3.1.2 椭圆的简单几何性质 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 268.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-18 19:14:27 | ||
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文档简介
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时
学案设计(一)
学习目标
1.根据椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,并正确地画出它的图形.
2.掌握椭圆的简单几何性质,并能根据椭圆的几何性质解决相关问题.
3.通过对椭圆几何性质的探究,提升直观想象、数学抽象等核心素养.
4.借助椭圆几何性质的应用,提升直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
自主预习
填写下表:
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
续 表
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 短轴长|B1B2|= ,长轴长|A1A2|=
焦点
焦距 |F1F2|=2c
范围
对称性 对称轴为 ,对称中心为
顶点
离心率
课堂探究
(1)情境创设:
迪拜未来博物馆于2022年2月22日正式向公众开放,成为迪拜又一新地标!奇特的椭圆造型像是来自其他星球的产物,曾被《国家地理》杂志评为全球最美博物馆之一.
(2)知识回顾:椭圆的标准方程:
当焦点在x轴上时, ;
当焦点在y轴上时, .
(3)活动创设:将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线
合作探究一:椭圆的范围
问题1:椭圆大小如何刻画
问题2:该椭圆上点的横坐标的取值范围是什么 纵坐标呢
问题3:你能否用方程说明该范围
追问:范围可以由不等关系求出,如何建立x,y的不等关系
合作探究二:椭圆的对称性
问题1:椭圆具有怎样的对称性
问题2:能否用椭圆的方程说明该对称性
问题3:研究曲线x2-y2=1的对称性.
合作探究三:椭圆的顶点
问题1:你认为椭圆=1(a>b>0)上哪些点比较特殊
问题2:这些点的坐标是什么
拓展:如图,线段OP的长度何时最大 何时最小
=1(a>b>0)
合作探究四:椭圆的离心率
问题1:用什么量可以刻画椭圆的扁平程度
问题2:离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度
【总结归纳】
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
图形
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
焦距
a,b,c的关系
离心率
【学以致用】
例1 椭圆16x2+25y2=400的长轴长是 ,短轴长是 ,焦点坐标是 ,焦距是 ,顶点坐标是 ,离心率是 .
例2 在椭圆=1(a>b>0)中,已知△OF2B为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.
追问:你能从三角函数的角度理解离心率对椭圆形状的影响吗
核心素养专练
1.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 D.10,6,0.6
2.中心为坐标原点的椭圆,焦点在x轴上,焦距为4,离心率为,则椭圆的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的中心在原点,且一个焦点为(-,0),长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程为( )
A.+y2=1 B.x2+=1
C.+y2=1 D.x2+=1
5.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6.设P(m,n)是椭圆=1上任意一点,则m的取值范围是 .
参考答案
自主预习
2b 2a F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a x轴和y轴
坐标原点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) e=(0课堂探究
(2)知识回顾 略
(3)活动创设 略
合作探究一:椭圆的范围
问题1:略
问题2:该椭圆上点的横坐标的取值范围为-a≤x≤a,纵坐标的取值范围为-b≤y≤b.
问题3:方法1:因为=1-≥0,所以,椭圆上点的横坐标都适合不等式≤1,即-a≤x≤a,同理有≤1,即-b≤y≤b.
方法2:由椭圆方程=1(a>b>0)中实数平方的非负性,得≤1,≤1,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b.
方法3:利用三角换元,设=cos θ,=sin θ,则x=acos θ,y=bsin θ,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b.
合作探究二:椭圆的对称性
问题1:椭圆是轴对称图形,椭圆关于x轴、y轴都是对称的;椭圆还是中心对称图形,原点O(0,0)是椭圆的对称中心.
问题2:椭圆上任取点P(x,y),关于y轴的对称点P1(-x,y)也在椭圆上,说明椭圆关于y轴对称,关于x轴的对称点P2(x,-y)也在椭圆上,说明椭圆关于x轴对称,关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上,说明椭圆关于原点对称.即坐标轴x轴和y轴都是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,称为椭圆的中心.
问题3:曲线关于x轴、y轴轴对称,关于坐标原点中心对称.
合作探究三:椭圆的顶点
问题1:椭圆与对称轴x轴和y轴的四个交点.
问题2:A2(-a,0),A1(a,0),B2(0,-b),B1(0,b).
拓展:点P在点A1,A2位置时最大,且最大值为a;
点P在点B1,B2位置时最小,且最小值为b.
合作探究四:椭圆的离心率
问题1:.
问题2:e越接近0,c越接近0,即b越接近a,椭圆越接近于圆;e越接近1,c越接近a,即b=就越小,因此椭圆越扁平.
【总结归纳】
略
【学以致用】
例1 10 8 (3,0),(-3,0) 6 (5,0),(-5,0),(0,4),(0,-4) 解析 16x2+25y2=400可化为=1,易知a=5,b=4,c=3,故椭圆的长轴长是10,短轴长是8,焦点坐标是(3,0),(-3,0),焦距是6,顶点坐标是(5,0),(-5,0),(0,4),(0,-4),离心率是.
