3.3.2 抛物线的简单几何性质 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时
学案设计
学习目标
1.能熟练掌握抛物线的几何性质——范围、顶点、离心率、对称性等.
2.能掌握抛物线的焦点弦长的求法.
自主预习
一、知识回顾,温故知新
1.完成下列表格:
图形
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
焦点坐标 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　
准线方程 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　
2.完成下列表格:
标准 方程 图形 焦点 坐标 准线 方程 范围 顶点 坐标 对称轴 离心率
y2=2px (p>0)
课堂探究
二、数形结合,类比探究
问题1:类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法.
请思考:我们要研究抛物线的哪些几何性质 如何研究这些性质
问题2:观察图形,你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗
问题3:从“数”的角度,也就是从抛物线方程的角度,怎样得到抛物线中横、纵坐标的取值范围呢
问题4:观察图形,抛物线有几条对称轴 是否有对称中心
问题5:从“数”的角度,怎样说明抛物线y2=2px(p>0)图象关于x轴对称
问题6:根据图形,观察抛物线的顶点是什么
问题7:从“数”的角度,如何从方程中得到抛物线的顶点
三、适时归纳,总结提升
1.知识归纳
(1)(范围)抛物线只位于半个坐标平面内;
(2)(对称性)抛物线只有1条对称轴,没有对称中心;
(3)(顶点)抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条准线;
(4)(离心率)抛物线的离心率是确定值1.
2.小组总结
标准 方程 图形 焦点 坐标 准线 方程 范围 顶点 坐标 对称轴 离心率
y2= 2px (p>0)
y2= -2px (p>0)
x2= 2py (p>0)
x2= -2py (p>0)
四、典型例题,学以致用
例1　已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-2),求抛物线的标准方程.
例2　斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
五、知识拓展,思维升华
问题8:连接抛物线上一点与焦点的线段叫做抛物线的焦点弦.根据例2,你能否得到抛物线的焦点弦公式
问题9:有一种特殊的焦点弦,它垂直于抛物线的对称轴,这种焦点弦叫做通径.你能求出通径的长度吗
问题10:抛物线的通径有哪些性质
(1)双曲线的开口大小由离心率来衡量,那么抛物线的开口大小怎样确定呢
(2)通径是一类特殊的焦点弦,那么请问通径是抛物线最短的焦点弦吗
核心素养专练
1.已知过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点到y轴的距离为2,则|AB|等于 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.6 C.3 D.8
2.设斜率为的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=,则p等于 (　　)
A. B.1 C.2 D.4
3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p等于(　　)
A. B.3 C.6 D.8
4.已知直线y=kx-2k及抛物线y2=2px(p>0),则 (　　)
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线没有公共点
D.直线与抛物线有一个或两个公共点
5.已知直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为(　　)
A.48 B.56 C.64 D.72
6.已知点A(2,0),B(4,0),点P在抛物线y2=-4x上运动,则取得最小值时,点P的坐标是　　　　　.
7.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A,B两点,点M满足)(O为坐标原点),过点M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P的横坐标为　　　　　,|AB|=　　　　　.
8.已知过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题1:研究抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质.我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的.
问题2:通过观察图形,学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围,即为x≥0,y∈R.
问题3:在方程y2=2px(p>0)中,y并无限制,因此y∈R.而因为2px=y2≥0,且p>0,所以x≥0.
问题4:开口向右的抛物线关于x轴对称,没有对称中心.
问题5:在抛物线上任取一点P(x0,y0),P(x0,y0)关于x轴的对称点P'(x0,-y0)也在抛物线上.
问题6:(0,0),抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
问题7:在方程y2=2px(p>0)中,令x=0,得到y=0,因此抛物线y2=2px(p>0)的顶点就是原点.
2.小组总结
标准 方程 图形 焦点 坐标 准线 方程 范围 顶点 坐标 对称轴 离心率
y2= 2px (p>0) ,0 x=- x≥0 y∈R (0,0) x轴 e=1
y2= -2px (p>0) -,0 x= x≤0 y∈R
x2= 2py (p>0) 0, y=- y≥0 x∈R y轴
x2= -2py (p>0) 0,- y= y≤0 x∈R
例1　解 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0),因为点M在抛物线上,所以(-2)2=2p×2,解得p=2.
因此,所求抛物线的标准方程是y2=4x.
例2　解 由题意可知,p=2,=1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.
如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为dA,dB.
