28.1 锐角三角函数 导学案（表格式，无答案）
文档属性
| 名称 | 28.1 锐角三角函数 导学案（表格式，无答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 526.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 16:43:04 | ||
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文档简介
导学案
科 目 数学 年 级 九年级下册 课 型 新授课
课 题 28.1锐角三角函数 课 时 设 计
【学习目标】
1.理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、临边与斜边、对边与临边的比值都固定 (即正弦、余弦、正切值不变).
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
【学习重难点】
1.理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、临边与斜边、对边与临边的比值都固定 (即正弦、余弦、正切值不变).
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
三、【任务导学】
学习任务导学 学法指导
Ⅰ. 问题预习导学问题 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A )为 30°,为使出水口的高度为 35 m,需要准备多长的水管？这个问题可以归结为：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = m，求 .根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 ”，即 = ，可得 AB = = (m). 也就是说需要准备 长的水管.Ⅱ. 任务展示导学任务一：已知直角三角形的边长求锐角的正弦值思考1：如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？思考2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？因为∠A=45°，所以 AC=BC，由勾股定理得： . 所以 = , 因此 = =.结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .思考3：当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？探究 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'，那么 与 有什么关系？因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A' ，所以Rt△ ∽Rt△ . 所以 = ，所以 = .【结论】在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的 与 的比都是一个固定值．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即 sin A = = .例如,当∠A＝30°时，我们有sinA=sin30°= ；当∠A＝45°时，我们有 = = ；当∠A＝60°时，我们有 = = ；例1 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,求 sinA 和 sinB 的值.解：如图1，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得AB== = .因此sinA= = , == .如图2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC== = .因此 == ,sinB= = .【跟踪训练】1.在 Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =4，则 sinA = ． 2.在△ABC 中，已知 AC=5，BC=4，AB=3. 那么下列各式中正确的是( )A. sin A=B. sin A=C. sin C=D. sin C=任务二：探索并认识锐角的余弦与正切探究 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比随之确定.此时其他边之间的比是否也随之确定呢？问题1 如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A = ∠D，∠C =∠F = 90°，则 = 成立吗？为什么？解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠ =∠ ，∴sin = sin ，即 = .问题2如图,△ABC 和 △DEF 都是直角三角形, 其中∠A=∠D,∠C = ∠F = 90°,则 = 成立吗？为什么？解：∵∠A=∠D,∠C =∠F = 90°, ∴ .∴ = .则 = .总结：当∠A确定时，∠A的 与 的比、∠A与的 比 都是确定的.1.如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即cos A = = .我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即tan A = = .2.对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有 确定的值与它对应,所以 sin A 是 A 的函数.同样地， ， 也是 A 的函数.∠A 的 、 、 都是 的锐角三角函数.例2 如图,在 Rt△ABC 中,∠C =90°,AB =10,BC =6,求 sin A，cos A，tan A 的值.解：由勾股定理得AC= = = .因此sinA= = = , = = = ,tanA= = = .【跟踪训练】分别写出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.sinA=sinB=cosA=cosB=tanA=tanB=sinA=sinB=cosA=cosB=tanA=tanB=变式 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 6， sin A = ，求 cosA,tanB 的值．【跟踪训练】1.在Rt△ABC 中，∠C =90°，sinA = ，AC =6 cm，则 BC 的长度为( )A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm如图1，AD⊥CD，AC⊥BC，其中 CD＝3，AD＝4，sin B=，那么 AB 的长为( )A．