例2 解 由题意知b=c,又a2=b2+c2,所以a2=2c2,即e2=,又0追问:
解 如图所示,在Rt△BOF2中,cos∠BF2O=越大,由三角函数知识可知∠BF2O越小,此时椭圆越扁平;反之,cos∠BF2O=越小,∠BF2O越大,椭圆越接近于圆.
核心素养专练
1.B 2.D
3.C 解析 ∵a2=4+22=8,
∴a=2,∴e=.
4.A 解析 依题意,椭圆的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>b>0),则
所以a=2,b=1,
所以该椭圆的标准方程为+y2=1.
5.D 解析 解法1:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,
故离心率e=.
解法2:由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.
又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,
故2c=,变形可得(a2-c2)=2ac,
等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,
解得e=或e=-(舍去).
6.[-5,5]
学案设计(二)
学习目标
1.能在直观感知椭圆的图形特点的基础上,用椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.
2.理解椭圆离心率的大小对椭圆形状的影响.
3.能通过椭圆的简单几何性质推出椭圆的标准方程.
4.探究过程中,体会用曲线方程研究曲线性质的方法,发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
自主预习
1.椭圆的简单几何性质——试填下列表格:
焦点的位置 焦点在x轴上
图形
标准 方程 =1(a>b>0)
轴长 短轴长|B1B2|= ,长轴长|A1A2|=
焦点
焦距 |F1F2|=2c
范围 ,
对称性 对称轴为 ,对称中心为
顶点
离心率
2.离心率的性质:
课堂探究
一、情境引入,明确方向
问题1:根据椭圆方程=1画出它的简图.
二、问题驱动,合作探究
问题2:以椭圆=1(a>b>0)为例,应该研究它的哪些性质 如何研究
探究1:我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢
探究2:椭圆具有怎样的对称性 能否用代数法说明
探究3:研究曲线上的哪些关键点,可以确定曲线的位置和变化趋势
例1 椭圆=1的长轴长为 ,短轴长为 ,顶点坐标是 .
探究4:请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆=1.
问题3:观察所画椭圆=1和=1,它们在形状上有什么显著不同
追问1:这两个椭圆的扁平程度不同是由方程中的哪个量的变化引起的
追问2:你能说出两个比=1更扁平的椭圆吗
追问3:是不是方程中的a,b都改变,椭圆的扁平程度一定发生变化
追问4:你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的扁平程度
追问5:利用基本量a,b,c之间的关系,还有其他类似的关系式来刻画椭圆的扁平程度吗
三、引导建构,完善认知
问题4:请写出焦点在y轴上的椭圆的几何性质,并完善下列表格.
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
图形
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标
离心率
四、典例剖析,深化理解
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);
(2)长轴长为4,离心率为.
核心素养专练
1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点坐标是(0,13),另一个顶点坐标是(-10,0),则椭圆的焦点坐标为( )
A.(±10,0) B.(±,0)
C.(0,±13) D.(0,±)
2.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )
A.=1 B.+y2=1
C.=1 D.x2+=1
3.
已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P,若=2,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.
(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的方程为+x2=1
B.椭圆C的方程为+y2=1
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周长为4
5.(多选题)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率可以是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆=1的离心率e=,则k= .
7.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过P(-5,4),则椭圆的方程为 .
8.P为椭圆=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则的取值范围是 .
9.如图,底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长为 cm,短轴长为 cm,离心率为 .
10.在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过点F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,求椭圆C的标准方程.
11.已知椭圆=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
自主预习
1.2b 2a F1(-c,0),F2(c,0) -a≤x≤a -b≤y≤b 坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) e=(02.
课堂探究
问题1:略
问题2:研究椭圆的范围、对称性、顶点、椭圆的扁平程度等性质,利用图形和方程从数形两个方面去研究.
探究1:通过观察方程形式特点,由方程构造不等式,体现了研究几何问题的“代数”方法.其实质是:已知=1(a>b>0),求x,y的取值范围.
探究2:图形对称的本质是点的对称:比如对于曲线上任意一点P(x,y)P1(-x,y)也在曲线上 图形关于y轴对称.
探究3:研究曲线与对称轴的交点,可以确定曲线的位置和变化趋势.
例1 10 6 (5,0),(-5,0),(0,3),(0,-3)
探究4:略
问题3:两个椭圆的扁平程度不同.椭圆=1偏圆,=1偏扁平.
追问1:a,b的不同引起椭圆的扁平程度不同.
追问2:=1,=1等.
追问3:不一定,只要的值不变,椭圆的扁平程度就一样.
追问4:可以用这个比值来定量刻画椭圆的扁平程度.
追问5:还可以利用这个比值来刻画.
问题4:略
例2 (1)=1 (2)+y2=1或x2+=1
核心素养专练
1.D 解析 由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c=,故焦点坐标为(0,±).
2.A 解析 依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b2=a2-c2=3,故所求椭圆的标准方程是=1.
3.D 解析 ∵=2,∴OA=2OF,∴a=2c,∴e=.
4.
