1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
【课前预习】
知识点一
1.大小 方向 模 长度 长度
2.相同 0 1 1 相等 相同 相同 相反
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
知识点二
同一平面
诊断分析
(1)× (2)×
知识点三
1.① ②
2.a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 3.体对角线
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
知识点四
1.方向相反 大小相等 2.
知识点五
1.λa (1)|λ||a| ①相同 ②相反 (2)0 2.b=λa
3.=λ =
4.(λ+μ)a λa+λb 线性
诊断分析
(1)× (2)× (3)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)ACD (2)ABC [解析] (1)若a,b是两个单位向量,则|a|=|b|=1,故A正确;共线不一定同向,故B错误;因为a,b,c为非零向量,且a∥b,b∥c,所以a∥c,故C正确;在空间任取一点A,过点A引两个与已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于点A,两条相交直线确定一个平面,所以空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内,故D正确.故选ACD.
(2)由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量有,,,,,,,,共8个,故D错误.故选ABC.
变式 2 [解析] 与是相反向量;与是相反向量.故有2对相反向量.
探究点二
例2 解:(1)-++=+++=++=+=,如图①所示.
(2)+++=+++=+=,如图②所示.
变式 (1)D [解析] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,由向量加法的平行四边形法则,可得++=+=.故选D.
(2)解:①+-+-=+++=++=++=+=.
②-+-=+=+=.
探究点三
例3 (1)D (2)BC [解析] (1)如图,取CD的中点F,连接AF,EF.∵在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,∴-(+)=-==.故选D.
(2)连接NB,则在△MNB中,=+,由向量加法的平行四边形法则,得=(+)=(+),又==,所以=(++).连接MC,则=+=++=++=-(+2+).故选BC.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)如图,因为=2,所以=,所以=++=++=×(+)+(-)+=-+.故选C.
(2)如图,因为=λ,N为BC的中点,所以=,=+,所以=-=+-=-a+b+c,又=-a+b+c,所以-=-,解得λ=3.故选B.
【课堂评价】
1.C [解析] 当λ<0时,λa与a反向,故A错误;|λa|=|λ||a|,故B,D错误;当λ=0时,λa=0,故C正确.故选C.
2.C [解析] 在选项C中,++=(+)+=+=0.
3.B [解析] 连接AN,则=-=(+)-=-++,又=x+y+z,所以x=-,y=,z=,所以x+y+z=.故选B.
4.相等 相反 [解析] 根据相等向量、相反向量的定义知,与是相等向量,与是相反向量.
5.证明:如图,连接BG,延长后交CD于点E,易知E为CD的中点.
因为G为△BCD的重心,所以=,又E为CD的中点,所以=+,
所以=+=+=+(+)=+[(-)+(-)]=(++).1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
【学习目标】
1.了解空间向量的相关概念;
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出空间向量的和与差,掌握空间向量的线性运算的意义及运算律.
◆ 知识点一 空间向量的有关概念
1.定义:空间中既有 又有 的量称为空间向量.向量的大小也称为向量的 (或 ).空间向量可用有向线段表示,有向线段的 表示向量的大小,向量a的始点是A,终点是B,则向量a也可记作,其模记为|a|或||.
向量与有向线段的区别:向量的要素为大小和方向,向量是可以自由移动的;有向线段的要素为始点、终点、长度,有向线段是固定的,不能自由移动.
2.几类特殊的空间向量
名称 定义 表示
零向量 始点和终点 的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的 用 表示,|0|=0
单位向量 模等于 的向量称为单位向量 用e表示,|e|=
相等向量 大小 、方向 的向量称为相等向量 记作a=b
两个向量 平行(共线) 如果两个非零向量的方向 或 ,则称这两个向量平行.规定零向量与任意向量平行 记作 a∥b
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)零向量没有方向. ( )
(2)两个有公共终点的向量一定是共线向量. ( )
(3)若a∥b且b∥c,则a∥c. ( )
(4)所有的单位向量都是相等向量. ( )
(5)若两个向量是共线向量,则表示这两个向量的有向线段必在同一条直线上. ( )
◆ 知识点二 共面向量
一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在 内,则称这些向量共面.
