第二章 直线和圆的方程 本章小结 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程 本章小结
学习目标
1.能够建立适当的平面直角坐标系,建立直线与圆的方程.
2.能够根据直线与圆等相关几何问题和图形的特点,利用代数的方法研究其关系.
3.熟悉平面解析几何思想并解决一些简单的与直线和圆有关的实际问题.
自主预习
再现型题组
知识点一:直线的方程
1.已知直线x+y+1=0的倾斜角为α,则cos α=　　　　　.
2.已知直线l1:mx+y+1=0,l2:mx-y+1=0,m∈R,若l1⊥l2,则m=　　　　　.
知识点二:圆的方程
1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
2.若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切,则m的值为　　　　　.
知识点三:直线与圆的综合
1.“a=0”是直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2=4相交的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
课堂探究
巩固型题组:
探究一:两直线的平行与垂直
例1　已知A,B,C(2-2a,1),D(-a,0)四点,若直线AB与直线CD平行,则a=　　　　　.
变式　已知直线l1:ax-3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0.若l1⊥l2,则实数a的值为　　　　　.
探究二:两直线的交点与距离问题
例2　过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.
变式　已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
探究三:直线与圆的位置关系
例3　已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.
(1)m∈R时,证明直线l与圆C总相交;
(2)m取何值时,直线l被圆C截得的弦长最短 求此弦长.
变式　已知圆C关于直线x+y+2=0对称,且过点P(-2,2)和原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)相互垂直的两条直线l1,l2都过点A(-1,0),若直线l1,l2被圆C所截得的弦长相等,求此时直线l1的方程.
探究四:圆与圆的位置关系
例4　已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)证明圆C1与圆C2相切,并求过切点的两圆公切线的方程;
(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
变式　已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.
(1)求证:两圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程.
提高型题组:
1.在平面直角坐标系中,如果一个多边形的顶点全是格点(横、纵坐标都是整数),那么称该多边形为格点多边形.若△ABC是格点三角形,其中A(0,0),B(4,0),且面积为8,则该三角形边界上的格点个数不可能为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.8 C.10 D.12
2.众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆,已知直线l:y=a(x-2).给出以下命题:
①当a=0时,若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为S1,S2(S1≥S2),则S1∶S2=3∶1;②当a=-时,直线l与黑色阴影区域有1个公共点;③当a∈[0,1)时,直线l与黑色阴影区域有2个公共点.其中所有真命题的序号是(　　)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
核心素养专练
1.若直线x+my+2=0的倾斜角为,则m=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.直线l1:2x+y-1=0与直线l2:4x+2y+3+a(2x+y-1)=0(实数a为参数)的位置关系是(　　)
A.l1与l2相交
B.l1与l2平行
C.l1与l2重合
D.l1与l2的位置关系与a的取值有关
3.设a∈R,直线ax-y+2=0和圆x2+y2-4x-2y+1=0相切,则a的值为　　　　　.
4.已知直线l:kx-y-k+1=0(k为常数)和圆C:(x-1)2+y2=4,给出下列四个结论:
①当k变化时,直线k恒过定点(-1,1);
②直线l与圆C可能无公共点;
③若直线l与圆C有两个不同交点M,N,则线段MN的长的最小值为2;
④对任意实数k,圆C上都不存在关于直线l对称的两个点.
其中正确的结论是　　　　　.(写出所有正确结论的序号)
5.在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x-1)2+y2=4,直线l:x+y+m=0.
(1)若直线l与圆C相切于点N,求切点N的坐标;
(2)若m>0,直线l上有且仅有一点A满足:过点A作圆C的两条切线AP,AQ,切点分别为P,Q,且使得四边形APCQ为正方形,求m的值.
参考答案
自主预习
再现型题组:
知识点一:
1.-　解析 ∵直线x+y+1=0的斜率k=-1,
∴直线x+y+1=0的倾斜角α=.∴cos α=-.
故答案为-.
2.±1　解析 由l1⊥l2,可知m2-1=0,解得m=±1.
故答案为±1.
知识点二:
1.A　解析 因为圆心在y轴上,所以可设所求圆的圆心坐标为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,解得b=2.故选A.
2.-9或11　解析 因为x2+y2-6x-8y-m=0,所以(x-3)2+(y-4)2=25+m.
