3.1.1 椭圆及其标准方程 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1　椭圆及其标准方程
第1课时
学案设计(一)
学习目标
(1)掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决实际问题.
(2)理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.
(3)通过对椭圆的定义、标准方程的推导过程的学习,提高数学抽象素养.
(4)借助标准方程的推导过程,提升逻辑推理、数学运算等素养.
自主预习
一、椭圆的定义
定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于　　　　　的点的轨迹叫做椭圆.这　　　　　叫做椭圆的焦点,　　　　　　　叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为　　　　　.
定义的集合表示:　　　　　.
二、椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
续　表
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
焦点 　　　　 　　　　
a,b,c的关系 c2=　　　　
课堂探究
思考1:仔细观察播放的视频,当用一个平面去截圆锥,当截面与轴所成角度不同时,得到的截口曲线的形状可能是什么
思考2:我们能否将椭圆的问题也用坐标法加以解决呢
合作探究一:椭圆的定义
思考3:
1.在纸板上作图说明了什么
2.在动手操作的过程中
(1)不变的是什么
(2)当两个图钉之间的距离等于绳长时,画出的图形是什么
(3)当两图钉固定,能使绳长小于两图钉之间的距离吗 能画出图形吗
【探究成果】
椭圆的几何特征:　.
椭圆的定义:　.
椭圆定义的集合表示:　.
【小试牛刀】
例1　(1)判断正误
①到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆. (　　)
②到两定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆. (　　)
(2)到两定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.椭圆 B.线段
C.圆 D.以上都不对
合作探究二:椭圆的标准方程的推导
1.求动点轨迹方程的基本步骤:　.
2.椭圆标准方程的探究
(1)建系:
思考4:如何建立适当的平面直角坐标系
(2)设点:
设M(x,y)为椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为　　　　　,根据椭圆的定义,设点M与焦点F1,F2的距离的和等于常数　　　　　.
(3)列方程:因为|MF1|=,|MF2|=,所以　　　　　.
(4)化简方程:
思考5:如何化简上述带两个根号的式子
思考6:观察下图,你能从中找出表示a,c,的线段吗
令b=|OP|=,上述方程可化为　　　　　;
椭圆的标准方程为　　　　　;
此时,椭圆的焦点在　　　　　轴上,焦点坐标为　　　　　;
a,b,c的关系是　　　　　;
a,b,c的几何意义:　　　　　.
思考7:如果焦点F1,F2在y轴上,并且点O与线段F1F2的中点重合,a,b,c的意义同上,椭圆的方程形式又如何呢
当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程是　　　　　.
焦点坐标:　　　　　.a,b,c的关系是　　　　　.
【总结归纳】
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
不同点 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
图形
焦点坐标 　　　　 　　　　
共同点 定义 　　　　
a,b,c的关系 　　　　
焦点位置的判定 　　　　
【学以致用】
例2　(1)椭圆=1的焦点坐标为(　　)
A.(5,0),(-5,0) B.(0,5),(0,-5)
C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0)
(2)已知椭圆中a=5,c=,焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为　　　　　.
(3)a=5,c=4的椭圆的标准方程是　　　　　.
(4)若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是　　　　　.
跟踪训练　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
(3)经过点A(,-2)和点B(-2,1).
核心素养专练
1.已知A(-5,0),B(5,0),动点C满足|AC|+|BC|=10,则点C的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点
2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.(多选题)已知椭圆的标准方程为=1(m>0),且焦距为6,则实数m的值为(　　)
A.4 B. C.26 D.34
4.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是(　　)
A.2 B.6 C.4 D.12
5.“m>0,且n>0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若焦点在x轴上的椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为　　　　　.
7.已知中心是坐标原点的椭圆C过点1,,且它的一个焦点为(2,0),则C的标准方程为　.
8.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是　　　　　.
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为F1(-5,0),F2(5,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于12;
(2)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3).
10.如图所示,设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.求椭圆的标准方程.
参考答案
自主预习
一、常数(大于|F1F2|)　两个定点　两焦点间的距离　半焦距
P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>2c>0}
二、(-c,0)与(c,0)　(0,-c)与(0,c)　a2-b2
课堂探究
思考1:圆、椭圆、双曲线、抛物线
思考2:能
合作探究一:椭圆的定义
思考3:
1.图形为平面图形
2.(1)不变的是绳子的长度.