ACD 解析 由已知,得2b=2,b=1,,又a2=b2+c2,解得a2=3.
∴椭圆的方程为+y2=1,如图.
∴|PQ|=,△PF2Q的周长为4a=4.故选ACD.
5.BCD 解析 由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a.
又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a.
当点P与F1,F2不共线时,在△PF1F2中,|PF1|-|PF2|<|F1F2|,即a<2c,所以e=.
当点P与F1,F2共线时,分析知|PF1|=a+c,|PF2|=a-c,所以a+c=2(a-c),即a=3c,所以e=.
综上,椭圆的离心率的取值范围是,1,故选BCD.
6.k=4或k=- 解析 分两种情况讨论:
(1)当椭圆焦点在x轴上时,由a2=k+8,b2=9,得c2=k-1.
∵e=,∴,解得k=4.
(2)当椭圆的焦点在y轴上时,由b2=k+8,a2=9,得c2=1-k.∵e=,∴.解得k=-.
综上可得,k=4或k=-.
7.=1 解析 ∵e=,
∴5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.
设椭圆的标准方程为=1(a>0),
∵椭圆过点P(-5,4),∴=1(a>0),解得a2=45.
∴所求椭圆的方程为=1.
8.[5,21] 解析 由题意知,=()·()=()·()==||2-4.
因为a-c≤||≤a+c,即3≤||≤5,
所以的取值范围是[5,21].
9.
8 12 解析 由题图知短轴长为底面直径12 cm,长轴长为=8(cm),
则c2=(4)2-62=12,
所以c=2,故离心率e=.
10.解 设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0).
由e=,得,从而.
由△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,得a=4,所以b2=8.
故椭圆C的标准方程为=1.
11.解 由已知得c2=4-3=1,c=1,故F(1,0).
假设在椭圆上存在点M,使得点M满足题意,
设M(x,y)(-2≤x≤2),则=|x-4|,
化简,得y2=-6x+15,又由=1,得y2=31-,
代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,x=4,
又-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.
第2课时
学案设计
学习目标
1.能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题,解决转化来的数学问题,从而解决关于椭圆的实际问题,发展数学建模素养.
2.能综合运用椭圆的标准方程及其简单几何性质,求解相关问题.
3.能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系,用直线的方程与椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系,进一步体会用方程研究曲线的方法.
4.提升直观想象、数学运算及数学抽象等数学核心素养.
自主预习
1.已知点(2,3)在椭圆=1上,则下列说法正确的是( )
A.点(-2,3)在椭圆外 B.点(3,2)在椭圆上
C.点(-2,-3)在椭圆内 D.点(2,-3)在椭圆上
2.直线y=x+1被椭圆=1所截得的弦的中点坐标是( )
A. B.
C.- D.-
3.设F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,O为坐标原点,|OM|=3,则|PF1|= .
课堂探究
合作探究一:直线与椭圆的位置关系
问题1:类比直线与圆,直线与椭圆有哪些位置关系
直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆公共点的个数
追问:我们能否类比直线与圆的位置关系,用几何方法去研究直线与椭圆的位置关系
例1 如图,已知椭圆C:=1和直线l:4x-5y+m=0,m为何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个公共点
(2)有且只有一个公共点
(3)没有公共点
问题2:m=0时,直线l与椭圆C相交于M,N两点,如何求线段MN的长
问题3:除了用两点间的距离公式,同学们还能不能想到其他方法求解线段MN的长
探究延伸:弦的中点问题
例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆=1所截得的线段的中点,求直线l的方程.
变式训练 在例2条件下,求直线l被椭圆截得的弦长.
合作探究二:椭圆的实际应用问题
例3 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8 cm,|F1F2|=4.5 cm,结合图中的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1).
追问1:上述解法思路顺畅,但是计算量大,有没有更简便的方法
追问2:比较两种求解椭圆方程的方法,我们可以总结出什么经验
核心素养专练
1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A.1 B.1或2 C.2 D.0
2.若直线y=kx+2与椭圆=1相切,则斜率k的值是( )
A. B.- C.± D.±
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为( )
A. B. C. D.
4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
6.过椭圆=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 .
7.过椭圆=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
8.设椭圆C:=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求过点(3,0),且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点的坐标.
参考答案
自主预习
1.D 2.C 3.4
课堂探究
合作探究一:
问题1:略
追问:由于圆的对称性,可以通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来研究,但椭圆不具备此几何特征,我们只能选择代数法来研究它们之间的位置关系.
例1 解 由方程组消去y,得25x2+8mx+m2-225=0.①
方程①的根的判别式Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2).
(1)由Δ>0,得-25(2)由Δ=0,得m1=25,m2=-25.
此时方程①有两个相等的实数根,直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)由Δ<0,得m<-25,或m>25.此时方程①没有实数根,直线l与椭圆C没有公共点.
问题2:设直线与椭圆的两个交点为M(x1,y1),N(x2,y2),m=0时,直线l的方程为4x-5y=0,我们把它与椭圆方程联立,得到方程组先将直线与椭圆方程变形,得消去y,得9x2+16x2-225=0,即x2=9,解得x1=3,x2=-3.