因为两圆相切,所以=1+=|1-|,
解得m=-9或m=11.
知识点三:
1.A　解析 当a=0时,直线为x-y=0,过圆心(0,0),故直线与圆x2+y2=4相交,
当直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2=4相交时,圆心到直线的距离d=<2,化简得a2+2>0,显然恒成立,不能推出a=0,
所以“a=0”是直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2=4相交的充分不必要条件,故选A.
2.B　解析 设点P的坐标为(x,y),则(x-3)2+(y-4)2≤1,点(3,4)到直线3x+4y+5=0的距离为d==6,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5,故选B.
巩固型题组:
例1　3　解析 kAB==-,
当2-2a=-a,即a=2时,kAB=-,直线CD的斜率不存在.
此时,直线AB和直线CD不平行.
当a≠2时,kCD=.
由kAB=kCD,得-,即a2-2a-3=0.
解得a=3或a=-1.
当a=3时,kAB=-1,kBD==-≠kAB,kCD==-1,所以直线AB与直线CD平行.
当a=-1时,kAB=,kBC=,kCD=,所以直线AB与直线CD重合.
所以当a=3时,直线AB和直线CD平行.
变式　-3
例2　解 设直线l1与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,
代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以直线l的方程为x+4y-4=0.
变式　C　解析 (方法1)由
即直线l过点(1,2).
设点Q(1,2),因为|PQ|=>2,
所以满足条件的直线l有2条.故选C.
(方法2)依题意,设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x+3y-8+λ(x-2y+3)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(3-2λ)y+3λ-8=0.由题意得=2,化简得5λ2-8λ-36=0,解得λ=-2或λ=,代入得直线l的方程为y=2或4x-3y+2=0,故选C.
例3　(1)证明 直线l的方程可化为y+3=2m(x-4),
由点斜式可知,直线l恒过点P(4,-3).
由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,
所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.
(2)解 圆C的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.
如图,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,线段AB的长度最短.
此时直线PC⊥l,
又kPC==3,所以直线l的斜率为-,
则2m=-,所以m=-.
在Rt△APC中,|PC|=,|AC|=r=5.
所以|AB|=2=2.
故当m=-时,直线l被圆C截得的弦长最短,最短弦长为2.
变式　解 (1)由题意知,直线x+y+2=0过圆C的圆心,设圆心C坐标为(a,-a-2).
由题意,得(a+2)2+(-a-2-2)2=a2+(-a-2)2,
解得a=-2.
则圆心C的坐标为(-2,0),半径r=2,
所以圆C的方程为(x+2)2+y2=4.
(2)由题意知,直线l1,l2的斜率存在且不为0,
设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为-,
所以直线l1:y=k(x+1),即kx-y+k=0,
直线l2:y=-(x+1),即x+ky+1=0.
由题意,得圆心C到直线l1,l2的距离相等,
所以,解得k=±1,
所以直线l1的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.
例4　解 (1)证明:把圆C1与圆C2都化为标准方程形式,得(x+2)2+(y-2)2=13,(x-4)2+(y+2)2=13.
圆心与半径长分别为C1(-2,2),r1=;
C2(4,-2),r2=.
因为|C1C2|==2=r1+r2,
所以圆C1与圆C2相切.
由得12x-8y-12=0,
即3x-2y-3=0,这就是过切点的两圆公切线的方程.
(2)由圆系方程,可设所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0.
因为点(2,3)在此圆上,将其坐标代入方程解得λ=.
所以所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0,即x2+y2+8x-y-9=0.
变式　(1)证明 圆C1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C2的方程可化为x2+(y-1)2=5,
所以C1(2,-1),C2(0,1),两圆的半径均为.
因为|C1C2|==2∈(0,2),
所以两圆相交.
(2)解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程为(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.
提高型题组:
1.C　解析 如图所示:
当顶点C处于C1位置时,格点数为8;
当顶点C处于C2位置时,格点数为6;
当顶点C处于C3位置时,格点数为12.
无论顶点C处于什么位置都不能是格点数为10.
故选C.
2.A　解析 根据图形的特征,注意到直线l恒过定点(2,0),利用直线与圆相切的条件和圆的面积公式,对选项进行逐一分析即可.
