(共95张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量基本定理
探究点一 共线问题
探究点二 空间向量的共面问题
探究点三 空间向量基本定理
探究点四 空间向量基本定理的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法;
2.理解向量共线、共面的充要条件及其推论,并能证明空间向量的共
线、共面问题;
3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
知识点一 共线向量基本定理与共面向量定理
1.共线向量基本定理：如果且，则存在______的实数 ，
使得 .
2.平面向量基本定理：如果平面内两个向量与 ________，则对该
平面内任意一个向量，存在唯一的实数对，使得 .
3.共面向量定理：如果两个向量，________，则向量，， 共面
的充要条件是，存在______的实数对，使 .
唯一
不共线
不共线
唯一
4.判断空间中四点是否共面的方法：如果，， 三点________，则
点在平面内的充要条件是，存在______的实数对 ，使
.
不共线
唯一
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若,则与, 共面.( )
√
[解析] 由共面向量定理得，若,则与, 共面.
（2）若与,共面,则 .( )
×
[解析] 当与共线,而与不共线时, 不成立.
（3）若,则,,, 四点共面.( )
√
[解析] 由共面向量定理得,若,则,,, 四点共面.
（4）若,,,四点共面,则 .( )
×
[解析] 当与共线,而与不共线时, 不
成立.
知识点二 空间向量基本定理
1.定理：如果空间中的三个向量,, ________,那么对空间中的任意
一个向量,存在唯一的有序实数组 ,使得_________________.
不共面
2.基底：空间中不共面的三个向量，， 组成空间向量的一组基底
{,, }.
3.基向量：基底{，，中，， 都称为基向量.
4.空间向量基本定理的三个关注点:
（1）空间任意向量:用空间三个不共面的向量,, 可以线性表示出
空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
（2）基底的选取:空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间向
量的一组基底.
（3）特别地，当，， 不共面时，可知
.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）空间中的任何一个向量都可用三个给定的向量表示.( )
×
[解析] 空间中的任何一个向量都可用三个不共面的向量表示.
（2）若,,为空间向量的一组基底,则,, 都不是零向量.( )
√
（3）若向量,与任何向量都不能构成空间向量的一组基底,则与
共线.( )
√
（4）任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.( )
×
[解析] 空间向量的一组基底是由三个不共面的向量构成的.
探究点一 共线问题
例1 如图所示，在正方体中， 在
上，且，在上，且 .
求证：，， 三点共线.
证明：连接，，设，， .
，，， ，
，
，
，，， 三点共线.
.
又 ，
变式 ［2025·重庆杨家坪中学高二期中］如图，
在四面体中，,分别为, 的重
心，为上一点，且.设 ,
, .
（1）请用{,,}表示 ；
解： .
（2）求证：,, 三点共线.
证明：
，
则，所以，， 三点共线.
变式 ［2025·重庆杨家坪中学高二期中］如图，
在四面体中，,分别为, 的重
心，为上一点，且.设 ,
, .
［素养小结］
对于空间中的三点
,
,
,可通过证明下列结论来证明三点共线：
（1）存在实数
,使
成立.
（2）对空间任一点
,有
.
（3）对空间任一点
，有
.
探究点二 空间向量的共面问题
例2（1）已知,,三点不共线，是平面 外任意一点,若
，则,,, 四点共面的充要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 若,,,四点共面，则,解得,故,,,
四点共面的充要条件是 .故选B.
√
（2）［2025·北京朝阳区北京工业大学附中高二月考］如图，在四
棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，
的中点.求证：向量，， 共面.
证明：如图，连接.因为底面 是平行四
边形，是的中点，所以也是 的中点.
在中，是的中点，所以 ，且
.
又因为，所以 ，所以由向量
共面定理可知，向量，， 共面.
变式（1）（多选题）已知空间向量,, 不共面，则下列各选项中的
三个向量共面的有( )
A.,,
B.,,
C.,,
D.,,
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以, ,
共面，故A正确；
对于B，假设存在 , ，使得，
整理得 ，
则无解，即不存在 , ，使得
，所以,, 不共面，故B错误；
对于C，因为，所以,, 共面，
故C正确；
对于D，因为，
所以 , ,共面，故D正确.
