新人教版第十四章整式的乘法与因式分解学案

第十四章
整式的乘法与因式分解
识记
1.幂运算性质：
am·an＝am+n（m、n为正整数）；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（am）n＝
amn（m、n为正整数）；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（ab）n=anbn
（n为正整数）；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
am÷an＝
am-n
（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减．
a0＝1
（a≠0）；任何一个不等于
0的数的0指数幂都等于
l
．
2.整式的乘法与除法：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
3.乘法公式
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
③添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
4.因式分解
①把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解．
注意：
Ⅰ分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
Ⅱ因式分解必须是恒等变形；
Ⅲ因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
Ⅳ因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
②提公因式法:如果多项式的各项有公因式，
( http: / / www.21cnjy.com )可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
pa+pb+pc=p(a+b+c)
注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式
( http: / / www.21cnjy.com )，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
③公式法
平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2
典例
【例1】在下列运算中，计算正确的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解】根据同底数幂的乘法运算法则知，所以（A）错；根据幂的乘方运算法则知，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知，所以（C）错；故选（D）.
【例2】计算：
（1）（m4）2+m5 m3+（﹣m）4 m4
（2）（﹣3）12×（）11．
【解】（1）原式=m8+m8+m8=3m8；
（2）（﹣3）12×（）11
=（×）11×
=．
【例3】（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值；
（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．
【解】（1）∵ax+y=ax ay=25，ax=5，
∴ay=5，
∴ax+ay=5+5=10；
（2）102α+2β=（10α）2 （10β）2=52×62=900．
【例4】计算：

（1）（m3）5÷［（m2）3］2×（－m m3）2；

（2）2（x＋1）＋x（x＋2）－（x－1）（x＋5）
【解】（1）原式＝m15÷m12×（－m4）2＝m3×m8＝m11．
（2）原式＝2x＋2＋x2＋2x－（x2－x＋5x－5）
＝2x＋2＋x2＋2x－x2＋x－5x＋5
＝7．
【例5】先化简，再求值：
（1）（2x﹣1）（x+2）﹣2x（x+1），x=．
（2）已知，其中x=﹣2，y=﹣0.5．
【解】（1）原式=2x2+4x﹣x﹣2﹣2x2﹣2x=x﹣2
当x=时，
原式=﹣2=﹣．
(2)原式=（4x2y2﹣8xy+4﹣4+x2y2）÷xy
=（5x2y2﹣8xy）÷xy
=20xy﹣32．
当x=﹣2，y=﹣0.5时，
原式=20×2×0.5﹣32=20﹣32=﹣12；
【例6】若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
【解】（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，
∵积中不含x项与x3项，
∴P﹣3=0，qp+1=0
∴p=3，q=﹣，
（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014
=[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2
=36﹣+
=35．
【例7】如图，在边长为a的正方形中剪去一个
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【解】左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），
∵左右的阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【例8】已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？　m﹣n　．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一：　（m+n）2﹣4mn　；方法二：　（m﹣n）2　．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）2；（m﹣n）2；
mm
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）2的值．
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【解】（1）m﹣n；
（2）（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；
（3）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；
（4）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
∵a+b=8，ab=5，
∴（a﹣b）2=64﹣20=44．
　
【例9】运用公式进行简便计算：
（1）1982；
（2）103×97．
【解】（1）原式=（200﹣2）2=2002﹣2×200×2+22=40000﹣800+4=39204；
（2）原式=（100+3）×（100﹣3）=1002﹣32=10000﹣9=9991．
【例10】（1）已知的值；
（2）已知xy=9，x﹣y=3，求x2+3xy+y2的值．
【解】（1）将a+=3两边同时平方得：，
∴．
∴=7；
（2）将x﹣y=3两边同时平方得：x2﹣2xy+y2=9，
∴x2+y2=9+2xy=9+2×9=27．