把结果分别代入4x-5y=0,得y1=2.4,y2=-2.4.
于是,M,N两点的坐标分别为(3,2.4),(-3,-2.4),由两点间的距离公式,得
|MN|=
=
=
故线段MN的长为.
问题3:因为M,N两点都在直线4x-5y=0上,所以利用y1-y2与x1-x2之间的关系式y1-y2=k(x1-x2),把研究四个未知量的问题转化为两个未知量的问题.
|MN|=
=
=
=|x1-x2|.
借助这个推导的结果,我们可以得到线段MN的长:
|MN|=×|3-(-3)|=.
|MN|=
=
=
=|x1-x2|
=.
推导至此,不难发现,弦长的这种表达形式相较于直接用两点间的距离公式表示要有优势:
1.只需要关注x,不必求y;
2.只需要设出方程的两根,利用一元二次方程根与系数的关系表示两根之和与两根之积,不必求出方程两根的具体数值,即可达到求解弦长的目的.
进一步,我们发现弦长和根与系数关系的公式有关,当直线斜率存在时,可以用一般的形式来推导:(a>b>0)消去y,得Ax2+Bx+C=0.
当Δ=B2-4AC≥0时,由一元二次方程根与系数的关系可得
这样可以不用求出具体的两个点的坐标,即可得到弦长表达式:
|MN|=
=
=
=
=.
当直线斜率不存在时,直线可以设为x=x0,代入椭圆方程,即可求出两根交点的纵坐标,进而得到弦长.
探究延伸:弦的中点问题
例2 解 解法1(点差法):
设直线l的方程为y-2=k(x-4),l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以
两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
又x1+x2=8,y1+y2=4,所以=-,
即k=-.所以直线l的方程为y-2=-(x-4),
即x+2y-8=0.
解法2(根与系数关系法):
由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),
而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.
将直线方程代入椭圆方程,得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.
所以x1+x2==8,解得k=-.
所以直线l的方程为y-2=-(x-4),
即x+2y-8=0.
故直线l的方程为x+2y-8=0.
变式训练 解 由题意可知直线l的方程为x+2y-8=0,与椭圆方程联立,得x2-8x+14=0.
解法1:解方程,得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
=.
解法2:因为x1+x2=8,x1x2=14,
所以直线l被椭圆截得的弦长为
.
合作探究二:
例3 解 设截口BAC所在椭圆的方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义可知,|F1F2|=2c,所以c=2.25.
依题意,解得点B坐标为(-2.25,2.8),所以得到关于a和b的两个方程:
这是一个关于a2和b2的方程,由第一个方程可以得到a2=b2+2.252,代入第二个方程,消去a2,转化为b2的方程,从而得出a2和b2.
解得
所以,所求的椭圆方程为=1.
追问1:我们再观察题目条件,椭圆上的一点和两个焦点都是已知的,因此可以通过椭圆的定义,直接得到2a,进而解出椭圆方程.
在Rt△BF1F2中,|F2B|=.
由椭圆的定义可知,|F1B|+|F2B|=2a,所以a=(|F1B|+|F2B|)=(2.8+)≈4.1;b=≈3.4.
所以,所求的椭圆方程为=1.
追问2:我们要肯定第一种方法的价值,体现了方程思想,即明确未知量,根据条件联立方程求解,这是一种通性通法.在掌握上述方法的同时,还要合理设计运算路径,优化求解过程.
核心素养专练
1.C 解析 因为直线过定点(3,-1),且<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
2.C 解析 把y=kx+2代入=1,
得(2+3k2)x2+12kx+6=0,
由题意知Δ=0,∴k2=,∴k=±.
3.B 解析 易求直线AB的方程为y=(x+).
由消去y,得7x2+12x+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
由弦长公式,得|AB|=·|x1-x2|=.
4.B 解析 设椭圆的方程为=1(a>b>0),
直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,
不妨设直线方程为=1.
∵椭圆的中心到直线l的距离为其短轴长的,
∴,即4=b2,
∴=3,=3,
∴e=.
故选B.
5.C 解析 设直线x-y+5=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
∵中点M的坐标为(-4,1),
∴x1+x2=-8,y1+y2=2.
直线AB的斜率k==1.
由=0,
∴=-=1,∴,
故椭圆的离心率e=.故选C.
6.4,3 解析 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为2a=4;
最短弦为垂直于长轴的弦,
因为c=1,将x=1代入=1,得=1,
解得y=±,所以最短弦的长为2×=3.
7. 解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),
则直线的方程为y=2(x-1),将其与=1联立,消去y,得3x2-5x=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=0,
所以|AB|=·|x1-x2|=.
设原点到直线的距离为d,则d=.
所以S△OAB=|AB|·d=.
8.解 (1)将(0,4)代入椭圆C的方程,得=1,解得b=4.
又e=,得,即1-,
解得a=5,
故椭圆C的方程为=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).
设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程y=(x-3)代入椭圆C的方程,得=1,即x2-3x-8=0,则x1+x2=3,
所以(x1+x2-6)=-,
即所截线段中点的坐标为,-.
