专题课:匀变速直线运动规律的重要推论
[科学推理] (4)可以用图像法和公式法两种方法证明.
证明一(利用图像法):在v-t图像中,图线与时间轴围成的图形面积表示位移,初速度为v0、末速度为v的匀变速直线运动对应的是一个梯形,这段运动的中间时刻的瞬时速度为此梯形的中位线,在此图形中加一条垂直于时间轴的线段将此图形分成两块面积相等的部分,则此条线段表示这段运动的中间位移的瞬时速度,由图像可以看出,这条线段的长度大于梯形的中位线,即匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
证明二(公式法):由上面三问可知,中间时刻的瞬时速度=,中间位移的瞬时速度=,根据不等式关系可知=>=,即匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
例1 ABC [解析] 根据平均速度的定义可得平均速度为=,故A正确;物体做匀变速直线运动,故平均速度等于初、末速度之和的一半,即=,故B正确;物体做匀变速直线运动,故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初、末速度之和的一半,即==,故C正确;设中间位置的瞬时速度为v,匀变速运动加速度为a,则v2-=2a·①,-v2=2a·②,①②联立解得v=,故D错误.
变式1 D [解析] 设中间位置的速度为v,则v2-=2as,-v2=2as,联立解得v==5 m/s,故A错误;汽车经过中间时刻的速度v'==4 m/s,故B错误;前一半时间内平均速度v1==2.5 m/s,后一半时间内的平均速度v2==5.5 m/s,根据s=vt知,前一半时间内的位移不是后一半时间位移的一半,故C错误;前一半位移内的平均速度v1'==3 m/s,后一半位移内的平均速度v2'==6 m/s,根据s=vt知,汽车在前一半位移所用的时间为后一半位移所用时间的两倍,故D正确.
[科学推理] (1)1∶2∶3∶…∶n (2)12∶22∶32∶…∶n2
(3)1∶3∶5∶…∶(2n-1) (4)1∶∶∶…∶
(5)1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)
例2 BD [解析] 由题意可知,在匀变速直线运动中,物体经过AB位移中点的速度为v3=,时间中点的速度为v4=,A错误,B正确;全程的平均速度为v5=,不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动,都有v3>v4=v5,故C错误,D正确.
变式2 (1)1∶2∶3 (2)1∶4∶9 (3)1∶3∶5
(4)1∶(-1)∶(-)
[解析] (1)汽车的初速度为0,由速度公式vt=at可知,1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3=1∶2∶3.
(2)由s=at2可知,1 s内、2 s内、3 s内的位移之比s1∶s2∶s3=1∶22∶32=1∶4∶9.
(3)第1 s内的位移sⅠ=a×12
第2 s内的位移sⅡ=a×22-a×12=a×3
第3 s内的位移sⅢ=a×32-a×22=a×5
故第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比sⅠ∶sⅡ∶sⅢ=1∶3∶5.
(4)由位移公式s=at2可知
第1个s位移所用的时间为tⅠ=
前2s位移所用的时间为t2=
故第2个s位移所用的时间为tⅡ=t2-tⅠ=(-1)
同理,第3个s位移所用的时间为tⅢ=(-)
所以tⅠ∶tⅡ∶tⅢ=1∶(-1)∶(-).
[科学推理] (1)证明:设物体的初速度为v0,从计时起,T时间内的位移s1=v0T+aT2,第2个T时间内的位移s2=v0·2T+a(2T)2-s1=v0T+aT2,第n个T时间内的位移sn=v0·nT+a(nT)2-sn-1=v0T+aT2,连续相等时间内的位移差为Δs=sn-sn-1=v0T+aT2-v0T-aT2=aT2,即Δs=aT2.
例3 C [解析] 由于小球做匀加速直线运动,根据相邻相等时间内的位移差相等可知,sBC-sAB=aT2,故小球的加速度a== m/s2=4 m/s2,选项A错误;因为小球是从O点由静止释放的,所以小球在O点的速度才是0,小球在A点的速度不为0,选项B错误;由于O到斜面底端的长度为l=35 cm,所以小球从O点由静止释放滚到最下端所用的时间为t== s≈0.42 s,而两个小球释放的时间间隔是0.1 s,故斜面上最多同时有5个小球在滚动,选项C正确;因为小球在B点的瞬时速度为vB== m/s=0.6 m/s,故小球由静止释放后运动到B点的时间为tB== s=0.15 s,运动到C点的时间为tC=tB+0.1 s=0.25 s,选项D错误.
变式3 2.25 m/s2 1.5 m/s
[解析] 由公式Δs=aT2,解得a=== m/s2=2.25 m/s2
这8 s中间时刻的速度v== m/s=10.5 m/s
由v=v0+at,解得v0=1.5 m/s.
随堂巩固
1.B [解析] 战机在起飞前做匀加速直线运动,有s=t=t=,选项B正确.
2.A [解析] 设物体到达斜面底端时的速度为v2,到达斜面中点时的速度为v1,根据速度与位移关系式得,=2a·,=2a·s,联立解得v2≈2.82 m/s,选项A正确.
3.BD [解析] 由Δs=aT2,可得a== m/s2=0.5 m/s2,由于s3-s2=s4-s3,所以第2 s内的位移s2=1.5 m,故A、C错误,D正确;v3==2.25 m/s,故B正确.