(2)当两个图钉之间的距离等于绳长时,画出的图形是线段.
(3)当两图钉固定,绳长不能小于两图钉之间的距离,画不出图形.
【探究成果】
椭圆的几何特征:椭圆上的任意一点到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(绳长为定值),即椭圆满足的代数条件为|MF1|+|MF2|=l(l为定值).
椭圆的定义:平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
椭圆定义的集合表示:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>2c>0}
【小试牛刀】
例1　(1)①×　②×　(2)B
合作探究二:椭圆的标准方程的推导
1.建系、设点、列方程、化简方程
2.(1)思考4:
图1
图2
方案一:以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,以线段F1F2的垂直平分线为y轴,交点为坐标原点,建立平面直角坐标系Oxy,如图1.
方案二:以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为y轴,以线段F1F2的垂直平分线为x轴,交点为坐标原点,建立平面直角坐标系Oxy,如图2.
(2)F1(-c,0),F2(c,0)　2a(a>0)
(3)=2a
(4)思考5:方案一:直接将等号两侧进行平方.
方案二:将其中一个根式平移到另一侧,然后再平方.
思考6:由图可知,|PF1|=|PF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,|PO|=.
b2x2+a2y2=a2b2　=1(a>b>0)　x　F1(-c,0),F2(c,0)　a2=b2+c2　Rt△POF1,Rt△POF2对应的三边长度
思考7:
方法1:焦点坐标变为F1(0,-c),F2(0,c),重复推导过程.
方法2:(数)
当焦点在x轴上时,列出方程=2a,可推出=1(a>b>0);
当焦点在y轴上时,列出方程=2a.
观察两个等式,讨论,交流,合情猜想,发现x,y互换即可,动手验证可得=1(a>b>0).
方法3:(形)
如果椭圆的焦点在y轴上(选取方式不同,调换x,y轴),只要将方程=1中的x,y调换,可得=1(a>b>0).
=1(a>b>0)　F1(0,-c),F2(0,c)　a2=b2+c2
【总结归纳】
F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆　a2=b2+c2
焦点在分母较大的轴上(大对焦)
【学以致用】
例2　(1)C　(2)=1　(3)=1或=1　(4)-16,
跟踪训练　(1)=1　(2)+x2=1　(3)=1
核心素养专练
1.C　解析 由|AC|+|BC|=10=|AB|,知点C的轨迹是线段AB.
2.D　解析 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得故选D.
3.AB　解析 ∵2c=6,∴c=3.
当椭圆的焦点在x轴上时,由椭圆的标准方程,知a2=25,b2=m2.
由a2=b2+c2,得25=m2+9,∴m2=16,又m>0,故m=4;当椭圆的焦点在y轴上时,由椭圆的标准方程,知a2=m2,b2=25.
由a2=b2+c2,得m2=25+9=34,又m>0,故m=.
综上可知,实数m的值为4或.故选AB.
4.C　解析 由于△ABC的周长与焦点有关,设另一焦点为F,利用椭圆的定义,|BA|+|BF|=2,|CA|+|CF|=2,便可求得△ABC的周长为4.
5.B　解析 当m=n>0时,方程mx2+ny2=1表示圆,故m>0,且n>0方程mx2+ny2=1表示椭圆,而方程mx2+ny2=1表示椭圆 m>0,且n>0.
6.=1　解析 由题意,知解得则b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为=1.
7.+y2=1　解析 根据题意,椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,设椭圆的方程为=1,又由椭圆经过点1,,则有=1,解得a2=5,则椭圆的方程为+y2=1.
8.,5　解析 由(5-m)x2+(m-2)y2=8,得=1.
因为椭圆的焦点在x轴上,
所以解得所以m的取值范围是,5.
9.解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上,且c=5,2a=12,
所以a=6,b2=a2-c2=36-25=11,
所以椭圆的标准方程为=1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).
解法1:由椭圆定义,知2a==12,解得a=6.
又因为c=2,所以b==4.
所以椭圆的标准方程为=1.
解法2:因为所求椭圆过点(4,3),
所以=1.
又c2=a2-b2=4,解得a2=36,b2=32.
所以椭圆的标准方程为=1.
10.
解 设点F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2,得|DF1|=c.
又|DF1||F1F2|=c2=,解得c=1.
所以|DF1|=.