第1课时
学案设计(一)
学习目标
1.根据椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,并正确地画出它的图形.
2.掌握椭圆的简单几何性质,并能根据椭圆的几何性质解决相关问题.
3.通过对椭圆几何性质的探究,提升直观想象、数学抽象等核心素养.
4.借助椭圆几何性质的应用,提升直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
自主预习
填写下表:
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
续 表
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 短轴长|B1B2|= ,长轴长|A1A2|=
焦点
焦距 |F1F2|=2c
范围
对称性 对称轴为 ,对称中心为
顶点
离心率
课堂探究
(1)情境创设:
迪拜未来博物馆于2022年2月22日正式向公众开放,成为迪拜又一新地标!奇特的椭圆造型像是来自其他星球的产物,曾被《国家地理》杂志评为全球最美博物馆之一.
(2)知识回顾:椭圆的标准方程:
当焦点在x轴上时, ;
当焦点在y轴上时, .
(3)活动创设:将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线
合作探究一:椭圆的范围
问题1:椭圆大小如何刻画
问题2:该椭圆上点的横坐标的取值范围是什么 纵坐标呢
问题3:你能否用方程说明该范围
追问:范围可以由不等关系求出,如何建立x,y的不等关系
合作探究二:椭圆的对称性
问题1:椭圆具有怎样的对称性
问题2:能否用椭圆的方程说明该对称性
问题3:研究曲线x2-y2=1的对称性.
合作探究三:椭圆的顶点
问题1:你认为椭圆=1(a>b>0)上哪些点比较特殊
问题2:这些点的坐标是什么
拓展:如图,线段OP的长度何时最大 何时最小
=1(a>b>0)
合作探究四:椭圆的离心率
问题1:用什么量可以刻画椭圆的扁平程度
问题2:离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度
【总结归纳】
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
图形
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
焦距
a,b,c的关系
离心率
【学以致用】
例1 椭圆16x2+25y2=400的长轴长是 ,短轴长是 ,焦点坐标是 ,焦距是 ,顶点坐标是 ,离心率是 .
例2 在椭圆=1(a>b>0)中,已知△OF2B为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.
追问:你能从三角函数的角度理解离心率对椭圆形状的影响吗
核心素养专练
1.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 D.10,6,0.6
2.中心为坐标原点的椭圆,焦点在x轴上,焦距为4,离心率为,则椭圆的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的中心在原点,且一个焦点为(-,0),长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程为( )
A.+y2=1 B.x2+=1
C.+y2=1 D.x2+=1
5.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6.设P(m,n)是椭圆=1上任意一点,则m的取值范围是 .
参考答案
自主预习
2b 2a F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a x轴和y轴
坐标原点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) e=(0
(2)知识回顾 略
(3)活动创设 略
合作探究一:椭圆的范围
问题1:略
问题2:该椭圆上点的横坐标的取值范围为-a≤x≤a,纵坐标的取值范围为-b≤y≤b.
问题3:方法1:因为=1-≥0,所以,椭圆上点的横坐标都适合不等式≤1,即-a≤x≤a,同理有≤1,即-b≤y≤b.
方法2:由椭圆方程=1(a>b>0)中实数平方的非负性,得≤1,≤1,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b.
方法3:利用三角换元,设=cos θ,=sin θ,则x=acos θ,y=bsin θ,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b.
合作探究二:椭圆的对称性
问题1:椭圆是轴对称图形,椭圆关于x轴、y轴都是对称的;椭圆还是中心对称图形,原点O(0,0)是椭圆的对称中心.
问题2:椭圆上任取点P(x,y),关于y轴的对称点P1(-x,y)也在椭圆上,说明椭圆关于y轴对称,关于x轴的对称点P2(x,-y)也在椭圆上,说明椭圆关于x轴对称,关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上,说明椭圆关于原点对称.即坐标轴x轴和y轴都是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,称为椭圆的中心.
问题3:曲线关于x轴、y轴轴对称,关于坐标原点中心对称.
合作探究三:椭圆的顶点
问题1:椭圆与对称轴x轴和y轴的四个交点.
问题2:A2(-a,0),A1(a,0),B2(0,-b),B1(0,b).
拓展:点P在点A1,A2位置时最大,且最大值为a;
点P在点B1,B2位置时最小,且最小值为b.
合作探究四:椭圆的离心率
问题1:.
问题2:e越接近0,c越接近0,即b越接近a,椭圆越接近于圆;e越接近1,c越接近a,即b=就越小,因此椭圆越扁平.
【总结归纳】
略
【学以致用】
例1 10 8 (3,0),(-3,0) 6 (5,0),(-5,0),(0,4),(0,-4) 解析 16x2+25y2=400可化为=1,易知a=5,b=4,c=3,故椭圆的长轴长是10,短轴长是8,焦点坐标是(3,0),(-3,0),焦距是6,顶点坐标是(5,0),(-5,0),(0,4),(0,-4),离心率是.