如图所示:
大圆的半径为2,小圆的半径为1,大圆面积为4π,小圆面积为π,所以大圆的四分之一面积为π,小圆的一半面积为.
对①:当a=0时,直线l:y=a(x-2)方程为y=0,即直线l为x轴,直线l截阴影部分的面积分为两部分,S1=π+,S2=,所以S1∶S2=3∶1,故①正确.
对②:根据题意,半圆在第一象限的方程为x2+(y-1)2=1(x>0).当a=-时,直线y=a(x-2)方程为y=-(x-2),即4x+3y-8=0,与小圆圆心(0,1)的距离d==1,等于小圆半径,所以直线与该半圆弧相切,如图所示,直线与阴影区域只有一个公共点,故②正确.
对③:当a∈[0,1)时,如图所示,直线y=a(x-2)与黑色阴影部分的公共部分为一条线段,有无数个公共点,故③错误.
综上所述,①②正确.故选A.
核心素养专练
1.A　解析 由题意知直线x+my+2=0的斜率为-=tan=-,可得m=1.故选A.
2.B　解析 由直线l2:4x+2y+3+a(2x+y-1)=0,
可得(4+2a)x+(2+a)y+3-a=0,
因为2×(2+a)-1×(4+2a)=0且1×(3-a)≠-1×(2+a),所以直线l1与l2平行.故选B.
3.　解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心为(2,1),半径为2,由直线和圆相切可得=2,解得a=.
4.③④　解析 对于①,直线l的方程可化为y-1=k(x-1),可知当k变化时,直线l恒过定点(1,1),故错误;
对于②,因为(1-1)2+12=1<4,所以点(1,1)在圆C:(x-1)2+y2=4的内部,所以直线l与圆C总有公共点,故错误;
对于③,当直线MN与过圆心的直径垂直时,线段MN的长度最小,此时|MN|=2=2,故正确;
对于④,把圆心坐标(1,0)代入直线l:kx-y-k+1=0,得k-0-k+1=1≠0,
对任意实数k,圆C上都不存在关于直线l对称的两个点,故正确.
故答案为③④.
5.解 (1)设切点N的坐标为(x0,y0),
则有
解得
所以切点N的坐标为(+1,)或(-+1,-).
(2)圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为(1,0),半径r=2,
设点A坐标为(x1,y1),由题意可得x1+y1+m=0,
由四边形APCQ为正方形,可得|AC|=2,即(x1-1)2+=4,由题意,直线l⊥AC,圆C:(x-1)2+y2=4,则圆心(1,0)到直线x+y+m=0的距离为2,
可得=2,m>0,解得m=3.
学案设计(二)
学习目标
通过自我总结本章的知识网络,构建知识体系,归纳总结解题方法,提高解决问题的能力.
自主预习
请大家结合本章学习内容,自我构建本章的知识结构图.
课堂探究
核心素养一:数学运算
题型一:直线的方程
例1　若直线经过点A(-,3),且倾斜角为直线x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为　　　　　　　　　.
题型二:距离问题
例2　(1)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)
(2)已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行,且直线l1,l2之间的距离为,则直线l1的方程为　　　　　　　　　.
题型三:圆的方程
例3　(1)若圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是(　　)
A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0
(2)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为　.
核心素养二:逻辑推理
题型四:两条直线的平行与垂直
例4　(1)设两条不同的直线l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y+1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1⊥l2,则a=(　　)
A.2或 B.或-1
C. D.-1
题型五:直线与圆、圆与圆的位置关系
例5　(1)圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m的值为(　　)
A.2 B.-5
C.2或-5 D.不确定
(2)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
核心素养三:直观想象
题型六:弦长与切线问题
例6　已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l过定点A(1,0).
(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(2)若直线l与圆C相交于P,Q两点,且|PQ|=2,求此时直线l的方程.
题型七:与圆有关的最值问题
例7　(1)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,点C是圆心,则四边形PACB面积的最小值是(　　)
A. B.2 C. D.2
(2)已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值与最小值分别为　　　　　.
核心素养专练
1.已知函数y=f(x)的图象是折线ABCDE,如图,其中A(1,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2),若直线y=kx+b与y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则k的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1) B.
C.(0,1] D.