注意:空间中任意两个向量都是共面的,但空间中任意三个向量不一定共面.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线不共面,则这两个向量不共面.( )
(2)向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. ( )
◆ 知识点三 空间向量的加法运算
1.运算法则
①三角形法则:给定两个平面向量a,b,在该平面内任取一点A,作=a,=b,作出向量,则 是向量a与b的和(也称 为向量a与b的和向量),向量a与b的和向量记作a+b,因此+= .当平面向量a与b不共线时,a,b,a+b正好能构成一个三角形,这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面,所以空间中两个向量的和,除了A点可以在空间中任意选定之外,其他的与平面情形完全一样.特别地,向量加法的三角形法则在空间中也成立.
②平行四边形法则:任意给定两个不共线的向量a,b,在空间中任取一点A,作=a,=b,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量,则 =+.
2.运算律
加法交换律: .
加法结合律: .
3.结论:三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的 所表示的向量.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)|a+b|<|a|+|b|. ( )
(2)++=. ( )
(3)(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c). ( )
◆ 知识点四 空间向量的减法运算
1.相反向量:给定一个空间向量,我们把与这个向量 、 的向量称为它的相反向量.
2.向量减法的三角形法则:在空间中任取一点O,作=a,=b,作出向量,则向量 就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量),即-= .当a与b不共线时,向量a,b,a-b正好能构成一个三角形.
◆ 知识点五 空间向量的数乘运算
1.数乘向量:给定一个实数λ与任意一个空间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量,记作 .
(1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为 ,而且λa的方向:
①当λ>0时,与a的方向 ;
②当λ<0时,与a的方向 .
(2)当λ=0或a=0时,λa= .
上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量.
2.向量平行:如果存在实数λ,使得 ,则b∥a.
3.三点共线:如果存在实数λ,使得 ,则与平行且有公共点A,从而A,B,C三点一定共线.特别地,当λ= ,即 时,B为线段AC的中点.
4.运算律:λa+μa= (λ,μ∈R),
λ(a+b)= (λ∈R).
空间向量的加法、减法与数乘运算,以及它们的混合运算,统称为空间向量的 运算.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空间向量的数乘运算中λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. ( )
(2)如果向量b∥a,那么一定存在实数λ,使b=λa成立. ( )
(3)若点C是线段AB的三等分点,则=3. ( )
◆ 探究点一 空间向量的有关概念及应用
例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若a,b是两个单位向量,则|a|=|b|
B.若两个向量共线,则这两个向量方向相同
C.若a,b,c为非零向量,且a∥b,b∥c,则a∥c
D.空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
(2)(多选题)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 ( )
A.单位向量有8个
B.与相等的向量有3个
C.的相反向量有4个
D.模为的向量有4个
变式 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,给定下列各对向量:
①与;②与;③与;④与.
其中是相反向量的有 对.
[素养小结]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点:
(1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.
(2)注意点:①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的;②单位向量的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1;③两个向量的模相等,不一定是相等向量,反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,方向也相同.
◆ 探究点二 空间向量的加减运算
例2 如图,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中.
(1)化简-++,并在图中标出化简结果的向量;
(2)化简+++,并在图中标出化简结果的向量.
变式 (1)[2025·北京师范大学附属实验中学高二月考] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,化简++= ( )
A. B.
C. D.
(2)在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为矩形,化简下列各式:
①+-+-;
②-+-.
[素养小结]
空间向量加、减法运算的技巧:
(1)向量加法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
◆ 探究点三 空间向量的数乘运算及其应用
例3 (1)在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则-(+)= ( )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为BB1,AC的中点,则= ( )
A.(++)
B.(++)
C.-(+2+)
D.(--)
变式 (1)[2025·湖北孝感重点高中高二期中] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,=2,则= ( )
A.-+
B.++
C.-++
D.-+-
(2)在四面体OABC中,=a,=b,=c,=λ(λ>0),N为BC的中点,若=-a+b+c,则λ= ( )
A. B.3
C. D.2
[素养小结]
(1)若AB是空间中任意一条线段,O是空间中任意一点,则M为AB中点的充要条件是=(+).