由DF1⊥F1F2,得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,
故|DF2|=,2a=|DF1|+|DF2|=2,
得a=,b2=a2-c2=1.
所以所求椭圆的标准方程为+y2=1.
学案设计(二)
学习目标
(1)了解椭圆的实际背景,理解并掌握椭圆的定义.
(2)掌握椭圆的标准方程及其推导过程.
(3)会求简单的椭圆的标准方程.
(4)掌握求曲线方程的方法,体会数形结合的思想.
自主预习
(1)椭圆的定义:把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于　　　　　的点的轨迹叫做椭圆.这　　　　　叫做椭圆的焦点,　　　　　叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为　　　　　.
(2)椭圆的标准方程:焦点在x轴上:　　　　　.
焦点在y轴上:　　　　　.
(3)如果椭圆=1上一点P与焦点F1的距离等于3,则点P与F2的距离是　　　　　.
(4)已知a=4,b=1,则焦点在x轴上的椭圆的标准方程为　　　　　.
课堂探究
一、创设情境,引入新课——感知椭圆
问题1:运动场跑道是不是椭圆 鸡蛋是不是椭圆
二、实验操作,归纳定义——画椭圆,归纳椭圆的定义(几何特征)
动手实验——画椭圆
问题2:椭圆上所有的点所具有的共同几何特征是什么
问题3:这个常数可以是任意正实数吗
问题4:常数等于|F1F2|或常数小于|F1F2|时,图形会发生什么变化
椭圆的定义:
三、温故知新,探求方程——椭圆的标准方程(代数特征)
问题5:求曲线方程的一般步骤是什么
问题6:类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程,如何利用椭圆的几何特征建立直角坐标系
问题7:如何化简=2a
问题8:你们能从图中找出表示a,c,的线段吗
问题9:如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢
四、技能演练,学以致用——解决问题
例1　判断下列各椭圆的焦点位置,并说出椭圆的焦点坐标和焦距.
(1)=1;(2)=1;
(3)3x2+4y2=2;(4)x2+=1.
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10.
(2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),且椭圆经过点(-1.5,2.5).
变式训练1　若椭圆的标准方程为=1,求此椭圆的焦点坐标及焦距.
变式训练2　两个焦点的坐标分别为(0,-5),(0,5),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于26,求椭圆的标准方程.
五、信息交流,教学相长——掌握规律
问题10:通过以上问题的解答,你可以总结出什么解题思想和方法
核心素养专练
1.“方程=1表示椭圆”是“1　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若椭圆=1的焦距为2,则m的值为(　　)
A.5 B.3 C.5或3 D.8
3.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆C的标准方程为(　　)
A.=1
B.=1或=1
C.=1
D.=1或=1
4.设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且点P到两个焦点的距离之差为2,则△PF1F2是 (　　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
5.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.5 B.7 C.13 D.15
6.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　　,∠F1PF2的大小为　　　　　.
7.已知点P在椭圆上,且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.
8.(拓展题)准备一张圆形纸片,在圆内任取不同于圆心的一点F,将纸片折起,使圆周过点F(如图),然后将纸片展开,就得到一条折痕CD.这样继续折下去,得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓,它是什么曲线
参考答案
自主预习
(1)常数(大于|F1F2|)　两个定点　两焦点间的距离　半焦距
(2)=1(a>b>0)　=1(a>b>0)
(3)7　(4)+y2=1
课堂探究
问题1:跑道和鸡蛋都不是椭圆.
问题2:与两个定点的距离之和为定长(或定值或常数).
问题3:根据画图过程会发现,绳长大于两定点间的距离,所以常数大于|F1F2|.
问题4:当常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2;
当常数小于|F1F2|时,不能形成任何轨迹.
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.——文字语言
|MF1|+|MF2|=2a>2c——符号语言
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
问题5:“建—设—限—代—化”
问题6:通常遵循的原则,“对称”“简洁”,分析图形的对称性,对称轴放在坐标轴上,对称中心放在坐标原点,建立坐标系使得方程最简洁.
问题7:直接平方法和移项平方法.
问题8:a:线段B2F2,线段B2F1;c:线段OF2,线段OF1;:线段OB1,线段OB2.
问题9:从数与形两方面运用转化思想,引导学生利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程直接得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程.