5 B．12C．13D．15Ⅲ. 总结梳理导学1.概念：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即 sin A= = .2.如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，记作 cosA，即cos A = = .我们把锐角 A 的 与 的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即tan A = = .3.对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一 的值与它对应,所以 sin A 是 A 的函数.同样地， ， 也是 A 的函数.∠A 的 、 、 都是 的锐角三角函数.4.探究锐角的余弦、正切的思路和方法类似于探究锐角的 .IV. 评价反馈导学 1.如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点A处,底端落在水平地面的点B处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,已知sinα＝cosβ＝ 3/5 ,则梯子顶端上升了（ ）A.1米B．1.5米C.2米D．2.5米2.如图是一架人字梯,已知AB＝AC＝2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为（ ）A.4cosα米 B.4sinα米C.4tanα米D．米3.已知 α 是锐角，且 cos α =，求 sin α， tan α 的值.4.如图4,已知在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是_______．5.如图5，在 Rt△ACB 中，∠C =90°，sinB = 0.5,若 AC =6,则 BC 的长为( )A．8B．12C．D．6.如图6，在△ABC中,∠ABC＝90°.若AC＝100,sinA＝ ,则AB的长是（ ）A．B．C．60D．80 本节研究锐角的正弦，在此基础上研究锐角的余弦和正切.这个实际问题抽象成数学问题是：在直角三角形中，已知一条直角边和这条直角边所对的锐角求斜边.这个结论等价于“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于”.通过讨论锐角30°和45°与其所对的直角边与斜边的比之间的对应关系，可以猜想：在一个直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个锐角的对边与斜边的比也就确定下来，并且不同的锐角对应不同的值.锐角的正弦概念是研究本节内容的起点，同时也是重点、关键和难点.重点在于它是锐角三角函数的一个代表，研究的引入锐角的正弦概念的过程，可以为研究锐角的余弦、正切的概念提供范例；难点在于它是一种函数，它建立了锐角与它的对边与斜边的比之间的对应关系，对于建立的这种对应关系是有一定难度的.6.学习锐角的余弦与正切，可以仿照探究正弦的过程，去研究余弦与正切.7.探究中的问题可以通过构造相似三角形，分解为两个问题来解决.8.对于问题1还有其他办法解决，比如：利用相似三角形的性质.9.认识了余弦和正切后，注意识别和区分正弦、余弦和正切.10.要熟练掌握已知边长求三角函数值.11.注意：由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0< cos A <1，tan A >0.12.评价反馈导学中的习题，可以先将实际问题转化为数学问题，再想办法求三角函数值.
科 目 数学 年 级 九年级下册 课 型 新授课
课 题 28.1锐角三角函数 课 时 设 计
【学习目标】
1.理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、临边与斜边、对边与临边的比值都固定 (即正弦、余弦、正切值不变).
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
【学习重难点】
1.理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、临边与斜边、对边与临边的比值都固定 (即正弦、余弦、正切值不变).
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
三、【任务导学】
学习任务导学 学法指导
Ⅰ. 问题预习导学问题 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A )为 30°,为使出水口的高度为 35 m,需要准备多长的水管？这个问题可以归结为：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = m，求 .根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 ”，即 = ，可得 AB = = (m). 也就是说需要准备 长的水管.Ⅱ. 任务展示导学任务一：已知直角三角形的边长求锐角的正弦值思考1：如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？思考2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？因为∠A=45°，所以 AC=BC，由勾股定理得： . 所以 = , 因此 = =.结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .思考3：当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？探究 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'，那么 与 有什么关系？因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A' ，所以Rt△ ∽Rt△ . 所以 = ，所以 = .【结论】在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的 与 的比都是一个固定值．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即 sin A = = .例如,当∠A＝30°时，我们有sinA=sin30°= ；当∠A＝45°时，我们有 = = ；当∠A＝60°时，我们有 = = ；例1 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,求 sinA 和 sinB 的值.