(2)计算向量的数乘时,要注意数形结合,即结合具体图形,利用向量的三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
1.已知λ∈R,a为非零向量,则下列结论正确的是 ( )
A.λa与a同向
B.|λa|=λ|a|
C.λa可能是0
D.|λa|=|λ|a
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向量的是 ( )
A.++
B.-+
C.++
D.++
3.在四面体ABCD中,=2,=2,若=x+y+z,则x+y+z= ( )
A.- B.
C. D.1
4.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,与是 向量,与是 向量.(填“相等”或“相反”)
5.如图,设A是△BCD所在平面外的一点,G是△BCD的重心.求证:=(++).1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
一、选择题
1.下列说法中正确的是 ( )
A.空间向量与的长度相等
B.将空间中所有的单位向量平移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
2.对于空间中的非零向量,,,其中一定不成立的是 ( )
A.+=
B.-=
C.||+||=||
D.||-||=||
3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1的中点,则 ( )
A.++=0 B.--=0
C.+-=0 D.-+=0
4.如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内的定点,O为平面ABC外任意一点,则下列能表示向量的为 ( )
A.+2+2
B.-3-2
C.+3-2
D.+2-3
5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量一定不共面的是 ( )
A., B.,
C.,, D.,,
6.[2025·河北保定高二期中] 如图,在四面体ABCD中,E是棱AB的中点,F是棱CD上一点,且=,则= ( )
A.--+
B.+-
C.--
D.-++
7.设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点构成集合S,集合P={a|a=,P1,P2∈S},则集合P中模为的向量的个数是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
8.(多选题)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O,则下列各结论中正确的有 ( )
A.+与+是一对相反向量
B.-与-是一对相反向量
C.+++与+++是一对相反向量
D.-与-是一对相反向量
9.(多选题)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,则 ( )
A.=--
B.=++
C.=+-
D.=--
二、填空题
10.已知空间向量a,b,c互相平行,其中a,c同向,a,b反向,|a|=3,|b|=2,|c|=1,则|a+b+c|= .
11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:--= ;
(2)用,,表示,则= .
12.如图,O为△ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若=λ与=++同时 成 立, 则实数λ的值为 .
三、解答题
★13.(13分)在四面体ABCD中,G是△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,化简:
(1)++;
(2)(+-);
(3)(++).
14.(15分)图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形,将其沿OB,OC折起使得A与A1重合,如图②,其中D,E,F,G分别为AB,OB,OC,AC的中点.
(1)用,,表示,;
(2)证明:D,E,F,G四点共面.
15. 光岳楼,又称“余木楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年.在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底面边长之比约为,则++= .
16.(15分)如图,已知几何体ABCD-A'B'C'D'是平行六面体.设M是底面ABCD的对角线BD的中点,N是BC'上靠近C'的四等分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.(共74张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
探究点一 空间向量的有关概念及应用
探究点二 空间向量的加减运算
探究点三 空间向量的数乘运算及其应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解空间向量的相关概念；
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出空间向量的和与差,掌
握空间向量的线性运算的意义及运算律.
知识点一 空间向量的有关概念
1.定义：空间中既有______又有______的量称为空间向量.向量的大
小也称为向量的____（或______）.空间向量可用有向线段表示，有
向线段的______表示向量的大小，向量的始点是，终点是 ，则
向量也可记作，其模记为或 .
向量与有向线段的区别：向量的要素为大小和方向，向量是可以自
由移动的；有向线段的要素为始点、终点、长度，有向线段是固定
的，不能自由移动.
大小
方向
模
长度
长度
2.几类特殊的空间向量
名称 定义 表示
零向量 始点和终点______的向量称为零向 量，零向量的方向是不确定的
单位向量 模等于___的向量称为单位向量
相等向量 大小______、方向______的向量称 为相等向量
两个向量平 行（共线） 如果两个非零向量的方向______或 ______，则称这两个向量平行.规定 零向量与任意向量平行
相同
0
1
1
相等
相同
相同
相反
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）零向量没有方向.( )
×
（2）两个有公共终点的向量一定是共线向量.( )
×
（3）若且，则 ( )
×
（4）所有的单位向量都是相等向量.( )
×
（5）若两个向量是共线向量,则表示这两个向量的有向线段必在同一
条直线上.( )
×
知识点二 共面向量
一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之
后，都能在__________内，则称这些向量共面.