2.已知直线y=kx与圆x2+y2+6x+8y=0相交于两点,且这两点关于直线x-2y+b=0对称,则k,b的值分别为(　　)
A.k=2,b=-5 B.k=-2,b=-5
C.k=-2,b=5 D.k=2,b=5
3.已知直线l:4x-3y+25=0与直线m:ax-y=0平行,则直线l与m之间的距离为(　　)
A. B.2 C.5 D.4
4.直线y=ax+b与圆(x-a)2+(y-b)2=a2+b2的大致图象可能正确的是(　　)
5.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,点B(-1,1),点C(3,5),过其“欧拉线”上一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|的最小值为(　　)
A. B.2
C. D.2
6.(多选题)下列方程表示的直线中,与直线2x+y-1=0垂直的是(　　)
A.2x-y+1=0 B.x-2y+1=0
C.2x-4y+1=0 D.4x-2y+1=0
7.(多选题)下列说法中,正确的是(　　)
A.直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为
C.过点(1,1)且与直线2x+y+1=0相互平行的直线方程是y=-2x+3
D.经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0
8.(多选题)下列说法正确的有(　　)
A.直线2x+my+1=0过定点
B.过点(2,0)作圆x2+(y-1)2=4的切线l,则l的方程为2x-y-4=0
C.圆x2+(y-1)2=4上存在两个点到直线x+y-2=0的距离为2
D.若圆O1:x2+y2-2y-3=0与圆O2:x2+y2-6x-10y+m=0有唯一公切线,则m=25
9.直线y-2=0与直线y=x-1的夹角大小等于　　　　　.
10.在一村庄正西方向120 km处有一台风中心,它正向东北方向移动,移动速度的大小为26 km/h,距台风中心100 km以内的地区将受到影响,若台风中心的这种移动趋势不变,则村庄所在地大约有　　　　　小时会受到台风的影响.(参考数据:≈2.6)
11.已知△ABC的顶点A(1,3),B(3,1),C(-1,0).
(1)求高CD所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
12.(1)已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直,求直线l的方程;
(2)已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5),求圆C的标准方程.
13.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)若点M(3,5),求过点M的圆C的切线方程;
(2)若点N(2,1)为圆C的弦AB的中点,求直线AB的方程.
14.已知点P(0,-2)关于直线y=-x的对称点为Q,以点Q为圆心的圆与直线y=-x相交于A,B两点,且|AB|=2.
(1)求圆Q的方程;
(2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C,D两点,求证:|OC|·|OD|为定值.
15.已知一个动点P在圆x2+4y+y2-32=0上移动,它与定点O(6,0)所连线段的中点为M.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)是否存在过定点(0,-3)的直线l与点M的轨迹方程交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且满足=2 若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.
参考答案
自主预习
课堂探究
核心素养一:数学运算
例1　x-y+6=0　解析 由x+y+1=0得此直线的斜率为-,所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率为.
又直线过点A(-,3),所以所求直线方程为y-3=(x+),即x-y+6=0.
例2　(1)C　(2)2x+4y-11=0或2x+4y+9=0或2x-4y+9=0或2x-4y-11=0　解析 (1)设点P的坐标为(x,5-3x),
则点P到直线x-y-1=0的距离d=,化简得|4x-6|=2,即4x-6=±2,即x=1或x=2,
故点P的坐标为(1,2)或(2,-1).
(2)因为l1∥l2,所以,
所以
①当m=4时,直线l1的方程为4x+8y+n=0,
把l2的方程写成4x+8y-2=0,
所以,解得n=-22或n=18.
故所求直线的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.
②当m=-4时,直线l1的方程为4x-8y-n=0,
l2的方程为2x-4y-1=0,
所以,解得n=-18或n=22.
故所求直线的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.
综上所述,直线l1的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0或2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.
例3　(1)B　(2)x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0　解析 (1)设圆心为(0,b),半径为R,则R=|b|,
所以圆的方程为x2+(y-b)2=b2,
因为点(3,1)在圆上,所以9+(1-b)2=b2,解得b=5.
所以圆的方程为x2+y2-10y=0.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
将P,Q两点的坐标分别代入得
又令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④
联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
核心素养二:逻辑推理
例4　(1)C　(2)B　解析 (1)当m=2时,代入两直线方程中,易知两直线平行,即充分性成立.当l1∥l2时,显然m≠0,从而有=m-1,解得m=2或m=-1,但当m=-1时,两直线重合,不合要求,故必要性成立.故选C.