故选 .
（2）如图所示，是平行四边形
所在平面外一点，连接，， ，
，点，，，分别是 ，
，， 的重心，分别
延长，，，交,,,
于，，，，并连接， ，
，.应用共面向量定理证明：
，，， 四点共面.
证明：，，， 分别是所在三角形的重
心，，，， 为所在边的中点，
易知四边形为平行四边形，且 ，
，， .
连接，，，， 四边形 为平行四边形，
，
由共面向量定理得，，共面，，，， 四点共面.
［素养小结］
证明空间中三个向量共面或四点共面的方法:
（1）向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线
性组合,即若
,则向量
,
,
共面.
（2）若存在有序实数组
使得对于空间中任一点
,有
,且
成立,则
,
,
,
四点共面.
（3）用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
探究点三 空间向量基本定理
例3 已知{,,}是空间向量的一组基底，且 ，
，， .
（1）求证：，，， 四点共面.
证明：由题得 ，
， ，
则 ，
所以，，， 四点共面.
（2）,, 能否作为空间向量的一组基底 若能，试用这组基底
表示 ；若不能，请说明理由.
解：假设,,共面，设 ，即
，
所以 ，
则解得 所以，即,,共面，
故,, 不能作为空间向量的一组基底.
例3 已知{,,}是空间向量的一组基底，且 ，
，， .
变式（1）已知{,, }是空间向量的一组基底，则下列说法错误的是
( )
A.若，则
B.,,两两共面，但,, 不共面
C.一定存在实数,,使得
D.,, 一定能构成空间向量的一组基底
√
[解析] 对于A，若,,不全为0，则,, 共面，与题意矛盾，故A中
说法正确；
对于B，因为{,,}是空间向量的一组基底，所以,, 不共面，
故B中说法正确；
对于C，因为,, 不共面，所以不存在实数,,使得，
故C中说法错误；
对于D，若 ，，共面，则，
即 无解，故,, 不共面，则一定能构成空间向量的
一组基底，故D中说法正确.故选C.
（2）在四面体中，点为的重心，，， 分别为
，，的中点，且，则实数 ___.
3
[解析] 如图，连接，则 ，故
，
而，故 .
［素养小结］
用基底表示向量的步骤：
（1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间向量的
一组基底.
（2）找目标:用确定的基底（或已知基底）表示目标向量,需要根据
向量的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的
运算进行变形、化简,最后求出结果.
（3）下结论:利用空间向量的一组基底
,
,
可以表示出空间所有
向量.表示要彻底,结果中只能含有
,
,
,不能含有其他形式的向量.
探究点四 空间向量基本定理的应用
例4 ［2024·山东日照高二期中］在长方体
中,,,
为的中点,为 的中点.试计算:
（1） ;
解：设,, ,
则,, .
.
（2） ;
解： .
例4 ［2024·山东日照高二期中］在长方体
中,,,
为的中点,为 的中点.试计算:
（3） .
解： .
例4 ［2024·山东日照高二期中］在长方体
中,,,
为的中点,为 的中点.试计算:
变式（1）［2025·江苏南京玄武高级中学高二月考］
在正三棱锥中，是 的中心，
，则 ____.
16
[解析] 由题得 ， .
因为 ，
所以 .
（2）如图，平行六面体的底
面 是边长为1的正方形，且
，，则线段 的长为_____.
[解析] ,
,即线段的长为 .
［素养小结］
利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧：
根据条件确定基底，一般用已知的向量（向量的长度已知，夹角已
知等）作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，
可证平行、垂直，可求两向量的数量积、夹角，可求向量的长度.
1.若与不共线，且，， ，则( )
A.，，共线 B.与 共线
C.与共线 D.，， 共面
[解析] ，即可由，线性表示，所以，， 共面.
故选D.
√
2.对空间中任意一点和不共线的三点，，，能得到，， ，
四点共面的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.故选B.
√
3.已知，， 是不共面的三个向量，则下列能构成空间向量的一组
基底的是( )
A.，， B.，，
C.,， D.，，
[解析] 对于A，，，， 共面，
不能构成空间向量的一组基底；
同理可判断B，D中的三个向量不能构成空间向量的一组基底.故选C.