方法1:对比焦点在两个坐标轴上的原始方程,引导学生观察分析,只需将x,y的位置互换,即可得焦点在y轴上的椭圆的标准方程.——数
方法2:观察两个坐标系的区别,只需要将x轴,y轴互换即可.——形
焦点在y轴上的椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
例1　解 (1)焦点在x轴上,焦点坐标(,0),(-,0),焦距是2.
(2)焦点在y轴上,焦点坐标(0,1),(0,-1),焦距是2.
(3)焦点在x轴上,焦点坐标-,0,,0,焦距是.
(4)焦点在y轴上,焦点坐标0,-,0,,焦距是.
例2　解 (1)由题意,得c=4,a=5,故椭圆的标准方程为=1.
(2)解法1:待定系数法
根据题意,设所求椭圆的标准方程为=1,
由题意,得解得a=,b=,
所以所求椭圆的标准方程为=1.
解法2:定义法
由题意,得2a==2,解得a=.
由题可知c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6,故所求椭圆的标准方程为=1.
变式训练1　解 当m<4时,椭圆焦点在x轴上,此时a2=4,b2=m,所以c2=4-m,故c=.
焦点坐标(,0),(-,0),焦距是2.
当m>4时,椭圆焦点在y轴上,a2=m,b2=4,所以c2=m-4,故c=,焦点坐标(0,),(0,-),焦距是2.
变式训练2　解 由题意,得c=5,a=13,所以b2=a2-c2=169-25=144,故b=12.
所以所求椭圆的标准方程为=1.
问题10:1.求椭圆方程需要先确定椭圆焦点所在的位置,然后确定a,b的值.
2.当椭圆方程中含有字母时,需要根据分母的大小确定椭圆的焦点位置.
3.求椭圆方程的方法有定义法和待定系数法.
核心素养专练
1.A　解析 当方程=1表示椭圆时,必有解得1当m=2时,方程变为x2+y2=1,它表示一个圆.故选A.
2.C　解析 由题意,得c=1,根据a2=b2+c2.
当m>4时,m=4+1=5;当m<4时,4=m+1,解得m=3.故选C.
3.B　解析 由已知2c=|F1F2|=2,∴c=.
∵2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,∴a=2.
∴b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是=1或=1.故选B.
4.D　解析 由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8.
由题可得||PF1|-|PF2||=2,则|PF1|=5,|PF2|=3,或|PF1|=3,|PF2|=5.
又|F1F2|=2c=4,所以△PF1F2为直角三角形.
故选D.
5.B　解析 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
6.
2　120°　解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF2|=6-|PF1|=2.
在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=
=
=-,
∴∠F1PF2=120°.
7.解 解法1:设所求的椭圆方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0),
由已知条件,得解得
所以b2=a2-c2=12.
于是所求椭圆的标准方程为=1或=1.
解法2:设所求的椭圆方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0),两个焦点分别为F1,F2.
由题意知2a=|PF1|+|PF2|=3+5=8,所以a=4.
在方程=1中,令x=±c,得|y|=;
在方程=1中,令y=±c,得|x|=.
依题意有=3,得b2=12.
于是所求椭圆的标准方程为=1或=1.
8.解 如图,由题意知,CD是线段MF的垂直平分线,
∴|MP|=|PF|,
∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值),
又|MO|>|OF|,
∴根据椭圆的定义可以推断出点P的轨迹是以点F,O为焦点的椭圆,故这些折痕围成的轮廓是椭圆.
第2课时
学案设计
学习目标
1.巩固椭圆的定义及标准方程,掌握求点的轨迹方程的三种方法:定义法、相关点代入法、直接法.
2.能够结合条件选取适当的方法求点的轨迹方程.
3.通过本节课的学习对求点的轨迹方程有比较完整的认识.
自主预习
1.求有关轨迹问题的几种方法:　.
2.填写下表:
椭圆的定义 　　　　
图形
标准方程 　　　　 　　　　
焦点坐标 　　　　 　　　　
a,b,c的关系 c2=　　　　
焦点位置的判断 　　　　
课堂探究
例1　下列说法正确的是(　　)
A.到点(-4,0),(4,0)距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
B.到点(-4,0),(4,0)距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C.到点(-4,0),(4,0)距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D.到点(-4,0),(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
跟踪训练　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
椭圆的两个焦点坐标分别为(0,-3),(0,3),且椭圆上一点P到两个焦点的距离和是10.