注意：空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不
一定共面.
同一平面
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线不共面，则这两
个向量不共面.( )
×
（2）向量,, 共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.
( )
×
知识点三 空间向量的加法运算
1.运算法则
①三角形法则：给定两个平面向量，，在该平面内任取一点 ，
作，，作出向量，则____是向量与 的和（也称
____为向量与的和向量），向量与的和向量记作 ，因此
____.当平面向量与不共线时，，， 正好能构
成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三
角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量
的和，除了 点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全
一样.特别地，向量加法的三角形法则在空间中也成立.
②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量， ，在空间中任
取一点，作，，以， 为邻边作一个平行四边形
，作出向量，则____ .
2.运算律
加法交换律：______________.
加法结合律：________________________.
3.结论：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六
面体中，与这三个向量有共同始点的__________所表示的向量.
体对角线
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） .( )
×
（2） .( )
√
（3） .( )
√
知识点四 空间向量的减法运算
1.相反向量：给定一个空间向量，我们把与这个向量__________、
__________的向量称为它的相反向量.
方向相反
大小相等
2.向量减法的三角形法则：在空间中任取一点，作 ，
，作出向量，则向量_____就是向量与的差（也称 为
向量与的差向量），即_____.当与 不共线时，向量
，， 正好能构成一个三角形.
知识点五 空间向量的数乘运算
1.数乘向量：给定一个实数 与任意一个空间向量 ，规定它们的乘
积是一个空间向量，记作____.
（1）当且时，的模为______，而且 的方向：
①当时，与 的方向______；
②当时，与 的方向______.
相同
相反
（2）当或时， ___.
上述实数 与空间向量 相乘的运算简称为数乘向量.
2.向量平行：如果存在实数 ，使得________，则 .
3.三点共线：如果存在实数 ，使得___________，则与 平行
且有公共点，从而，，三点一定共线.特别地，当 ___，即
__________时，为线段 的中点.
4.运算律：_________， ________
.
空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为
空间向量的______运算.
线性
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）空间向量的数乘运算中 只决定向量的大小，不决定向量的方
向.( )
×
（2）如果向量，那么一定存在实数 ，使 成立. ( )
×
（3）若点是线段的三等分点，则 .( )
×
探究点一 空间向量的有关概念及应用
例1（1）（多选题）下列说法中正确的是( )
A.若,是两个单位向量，则
B.若两个向量共线，则这两个向量方向相同
C.若，，为非零向量，且，，则
D.空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
√
√
√
[解析] 若,是两个单位向量，则 ，故A正确；
共线不一定同向，故B错误；
因为,,为非零向量，且, ，所以，故C正确；
在空间任取一点，过点 引两个与已知非零向量相等的向量，
而这两个向量所在的直线相交于点 ，两条相交直线确定一个平面，
所以空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内，故D正确.
故选 .
（2）（多选题）如图所示，在长方体中， ，
， ，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的
向量中( )
A.单位向量有8个 B.与 相等的向量有3个
C.的相反向量有4个 D.模为 的向量有4个
√
√
√
[解析] 由题可知单位向量有， ，
，，，，， ，共8
个，故A正确；
与相等的向量有 ，，，共3个，故B正确；
向量 的相反向量有，，，，共4个，故C正确；
模为 的向量有，，，，，，， ，
共8个，故D错误.故选 .
变式 如图所示，在平行六面体
中,给定下列各对向量:
与 ;
与 ;
与 ;
与 .
其中是相反向量的有___对.
2
[解析] 与是相反向量;与 是相反向量.故有2对相反向量.
［素养小结］
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点:
（1）关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.
（2）注意点:①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的;②单位
向量的方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1;③两个向量的模相
等,不一定是相等向量，反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,方
向也相同.
探究点二 空间向量的加减运算
例2 如图，在正六棱柱 中.
