3.2.2 双曲线的简单几何性质 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时
学案设计
学习目标
1.能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线等几何性质.
2.进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解,同时体会数形转化的数学思想.
自主预习
1.双曲线的性质:
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0)
图形
续　表
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
性 质 范围 　　　　 　　　　
对称性 对称轴:　　　　　;对称中心:　　　　　
顶点 　　　　 　　　　
轴 实轴:线段　　　　　,长:2a; 虚轴:线段　　　　　,长:2b; 半实轴长:a,半虚轴长:b
离心率 e=∈　　　　
渐近线 　　　　 　　　　
2.等轴双曲线
(1)　　　　　的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)等轴双曲线具有以下性质:
①方程形式为　　　　　;
②渐近线方程为　　　　　,它们互相　　　　　,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角;
③实轴长和虚轴长都等于2a,离心率　　　　　.
课堂探究
一、复习引入
复习上节课所讲授的双曲线及其标准方程.
二、双曲线的性质
问题:如何研究双曲线的几何性质
追问1:双曲线的范围、顶点、对称性
(1)范围
“形”的角度:
“数”的角度:
(2)对称性
“形”的角度:
“数”的角度:
(3)顶点
“形”的角度:
“数”的角度:
追问2:能否类比椭圆把B1(0,-b),B2(0,b)两点画在y轴上 线段B1B2有何几何意义
(4)渐近线
追问3:利用信息技术画出双曲线=1和两条直线=0,如图,在双曲线=1的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线=1的距离d,沿曲线向右上方拖动点M,观察xM与d的大小关系,你发现了什么
追问4:已知双曲线方程如何求渐近线方程
追问5:在双曲线方程=1(a>0,b>0)中,如果a=b,渐近线是什么
(5)离心率
追问6:双曲线的离心率是什么
追问7:椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征
追问8:双曲线=1(a>0,b>0)的简单几何性质是什么
标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0)
图形
性 质 焦点 　　　　　　　 　　　　　　　
焦距 　　　　　　　　　　　　　　
范围 　　　　　　　 　　　　　　　
对称性 　　　　　　　　　　　　　　
顶点 　　　　　　　 　　　　　　　
轴 　　　　　　　　　　　　　　
离心率 　　　　　　　　　　　　　　
渐近线 　　　　　　　 　　　　　　　
三、典例分析
例1　求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在x轴上,实轴长是10,虚轴长是8;
(2)焦点在y轴上,焦距是10,虚轴长是8.
核心素养专练
1.判断正误
(1)双曲线的离心率越大,双曲线的“张口”越大. (　　)
(2)以y=±2x为渐近线的双曲线有2条. (　　)
(3)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为e=(其中c=). (　　)
2.双曲线-y2=1的顶点坐标是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
3.双曲线=-3的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±x D.y=±x
4.若双曲线=1的离心率e=2,则m=　　　　　.
5.设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为　　　　　.
6.在平面直角坐标系Oxy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　　.
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率e的取值范围是　　　　　.
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6.
(1)求双曲线C的离心率;
(2)求双曲线C的方程.
参考答案
自主预习
1.双曲线的性质:
x≤-a,或x≥a,y∈R　y≤-a,或y≥a,x∈R　坐标轴　原点　A1(-a,0),A2(a,0)　A1(0,-a),A2(0,a)　A1A2　B1B2　(1,+∞)　y=±x　y=±x
2.等轴双曲线
(1)实轴和虚轴等长　(2)①x2-y2=a2(a≠0)　②y=±x　垂直　③e=
课堂探究
一、复习引入
略
二、双曲线的性质
问题:类比椭圆几何性质的研究方法,对双曲线=1(a>0,b>0)的几何性质进行研究.(分别从“形”的角度和“数”的角度分析)
追问1:(1)范围
“形”的角度:观察双曲线=1(a>0,b>0),可以直观发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a,或x≥a,纵坐标的范围是y∈R.
“数”的角度:根据方程=1,可得=1+≥1,于是,双曲线上点的坐标(x,y)都适合不等式≥1,y∈R,即x2≥a2,y∈R.所以x≤-a,或x≥a,y∈R.
由(x,y)的范围,可以发现双曲线不是封闭的曲线.双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域,并且两支都向外无限延伸.
(2)对称性
“形”的角度:双曲线=1(a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于原点对称.
“数”的角度:用-x代x,-y代y,-x,-y分别代x,y,方程的形式不变,所以坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心、双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
(3)顶点
“形”的角度:从图形直观上可以发现双曲线与x轴有两个交点A1(-a,0)和A2(a,0),与y轴没有公共点.(这与椭圆不同)
“数”的角度:在方程=1中,令y=0,得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0)和A2(a,0),令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数解,说明双曲线和y轴没有公共点.