由抛物线的定义,可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
因为直线l的斜率为1,且过焦点F(1,0),所以直线l的方程为y=x-1.①
将①代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x,化简,得x2-6x+1=0.
所以x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8.
所以线段AB的长是8.
问题8:|AF|=x1+.
问题9:通径|AB|=2p.
问题10:(1)通径越长,开口越大.
(2)通径就是抛物线最短的焦点弦.
核心素养专练
1.B　解析 线段AB的中点到y轴的距离为2,则它到准线的距离为3,故|AB|=6.
2.C　解析 由题意,得直线l的方程为y=x-,A(x1,y1),B(x2,y2),联立化简,得12x2-20px+3p2=0,从而得x1+x2=,
故|AB|=x1+x2+p=+p=,解得p=2.
3.C　解析 因为抛物线x2=2py的准线y=-和双曲线=1相交,且交点的横坐标为x=±,
所以由△ABF为等边三角形,得2=p,解得p=6.
4.D　解析 ∵直线y=kx-k过点(1,0),点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,
∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
5.A　解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则P(-1,y1),Q(-1,y2),由得x2-6x+9=0,解得
所以|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8,S梯形APQB==48.
6.(0,0)　解析 设点P坐标为(x,y),则y2=-4x,
则=(2-x,-y),=(4-x,-y).
∴=(2-x)(4-x)+(-y)(-y)=x2-6x+8+y2=x2-6x+8-4x=x2-10x+8=(x-5)2-17.
∵x∈(-∞,0],则当x=0时,=(x-5)2-17取最小值,
∴点P坐标为(0,0).
7.1　8　解析 由|PF|=2,知|PF|=xP+1=2,所以点P的横坐标为1.
由题意可知,抛物线y2=4x的焦点为F,准线为x=-1,M是线段AB的中点,设A(x1,y2),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),将直线方程代入抛物线方程,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
从而得x1+x2=2+,x1·x2=1.
又设P(x0,y0),y0=(y1+y2)=[k(x1-1)+k(x2-1)]=,∴x0=,
∴P,|PF|=x0+1=+1=2,k2=1.
∴点M的横坐标为3,|AB|=2×3+2=8.
8.解 (1)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为0,,则直线AB的方程为y=x+,由消去x,得4y2-5py+p2=0,则y1+y2=.
由抛物线的定义,得|AB|=y1+y2+p=9,
即+p=9,解得p=4.
故抛物线的方程为x2=8y.
(2)将第(1)问中求得的p=4代入方程4y2-5py+p2=0,得y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4,则x1=-2,x2=4.所以A(-2,1),B(4,4).
于是+λ=(-2,1)+λ(4,4)=(-2+4λ,1+4λ).
因为C为抛物线上一点,所以(-2+4λ)2=8(1+4λ),整理,得λ2-2λ=0,解得λ=0或λ=2.
第2课时
学案设计
学习目标
1.能掌握抛物线的几何性质及其简单应用.
2.能掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.
3.能掌握抛物线中的定值与定点问题.
自主预习
直线与抛物线位置关系的判断
1.过定点P(0,1)作与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有几条
2.若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a≠0)恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.
课堂探究
一、复习引入
1.抛物线四种形式的标准方程及其性质:
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图形
性 质 焦点 坐标
准线 方程
范围
对称性
顶点 坐标
离心率
开口 方向
2.直线与双曲线的位置关系:
二、探究直线与抛物线的位置关系
3.设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,当　　　　　时,直线与抛物线相交,有两个交点;当　　　　　时,直线与抛物线相切,有一个切点;当　　　　　时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的　　　　　.
例1　经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
例2　如图,已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点,MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程.
例3　已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.
跟踪训练　已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;
(2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点.
核心素养专练
1.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为(　　)
A.18 B.24 C.36 D.48
2.已知F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若=4,则等于(　　)
A.1 B. C.2 D.
3.已知A(2,0),B为抛物线y2=x上一点,则|AB|的最小值为　　　　　.
4.已知点F为抛物线y2=4x的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5,则直线AF的斜率为　　　　　.
5.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=2,则|BF|=　　　　　.
6.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为　　　　　.
7.已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(2,y0)是抛物线E上一点,且|AF|=2.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设点B是抛物线E上异于点A的一点,直线AB与直线y=x-3交于点P,过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M,证明:直线BM过定点.
参考答案
自主预习
1.解 当直线的斜率不存在时,直线x=0,符合题意.
当直线的斜率存在时,设过点P的直线方程是y=kx+1,代入y2=2x,消去y,得k2x2+2(k-1)x+1=0.