例2 解 由题意知b=c,又a2=b2+c2,所以a2=2c2,即e2=,又0
解 如图所示,在Rt△BOF2中,cos∠BF2O=越大,由三角函数知识可知∠BF2O越小,此时椭圆越扁平;反之,cos∠BF2O=越小,∠BF2O越大,椭圆越接近于圆.
核心素养专练
1.B 2.D
3.C 解析 ∵a2=4+22=8,
∴a=2,∴e=.
4.A 解析 依题意,椭圆的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>b>0),则
所以a=2,b=1,
所以该椭圆的标准方程为+y2=1.
5.D 解析 解法1:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,
故离心率e=.
解法2:由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.
又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,
故2c=,变形可得(a2-c2)=2ac,
等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,
解得e=或e=-(舍去).
6.[-5,5]
学案设计(二)
学习目标
1.能在直观感知椭圆的图形特点的基础上,用椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.
2.理解椭圆离心率的大小对椭圆形状的影响.
3.能通过椭圆的简单几何性质推出椭圆的标准方程.
4.探究过程中,体会用曲线方程研究曲线性质的方法,发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
自主预习
1.椭圆的简单几何性质——试填下列表格:
焦点的位置 焦点在x轴上
图形
标准 方程 =1(a>b>0)
轴长 短轴长|B1B2|= ,长轴长|A1A2|=
焦点
焦距 |F1F2|=2c
范围 ,
对称性 对称轴为 ,对称中心为
顶点
离心率
2.离心率的性质:
课堂探究
一、情境引入,明确方向
问题1:根据椭圆方程=1画出它的简图.
二、问题驱动,合作探究
问题2:以椭圆=1(a>b>0)为例,应该研究它的哪些性质 如何研究
探究1:我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢
探究2:椭圆具有怎样的对称性 能否用代数法说明
探究3:研究曲线上的哪些关键点,可以确定曲线的位置和变化趋势
例1 椭圆=1的长轴长为 ,短轴长为 ,顶点坐标是 .
探究4:请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆=1.
问题3:观察所画椭圆=1和=1,它们在形状上有什么显著不同
追问1:这两个椭圆的扁平程度不同是由方程中的哪个量的变化引起的
追问2:你能说出两个比=1更扁平的椭圆吗
追问3:是不是方程中的a,b都改变,椭圆的扁平程度一定发生变化
追问4:你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的扁平程度
追问5:利用基本量a,b,c之间的关系,还有其他类似的关系式来刻画椭圆的扁平程度吗
三、引导建构,完善认知
问题4:请写出焦点在y轴上的椭圆的几何性质,并完善下列表格.
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
图形
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标
离心率
四、典例剖析,深化理解
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);
(2)长轴长为4,离心率为.
核心素养专练
1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点坐标是(0,13),另一个顶点坐标是(-10,0),则椭圆的焦点坐标为( )
A.(±10,0) B.(±,0)
C.(0,±13) D.(0,±)
2.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )
A.=1 B.+y2=1
C.=1 D.x2+=1
3.
已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P,若=2,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.
(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的方程为+x2=1
B.椭圆C的方程为+y2=1
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周长为4
5.(多选题)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率可以是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆=1的离心率e=,则k= .
7.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过P(-5,4),则椭圆的方程为 .
8.P为椭圆=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则的取值范围是 .
9.如图,底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长为 cm,短轴长为 cm,离心率为 .
10.在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过点F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,求椭圆C的标准方程.
11.已知椭圆=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
自主预习
1.2b 2a F1(-c,0),F2(c,0) -a≤x≤a -b≤y≤b 坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) e=(0
课堂探究
问题1:略
问题2:研究椭圆的范围、对称性、顶点、椭圆的扁平程度等性质,利用图形和方程从数形两个方面去研究.
探究1:通过观察方程形式特点,由方程构造不等式,体现了研究几何问题的“代数”方法.其实质是:已知=1(a>b>0),求x,y的取值范围.
探究2:图形对称的本质是点的对称:比如对于曲线上任意一点P(x,y)P1(-x,y)也在曲线上 图形关于y轴对称.
探究3:研究曲线与对称轴的交点,可以确定曲线的位置和变化趋势.
例1 10 6 (5,0),(-5,0),(0,3),(0,-3)
探究4:略
问题3:两个椭圆的扁平程度不同.椭圆=1偏圆,=1偏扁平.
追问1:a,b的不同引起椭圆的扁平程度不同.
追问2:=1,=1等.
追问3:不一定,只要的值不变,椭圆的扁平程度就一样.
追问4:可以用这个比值来定量刻画椭圆的扁平程度.
追问5:还可以利用这个比值来刻画.
问题4:略
例2 (1)=1 (2)+y2=1或x2+=1
核心素养专练
1.D 解析 由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c=,故焦点坐标为(0,±).
2.A 解析 依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b2=a2-c2=3,故所求椭圆的标准方程是=1.
3.D 解析 ∵=2,∴OA=2OF,∴a=2c,∴e=.
4.
ACD 解析 由已知,得2b=2,b=1,,又a2=b2+c2,解得a2=3.