（1）化简 ,并在图中标出
化简结果的向量；
解：
,如图①所示.
（2）化简 ，并在图中标出化简结果的向量.
解：
,如图②所示.
变式（1）［2025·北京师范大学附属实验中学高二月考］在长方体
中，化简 ( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，在长方体 中，
由向量加法的平行四边形法则，可得
.故选D.
√
（2）在四棱柱中，底面 为矩形，化简下列各式：
① ;
解： .
② .
解： .
［素养小结］
空间向量加、减法运算的技巧:
（1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵
活应用相反向量可使向量间首尾相接.
（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加、减法运算时,
务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平
移获得更准确的结果.
探究点三 空间向量的数乘运算及其应用
例3（1）在三棱锥中，是 的中点，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，取的中点，连接，
在三棱锥中，是 的中点，
.
故选D.
√
（2）（多选题）如图,在三棱柱中，,分别为 ,
的中点,则 ( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 连接,则在 中,
，由向量加法的平行四边形法
则,得 ,
又,所以.
连接，则.故选 .
变式（1）［2025·湖北孝感重点高中高二期中］在三棱柱
中，是的中点，，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图，因为，所以 ，所以
.故选C.
[解析] 如图，因为，为 的中点，所
以， ，
所以，
（2）在四面体中，，， ，，
为的中点，若 ，则 ( )
A. B.3 C. D.2
√
又 ，所以，解得 ．故选B.
［素养小结］
（1）若是空间中任意一条线段，是空间中任意一点，则为
中点的充要条件是.
（2）计算向量的数乘时，要注意数形结合，即结合具体图形,利用向
量的三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
1.已知, 为非零向量,则下列结论正确的是( )
A.与同向 B. C.可能是 D.
[解析] 当时,与反向,故A错误; ,故B,D错误;当
时, ,故C正确.故选C.
√
2.在正方体 中,下列选项中化简后为零向量的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 在选项C中, .
√
3.在四面体中，, ，若
，则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 连接 ，则
，
又，所以,, ，
所以 .故选B.
√
4.如图所示，在三棱柱中,与是______向量，
与 是______向量.（填“相等”或“相反”）
相等
相反
[解析] 根据相等向量、相反向量的定义知，与 是相等向量，
与 是相反向量.
5.如图,设是所在平面外的一点,是 的重心.求证:
.
证明：如图,连接,延长后交于点,易知 为 的中点.
因为为的重心,所以，
又为 的中点,所以 ，
所以
.
1.在进行空间向量的加法运算时，需注意用平行四边形法则要求向量
的始点（起点）放在一起，而用三角形法则要求首尾相连，因此求
始点相同的两个向量的和时，可以优先考虑平行四边形法则.
2.相反向量的性质
（1）零向量的相反向量仍是零向量，即 ；
（2） ;
（3） ;
（4）若，互为相反向量，则，， .
3.数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或 的反方向扩大或
缩小.当时，沿着向量的方向扩大到原来的 倍或缩小
到原来的;当时，沿着向量 的反方向扩大到原来
的倍或缩小到原来的 .
4.对于任意向量,以及任意实数 ,, ,恒有
.
5.空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种
几何直观表示法.
1.空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量.单位向量的长
度为1，方向任意.零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量
与任意向量的数量积都为0.
2.空间向量的运算类似于平面向量的运算.向量加法运算的技巧是“首
尾相接”,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;向量减法
运算的技巧是“起点相同”,结果为减向量的终点指向被减向量的终点.
例1 已知点是正方形的中心，点为正方形 所在平面外
一点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] .
因为四边形是正方形， 是它的中心，
所以，故原式 .
√
3.空间向量的线性运算.
例2 在《线性代数》中定义：对于一组向量，， , 存在一
组不全为0的实数，， ， 使得
成立，那么就称，， ， 线性相关，只有当
时，才能使成立，那么就称，，
， 线性无关.若{,, 为一组不共面的空间向量，则以下向量
线性无关的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
[解析] 因为{,,为一组不共面的空间向量，所以 不能用
，线性表示，即只有当 时，
.