(2)因为直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,l1⊥l2,所以2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=或a=-1.故选B.
例5　(1)C　(2)C　解析 (1)由题意知C1(m,-2),r1=3;C2(-1,m),r2=2.则两圆心之间的距离为|C1C2|==2+3=5,
解得m=2或m=-5.故选C.
(2)根据题意在平面直角坐标系中作出圆(x-3)2+(y-3)2=9和直线3x+4y-11=0如图所示.因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个.
核心素养三:直观想象
例6　解 (1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,符合题意.
若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),
即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(3,4)到直线l的距离等于2,即=2,解得k=,此时直线l的方程为3x-4y-3=0.
综上可得,所求直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2)由直线l与圆C相交可知,直线l的斜率必定存在,且不为0,设直线l的方程为k0x-y-k0=0,圆心(3,4)到直线l的距离为d,
因为|PQ|=2=2,所以d=,
即,解得k0=1或k0=7,
所以所求直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.
例7　(1)C　(2),-　解析 (1)圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心C(1,1),半径r=1.
根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S△APC=2××|PA|×r=|PA|=.
要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小值为圆心C到直线l:3x-4y+11=0的距离d==2,所以四边形PACB面积的最小值为.故选C.
(2)设=k,则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线的斜率.
当该直线与圆相切时,k取得最大值与最小值.
由=1,解得k=±.
故的最大值为,最小值为-.
核心素养专练
1.B　解析 当直线过点A,E时对应的斜率记为kAE,
则kAE=0,
当直线过点B,E时对应的斜率记为kBE,当直线过点A,D时对应的斜率记为kAD,
则kBE=,kAD=-,
考虑过点E时,若直线y=k(x-5)+2与y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则0此时可平移y=k(x-5)+2,得到直线y=kx+b与y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,
考虑过点A时,若直线y=k(x-1)+2与y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则-此时可平移y=k(x-1)+2,得到直线y=kx+b与y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,
而k=0时,只要1故选B.
2.B　解析 x2+y2+6x+8y=0化为标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.
∵直线y=kx与圆的两个交点关于直线x-2y+b=0对称,
∴直线x-2y+b=0经过圆心(-3,-4),且直线y=kx与直线x-2y+b=0垂直,
∴-3-2×(-4)+b=0且k=-2,
解得b=-5且k=-2.
故选B.
3.C　解析 因为直线l:4x-3y+25=0与直线m:ax-y=0平行,
所以,解得a=2.
所以直线m:4x-3y=0,
所以直线l与m之间的距离d==5.
故选C.
4.B　解析 对于A,因为(0-a)2+(0-b)2=a2+b2,所以圆过原点,故A不正确;
对于B,圆心坐标在第一象限,a>0,b>0,直线的截距与圆心纵坐标相符合,故B正确;
对于C,圆心坐标在第三象限,a<0,b<0,故直线y=ax+b过第一、三、四象限,故C不正确;
对于D,由题知直线的截距与圆心纵坐标相等,D不符合,故D不正确.
故选B.
5.B　解析 由题设,边BC的中点为(1,3),“欧拉线”斜率为k=-=-1,
所以“欧拉线”方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0,
又点O到x+y-4=0的距离为d=>2,即“欧拉线”与圆O相离,
要使|MN|的值最小,则在Rt△PMO与Rt△PNO中,∠MOP=∠NOP最小,即∠MPN最大,而仅当OP⊥“欧拉线”时∠MPN最大,
所以d=|OP|=2,则|MN|=2rsin∠NOP,且圆O的半径r=2,cos∠NOP=,
所以sin∠NOP=,即|MN|min=2.
故选B.
6.BC　解析 直线2x+y-1=0的斜率为-2,
直线2x-y+1=0、直线4x-2y+1=0的斜率为2,不符合题意.
直线x-2y+1=0、直线2x-4y+1=0的斜率为,符合题意.
故选BC.
7.AC　解析 对A,直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4=8,故A正确;
对B,当x2=x1或y2=y1时,式子无意义,故B不正确;
对C,与直线2x+y+1=0平行,所求直线可设为2x+y+C=0,将点(1,1)代入得C=-3,所以所求直线为2x+y-3=0,即y=-2x+3,故C正确;
对D,经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x,故D错误.故选AC.