解：如图1，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得AB== = .因此sinA= = , == .如图2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC== = .因此 == ,sinB= = .【跟踪训练】1.在 Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =4，则 sinA = ． 2.在△ABC 中，已知 AC=5，BC=4，AB=3. 那么下列各式中正确的是( )A. sin A=B. sin A=C. sin C=D. sin C=任务二：探索并认识锐角的余弦与正切探究 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比随之确定.此时其他边之间的比是否也随之确定呢？问题1 如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A = ∠D，∠C =∠F = 90°，则 = 成立吗？为什么？解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠ =∠ ，∴sin = sin ，即 = .问题2如图,△ABC 和 △DEF 都是直角三角形, 其中∠A=∠D,∠C = ∠F = 90°,则 = 成立吗？为什么？解：∵∠A=∠D,∠C =∠F = 90°, ∴ .∴ = .则 = .总结：当∠A确定时，∠A的 与 的比、∠A与的 比 都是确定的.1.如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即cos A = = .我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即tan A = = .2.对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有 确定的值与它对应,所以 sin A 是 A 的函数.同样地， ， 也是 A 的函数.∠A 的 、 、 都是 的锐角三角函数.例2 如图,在 Rt△ABC 中,∠C =90°,AB =10,BC =6,求 sin A，cos A，tan A 的值.解：由勾股定理得AC= = = .因此sinA= = = , = = = ,tanA= = = .【跟踪训练】分别写出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.sinA=sinB=cosA=cosB=tanA=tanB=sinA=sinB=cosA=cosB=tanA=tanB=变式 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 6， sin A = ，求 cosA,tanB 的值．【跟踪训练】1.在Rt△ABC 中，∠C =90°，sinA = ，AC =6 cm，则 BC 的长度为( )A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm如图1，AD⊥CD，AC⊥BC，其中 CD＝3，AD＝4，sin B=，那么 AB 的长为( )A．5 B．12C．13D．15Ⅲ. 总结梳理导学1.概念：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即 sin A= = .2.如图，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，记作 cosA，即cos A = = .我们把锐角 A 的 与 的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即tan A = = .3.对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一 的值与它对应,所以 sin A 是 A 的函数.同样地， ， 也是 A 的函数.∠A 的 、 、 都是 的锐角三角函数.4.探究锐角的余弦、正切的思路和方法类似于探究锐角的 .IV. 评价反馈导学 1.如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点A处,底端落在水平地面的点B处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,已知sinα＝cosβ＝ 3/5 ,则梯子顶端上升了（ ）A.1米B．1.5米C.2米D．2.5米2.如图是一架人字梯,已知AB＝AC＝2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为（ ）A.4cosα米 B.4sinα米C.4tanα米D．米3.已知 α 是锐角，且 cos α =，求 sin α， tan α 的值.4.如图4,已知在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是_______．5.如图5，在 Rt△ACB 中，∠C =90°，sinB = 0.5,若 AC =6,则 BC 的长为( )A．8B．12C．D．6.如图6，在△ABC中,∠ABC＝90°.若AC＝100,sinA＝ ,则AB的长是（ ）A．B．C．60D．80 本节研究锐角的正弦，在此基础上研究锐角的余弦和正切.这个实际问题抽象成数学问题是：在直角三角形中，已知一条直角边和这条直角边所对的锐角求斜边.这个结论等价于“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于”.通过讨论锐角30°和45°与其所对的直角边与斜边的比之间的对应关系，可以猜想：在一个直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个锐角的对边与斜边的比也就确定下来，并且不同的锐角对应不同的值.锐角的正弦概念是研究本节内容的起点，同时也是重点、关键和难点.重点在于它是锐角三角函数的一个代表，研究的引入锐角的正弦概念的过程，可以为研究锐角的余弦、正切的概念提供范例；难点在于它是一种函数，它建立了锐角与它的对边与斜边的比之间的对应关系，对于建立的这种对应关系是有一定难度的.6.学习锐角的余弦与正切，可以仿照探究正弦的过程，去研究余弦与正切.7.探究中的问题可以通过构造相似三角形，分解为两个问题来解决.8.对于问题1还有其他办法解决，比如：利用相似三角形的性质.9.认识了余弦和正切后，注意识别和区分正弦、余弦和正切.10.要熟练掌握已知边长求三角函数值.11.注意：由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0< cos A <1，tan A >0.12.评价反馈导学中的习题，可以先将实际问题转化为数学问题，再想办法求三角函数值.