追问2:线段B1B2称为双曲线的虚轴,△A2OB2是直角三角形,且|OA2|=a,|A2B2|=c,|OB2|=b,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
(4)渐近线
追问3:通过GGB软件作图,沿曲线向右上方拖动点M时,可以发现,点M的横坐标xM越来越大,d越来越小,但是d始终不等于0.
经过两点A1,A2作y轴的平行线x=±3,经过两点B1,B2作x轴的平行线y=±2,四条直线围成一个矩形,矩形的两条对角线所在直线的方程是=0.可以发现,双曲线=1的两支向外延伸时,与两条直线=0逐渐接近,但永远不相交.
追问4:对于双曲线=1(a>0,b>0),
令=0 =0 y=±x.
追问5:此时方程变为x2-y2=a2,双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时,四条直线x=±a,y=±a围成正方形,渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
(5)离心率
追问6:与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率.因为c>a>0,所以双曲线的离心率e=,e>1.
追问7:由可知,当e逐渐增大时,逐渐增大,即双曲线的渐近线y=x的斜率逐渐增大,此时双曲线的“张口”逐渐增大,反之也成立.此时的“扁平程度”描述的是双曲线的“张口”大小.因此,双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
追问8:略
三、典例分析
例1　解 把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程为=1.
由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3;
c==5,焦点坐标是(0,-5),(0,5);离心率e=;
渐近线方程为y=±x.
例2　解 (1)设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
由题意可知,a=5,b=4,所以双曲线方程为=1.
(2)设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
由题意可知,c=5,b=4,所以a=3,双曲线方程为=1.
核心素养专练
1.(1)√　(2)×　(3)×　解析 (1)双曲线的离心率越大,即越大,则就越大,即双曲线的“张口”越大.
故正确.
(2)有无数多条双曲线的渐近线相同.故错误.
(3)离心率应为e=.
2.B　解析 由题意,a=4,故顶点坐标为(-4,0),(4,0).
3.C　解析 由题意,令=0,得y=±x,即为双曲线的渐近线方程.
4.48　解析 由题意,得a2=16,b2=m,所以c2=16+m,故e2==4,解得m=48.
5.+1　解析 如图所示,设|AB|=|BC|=t,由余弦定理,得|AC|=t,
故|AC|-|BC|=(-1)t,所以双曲线的离心率为e=+1.
6.　解析 双曲线x2-y2=1的一条渐近线为x-y=0,直线x-y+1=0与渐近线x-y=0的距离是,所以实数c的最大值为.
7.[2,+∞)　解析 由过焦点倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,可得,即≥3,≥2,双曲线离心率e的取值范围是[2,+∞).
8.解 设c2=a2+b2(c>0),
(1)双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,即,所以e==2,即双曲线C的离心率为2.
(2)设焦点F(c,0)到渐近线y=x的距离为b,由题图可知,d1+d2=2b=6,故b=3,a=,所以双曲线C的方程为=1.
第2课时
学案设计
学习目标
1.能灵活判断直线与双曲线的位置关系,掌握直线与双曲线相交后的交点个数问题.
2.会熟练解决直线与双曲线相交时弦长问题和弦的中点问题.
3.通过运用双曲线的方程与性质解决问题,提升逻辑推理与数学运算能力.
自主预习
1.类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系
2.把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考查方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有　　　不同的公共点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线有且只有　　　　　公共点.
(3)Δ<0时,直线与双曲线　　　　　公共点.
当a=0,且b≠0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有且只有　　　　　公共点.
课堂探究
一、直线与双曲线的位置关系
例1　已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,确定满足条件的实数k的取值范围.
延伸探究　若直线l与双曲线有且只有一个公共点,确定满足条件的实数k的取值范围.
跟踪训练1　已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的斜率k.
二、弦长公式及中点弦问题
例2　已知双曲线C:x2-y2=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为4,则弦AB的长为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.6
跟踪训练2　已知双曲线的方程为x2-=1.那么,双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦 如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
核心素养专练
1.设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则双曲线C的焦距的最小值为(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
2.已知直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1.当k为何值时,直线与双曲线:
(1)有两个公共点;
(2)有一个公共点;
(3)没有公共点.
3.已知双曲线C的离心率为,且过点(,0),过双曲线C的右焦点F2,作倾斜角为的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求△AOB的面积.
4.设A,B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使=t,求t的值及点D的坐标.
5.探究是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程;若不存在,说明理由.
(1)渐近线方程为x±2y=0;
(2)点A(5,0)到双曲线上的动点P的距离的最小值为.
6.双曲线C的中心在原点,右焦点为F,0,渐近线方程为y=±x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,则当k为何值时,以AB为直径的圆过原点.