∴x2+3xy+y2=27+3×9=54
【例11】分解因式：
（1）6a2b﹣4a3b3﹣2ab
（2）25m2﹣n2
（3）4x2+12xy+9y2
（4）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
（5）﹣2a2x4+16a2x2﹣32a2
（6）（a2﹣a）2﹣（a﹣1）2
(7)3y2﹣27
（8）（a﹣3）2﹣6（a﹣3）+9．
【解】（1）6a2b﹣4a3b3﹣2ab=2ab（3a﹣2a2b2﹣1）
（2）25m2﹣n2=（5m+n）（5m﹣n）；
（3）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2；
（4）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
=a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）
=（x﹣y）（a2﹣b2）
=（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；
（5）﹣2a2x4+16a2x2﹣32a2
=﹣2a2（x4+8x2﹣16）
=﹣2a2（x2﹣4）2
=﹣2a2（x+2）2（x﹣2））2；
（6）（a2﹣a）2﹣（a﹣1）2
=（a2﹣a+a﹣1）（a2﹣a﹣a+1）
=（a2﹣1）（a2﹣2a+1）
=（a+1）（a﹣1）（a﹣1）2
=（a+1）（a﹣1）3；
（7）3y2﹣27
=3（y2﹣9）
=3（y+3）（y﹣3）；
（8）（a﹣3）2﹣6（a﹣3）+9
=（a﹣3﹣3）2
=（a﹣6）2．
【例12】已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，
（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；
（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．
【解】（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，
因式分解得：（b﹣c）（b+c+2a）=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵a=4，b=3，
∴b=c=3，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10．
【例13】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【解】（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
【例14】观察下列关于自然数的等式：
2×4﹣12+1=8
3×5﹣22+1=12
4×6﹣32+1=16
5×7﹣42+1=20
…
利用等式的规律，解答下列问题：
（1）若等式8×10﹣a2+1=b（a，b都为自然数）具有以上规律，则a=　7　，a+b=　39　．
（2）写出第n个等式（用含n的代数式表示），并验证它的正确性．
【解】（1）以上等式的规律是：
等式左边第一个因数比幂底数大1、第二个因数比幂的底数大3，而等式右边是
第一个因数的4倍；
∵8×10﹣a2+1=b，
∴a=8﹣1=7，b=4×8=32；
则a+b=39，
所以答案为：7，39．
（2）第n个等式为：（n+1）（n+3）﹣n2+1=4（n+1）；
∵左边=n2+3n+n+3﹣n2+1
=4n+4
=4（n+1）=右边
∴等式成立．
【例15】下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4
（第一步）
=y2+8y+16
（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　C　．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．完全平方和公式
D．完全平方差公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　（x﹣2）4　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；
故答案为：不彻底，（x﹣2）4；
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．
选练
1．下列各式运算正确的是（　B　）
A．a2+a3=a5
B．a2 a3=a5
C．（ab2）3=ab6
D．a10÷a2=a5
2．下列计算正确的是（　C　）
A．（x3）3=x6
B．a6 a4=a24
C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2
D．3a+2a=5a2
3．计算（﹣2ab）（3a2b2）3的结果是（　D　）
A．﹣6a3b3
B．54a7b7
C．﹣6a7b7
D．﹣54a7b7
4.若2m=3，2n=2，则2m+2n=（　A　）
A．12
B．7
C．6
D．5
5.计算2x2 （﹣3x3）的结果是（　A　）
A．﹣6x5
B．6x5
C．﹣2x6
D．2x6
6．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则ab的值为（　C　）
A．
B．
C．
D．
7.若3x=15，3y=5，则3x﹣y等于（　B　）
A．5
B．3
C．15
D．10
8.（﹣5a2+4b2）（　　）=25a4﹣16b4，括号内应填（　C　）
A．5a2+4b2
B．5a2﹣4b2
C．﹣5a2﹣4b2
D．﹣5a2+4b2
9.如图，阴影部分的面积是（　A　）
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A．xy
B．xy
C．4xy
D．2xy
10.计算（x﹣a）（x2+ax+a2）的结果是（　B　）
A．x3+2ax2﹣a3
B．x3﹣a3
C．x3+2a2x﹣a3
D．x3+2ax2+2a2x﹣a3
11.下面是某同学在一次测
( http: / / www.21cnjy.com )验中的计算：①3a+2b=5ab
②4m2n﹣5mn3=﹣m3n
③3x3（﹣2x2）=﹣6x5④4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a
⑤（a3）2=a5⑥（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2，其中正确的个数是（　B　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　A　）
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A．b2+（b﹣a）2
B．b2+a2
C．（b+a）2
D．a2+2ab
13．一个正方形的边长如果增加2cm，面积则增加32cm2，则这个正方形的边长为（　D　）
A．6cm
B．5cm
C．8cm
D．7cm
14．下列变形正确的是（　C　）
A．a+b﹣c=a﹣（b﹣c）
B．a+b+c=a﹣（b+c）
C．a﹣b+c﹣d=a﹣（b﹣c+d）
D．a﹣b+c﹣d=（a﹣b）﹣（c﹣d）
