3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1　抛物线及其标准方程
学案设计
学习目标
1.能了解抛物线的定义和标准方程及其推导过程,掌握其简单应用.
2.在学习过程中,体会数形结合、类比思想的应用,提升数学抽象、数学运算能力.
自主预习
1.画一画:用描点法画出函数y=x2的图象,体会抛物线的形状.
x
y
　
2.量一量:用直尺测量画图时所取五个点到F0,的距离和到直线y=-的距离.
3.算一算:具体计算五个点M(x,y)到F0,的距离|MF|和到直线y=-的距离d.
M(x,y)
|MF|
d
4.猜一猜:根据你的观察与计算,你发现了什么规律
5.证一证:函数y=x2的图象上任意一点M(x,y)是否满足这一规律
课堂探究
一、抛物线的定义:
二、抛物线的标准方程:
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
三、典例分析
例1　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=20x;(2)y=2x2;
(3)2y2+5x=0;(4)x2+8y=0.
例2　根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);
(2)准线方程为x=-;
(3)焦点到准线的距离是2.
编一编:
根据例1和例2,利用你的发散思维,请每组同学们编出一道抛物线的问题,其他同学解答,并进行小组讨论,巩固学习成果!
核心素养专练
1.若坐标原点到抛物线y=mx2的准线的距离为2,则m等于(　　)
A.± B.± C.±4 D.±8
2.若抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为(　　)
A.- B.- C. D.
3.若抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到其焦点距离的最小值为1,则p等于(　　)
A. B.1 C.2 D.4
4.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A.2 B.3 C. D.
6.(多选题)对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线y2=10x的有(　　)
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)
7.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的曲面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是24 cm,灯深10 cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是　　　　　.
8.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=　　　　　.
9.若位于y轴右侧的动点M到F,0的距离比它到y轴的距离大,求点M的轨迹方程.
10.如图,圆锥底面半径为,体积为π,AB和CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,求该抛物线的焦点到其准线的距离.
参考答案
自主预习
1.
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
2.距离相等
3.
M(x,y) (-2,4) (-1,1) (0,0) (1,1) (2,4)
|MF|
d
4.|MF|=d
5.是
课堂探究
一、抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
二、抛物线的标准方程:
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0) ,0 x=-
y2=-2px(p>0) -,0 x=
x2=2py(p>0) 0, y=-
x2=-2py(p>0) 0,- y=
三、典例分析
例1　(1)焦点坐标为(5,0),准线方程为x=-5.
(2)焦点坐标为0,,准线方程为y=-.
(3)焦点坐标为-,0,准线方程为x=.
(4)焦点坐标为(0,-2),准线方程为y=2.
例2　(1)y2=12x.(2)y2=x.(3)y2=±8x,x2=±8y.
编一编:略
核心素养专练
1.A　解析 抛物线y=mx2的准线方程为y=-,由题意,知=2,解得m=±.
2.B　解析 抛物线的标准方程为x2=-y,设抛物线的焦点为F0,-,则由焦半径公式|MF|=-yM,得-yM=1,解得yM=-.故选B.
3.C　解析 抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值,即到准线距离的最小值,很明显满足最小值的点为抛物线的顶点,据此可知,=1,解得p=2.
4.D　解析 抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为,0,椭圆=1的焦点坐标为(±,0).
由题意,得,解得p=0(舍去)或p=8.
5.
A　解析 如图所示,F(1,0),动点P到直线l2:x=-1的距离可转化为PF的距离,由图可知,距离和的最小值,即F到直线l1的距离d==2.
6.BD　解析 抛物线y2=10x的焦点在x轴上,选项B满足,A不满足.
设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,F为焦点,则|MF|=1+=1+≠6,所以选项C不满足.
由于抛物线y2=10x的焦点为,0,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1),设过该焦点的直线方程为y=kx-,解得k=-2,此时存在,所以选项D满足.
所以满足抛物线y2=10x的有B和D.
7.
3.6 cm　解析 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
因为灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10,所以点A的坐标是(10,12).
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上,得122=2p×10,解得p=7.2.
所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).
因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6 cm.
8.+1　解析 ∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b,O为AD的中点,
∴C,-a,F+b,b.
∵点C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,
∴解得+1(负值舍去).
9.解 由于位于y轴右侧的动点M到F,0的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F,0的距离与它到直线l:x=-的距离相等.
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方程应为y2=2px(p>0)的形式,而,解得p=1,故2p=2,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0).
10.解 由V=πr2h=π×()2×PO=π,解得PO=,则PB=2,OE=1,OC=OD=.
以E为坐标原点,OE为x轴,过E点与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则C(-1,).
设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),则()2=-2p×(-1),解得p=1,故焦点到其准线的距离等于1.