4.A [解析] 根据初速度为零的匀变速直线运动位移公式s=at2,可得小朋友在第1 s内、第2 s内、第3 s内通过的位移之比为1∶3∶5,所以第2 s内位移的前和第3 s内位移的前与第1 s内的位移大小相等,由此可知小朋友从静止开始到通过第3 s内位移的前的过程中连续通过了5段与第1 s内位移相等的位移,根据t=,可得这5段位移用时之比为1∶(-1)∶(-)∶(2-)∶(-2),所以=,故A正确.专题课:匀变速直线运动规律的重要推论
学习任务一 匀变速直线运动的中间时刻速度与中间位移速度
[科学推理] 一物体做匀变速直线运动,初速度为v0,经过一段时间,末速度为vt,如图所示.
(1)v-t图像如图所示.因为v-t图像与坐标轴所围面积表示位移,所以t时间内物体的位移可表示为s=·t,平均速度=,联立可得=.
(2)由图像可知,中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度,即=.
(3)用公式表示出匀变速直线运动的中间位移的瞬时速度为=.
(4)试证明:匀变速直线运动条件下,中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
例1 (多选)[2023·惠州一中月考] 一物体做匀变速直线运动,某时刻的速度为v1,经过t时间后速度变为v2,位移为s,则下列说法正确的有 ( )
A.这段时间内的平均速度一定是
B.这段时间内的平均速度一定是
C.这段时间内中间时刻的瞬时速度一定是
D.这段时间内中间位置的瞬时速度一定是
[反思感悟]
变式1 [2023·佛山一中月考] 一辆小汽车在一段平直的公路上做匀加速直线运动,A、B是运动过程中经过的两点.已知汽车经过A点时的速度为1 m/s,经过B点时的速度为7 m/s.则汽车从A到B的运动过程中,下列说法正确的是 ( )
A.汽车经过AB位移中点时速度是4 m/s
B.汽车经过AB中间时刻的速度是5 m/s
C.汽车前一半时间发生位移是后一半时间发生位移的一半
D.汽车前一半位移所用时间是后一半位移所用时间的2倍
【要点总结】
1.利用匀变速直线运动的推论==求解平均速度、瞬时速度.
2.分别求出前、后两半时间内的平均速度即可以比较位移的关系.
3.分别求出前、后两半位移上的平均速度即可以比较所用时间的关系.
学习任务二 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
[科学推理] 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
(1)由vt=at可得出,在T时刻、2T时刻、3T时刻、…、nT时刻的速度之比为 .
(2)由s=at2可得出,在T时间内、2T时间内、3T时间内、…、nT时间内的位移之比为 .
(3)在第1个T时间内、第2个T时间内、第3个T时间内、…、第n个T时间内的位移之比为 .
(4)由s=at2得t=,故通过s位移、2s位移、3s位移、…、ns位移所用的时间之比为 .
(5)通过第1个s位移、第2个s位移、第3个s位移、…、第n个s位移所用的时间之比为 .
例2 (多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2,AB位移中点速度为v3,通过AB所用时间中点速度为v4,全程平均速度为v5,则下列结论正确的有 ( )
A.物体经过AB位移中点的速度大小为
B.物体经过AB位移中点的速度大小为
C.若为匀减速直线运动,则v3<
D.在匀变速直线运动中一定有v3>v4=v5
[反思感悟]
变式2 [2023·中山纪念中学期中] 飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看作从零开始的匀加速直线运动.若一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动,求汽车:
(1)1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比;
(2)1 s内、2 s内、3 s内的位移之比;
(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比;
(4)由静止开始经过第1个s位移、第2个s位移、第3个s位移所用的时间之比.
学习任务三 匀变速直线运动的位移差公式Δs=aT2
[科学推理] 位移差公式Δs=aT2
物体做匀变速直线运动,加速度为a,从某时刻起T时间内的位移为s1,紧接着第2个T时间内的位移为s2 ,…,第n个T时间内的位移为sn.
(1)试证明:Δs=sn-sn-1=aT2.
(2) 进一步地推论出sm-sn=(m-n)aT2 (其中T为连续相等的时间间隔,sm 为第m个时间间隔内的位移,sn 为第n个时间间隔内的位移).
(3)Δs=aT2的应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δs=s2-s1=s3-s2 =…=sn-sn-1=aT2 成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动.
②求加速度
利用Δs=aT2,可求得a= .
例3 [2023·惠州一中月考] 从固定斜面上的O点每隔0.1 s由静止释放一个同样的小球,释放后小球做匀加速直线运动.某一时刻,拍下小球在斜面上滚动的照片,如图所示.测得小球相邻位置间的距离sAB=4 cm,sBC=8 cm.已知O点到斜面底端的长度为l=35 cm.由以上数据可以得出 ( )
A.小球的加速度大小为12 m/s2
B.小球在A点的速度为0
C.斜面上最多同时有5个小球在滚动
D.该照片是距第一个小球释放后0.3 s拍摄的
[反思感悟]
变式3 [2023·深圳中学月考] 一个做匀加速直线运动的物体在前4 s内经过的位移为24 m,在第2个4 s内经过的位移是60 m,则这个物体的加速度和初速度各是多大
1.(平均速度与中间时刻的瞬时速度)某战机起飞前由静止开始做匀加速直线运动,达到起飞速度v所需时间为t,则起飞前的运动距离为 ( )
A.vt B.
C.2vt D.不能确定
2.(中间位移的瞬时速度)一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑,经过斜面中点时速度为2 m/s,则物体到达斜面底端时的速度为 ( )
A.2.82 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D. 22 m/s
3.(平均速度和位移差公式的应用)(多选)一质点做匀加速直线运动,第3 s内的位移是2 m,第4 s内的位移是2.5 m,则以下说法正确的是 ( )
A.第2 s内的位移是2.5 m
B.第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C.质点的加速度是0.125 m/s2
D.质点的加速度是0.5 m/s2
4.(初速度为零的匀加速直线运动的比例关系)[2023·北京四中期中] 假设一个小朋友从滑梯的顶端由静止开始滑下,其运动可视为匀变速直线运动,小朋友视为质点.若该小朋友通过第2 s内位移的前用时t1,通过第3 s内位移的前用时t2,则等于 ( )
A. B.
C. D.专题课:匀变速直线运动规律的重要推论
1.B [解析] 由=和s=t得t=,选项B正确.
2.D [解析] 设质点经过B点时的速度为v,tBC=t,则加速度大小a1=,a2=,故a1∶a2=1∶2,选项A错误;平均速度大小==,==,故∶=1∶1,选项C错误,D正确;位移大小s1=2t,s2=t,故s1∶s2=2∶1,选项B错误.
3.D [解析] 由=得3 m/s=,所以v=3 m/s,D正确.
4.C [解析] 质点在第1 s内、第2 s内、第3 s内、…位移之比为sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…=1∶3∶5∶…,则第1 s内与第4 s内位移之比为sⅠ∶sⅣ=1∶7,故sⅠ=×14 m=2 m,质点在前1 s内、前2 s内、前3 s内、…位移之比为s1∶s2∶s3∶…=12∶22∶32∶…,由=,解得t=6 s,即质点通过前72 m的位移所用的时间为6 s,故C正确.
5.C [解析] 刹车过程是初速度为零的匀加速直线运动的逆运动,根据s=at2,逆运动第1 s、第2 s、第3 s、第4 s、第5 s内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9,即第4 s、第5 s内位移之比与本题吻合,所以刹车过程用时5 s,刹车位移为(1+3+5+7+9) m=25 m,选项C正确.
6.BD [解析] 用逆向思维分析,子弹的匀减速运动是初速度为零的匀加速直线运动的逆运动.设每个木块宽度为s0,对逆运动,由s=at2可知,t3=,t2+t3=,t1+t2+t3=,解得t1∶t2∶t3=(-)∶(-1)∶1,选项D正确;对逆运动,由v=at可知,v3=at3,v2=a(t2+t3),v1=a(t1+t2+t3),解得v1∶v2∶v3=∶∶1,选项B正确.
7.B [解析] 根据匀加速直线运动规律,连续相等的时间间隔T内物体的位移之差Δs=aT2,则s3-s2=s2-s1,解得s1=2s2-s3=2×10 m-14 m=6 m,选项B正确.
8.AB [解析] 匀变速直线运动中某段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度,则vA==,A正确;设物体的加速度为a,则s2-s1=aT2,解得a=,C、D错误;物体在B点的速度大小为vB=vA+aT=+·T=,B正确.
9.BCD [解析] 设经过位移中点时的速度为,则对前半段的位移有2a·=-,对后半段的位移有2a·=-,由这两式得=,选项A错误,B正确;对匀变速直线运动而言,总有==,选项C、D正确.
10.B [解析] 利用逆向思维,把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,则相等时间内的位移之比为7∶5∶3∶1,由=,解得s1=2 m,故B正确.
11.AD [解析] 由逐差相等公式sⅡ-sⅠ=aT2,代入数据解得猎豹的加速度大小a=5 m/s2,故A正确,B错误;猎豹的最大速度v=108 km/h=30 m/s,由v=at,解得t=6 s,故C错误,D正确.
12.C [解析] 根据v=at可知,经过A、B、C三点时速度大小之比为vA∶vB∶vC=a∶3a∶6a=1∶3∶6,A错误; 根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系可知,OA、AB、BC段的长度之比为sOA∶sAB∶sBC=1∶∶=1∶8∶27,B错误;OA、AB、BC段内平均速度大小之比为∶∶=∶∶=1∶4∶9,C正确;根据Δv=aΔt可知,OA、AB、BC段内速度变化量大小之比为ΔvOA∶ΔvAB∶ΔvBC=a∶2a∶3a=1∶2∶3,D错误.
13.(1)0.16 m/s2 (2)7.2 m/s
[解析] (1)由题知,火车做匀减速直线运动,设火车的加速度大小为a,每节车厢长为L=8 m,相等的时间间隔T=10 s
由Δs=aT2,即8L-6L=aT2
解得a=0.16 m/s2.
(2)设人开始观察时火车速度大小为v0,第一个10 s末的速度===5.6 m/s
由=v0-aT
解得v0=7.2 m/s.
14.(1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2个
[解析] 释放小球后,小球都做匀加速直线运动,相邻两球释放的时间间隔均为T=0.1 s,可以认为A、B、C、D各球是一个小球在不同时刻的位置.
(1)由Δs=aT2可知,小球的加速度a==5 m/s2.
(2)拍摄时B球的速度等于AC段的平均速度,即vB==1.75 m/s.
(3)由于相邻相等时间内的位移差恒定,即sCD-sBC=sBC-sAB
解得sCD=0.25 m.
(4)设拍摄时A球的速度为vA,由vB=vA+aT
解得vA=1.25 m/s
A球运动的时间tA==0.25 s
则在A球上方正在滚动的小球还有2个.专题课:匀变速直线运动规律的重要推论建议用时:40分钟
◆ 知识点一 匀变速直线运动的中间时刻速度与中间位移速度
1.一颗子弹以大小为v的速度射进一墙壁但未穿出,射入深度为s,如果子弹在墙内穿行时做匀变速直线运动,则子弹在墙内运动的时间为 ( )
A. B.
C. D.
2.[2023·湖北黄冈中学期中] 一质点由静止开始先从A点做匀加速直线运动到B点,然后从B点做匀减速直线运动到C点时速度刚好为零.若已知tAB=2tBC,那么质点在AB段和BC段的 ( )
A.加速度大小之比为2∶1
B.位移大小之比为1∶2
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
3.[2023·中山纪念中学月考] 一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下,经过斜面中点时速度为3 m/s,则小球到达斜面底端时的速度为( )
A.4 m/s B.5 m/s
C.6 m/s D.3 m/s
◆ 知识点二 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
4.一个质点从静止开始做匀加速直线运动,已知它在第4 s内的位移是14 m,则它通过前72 m所用的时间为 ( )
A.12 s B.3 s
C.6 s D.4 s
5.[2023·湛江一中月考] 一辆公共汽车进站后开始刹车,做匀减速直线运动.汽车开始刹车后第1 s内和第2 s内的位移大小依次为9 m和7 m,则刹车后6 s内的位移是 ( )
A.20 m B.24 m
C.25 m D.75 m
6.(多选)如图所示,在水平面上固定着三个完全相同的木块,一子弹以水平速度v射入木块,若子弹在木块中做匀减速直线运动,穿透第三个木块时速度恰好为零,则关于子弹依次射入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3和穿过每个木块所用的时间之比t1∶t2∶t3,下列判断正确的是 ( )
A.v1∶v2∶v3=3∶2∶1
B.v1∶v2∶v3=∶∶1
C.t1∶t2∶t3=∶∶1
D.t1∶t2∶t3=(-)∶(-1)∶1
◆ 知识点三 变速直线运动的位移差公式
7.一质点做匀加速直线运动,依次经过O、A、B、C四点,A、B间的距离为10 m,B、C间的距离为14 m,已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等,则O与A的距离为 ( )
A.8 m B.6 m
C.4 m D.2 m
8.(多选)一物体做匀加速直线运动,在时间T内通过位移s1到达A点,接着在时间T内又通过位移s2到达B点,则该物体 ( )
A.在A点的速度大小为
B.在B点的速度大小为
C.运动的加速度大小为
D.运动的加速度大小为
9.(多选)[2023·执信中学月考] 一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2,则下列结论中正确的有 ( )
A.物体经过AB位移中点的速度为
B.物体经过AB位移中点的速度为
C.物体通过AB这段位移的平均速度为
D.物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为
10.做匀减速直线运动的物体经4 s停止运动,若第1 s内的位移是14 m,则最后1 s内的位移是 ( )
A.3.5 m B.2 m
C.1 m D.0
11.(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”,一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度.某猎豹突然启动追赶猎物的情境如图所示,启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动,已知猎豹第2 s内跑了7.5 m,第3 s内跑了12.5 m.则 ( )
A.猎豹的加速度大小为5 m/s2
B.猎豹的加速度大小为10 m/s2
C.猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D.猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
12.[2023·广州六中月考] 质点从O点由静止开始做匀加速直线运动,通过如图所示的连续三段位移OA、AB、BC所用的时间分别为1 s、2 s、3 s,则下列说法正确的是 ( )
A.经过A、B、C三点时速度大小之比为1∶2∶3
B.OA、AB、BC段的长度之比为1∶4∶9
C.OA、AB、BC段内平均速度大小之比为1∶4∶9
D.OA、AB、BC段内速度变化量大小之比为1∶1∶1
13.一列火车在长直的铁轨上匀变速行驶,一人在轨道旁边观察火车运动,发现在相邻的两个10 s内,火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢.已知每节车厢长8 m(连接处长度不计),求:
(1)火车的加速度大小;
(2)人开始观察时火车的速度大小.
14.[2023·广雅中学月考] 从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个小球,小球以相同的加速度做匀加速直线运动,在连续释放几个小球后,对在斜面上滚动的小球拍下照片,如图所示,测得sAB=15 cm,sBC=20 cm,试求:
(1)小球的加速度大小;
(2)拍摄时B球的速度大小;
(3)拍摄时C、D两小球之间的距离sCD;
(4)拍摄时在A球上方滚动的小球的个数.(共56张PPT)
专题课:匀变速直线运动规律的重要推论
学习任务一 匀变速直线运动的中间时刻速度与中间位移速度
学习任务二 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
学习任务三 匀变速直线运动的位移差公式
备用习题
练习册
◆
随堂巩固
学习任务一 匀变速直线运动的中间时刻速度与中间位移速度
［科学推理］ 一物体做匀变速直线运动,初速度为,经过一段时间,末速度为，如图所示.
(1)图像如图所示.因为图像与坐标轴所围面积表示位移,所以时间内物体的位移可表示为,平均速度,联立可得.
(2)由图像可知,中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度,即.
(3)用公式表示出匀变速直线运动的中间位移的瞬时速度为.
(4) 试证明：匀变速直线运动条件下,中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
[答案] 可以用图像法和公式法两种方法证明.
证明一(利用图像法)在图像中，图线与时间轴围成的图形面积表示位移，初速度为、末速度为的匀变速直线运动对应的是一个梯形，这段运动的中间时刻的瞬时速度为此梯形的中位线，在此图形中加一条垂直于时间轴的线段将此图形分成两块面积相等的
部分，则此条线段表示这段运动的中间位移的瞬时速度，由图像可以看出，这条线段的长度大于梯形的中位线，即匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
证明二(公式法)由上面三问可知，中间时刻的瞬时速度，中间位移的瞬时速度，根据不等式关系可知，即匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
例1 (多选)[2023·惠州一中月考] 一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为，经过时间后速度变为，位移为，则下列说法正确的有( )
ABC
A.这段时间内的平均速度一定是
B.这段时间内的平均速度一定是
C.这段时间内中间时刻的瞬时速度一定是
D.这段时间内中间位置的瞬时速度一定是
[解析] 根据平均速度的定义可得平均速度为，故A正确；物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初、末速度之和的一半，即，故B正确；物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初、末速度之和的一半，即,故C正确；设中间位置的瞬时速度为，匀变速运动加速度为，则①，，①②联立解得，故D错误.
变式1 [2023·佛山一中月考] 一辆小汽车在一段平直的公路上做匀加速直线运动，、是运动过程中经过的两点.已知汽车经过点时的速度为，经过点时的速度为.则汽车从到的运动过程中，下列说法正确的是( )
D
A.汽车经过位移中点时速度是
B.汽车经过中间时刻的速度是
C.汽车前一半时间发生位移是后一半时间发生位移的一半
D.汽车前一半位移所用时间是后一半位移所用时间的2倍
[解析] 设中间位置的速度为，则，，联立解得，故A错误；汽车经过中间时刻的速度，故B错误；前一半时间内平均速度，后一半时间内的平均速度，根据知，前一半时间内的位移不是后一半时间位移的一半，故C错误；前一半位移内的平均速度，后一半位移内的平均速度，根据知，汽车在前一半位移所用的时间为后一半位移所用时间的两倍，故D正确.
【要点总结】
1.利用匀变速直线运动的推论求解平均速度、瞬时速度.
2.分别求出前、后两半时间内的平均速度即可以比较位移的关系.
3.分别求出前、后两半位移上的平均速度即可以比较所用时间的关系.
学习任务二 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
［科学推理］ 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
(1) 由可得出，在时刻、时刻、时刻、…、时刻的速度之比为
______________.
(2) 由可得出，在时间内、时间内、时间内、…、时间内的位移之比为_______________.
(3) 在第1个时间内、第2个时间内、第3个时间内、…、第个时间内的位移之比为
__________________.
(4) 由得，故通过位移、位移、位移、…、位移所用的时间之比为_______________.
(5) 通过第1个位移、第2个位移、第3个位移、…、第个位移所用的时间之比为
_______________________________________.
例2 (多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过、两点的速度分别为和,位移中点速度为,通过所用时间中点速度为,全程平均速度为,则下列结论正确的有( )
BD
A.物体经过位移中点的速度大小为
B.物体经过位移中点的速度大小为
C.若为匀减速直线运动,则
D.在匀变速直线运动中一定有
[解析] 由题意可知,在匀变速直线运动中,物体经过位移中点的速度为,时间中点的速度为,A错误,B正确;全程的平均速度为,不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动,都有,故C错误,D正确.
变式2 [2023·中山纪念中学期中] 飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看作从零开始的匀加速直线运动.若一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动,求汽车:
(1) 末、末、末的瞬时速度之比;
[答案]
[解析] 汽车的初速度为0,由速度公式可知,末、末、末的瞬时速度之比.
(2) 内、内、内的位移之比;
[答案]
[解析] 由可知，内、内、内的位移之比.
(3) 第内、第内、第内的位移之比;
[答案]
[解析] 第内的位移
第内的位移
第内的位移
故第内、第内、第内的位移之比.
(4) 由静止开始经过第1个位移、第2个位移、第3个位移所用的时间之比.
[答案]
[解析] 由位移公式可知
第1个位移所用的时间为
前位移所用的时间为
故第2个位移所用的时间为
同理,第3个位移所用的时间为
所以.
学习任务三 匀变速直线运动的位移差公式
［科学推理］ 位移差公式
物体做匀变速直线运动，加速度为，从某时刻起时间内的位移为，紧接着第2个时间内的位移为 ， ，第个时间内的位移为.
(1) 试证明：.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
证明：设物体的初速度为，从计时起，时间内的位移,第2个时间内的位移，第个时间内的位移,连续相等时间内的位移差为，即.
(2) 进一步地推论出 (其中为连续相等的时间间隔，为第个时间间隔内的位移，为第个时间间隔内的位移).
(3)的应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果成立，则为一恒量，说明物体做匀变速直线运动.
②求加速度
利用，可求得 .
例3 [2023·惠州一中月考] 从固定斜面上的点每隔由静止释放一个同样的小球，释放后小球做匀加速直线运动.某一时刻，拍下小球在斜面上滚动的照片，如图所示.测得小球相邻位
C
A.小球的加速度大小为
B.小球在点的速度为0
C.斜面上最多同时有5个小球在滚动
D.该照片是距第一个小球释放后拍摄的
置间的距离，.已知点到斜面底端的长度为.由以上数据可以得出( )
[解析] 由于小球做匀加速直线运动，根据相邻相等时间内的位移差相等可知，，故小球的加速度，选项A错误；因为小球是从点
由静止释放的，所以小球在点的速度才是0，小球在A点的速度不为0，选项B错误；由于到斜面底端的长度为，所以小球从点由静止释放滚到最下端所用的时间为，而两个小球释放的时间间隔是，故斜面上最多同时有5个小球在滚动，选项C正确；因为小球在B点的瞬时速度为，故小球由静止释放后运动到B点的时间为，运动到C点的时间为，选项D错误.
变式3 [2023·深圳中学月考] 一个做匀加速直线运动的物体在前内经过的位移为，在第2个内经过的位移是，则这个物体的加速度和初速度各是多大？
[答案]
[解析] 由公式，解得
这中间时刻的速度
由，解得.
1.一个小物体以某一初速度沿光滑斜面向上运动,从a经过b到c.已知ab和bc的长度均为s,通过这两段位移所用的时间分别为m和n,则从a第一次运动到c的过程的速度变化量大小为 ( )
A
A. B.
C. D.
[解析]小物体沿斜面向上做匀减速直线运动,根据匀变速直线运动的推论:平均速度等于初、末速度之和的一半,且等于位移与时间的比值,即=,=,两式相减可得-=-,化简可得vc-va=,即Δv=,由于做减速运动,所以m2.如图所示,一小球(可视为质点)沿斜面匀加速下滑,依次经过A、B、C三点.已知AB=18 m,BC=30 m,小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s,则小球经过A、B、C三点时的速度大小分别是( )
D
A.12 m/s、13 m/s、14 m/s
B.10 m/s、14 m/s、18 m/s
C.8 m/s、10 m/s、16 m/s
D.6 m/s、12 m/s、18 m/s
[解析] 根据Δs=at2得a== m/s2=3 m/s2,经过B点的瞬时速度等于通过AC段的平均速度,则vB== m/s=12 m/s,则经过C点的速度vC=vB+at=12 m/s+3×2 m/s=18 m/s,经过A点的速度vA=vB-at=12 m/s-3×2 m/s=6 m/s,故D正确.
3.(多选)如图所示,某质点做匀减速直线运动,依次经过A、B、C三点,最后停在D点.已知AB=6 m,BC=4 m,从A点运动到B点和从B点运动到C点两个过程中速度变化量都为-2 m/s,则下列说法正确的是( )
BD
A.质点到达B点时速度大小为2.55 m/s
B.质点的加速度大小为2 m/s2
C.质点从A点运动到C点的时间为4 s
D.A、D两点间的距离为12.25 m
[解析] 设加速度大小为a,根据题设条件得|Δv|=at=2 m/s,AB、BC为连续相等时间内的位移,由匀变速直线运动推论Δs=at2,解得t== s=1 s,a=2 m/s2,选项B正确;质点从A点运动到C点的时间为2t=2 s,选项C错误;根据匀变速直线运动的平均速度公式可得vB=vAC==5 m/s,选项A错误;由速度与位移公式可得sAD=sAB+=12.25 m,选项D正确.
4.(多选)一物体以初速度v0做匀减速直线运动,第1 s内通过的位移s1=3 m,第2 s内通过的位移s2=2 m,又经过位移s3,物体的速度减小为0.下列说法正确的是 ( )
A.初速度v0的大小为2.5 m/s
B.加速度a的大小为1 m/s2
C.位移s3的大小为1.125 m
D.位移s3内的平均速度大小为0.75 m/s
BCD
[解析] 由Δs=aT2可得加速度a=-1 m/s2,选项B正确;第1 s末的速度v1==2.5 m/s,则初速度v0=v1-aT=3.5 m/s,选项A错误;物体速度由2.5 m/s减小到0所需时间t==2.5 s,则经过位移s3的时间t3为1.5 s,且s3=-a=1.125 m,选项C正确;位移s3内的平均速度v==0.75 m/s,选项D正确.
5.如图所示,一长为l的长方体木块在水平面上以加速度a做匀加速直线运动,先后经过位置1、2.位置1、2之间有一定的距离,木块通过位置1、2所用时间分别为t1和t2.求:
(1)木块经过位置1、位置2的平均速度大小.
[解析] 由平均速度公式=得
木块经过位置1时的平均速度=
木块经过位置2时的平均速度=
[答案]
(2)木块前端P在1、2之间运动所需时间.
[解析] 由平均速度等于中间时刻的瞬时速度可得,P端经过位置1后时刻的速度为,则P端经过位置1时的速度v1=-a·
同理,P端经过位置2时的速度v2=-a·
由速度公式得v2=v1+at
解得t=+
[答案] +
6.一些同学乘坐火车外出旅游,当火车在一段平直轨道上匀加速行驶时,一位同学提议说:“我们能否用身边的器材测出火车的加速度 ”许多同学参与了测量工作,测量过程如下:他们一边看着窗外间隔100 m的路标,一边用手表记录着时间,他们观测到从第一根路标运动到第二根路标的时间间隔为5 s,从第一根路标运动到第三根路标的时间间隔为9 s,请你根据他们的测量情况,求:
(1)火车的加速度大小;
[解析] t1=5 s,t2=9 s-5 s=4 s，根据==可知,他们在第一、二根
路标中间时刻的速度为=20 m/s
在第二、三根路标中间时刻的速度=25 m/s
两中间时刻的时间间隔为t==4.5 s
所以a=== m/s2
[答案] m/s2
(2)他们到第三根路标时的速度大小.
[解析] 设他们到第三根路标时的速度为v3,则
v3=+a= m/s
[答案] m/s
7.某人在相距10 m的A、B两点间练习折返跑,他在A点由静止出发跑向B点,到达B点后立即返回A点.设加速过程和减速过程都是匀变速运动,加速过程和减速过程的加速度大小分别是4 m/s2和8 m/s2,运动过程中的最大速度为4 m/s,从B点返回的过程中达到最大速度后即保持该速度运动到A点.求:
(1)从B点返回A点的过程中以最大速度运动的时间;
[解析] 设此人从静止到加速至最大速度时所用的时间为t1,加速运动的位移大小为s1,从B点返回A点的过程中做匀速运动的时间为t2,A、B两点间的距离为L,由运动学公式得vm=a1t1，s1=t1，L-s1=vmt2
联立解得t2=2 s.
[答案] 2 s
(2)从A点运动到B点与从B点运动到A点的平均速度的大小之比.
[解析] 设此人从A点运动到B点的过程中做匀速运动的时间为t3,减速运动的位移大小为s2,减速运动的时间为t4,由运动学公式得
vm=a2t4，s2=t4，L-s1-s2=vmt3
===
联立解得=.
[答案] 12∶13
1.(平均速度与中间时刻的瞬时速度)某战机起飞前由静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度所需时间为，则起飞前的运动距离为( )
B
A. B. C. D.不能确定
[解析] 战机在起飞前做匀加速直线运动，有，选项B正确.
2.(中间位移的瞬时速度)一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑,经过斜面中点时速度为,则物体到达斜面底端时的速度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设物体到达斜面底端时的速度为,到达斜面中点时的速度为,根据速度与位移关系式得,,,联立解得,选项A正确.
3.(平均速度和位移差公式的应用)(多选)一质点做匀加速直线运动，第内的位移是，第内的位移是，则以下说法正确的是( )
BD
A.第内的位移是 B.第末的瞬时速度是
C.质点的加速度是 D.质点的加速度是
[解析] 由，可得，由于，所以第内的位移，故A、C错误，D正确；，故B正确.
4.(初速度为零的匀加速直线运动的比例关系)[2023·北京四中期中] 假设一个小朋友从滑梯的顶端由静止开始滑下，其运动可视为匀变速直线运动，小朋友视为质点.若该小朋友通过第内位移的前用时，通过第内位移的前用时，则等于( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据初速度为零的匀变速直线运动位移公式，可得小朋友在第内、第内、第内通过的位移之比为，所以第内位移的前和第内位移的前与第内的位移大小相等，由此可知小朋友从静止开始到通过第内位移的前的过程中连续通过了5段与第内位移相等的位移，根据，可得这5段位
移用时之比为，所以，故A正确.
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◆知识点一 匀变速直线运动的中间时刻速度与中间位移速度
1.一颗子弹以大小为的速度射进一墙壁但未穿出，射入深度为，如果子弹在墙内穿行时做匀变速直线运动，则子弹在墙内运动的时间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由和得，选项B正确.
2.[2023·湖北黄冈中学期中] 一质点由静止开始先从点做匀加速直线运动到点，然后从点做匀减速直线运动到点时速度刚好为零.若已知，那么质点在段和段的( )
D
A.加速度大小之比为 B.位移大小之比为
C.平均速度大小之比为 D.平均速度大小之比为
[解析] 设质点经过B点时的速度为，,则加速度大小，，故，选项A错误；平均速度大小，，故，选项C错误，D正确；位移大小，，故，选项B错误.
3.[2023·中山纪念中学月考] 一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下,经过斜面中点时速度为,则小球到达斜面底端时的速度为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由得,所以,D正确.