参考答案
自主预习
1.有三种位置关系,分别为相交、相切、相离.
2.两个　一个　没有　一个
课堂探究
例1　解 联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.①
当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
由得-故当-延伸探究　解 联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.①
当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
由解得k=±,当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程①化为2x=5,故方程①只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,有且只有一个公共点.
此时方程①有两个相同的实数解,
即直线l与双曲线有且只有一个公共点.
故当k=±或±1时,直线l与双曲线有且只有一个公共点.
跟踪训练1　解 (1)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=1与双曲线相切,符合题意.
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.
当4-k2=0时,即k=±2,直线l与双曲线的渐近线平行,l与双曲线只有一个公共点;
当4-k2≠0时,令Δ=0,解得k=.
综上,当k=或k=±2或k不存在时,直线与双曲线只有一个公共点.
例2　D　解析 由题意可得双曲线C的标准方程为=1,则c2=4,
∴右焦点为F(2,0),
根据题意可知过F的直线斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),
联立化简,得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,
∴xA+xB=,xAxB=.
∵线段AB中点的横坐标为4,
∴xA+xB==8,解得k2=2,
∴xAxB==10,
则(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24,
则|AB|==6.
跟踪训练2　解 解法1:设被点B(1,1)所平分的弦所在直线的方程为y=k(x-1)+1,将直线方程与双曲线方程x2-=1联立,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,
∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k<.
设弦的两端点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=.
由点B(1,1)是弦的中点,得=1,解得k=2>.
故双曲线上不存在被点B(1,1)所平分的弦.
解法2:设双曲线上存在被点B平分的弦MN,且点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,且
由①-②,得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,由消去y,得2x2-4x+3=0.
又Δ=-8<0,所以直线MN与双曲线不相交,
故双曲线上不存在被点B平分的弦.
核心素养专练
1.B　解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x.
因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,-b),
则S△ODE=×a×|DE|=×a×2b=ab=8,
c2=a2+b2≥2ab=16,c≥4,2c≥8,所以C的焦距的最小值为8.
2.解 由消去y,得(4-k2)x2+2kx-2=0.①
当4-k2=0,即k=±2时,方程①为一次方程,只有一解.
当4-k2≠0,即k≠±2时,Δ=4k2+8(4-k2)=4(8-k2).
①Δ>0,∴当-2②Δ=0,∴当k=±2时,方程①只有一解.
③Δ<0,∴当k<-2,或k>2时,方程①无解.
综合以上得:当-22时,直线与双曲线没有公共点.
3.解 (1)因为双曲线过点(,0),则a=,e=,c=3,
又a2+b2=c2,则b=,所以双曲线的方程为=1.
(2)结合题意可得直线AB的方程为y=(x-3),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去y,得x2-18x+33=0,
故x1+x2=18,x1x2=33.
|AB|=|x1-x2|=2=16,
直线AB的方程变形为x-y-3=0,
所以原点O到直线AB的距离为d=,S△AOB=|AB|·d=×16=36.
4.解 (1)双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点为F(±c,0),所以焦点到渐近线的距离为=b=,又2a=4,解得a=2,
故双曲线的方程为=1.
(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
由得x2-16x+84=0,
∴x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.
∵=t,
∴t(x0,y0)=(x1+x2,y1+y2),有又点D(x0,y0)在双曲线上,
∴=1,解得t2=16.
∵点D在双曲线的右支上,
∴t>0,
∴t=4,此时点D(4,3).
5.解 假设存在同时满足给定的两个条件的双曲线.设P(x,y).
(1)若双曲线的焦点在x轴上,
∵渐近线方程为x±2y=0,
∴可设其方程为=1(b>0).
则|AP|=(|x|≥2b).
若2b≤4,即b≤2,则当x=4时,|AP|取得最小值为,此方程无解;
若2b>4,即b>2,则当x=2b时,|AP|取得最小值,为|2b-5|=,解得b=b=<2,舍去,
此时存在双曲线,方程为=1.
(2)若双曲线的焦点在y轴上,则可设其方程为=1(b>0,x∈R),于是|AP|=.
∵x∈R,
∴当x=4时,|AP|取得最小值,为,
∴b2=1,双曲线的标准方程为y2-=1.
综合(1)(2)知,存在双曲线,其方程为=1或y2-=1.
6.解 (1)设双曲线的方程为=1(m>0),则4m=2=,
故m=,
故双曲线的方程是3x2-y2=1.
(2)由得(3-k2)x2-2kx-2=0,由Δ>0,且3-k2≠0,得-因为以AB为直径的圆过原点,
所以OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,
又x1+x2=,x1x2=-,
所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,
所以+1=0,解得k=±1.