对于A，设 ，
则，所以有 ,
，取,，所以 ，，
线性相关，故A错误；
对于B，设 ，则
，所以有 ,
，取,，所以，，
线性相关，故B错误；
对于C，设 ，则
，所以有 ,
，取,，所以，，
线性相关，故C错误；
对于D，设 ，则
，所以有 ,
,，解得，所以 ，
， 线性无关，故D正确.故选D.
练习册
一、选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.空间向量与 的长度相等
B.将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成
一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
√
[解析] 对于A，因为空间向量与 互为相反向量，所以空间向量
与 的长度相等，所以A正确；
对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点
构成一个球面，所以B错误；
对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是
有向线段，所以C错误；
对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，
所以D错误.故选A.
2.对于空间中的非零向量，， ，其中一定不成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，恒成立；
对于C，当， 方向相同时，有；
对于D，当， 方向相同且时，有；
对于B， ，又 为非零向量，所以B一定不成立.故选B.
√
3.如图，在平行六面体中， ,
,,,,分别是,,,,, 的中
点，则( )
A. B.
C. D.
[解析] .
√
4.如图所示，已知,,三点不共线， 为平面
内的定点，为平面 外任意一点，则
下列能表示向量 的为( )
A. B.
C. D.
[解析] 以为对角线,以, 所在直线为邻边作平行四边形,则
,所以 .故选C.
√
5.在平行六面体 中，下列各组向量一定不共面的是
( )
A., B.,
C.,， D.,,
[解析] 由共面向量的定义知A，B中的向量一定共面；
C中,,,都可以平移到平面 内，
故三个向量共面；
D中三个向量不能平移到同一个平面内，故不共面.故选D.
√
6.［2025·河北保定高二期中］如图，在四面体中，是棱 的
中点，是棱上一点，且，则 ( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 如图，连接，则 .故选D.
7.设棱长为1的正方体的8个顶点构成集合 ，集合
,,，则集合中模为 的向量的个数是 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 棱长为1的正方体的8个顶点构成集合 ,集
合,,，则集合中模为的向量有, ,
,,,,,,所以集合中模为 的向量的个数是8.故
选D.
√
8.（多选题）已知正方体的中心为 ，则下列各结
论中正确的有( )
A.与 是一对相反向量
B.与 是一对相反向量
C.与 是一对相反向量
D.与 是一对相反向量
√
√
√
[解析] 对于A，， ，
， 与
是一对相反向量，A正确；
对于B，， ，又
，与 不是相反向量，B错误；
对于C，，，， ，
，
与 是
一对相反向量，C正确；
对于D，， ，又
，与 是一对相反向
量，D正确.故选 .
9.（多选题）已知四棱柱 的底面是平行四边形，则( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故A选项错误;
，故B选项正确;
，故C选项正确;
，故D选项错误.故选 .
√
√
二、填空题
10.已知空间向量，，互相平行，其中，同向，， 反向，
，，，则 ___.
2
[解析] 易知 .
11.如图，在长方体中，为 的中点.
（1）化简： _____；
[解析] .
（2）用，，表示，则 _________________.
[解析]
.
12.如图,为所在平面外一点,为 的中点,若
与 同时 成 立,
则实数 的值为__.
[解析] 连接,则,所以 .
三、解答题
★13.（13分）在四面体中，是的重心，，， 分别
为，， 的中点，化简：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： ，
在中，，则 ，
即，所以 .
［技巧点拨］重心是三角形的一个非常重要的几何中心，在解决向
量问题中的作用也十分重要.本题中是 的重心，则有
.
14.（15分）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图
形，将其沿,折起使得与重合，如图②，其中,,, 分别
为,,, 的中点.
（1）用,,表示, ；
解：连接,，因为,,,分别为,,, 的中点，
所以 ，
.
（2）证明：,,, 四点共面.
证明：因为, ,
， ，
所以，故,,, 四点共面.
15.光岳楼，又称“余木楼”“东昌楼”，位于
山东省聊城市，始建于公元1374年.在
《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与
鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王
阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩
台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底面边
长之比约为，则 ____.
[解析] 延长,,,相交于一点，则, ,且
， .
16.（15分）如图，已知几何体 是
平行六面体.设是底面的对角线 的中点，
是上靠近 的四等分点，设
，试求 ， ， 的值.
解：因为 ，所以，， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.大小,方向,模,长度,长度 2.相同,0,1,1,相等,相同,相同,相反
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）× （5）×
知识点二 同一平面 【诊断分析】 （1）× （2）×
知识点三 1.①,, ② 2., 3.体对角线
【诊断分析】（1）×（2）√（3）√
知识点四 1.方向相反,大小相等 2., 知识点五 1. （1） ①相同 ②相反
（2） 2. 3.,, 4.,,线性 【诊断分析】（1）×（2）×（3）×
课中探究 例1.（1）ACD （2）ABC 变式.2 例2（1）,图略；
（2） 图 变式.（1）D （2）① .②.
探究点三 例3.（1）D （2）BC 变式.（1）C （2）B
课堂评价 1.C 2.C 3.B 4.相等,相反 5.证明略
快速核答案（练习册）
1.A 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.D 8.ACD 9.BC
10.2 11.（1） （2） 12.
13.（1）解：. （2）. （3）.
14（1），.（2）略
15.
16.，，.1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
1.A [解析] 对于A,因为空间向量与互为相反向量,所以空间向量与的长度相等,所以A正确;对于B,将空间中所有的单位向量平移到同一个起点,则它们的终点构成一个球面,所以B错误;对于C,空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但空间向量不是有向线段,所以C错误;对于D,两个空间向量不相等,它们的模可能相等,也可能不相等,所以D错误.故选A.
2.B [解析] 对于A,+=恒成立;对于C,当,方向相同时,有||+||=||;对于D,当,方向相同且||≥||时,有||-||=||;对于B,-=,又为非零向量,所以B一定不成立.故选B.
3.A [解析] ++=-+-+-=0.
4.C [解析] 以AP为对角线,以AB,AC所在直线为邻边作平行四边形,则=3-2,所以=+=+3-2.故选C.
5.D [解析] 由共面向量的定义知A,B中的向量一定共面;C中=,,,都可以平移到平面ABB1A1内,故三个向量共面;D中三个向量不能平移到同一个平面内,故不共面.故选D.
6.D [解析] 如图,连接AF,则=+=++=-++
=-++(-)=-++.故选D.
7.D [解析] 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点构成集合S,集合P={a|a=,P1,P2∈S},则集合P中模为的向量有,,,,,,,,所以集合P中模为的向量的个数是8.故选D.
8.ACD [解析] 对于A,∵=-,=-,∴+=-(+),∴+与+是一对相反向量,A正确;对于B,∵-=,-=,又=,∴-与-不是相反向量,B错误;对于C,∵=-,=-,=-,=-,∴+++=-(+++),∴+++与+++是一对相反向量,C正确;对于D,∵-=,-=,又=-,∴-与-是一对相反向量,D正确.故选ACD.
9.BC [解析] =++=-++,故A选项错误;=++,故B选项正确;=++=+-,故C选项正确;=++=--,故D选项错误.故选BC.
10.2 [解析] 易知|a+b+c|=3-2+1=2.
11.(1) (2)++ [解析] (1)--=-=-=-=+=.
(2)=+=+=(+)+=++.
12. [解析] 连接OM,则=-=++-=-+(+)=
-+=,所以λ=.
13.解:(1)++=+++=+++=++=+
=++==.
(2)(+-)=-=-=.
(3)(++)=×2+=+,
在△ADH中,=2,则-=2(-),
即=+,所以(++)=.
[技巧点拨] 重心是三角形的一个非常重要的几何中心,在解决向量问题中的作用也十分重要.本题中G是△BCD的重心,则有==×(+)=(+).
14.解:(1)连接DG,GF,因为D,E,F,G分别为AB,OB,OC,AC的中点,
所以==-,=+=+=(-)-=(--+).
(2)证明:因为=(--+),==(-),=-,+=(-)-
=(--+),所以=+,故D,E,F,G四点共面.
15. [解析] 延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,则=,=,且=,∴++=++=++=+=+=.
16.解:因为=+=+=(+)+(+)=++,所以α=,β=,γ=.
