为x=1或4x-3y+14=0.
11.解 (1)圆C的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=13-m,
圆心为C(2,3),半径r=,其中m<13,
因为圆C与直线l相切,故圆心C(2,3)到直线l的距离等于半径,
即,解得m=5.
(2)当直线MN的斜率不存在时,其方程为x=3,
此时圆心C(2,3)到直线MN的距离d=1,
由垂径定理,得|MN|=2=2,不符合题意,
故直线MN斜率存在,设其方程为y-1=k(x-3),
即kx-y-3k+1=0,
圆心C(2,3)到直线MN的距离d=,
由垂径定理,得|MN|=2,即8-=3,
解得k=,
故直线MN的方程为y=x-,
代入圆C的方程,整理得5x2-30x+33=0,
解得x1=,x2=,
于是y1=x1-,y2=x2-,这里M(x1,y1),N(x2,y2),
所以=x1x2+y1y2=7.
第2课时
学案设计
学习目标
1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
2.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.
3.能运用化归与转化思想解决位置关系问题.
自主预习
知识点:用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
【思考】利用坐标法求解几何问题要注意什么
课堂探究
探究一:直线与圆的位置关系
问题1:思考并回答下列问题:
1.直线与圆的位置关系有哪些呢
2.判断直线与圆的位置关系有哪些方法呢
探究二:实际应用
问题2:台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,则城市B处于危险区的时间为多少
例1　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
例2　一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20 km的圆形区域内,已知小岛中心位于轮船正西40 km处,港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险
核心素养专练
1.一座圆拱桥,当水面在如图所示位置时,拱顶离水面3 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽度为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 m B.2 m
C.4 m D.4 m
2.一艘海监船上配有雷达,其监测范围是半径为 26 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,船速为10 km/h,这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为(　　)h.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.据气象台预报:在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心,正以每小时40 km的速度向西北方向移动,在距台风中心250 km以内的地区将受其影响.从现在起经过约　　　　　h,台风将影响A城,持续时间约为　　　　　h(结果精确到0.1 h).
4.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路所在直线方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为　　　　　.
5.街头有一片绿地,绿地的四条边界(单位:m)如图所示,其中ABC为圆弧,求此绿地的面积(精确到0.1 m2).
6.设有半径长为3 km的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向东前进而乙向北前进,甲离开村后不久,改变前进方向,沿斜切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定,且其速度比为3∶1,问:甲、乙两人在何处相遇
参考答案
自主预习
思考 (1)利用“坐标法”解决问题的首要任务是先建立平面直角坐标系,用坐标和方程表示相应的几何元素;
(2)建立不同的平面直角坐标系,对解决问题有着直接的影响.因此,建立直角坐标系,应使所给图形尽量对称,所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.
课堂探究
问题1:1.直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系;
2.判断直线与圆的位置关系有两种方法:一是根据方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系;二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小,从而判断直线与圆的位置关系.
问题2:解 以A地为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,
则台风中心经过以B(40,0)为圆心,30为半径的圆时城市B处于危险区,直线MN:y=x,圆B:(x-40)2+y2=302,
利用弦长公式可求得|MN|=20,即B处于危险区时,台风中心在线段MN上,所以时间为1 h.
例1　解 建立如图所示的直角坐标系,使线段AB所在直线为x轴,O为坐标原点,圆心在y轴上,由题意,点P,B的坐标分别为(0,4),(10,0),设圆心坐标是(0,b),圆的半径为r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
因为P,B两点都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.
于是,得到方程组
解得b=-10.5,r2=14.52,
所以圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.
把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52(y>0),
即y+10.5=.
所以y=-10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
答:支柱A2P2的高度约为3.86 m.
例2　解 以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简便,我们取10 km为单位长度,则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0).
这样,受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2+y2=4,
轮船航线所在直线l的方程为=1,
即3x+4y-12=0.
联立直线l与圆O的方程,得
消去y,得25x2-72x+80=0.
由Δ=(-72)2-4×25×80<0,可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离,轮船沿直线返港不会有触礁危险.
核心素养专练
1.C　解析 如图,建立平面直角坐标系,则圆心在y轴上,设圆的半径为r,
则圆的方程为x2+(y+r)2=r2,
∵拱顶离水面3 m,水面宽12 m,∴圆过点(6,-3),
∴36+(-3+r)2=r2,∴r=,
∴圆的方程为x2+.
当水面下降1 m后,可设水面的端点坐标为(t,-4),
则t2=44,∴t=±2,
∴当水面下降1 m后,水面宽度为4.
故选C.
2.B　解析 根据题意以海监船的位置为坐标原点,其正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立平面直角坐标系.
所以A(40,0),B(0,30),圆O:x2+y2=676,记从N处开始被监测,到M处监测结束,
所以lAB:=1,即lAB:3x+4y-120=0.
因为O到lAB:3x+4y-120=0的距离为|OO'|==24,
所以|MN|=2=20,
所以监测时间持续=2 h.
故选B.
3.2.0　6.6　解析 以B为原点,正东方向所在直线为x轴,建立直角坐标系(图略),则台风中心的移动轨迹方程是y=-x,受台风影响的区域边界的曲线方程是(x-a)2+(y+a)2=2502,A(-300,0).
依题意有(-300-a)2+a2≤2502,
解得-150-25≤a≤-150+25,
所以t1=≈2.0,
Δt=≈6.6,
故从现在起经过约2.0 h,台风将影响A城,持续时间约为6.6 h.
4.-2　解析 圆心(2,-3)到直线x-y+2=0距离为,则从村庄外围到小路的最短距离为-2.
5.解 设圆弧ABC所对的圆心为点E,如图所示建立坐标系,各点坐标分别为A(0,7),B(3,8),C(7,6),
所以过A,B,C三点的圆弧的方程为(x-3)2+(y-3)2=25(0≤x≤7,y>0),连接EA,EC,AC,则|EA|=|EC|=5.
因为|AC|==5,
所以∠AEC=90°.
故所求的面积为S梯形AODC+S弓形ABC=S梯形AODC+(S扇形EAC-S△ACE)=π×52-×52=33+≈52.6(m2).
所以绿地的面积约为52.6 m2.
6.解 如图所示,以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴,南北方向为y轴建立平面直角坐标系.
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇,CD所在直线的方程为=1(a>3,b>3),乙的速度为v,则甲的速度为3v.
依题意,有
解得
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇.