3.3抛物线基础练习卷（含解析）

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3.3抛物线基础练习卷
一、选择题(共8题；共40分)
1．抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．4
2．已知A为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
3．抛物线 的准线方程是 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C： x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(　　)
A．y2=12x B．x2=-12y C．x2=12y D．y2=-12x
5．已知抛物线的焦点为F，过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若是边长为4的正三角形，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 两点，若 中点的横坐标为 则 （　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 于Q，则线段 的垂直平分线（　　）．
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线 D．垂直于直线
8．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知抛物线 上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和 ，则 的值可以是（　　）
A．2 B．6 C．4 D．8
10．已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
11．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（　　）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知点 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一个动点， ，则 周长的最小值为　 　.
13．已知O为坐标原点，抛物线C： 的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，则C的准线方程为　 　
14．已知抛物线 的准线为l， 为一定点，设该抛物线上任一点P到l的距离为d， 的最小值为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．求下列各曲线的标准方程
（1）实轴长为12，离心率为 ，焦点在x轴上的椭圆方程；
（2）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点.求抛物线方程.
16．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线 上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.
17． （1）已知双曲线E：的焦距为6，实轴长为2，求E的渐近线方程；
（2）已知F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，求C的方程.
18．已知动圆过定点 且与直线 相切.
（1）求动圆圆心的轨迹 的方程；
（2）过原点 的直线 交轨迹 于 点，与直线 交于 点，过点 作 轴的垂线交轨迹 于 点，求证：直线 过定点.
19．已知是抛物线（>0）的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）、是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；
（3）已知点H（1，1），直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
2．【答案】C
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】抛物线 的标准方程是 ，则其准线方程为
所以 ．故答案为：B．
【分析】根据准线方程可得到抛物线的参数P，从而可得到抛物线的标准方程，进而可得到答案。
4．【答案】B
【解析】【解答】设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为 x2=-12y ．.故选B.
【分析】结合已知条件,设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，求解即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】由题知，因为是边长为4的正三角形，
所以，
根据抛物线定义可知，即，
所以，故，所以，
所以，解得： .
故答案为：B
【分析】由抛物线的标准方程得出焦点坐标，利用三角形是边长为4的正三角形，所以，根据抛物线定义可知点P的坐标，进而得出点Q的坐标，再结合两点距离公式得出和已知条件得出p的值。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 的中点的横坐标为4，
设 ， ， ， ， ，
则 ．
故答案为：C．
【分析】设 ， ， ， ， ，根据抛物线的定义即可得出答案。
7．【答案】B
【解析】【解答】如图所示：
．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点P.
故答案为：B.
【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段 的垂直平分线经过点P，即求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
9．【答案】A,C
【解析】【解答】设 的横坐标为 ，
由题意， ， ，
解得 或 .
故答案为：AC
【分析】由题意得 ， ，解方程即可得结果.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：取的中点，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，如图所示：
对A，因为抛物线：，所以，
所以，故A正确；
对B， 根据抛物线的性质可得：，，为梯形的中位线，
所以，所以以为直径的圆与准线相切，故B正确；
对C，因为抛物线：，所以，
所以，故C正确；
对D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，
设过的直线方程为，
联立，消y得：，
令，即，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，
此时有三条直线符合题意，故D错误.
故选：ABC。
【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项．
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角，即可判断D选项.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由题意，知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，，
所以△APF周长的最小值，即|PA|+|PF|的最小值.
如图，过点P作准线的垂线，垂足为D，根据抛物线的定义，可知|PF|=|PD|，
所以|PA|+|PF|的最小值即|PA|+|PD|的最小值，
易知当DPA三点共线时，|PA|+|PD|最小，(|PA|+|PD|)min=3-(-1)=3+1=4，
所以 AAPF周长的最小值为
故答案为：
【分析】根据抛物线的定义与几何性质，运用数形结合思想求解即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可设，则，
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：抛物线 的准线为 ， ，
过P作 ，交于点M，
当C，P，F三点共线时， 取得最小值，
且为 ．
故答案为：
【分析】求出抛物线的准线方程，过 作 ，交于点M，由C，P，F三点共线时， 取得最小值，即可得到所求最小值．
15．【答案】（1）解：由题可设椭圆方程为
则 ，所以 ，故
所以椭圆方程为
（2）解：依题可设：抛物线方程为
由双曲线方程 ，即
所以左顶点为 ，故
所以抛物线方程为
【解析】【分析】（1）利用实轴长结合已知条件求出a的值，再利用椭圆离心率公式求出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2）将双曲线的方程转化为标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出双曲线的左顶点的坐标，再利用抛物线的焦点是双曲线 的左顶点，进而求出抛物线的焦点坐标，从而求出抛物线的标准方程。
16．【答案】（1）【解答】由点A（2，8）在抛物线y2=2px 上，有 ，解得p=16.所以抛物线方程为y2=32x ，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）【解答】如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 ，设点M的坐标为 ，则 ，解得 x0=11，y0=-4 ，
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）【解答】由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：
由 消x得ky2-32y-32(11k+4)=0 ，
所以 ，由（2）的结论得 ，解得k=-4，
因此BC所在直线的方程为：4x+y-40=0 。
【解析】【分析】（1）由点A在抛物线上，将A点坐标代入，求出参数P，求解即可（2）由于F（8，0）是△ABC的重心，则重心与焦点重合，由重心坐标公式可求M是BC的中点。（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为： ，解出k即可。
17．【答案】（1）解：依题意，令双曲线E的半焦距为c，则，，即，，，解得，
所以双曲线E的渐近线方程为.
（2）解：抛物线C：的准线方程为：，依题意，，解得，
所以抛物线C的方程为.
【解析】【分析】（1） 依题意，令双曲线E的半焦距为c，再结合焦距的定义和实轴长的定义，得出a，c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，从而求出双曲线的标准方程。
（2） 利用抛物线C：的标准方程求出抛物线的准线方程，再利用已知条件结合代入法和抛物线的定义，进而解方程组求出m，p的值，从而求出抛物线C的标准方程。
18．【答案】（1）解：∵动圆过定点 ，且与直线 相切，
∴曲线 是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程为： .
（2）解：设 ，则直线 的方程为： .
∴ ，
∴直线 的斜率 ，
∴直线 的方程为 ，整理可得： ，
∴直线 过定点 .
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义与标准方程求解即可；
（2）根据直线的斜率公式，结合直线的点斜式方程与斜截式方程求解即可.
19．【答案】（1）解：由题知，又，所以+=，解得.
所以抛物线的方程为．
（2）解：，
．
线段的中点到轴的距离为．
（3）证明：设过点的直线的方程为，
即，
代入，得，
设，，
则，，
所以，
，
，
所以为定值．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理列出等式，解出p即可.
（2）利用抛物线定义得，结合中点坐标公式即可求解.
（3）设出直线l方程，与抛物线联立，得关于y的一元二次方程，利用韦达定理化简即可.
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