当k=0时,x=,符合题意;
当k≠0时,由Δ=0,得k=,直线方程为y=x+1.
故满足条件的直线有三条.
2.解 因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程组只有一组实数解,消去y,得[(a+1)x-1]2=ax,即(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0.①
(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,这时,原方程组有唯一解
(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.
令Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0(舍去)或a=-.
所以原方程组有唯一解
综上,实数a的取值集合是-1,-.
课堂探究
一、复习引入
1.略
2.直线与双曲线的位置关系:相交、相切、相离.
其中直线与双曲线有一个公共点时,有两种情形:
①直线与双曲线相切;
②直线与双曲线的渐近线平行.
二、探究直线与抛物线的位置关系
3.(1)Δ>0　Δ=0　Δ<0　(2)必要不充分条件
例1　
证明 如图,以抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系xOy.
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),①
点A的坐标为,y0(y0≠0),则直线OA的方程为y=x,②
抛物线的准线方程是x=-.③
联立②③,可得点D的纵坐标为-.
因为焦点F的坐标是,0,当≠p2时,直线AF的方程为y=x-.④
联立①④,消去x,可得y0y2-(-p2)y-y0p2=0,即(y-y0)(y0y+p2)=0,可得点B的纵坐标为-,与点D的纵坐标相等,于是DB平行于x轴.
当=p2时,易知结论成立.
所以,直线DB平行于抛物线的对称轴.
例2　解 设点P(x,y),M(x,m),其中0≤x≤a,则点E的坐标为(a,m).
由题意,直线OB的方程为y=-x.①
因为点M在OB上,将点M的坐标代入①,得m=-x,②
所以点P的横坐标x满足②.
直线OE的方程为y=x,③
因为点P在OE上,所以点P的坐标(x,y)满足③.
将②代入③,消去m,得x2=-y(0≤x≤a),即点P的轨迹方程.
例3　(1)解 ∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,
∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,
∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.∴曲线C的方程为y2=4x.
(2)证明 设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.
∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,
∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.
联立,得消去y,得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0.
设A(x1,y1),则x1=.
同理,设B(x2,y2),可得x2=,
∴x1+x2=,x1-x2=.
∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k=-2k=.∴kAB==-1.
∴直线AB的斜率为定值-1.
跟踪训练　解 (1)因为抛物线的方程为y2=4x,则有=4x1,=4x2,因为弦AB的中点为(3,3),所以x1≠x2.
两式相减,得=4x1-4x2,所以,所以直线l的方程为y-3=(x-3),即y=x+1.
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2==-12,b=-3k,直线l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0).
当直线l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0).综上,直线l过定点(3,0).
核心素养专练
1.C　解析 不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),因为|AB|=2p=12,所以p=6,点P到AB的距离为p=6,故S△ABP=×12×6=36.
2.D　解析 设点A的横坐标为m,因为=4,所以||=4||,所以.
又,所以m=,所以||=,||=3,=||·||=.故选D.
3.　解析 设点B(x,y),则x=y2≥0,所以|AB|=.
所以当x=时,|AB|取得最小值,且|AB|min=.
4.　解析 由抛物线定义,得xA+1=5,xA=4,又点A位于第一象限,因此yA=4,从而kAF=.
5.2　解析 设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2.
6.[1,+∞)　解析 不妨设A(,a),B(-,a),C(x0,),则=(--x0,a-),=(-x0,a-),
∵∠ACB=90°,
∴=(-x0,a-)·(--x0,a-)=0,
∴-a+(a-)2=0,∴(a-)(a--1)=0,
∵-a≠0,∴a--1=0,∴=a-1.又≥0,∴a≥1.
7.(1)解 根据题意,知4=2py0.①
因为|AF|=2,所以y0+=2.②
联立①②,解得y0=1,p=2.
所以抛物线E的方程为x2=4y.
(2)证明 设B(x1,y1),M(x2,y2).
由题意,可设直线BM的方程为y=kx+b,
代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0.
由根与系数的关系,得x1+x2=4k,x1x2=-4b.③
由MP⊥x轴及点P在直线y=x-3上,得P(x2,x2-3),
则由A,P,B三点共线,得,
整理,得(k-1)x1x2-(2k-4)x1+(b+1)x2-2b-6=0.
将③代入上式并整理,得(2-x1)(2k+b-3)=0.
由点B的任意性,得2k+b-3=0,
所以y=kx+3-2k=k(x-2)+3.
即直线BM恒过定点(2,3).