◆知识点二 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
4.一个质点从静止开始做匀加速直线运动，已知它在第内的位移是，则它通过前所用的时间为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 质点在第内、第内、第内、…位移之比为 ，则第内与第内位移之比为，故，质点在前内、前内、前内、…位移之比为 ，由，解得，即质点通过前的位移所用的时间为，故C正确.
5.[2023·湛江一中月考] 一辆公共汽车进站后开始刹车,做匀减速直线运动.汽车开始刹车后第内和第内的位移大小依次为和,则刹车后内的位移是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 刹车过程是初速度为零的匀加速直线运动的逆运动,根据,逆运动第、第、第、第、第内的位移之比为,即第、第内位移之比与本题吻合,所以刹车过程用时,刹车位移为,选项C正确.
6.(多选)如图所示,在水平面上固定着三个完全相同的木块,一子弹以水平速度射入木块,若子弹在木块中做匀减速直线运动,穿透第三个
BD
A. B.
C. D.
[解析] 用逆向思维分析,子弹的匀减速运动是初速度为零的匀加速直线运动的逆运动.设每个木块宽度为,对逆运动,由可知,,,,解得,选项D正确;对逆运动,由可知,,,,解得,选项B正确.
木块时速度恰好为零,则关于子弹依次射入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用的时间之比,下列判断正确的是( )
◆知识点三 变速直线运动的位移差公式
7.一质点做匀加速直线运动，依次经过、、、四点，、间的距离为，、间的距离为，已知物体通过段、段、段所用的时间相等，则与的距离为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据匀加速直线运动规律，连续相等的时间间隔内物体的位移之差，则，解得，选项B正确.
8.(多选)一物体做匀加速直线运动，在时间内通过位移到达点，接着在时间内又通过位移到达点，则该物体( )
AB
A.在点的速度大小为 B.在点的速度大小为
C.运动的加速度大小为 D.运动的加速度大小为
[解析] 匀变速直线运动中某段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，则，A正确；设物体的加速度为，则，解得，C、D错误；物体在B点的速度大小为，B正确.
9.(多选)[2023·执信中学月考] 一个做匀加速直线运动的物体先后经过、两点时的速度分别为和,则下列结论中正确的有( )
BCD
A.物体经过位移中点的速度为
B.物体经过位移中点的速度为
C.物体通过这段位移的平均速度为
D.物体通过这段位移所用时间的中间时刻的速度为
[解析] 设经过位移中点时的速度为,则对前半段的位移有,对后半段的位移有,由这两式得,选项A错误,B正确;对匀变速直线运动而言,总有,选项C、D正确.
10.做匀减速直线运动的物体经停止运动，若第内的位移是，则最后内的位移是( )
B
A. B. C. D.0
[解析] 利用逆向思维，把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为，由，解得，故B正确.
11.(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”,一只成年猎豹能在几秒之内达到的最大速度.某猎豹突然启动追赶猎物的情境如图所示,启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动,已知猎豹第内跑了,第内跑了.则( )
AD
A.猎豹的加速度大小为 B.猎豹的加速度大小为
C.猎豹加速到最大速度所用时间为 D.猎豹加速到最大速度所用时间为
[解析] 由逐差相等公式ⅡⅠ,代入数据解得猎豹的加速度大小,故A正确,B错误;猎豹的最大速度,由,解得,故C错误,D正确.
12.[2023·广州六中月考] 质点从点由静止开始做匀加速直线运动，通过如图所示的连续三段位移、、所用的时间分别为、、，则下列说法正确的是( )
C
A.经过、、三点时速度大小之比为
B.、、段的长度之比为
C.、、段内平均速度大小之比为
D.、、段内速度变化量大小之比为
[解析] 根据可知，经过A、B、C三点时速度大小之比为，A错误； 根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系可知，、、段的长度之比为，B错误；、、段内平均速度大小之比为，C正确；根据可知，、、段内速度变化量大小之比为，D错误.
13.一列火车在长直的铁轨上匀变速行驶，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢.已知每节车厢长(连接处长度不计)，求：
(1) 火车的加速度大小；
[答案]
[解析] 由题知，火车做匀减速直线运动，设火车的加速度大小为，每节车厢长为，相等的时间间隔
由,即
解得.
(2) 人开始观察时火车的速度大小.
[答案]
[解析] 设人开始观察时火车速度大小为，第一个末的速度
由
解得.
14.[2023·广雅中学月考] 从斜面上某一位置每隔释放一个小球,小球以相同的加速度做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后,对在斜面上滚动的小球拍下照片,如图所示,测得,,试求:
(1) 小球的加速度大小;
[答案]
由可知,小球的加速度.
[解析] 释放小球后,小球都做匀加速直线运动,相邻两球释放的时间间隔均为,可以认为、、、各球是一个小球在不同时刻的位置.
(2) 拍摄时球的速度大小;
[答案]
[解析] 拍摄时球的速度等于段的平均速度,即.
(3) 拍摄时、两小球之间的距离;
[答案]
[解析] 由于相邻相等时间内的位移差恒定,即
解得.
(4) 拍摄时在球上方滚动的小球的个数.
[答案] 2个
[解析] 设拍摄时球的速度为,由
解得
球运动的时间
则在球上方正在滚动的小球还有2个.