∴椭圆的方程为+y2=1,如图.
∴|PQ|=,△PF2Q的周长为4a=4.故选ACD.
5.BCD 解析 由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a.
又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a.
当点P与F1,F2不共线时,在△PF1F2中,|PF1|-|PF2|<|F1F2|,即a<2c,所以e=.
当点P与F1,F2共线时,分析知|PF1|=a+c,|PF2|=a-c,所以a+c=2(a-c),即a=3c,所以e=.
综上,椭圆的离心率的取值范围是,1,故选BCD.
6.k=4或k=- 解析 分两种情况讨论:
(1)当椭圆焦点在x轴上时,由a2=k+8,b2=9,得c2=k-1.
∵e=,∴,解得k=4.
(2)当椭圆的焦点在y轴上时,由b2=k+8,a2=9,得c2=1-k.∵e=,∴.解得k=-.
综上可得,k=4或k=-.
7.=1 解析 ∵e=,
∴5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.
设椭圆的标准方程为=1(a>0),
∵椭圆过点P(-5,4),∴=1(a>0),解得a2=45.
∴所求椭圆的方程为=1.
8.[5,21] 解析 由题意知,=()·()=()·()==||2-4.
因为a-c≤||≤a+c,即3≤||≤5,
所以的取值范围是[5,21].
9.
8 12 解析 由题图知短轴长为底面直径12 cm,长轴长为=8(cm),
则c2=(4)2-62=12,
所以c=2,故离心率e=.
10.解 设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0).
由e=,得,从而.
由△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,得a=4,所以b2=8.
故椭圆C的标准方程为=1.
11.解 由已知得c2=4-3=1,c=1,故F(1,0).
假设在椭圆上存在点M,使得点M满足题意,
设M(x,y)(-2≤x≤2),则=|x-4|,
化简,得y2=-6x+15,又由=1,得y2=31-,
代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,x=4,
又-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.
第2课时
学案设计
学习目标
1.能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题,解决转化来的数学问题,从而解决关于椭圆的实际问题,发展数学建模素养.
2.能综合运用椭圆的标准方程及其简单几何性质,求解相关问题.
3.能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系,用直线的方程与椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系,进一步体会用方程研究曲线的方法.
4.提升直观想象、数学运算及数学抽象等数学核心素养.
自主预习
1.已知点(2,3)在椭圆=1上,则下列说法正确的是( )
A.点(-2,3)在椭圆外 B.点(3,2)在椭圆上
C.点(-2,-3)在椭圆内 D.点(2,-3)在椭圆上
2.直线y=x+1被椭圆=1所截得的弦的中点坐标是( )
A. B.
C.- D.-
3.设F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,O为坐标原点,|OM|=3,则|PF1|= .
课堂探究
合作探究一:直线与椭圆的位置关系
问题1:类比直线与圆,直线与椭圆有哪些位置关系
直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆公共点的个数
追问:我们能否类比直线与圆的位置关系,用几何方法去研究直线与椭圆的位置关系
例1 如图,已知椭圆C:=1和直线l:4x-5y+m=0,m为何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个公共点
(2)有且只有一个公共点
(3)没有公共点
问题2:m=0时,直线l与椭圆C相交于M,N两点,如何求线段MN的长
问题3:除了用两点间的距离公式,同学们还能不能想到其他方法求解线段MN的长
探究延伸:弦的中点问题
例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆=1所截得的线段的中点,求直线l的方程.
变式训练 在例2条件下,求直线l被椭圆截得的弦长.
合作探究二:椭圆的实际应用问题
例3 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8 cm,|F1F2|=4.5 cm,结合图中的平面直角坐标系,求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1).
追问1:上述解法思路顺畅,但是计算量大,有没有更简便的方法
追问2:比较两种求解椭圆方程的方法,我们可以总结出什么经验
核心素养专练
1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A.1 B.1或2 C.2 D.0
2.若直线y=kx+2与椭圆=1相切,则斜率k的值是( )
A. B.- C.± D.±
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为( )
A. B. C. D.
4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
6.过椭圆=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 .
7.过椭圆=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
8.设椭圆C:=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求过点(3,0),且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点的坐标.
参考答案
自主预习
1.D 2.C 3.4
课堂探究
合作探究一:
问题1:略
追问:由于圆的对称性,可以通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来研究,但椭圆不具备此几何特征,我们只能选择代数法来研究它们之间的位置关系.
例1 解 由方程组消去y,得25x2+8mx+m2-225=0.①
方程①的根的判别式Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2).
(1)由Δ>0,得-25
此时方程①有两个相等的实数根,直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)由Δ<0,得m<-25,或m>25.此时方程①没有实数根,直线l与椭圆C没有公共点.
问题2:设直线与椭圆的两个交点为M(x1,y1),N(x2,y2),m=0时,直线l的方程为4x-5y=0,我们把它与椭圆方程联立,得到方程组先将直线与椭圆方程变形,得消去y,得9x2+16x2-225=0,即x2=9,解得x1=3,x2=-3.