15.已知a+b=3，则a2+b2+2ab﹣a﹣b﹣5的值为（　B　）
A．﹣11
B．1
C．﹣1
D．11
16.已知长方形的面积为18x3y4+9xy2﹣27x2y2，长为9xy，则宽为（　D　）
A．2x2y3+y+3xy
B．2x2y2﹣2y+3xy
C．2x2y3+2y﹣3xy
D．2x2y3+y﹣3xy
17.下列各式从左到右的变形，正确的是（　C　）
A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y）
B．﹣a+b=﹣（a+b）
C．（y﹣x）2=（x﹣y）2
D．（a﹣b）3=（b﹣a）3
18．计算（18x4﹣48x3+6x）÷6x的结果为（　D　）
A．3x3﹣13x2
B．3x3﹣8x2
C．3x3﹣8x2+6x
D．3x3﹣8x2+1
19．若x2﹣x﹣m=（x+n）（x+7），则m+n=（　C　）
A．64
B．﹣64
C．48
D．﹣48
20．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　A　）
A．﹣3
B．3
C．0
D．1
21.下列各式中，计算正确的是（　D　）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2
B．（2x﹣y）2=4x2﹣2xy+y2
C．（﹣a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
D．﹣（x﹣y）2=2xy﹣x2﹣y2
22．在单项式x2，﹣4xy，y2，2xy.4y2，4xy，﹣2xy，4x2中，可以组成不同完全平方式的个数是（　C　）
A．4
B．5
C．6
D．7
23.下列各式中能用平方差公式是（　B　）
A．（x+y）（y+x）
B．（x+y）（y﹣x）
C．（x+y）（﹣y﹣x）
D．（﹣x+y）（y﹣x）
24．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　C　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
25．若x2﹣2mx+1是完全平方式，则m的值为（　C　）
A．2
B．1
C．±1
D．
26.下面是某同学在一次测验中的计算：
⑴3a+2b=5ab
⑵4m2n﹣5mn3=﹣m3n
⑶3x3（﹣2x2）=﹣6x5
⑷4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a
⑸（a3）2=a5
⑹（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2，其中正确的有（　B　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
27．下列各式中，计算正确的是（　D　）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2
B．（2x﹣y）2=4x2﹣2xy+y2
C．（﹣a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
D．﹣（x﹣y）2=2xy﹣x2﹣y2
28．下列计算中，正确的是（　D　）
A．（x+2）（x﹣3）=x2﹣6
B．（﹣4x）（2x2+3x﹣1）=﹣8x3﹣12x2﹣4x
C．（x﹣2y）2=x2﹣2xy+4y2
D．（﹣4a﹣1）（4a﹣1）=1﹣16a2
29.在边长为a的正方形中挖去一个边长
( http: / / www.21cnjy.com )为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　C　）
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A．（a+b）2=a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
30．下列从左到右边的变形，是因式分解的是（　D　）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2
B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2
31．下列因式分解中，正确的是（　C　）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）
B．2x2﹣8=2（x2﹣4）
C．a2﹣3=（a+）（a﹣）
D．4x2+16=（2x+4）（2x﹣4）
32.下列各式分解因式正确的是（　B　）
A．﹣m2﹣n2=﹣（m﹣n）（m+n）
B．x2﹣x+=（x﹣）2
C．y3﹣y=y（y2﹣1）
D．x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2
33.下列是因式分解，且正确的（　B　）
A．（x+2y）2=x2+4xy+4y2
B．（x﹣y）2+4xy=（x+y）2
C．（2x+y）2﹣（x+2y）2=（3x+3y）（x﹣y）
D．﹣x2+2xy﹣y2=（x﹣y）2
34．下列多项式中：①x2+4y2；②x2﹣4y2；③﹣x2+1；④﹣x2﹣y2．其中能用平方差公式分解因式的个数有（　B　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
35．下列多项式中：
①x2﹣4x﹣4；②6x2+3x+1；③4x2﹣4x+1；④a2﹣4ab+4b2；⑤4x2+16y2﹣8xy．
其中能用完全平方式进行因式分解的有（　C　）
A．①③
B．②④
C．③④
D．①⑤
36.一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认这位同学做得错误的题是（　D　）
A．x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2
B．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）
C．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
D．x3﹣x=x（x2﹣1）
37.若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　A　）
A．2
B．1
C．﹣2
D．﹣1
38.先观察下列各式：①32﹣12=4×2；②42﹣22=4×3；③52﹣32=4×4；④62﹣42=4×5；…下列选项成立的是（　C　）
A．n2﹣（n﹣1）2=4n
B．（n+1）2﹣n2=4（n+1）
C．（n+2）2﹣n2=4（n+1）
D．（n+2）2﹣n2=4（n﹣1）
39．已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（　C　）
A．P＞Q
B．P=Q
C．P＜Q
D．不能确定
40.初中毕业时，张老师买了一些纪
( http: / / www.21cnjy.com )念品准备分发给学生．若这些纪念品可以平均分给班级的（n+3）名学生，也可以平均分给班级的（n﹣2）名学生（n为大于3的正整数），则用代数式表示这些纪念品的数量不可能是（　C　）
A．n2+n﹣6
B．2n2+2n﹣12
C．n2﹣n﹣6
D．n3+n2﹣6n