合作探究一:定义法求轨迹方程
例2　已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求顶点A的轨迹方程.
合作探究二:相关点代入法求轨迹方程
例3　如图,在圆x2+y2=16上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么
合作探究三:直接法求轨迹方程
例4　
如图,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-,求点M的轨迹方程.
核心素养专练
1.已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)和一动点P,若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
2.已知椭圆的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),且经过P,-,则椭圆的方程为　　　　　.
3.点M(x,y)在运动过程中,满足关系式=6,则点M的轨迹方程为　　　　　.
4.已知P是椭圆=1上一动点,O为坐标原点,则线段OP中点Q的轨迹方程为　　　　　.
5.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程.
6.如图,圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.
7.在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=,曲线E过点C,动点P在曲线E上运动,且|PA|+|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系,求曲线E的方程.
8.已知线段AB的两端点A,B分别在x,y轴上滑动,|AB|=5.点M是线段AB上的一点,且|AM|=2,点M随线段AB的运动而变化,试求点M的轨迹方程.
参考答案
自主预习
(1)定义法、相关点代入法、直接法
(2)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆
=1(a>b>0)　=1(a>b>0)　(-c,0),(c,0)　(0,-c),(0,c)
a2-b2　焦点在分母较大的那一项对应的坐标轴上
课堂探究
例1　C
跟踪训练　=1
例2　解 以直线BC为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-4,0),C(4,0),设顶点A的坐标为(x,y),∵|AB|+|AC|+|BC|=18,
∴|AB|+|AC|=10>|BC|=8.
∴由椭圆的定义可知,动点A的轨迹为椭圆,且2a=10,c=4,∴a=5,b2=a2-c2=9,∴椭圆的方程为=1.
又∵A,B,C三点不能共线,∴y≠0,
∴顶点A的轨迹方程为=1(y≠0).
例3　解 设点M坐标为M(x,y),点P的坐标为P(x0,y0),则D(x0,0).
∵M是PD的中点,∴x=x0,y=.
∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=16上,∴=16,①
把x0=x,y0=2y代入方程①,得x2+4y2=16,即=1.∴点M的轨迹是椭圆.
例4　解 设点M的坐标为M(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),所以直线AM的斜率kAM=(x≠-5).
同理,直线BM的斜率kBM=(x≠5).
由已知,有=-(x≠±5),
化简,得点M的轨迹方程为=1(x≠5).
点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.
核心素养专练
1.B　解析 ∵F1(-1,0),F2(1,0),∴|F1F2|=2.
∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,
∴点P在以F1,F2为焦点的椭圆上.
∵2a=4,a=2,c=1,∴b2=3,因此,动点P的轨迹方程是=1.
2.=1　解析 设椭圆F的标准方程为=1(a>b>0),依题意,得c=2,
2a=|PF1|+|PF2|==2,解得a=,则b2=a2-c2=6,故椭圆F的标准方程为=1.
3.=1　解析 由题可得点M到(-1,0)与(1,0)的距离之和为6,又(-1,0),(1,0)两点间的距离为2,所以其轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点的椭圆,c=1,a=3,所以b2=8,故点M的轨迹方程为=1.
4.x2+=1　解析 设P(xP,yP),Q(x,y),
由中点坐标公式,得所以
又点P在椭圆=1上,所以=1,
即x2+=1.
5.解 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,
圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
因为动圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4,
由椭圆定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,
长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),
其方程为=1(x≠-2).
6.解 由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|,
∴|MA|+|CM|=|MQ|+|CM|=|CQ|.
∴|MA|+|CM|=4,|AC|=2,∴点M的轨迹为椭圆.
由椭圆的定义,知a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.
∴点M的轨迹方程为=1.
7.解 以线段AB的中点O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知,曲线E是以A,B为焦点,且过点C的椭圆,设其方程为=1(a>b>0),因为|AB|=2,|AC|=,
所以|BC|=,
则2a=|AC|+|BC|==4,2c=|AB|=2,
所以a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3.
所以曲线E的方程为=1.
8.解 依题意可得,设M(x,y),A(a,0),B(0,b),则(x-a,y)=(-x,b-y),
得解得①
又|AB|=5,所以a2+b2=25.②
将①代入②,得=1.
于是点M的轨迹方程为=1.