8.AC　解析 直线方程2x+my+1=0可变形为my=-2,易知该直线过定点,A正确;
当切线斜率不存在时,x=2是圆x2+(y-1)2=4的切线,当切线斜率存在时,设l为y=k(x-2),圆心(0,1)到切线的距离d1==2,解得k=,此时l的方程为3x-4y-6=0,故l的方程为x=2或3x-4y-6=0,B错误;
圆心(0,1)到直线x+y-2=0的距离d2=,故圆上的点到直线x+y-2=0的距离的最大值为2+,最小值为2-,故存在两个点到直线x+y-2=0的距离为2,C正确;
圆O1:x2+y2-2y-3=0的圆心为(0,1),半径为2,圆O2:x2+y2-6x-10y+m=0的圆心为(3,5),半径为,要想两圆有唯一的公切线,则两圆内切,因为两圆圆心距为=5,所以|-2|=5,解得m=-15,D错误.
故选AC.
9.45°　解析 直线y-2=0是与x轴平行的直线,
直线y=x-1的斜率为1,即与x轴的夹角为45°,
故直线y-2=0与直线y=x-1的夹角大小等于45°.
故答案为45°.
10.4　解析 如图,设村庄为A,台风中心的初始位置为B,台风路径为直线l,
因为点A到直线l的距离为60<100,
所以村庄所在地受到台风影响的时间约为≈4(h).
故答案为4.
11.解 (1)依题意可得直线AB的斜率kAB==-1,
由AB⊥CD得kAB·kCD=-1,所以kCD=1,
故直线CD的方程为y-0=1×(x+1),
即x-y+1=0.
(2)依题意,直线AB的方程为x+y-4=0,|AB|==2,
点C到直线AB的距离d=.
所以S△ABC=|AB|d=×2=5.
12.解 (1)由即两直线的交点为(2,1).
因为直线l与直线x+y-2=0垂直,
所以直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0.
(2)因为点A(2,-3),B(-2,-5),所以线段AB的中点为(0,-4),kAB=,
所以线段AB的垂直平分线方程为y=-2x-4.
由
所以圆C的圆心坐标为(-1,-2),
所以圆的半径为r=,
所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
13.解 (1)由题意知圆心的坐标为C(1,2),半径r=2,
当过点M的直线的斜率不存在时,方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时直线与圆相切.
当过点M的直线的斜率存在时,设直线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0.
由题意知=2,
解得k=,
所以方程为5x-12y+45=0.
故过点M的圆C的切线方程为x=3或5x-12y+45=0.
(2)因为圆心C(1,2),N(2,1),即kNC==-1,
又kNC·kAB=-1,
所以kAB=1,则直线AB的方程为x-y-1=0.
14.(1)解 点P(0,-2)关于直线y=-x的对称点为Q(2,0).
因为点Q到直线y=-x的距离d=,
所以圆Q的半径r==3,
所以圆Q的方程为(x-2)2+y2=9.
(2)证明 当直线CD的斜率不存在时,|OC|=|OD|=,
所以|OC|·|OD|=5.
当直线CD的斜率存在时,设为k,则直线为y=kx,记C(x1,y1),D(x2,y2).
联立
得(1+k2)x2-4x-5=0.
所以x1+x2=,x1x2=-.
|OC|·|OD|==5.
综上,|OC|·|OD|为定值5.
15.解 (1)设点M的坐标为(x,y),因为M是线段PQ的中点,而点Q(6,0),则点P(2x-6,2y),
因为点P在圆:x2+(y+2)2=36上,于是得(2x-6)2+(2y+2)2=36,
化简得(x-3)2+(y+1)2=9,
所以点M的轨迹方程是(x-3)2+(y+1)2=9.
(2)不存在.理由如下:假定存在符合条件的直线l,当l的斜率不存在时,直线l:x=0与圆M相切,不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-3,
由消去y并整理得(1+k2)x2-(6+4k)x+4=0,
则Δ=(6+4k)2-16(1+k2)>0,
解得k>-,x1+x2=,x1x2=.
由=2 (x1+x2)2=4x1x2,得,解得k=-,与k>-矛盾,
所以不存在过定点(0,-3)的直线l与点M的轨迹方程交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且满足=2.