把结果分别代入4x-5y=0,得y1=2.4,y2=-2.4.
于是,M,N两点的坐标分别为(3,2.4),(-3,-2.4),由两点间的距离公式,得
|MN|=
=
=
故线段MN的长为.
问题3:因为M,N两点都在直线4x-5y=0上,所以利用y1-y2与x1-x2之间的关系式y1-y2=k(x1-x2),把研究四个未知量的问题转化为两个未知量的问题.
|MN|=
=
=
=|x1-x2|.
借助这个推导的结果,我们可以得到线段MN的长:
|MN|=×|3-(-3)|=.
|MN|=
=
=
=|x1-x2|
=.
推导至此,不难发现,弦长的这种表达形式相较于直接用两点间的距离公式表示要有优势:
1.只需要关注x,不必求y;
2.只需要设出方程的两根,利用一元二次方程根与系数的关系表示两根之和与两根之积,不必求出方程两根的具体数值,即可达到求解弦长的目的.
进一步,我们发现弦长和根与系数关系的公式有关,当直线斜率存在时,可以用一般的形式来推导:(a>b>0)消去y,得Ax2+Bx+C=0.
当Δ=B2-4AC≥0时,由一元二次方程根与系数的关系可得
这样可以不用求出具体的两个点的坐标,即可得到弦长表达式:
|MN|=
=
=
=
=.
当直线斜率不存在时,直线可以设为x=x0,代入椭圆方程,即可求出两根交点的纵坐标,进而得到弦长.
探究延伸:弦的中点问题
例2 解 解法1(点差法):
设直线l的方程为y-2=k(x-4),l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以
两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
又x1+x2=8,y1+y2=4,所以=-,
即k=-.所以直线l的方程为y-2=-(x-4),
即x+2y-8=0.
解法2(根与系数关系法):
由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),
而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.
将直线方程代入椭圆方程,得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.
所以x1+x2==8,解得k=-.
所以直线l的方程为y-2=-(x-4),
即x+2y-8=0.
故直线l的方程为x+2y-8=0.
变式训练 解 由题意可知直线l的方程为x+2y-8=0,与椭圆方程联立,得x2-8x+14=0.
解法1:解方程,得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
=.
解法2:因为x1+x2=8,x1x2=14,
所以直线l被椭圆截得的弦长为
.
合作探究二:
例3 解 设截口BAC所在椭圆的方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义可知,|F1F2|=2c,所以c=2.25.
依题意,解得点B坐标为(-2.25,2.8),所以得到关于a和b的两个方程:
这是一个关于a2和b2的方程,由第一个方程可以得到a2=b2+2.252,代入第二个方程,消去a2,转化为b2的方程,从而得出a2和b2.
解得
所以,所求的椭圆方程为=1.
追问1:我们再观察题目条件,椭圆上的一点和两个焦点都是已知的,因此可以通过椭圆的定义,直接得到2a,进而解出椭圆方程.
在Rt△BF1F2中,|F2B|=.
由椭圆的定义可知,|F1B|+|F2B|=2a,所以a=(|F1B|+|F2B|)=(2.8+)≈4.1;b=≈3.4.
所以,所求的椭圆方程为=1.
追问2:我们要肯定第一种方法的价值,体现了方程思想,即明确未知量,根据条件联立方程求解,这是一种通性通法.在掌握上述方法的同时,还要合理设计运算路径,优化求解过程.
核心素养专练
1.C 解析 因为直线过定点(3,-1),且<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
2.C 解析 把y=kx+2代入=1,
得(2+3k2)x2+12kx+6=0,
由题意知Δ=0,∴k2=,∴k=±.
3.B 解析 易求直线AB的方程为y=(x+).
由消去y,得7x2+12x+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
由弦长公式,得|AB|=·|x1-x2|=.
4.B 解析 设椭圆的方程为=1(a>b>0),
直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,
不妨设直线方程为=1.
∵椭圆的中心到直线l的距离为其短轴长的,
∴,即4=b2,
∴=3,=3,
∴e=.
故选B.
5.C 解析 设直线x-y+5=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
∵中点M的坐标为(-4,1),
∴x1+x2=-8,y1+y2=2.
直线AB的斜率k==1.
由=0,
∴=-=1,∴,
故椭圆的离心率e=.故选C.
6.4,3 解析 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为2a=4;
最短弦为垂直于长轴的弦,
因为c=1,将x=1代入=1,得=1,
解得y=±,所以最短弦的长为2×=3.
7. 解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),
则直线的方程为y=2(x-1),将其与=1联立,消去y,得3x2-5x=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=0,
所以|AB|=·|x1-x2|=.
设原点到直线的距离为d,则d=.
所以S△OAB=|AB|·d=.
8.解 (1)将(0,4)代入椭圆C的方程,得=1,解得b=4.
又e=,得,即1-,
解得a=5,
故椭圆C的方程为=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).
设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程y=(x-3)代入椭圆C的方程,得=1,即x2-3x-8=0,则x1+x2=3,
所以(x1+x2-6)=-,
即所截线段中点的坐标为,-.