√
4.［2025·福建福州金山中学高二期末］如图，已知
，分别是四面体的棱，的中点，点
在线段上，且，设向量 ，
，，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 连接，在四面体中，,分别为 ,
的中点，且，所以 .故选C.
5.如图所示，在平行六面体 中，
设，，，，， 分别是
，，的中点，试用，， 表示以下各向量：
（1） ；
解：因为是的中点，所以 .
（2） .
所以 .
解：因为是 的中点，所以
，
，
5.如图所示，在平行六面体 中，
设，，，，， 分别是
，，的中点，试用，， 表示以下各向量：
1.共线向量基本定理的推论：
对于空间任意点，若有成立，则，，
三点共线．这一结论可作为证明三点共线的常用方法.
2.对共面向量定理的理解
若存在有序实数组使得对于空间一点和不共线的三点 ，
，，有，且成立，则 ，
，， 四点共面．这一结论可作为判定空间中四个点共面的常用
方法．
1.共面问题常用结论:设,,三点不共线,则（1）,,,四点共面
存在有序实数对,使;（2）,,,四点共面
对平面外任意一点,都有 ,且
.
例1 （1）［2025·辽宁大连高二期中］如图，在四面体 中，
，，，点在上，且，点 为
的中点，设，则 ___.
1
[解析] 由题得
，
又 ，所以,，故 .
（2）如图所示,在平行六面体
中,已知,,分别是 ,
,上的点,且, ,
解：设,由 ,
得,
因为,,, 四点共面,所以,解得,故 .
,求平面截体对角线所得的线段与 的比值.
2.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底；基底
选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的.
3.在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线
性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.
例2 如图所示,在三棱柱中,设 , ,,
是的中点,是 的中点,用基底 {,,}表示向量, .
解：由是的中点得 ,则
.
连接，因为是的中点,所以 ,则
.
4.证明空间直线垂直的问题时,一般把相关直线先用向量表示,再根据
两向量的数量积为零证明.
例3 如图，四面体的棱长都是1，，分别是，的中点，
记， ， .
（1）设,求,, 的值；
解:根据题意知，
所以,, .
，
（2）求证： .
证明：根据题意知，,,相互之间的夹角为 ，且模均为1，
由（1）得，所以，即 .
例3 如图，四面体的棱长都是1，，分别是，的中点，
记， ， .
5.利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、模、夹角.
例4（1）［2025·海南高二期中］如图，在多面体
中，底面 是边长为1的正方形，
底面, 底面，且, 是
正方形的中心，若，则 ___.
2
[解析] 因为底面是边长为1的正方形， 底面,,
底面，所以 ，，.设，
因为，，
所以，可得 ，故 .
（2）在两条异面直线，上分别取点，和点，，使 ，
且.已知，，， ，则异面直
线， 所成的角为( )
A. B. C. D.
[解析] 以，，为空间向量的基底表示 ，即
，则，
√
又 ， 且 ，所以，，则 ，
，所以
, ，即,，
解得, ，
则异面直线，所成角的余弦值为，即异面直线，所成的角为 .
（3）［2025·广东东莞高二期中］如图，在平行六面体
中，底面和侧面 都是正方形，
,，点是与的交点，则 ( )
A. B.2 C.4 D.6
√
[解析] 由题意，在平行六面体
中，, ，
，
由点是与 的交点，得 ，又 ，
所以 .故选B.
练习册
一、选择题
1.已知点在平面内，并且对于空间任意一点 ，都有
，则 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,,,四点共面，且 ，所以
，解得 .故选D.
√
2.［2024·广东江门高二期中］若,, 是空间向量的一组基底，
且向量,, 不能构成空间向量的一
组基底，则 ( )
A. B.1 C.0 D.
√
[解析] 因为,, 不能构成空间向量
的一组基底，所以存在实数，使得 ，
即 ，
即，
因为,, 是空间向量的一组基底，所以解得
故选B.
★3.已知在四面体中，,分别是,的中点，设 ,
，，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 连接，如图，因为, ，
，,分别是,的中点，所以 .故选D.
［技巧点拨］用指定的基向量表示空间向量，一般都是应用“走道原理”，
即从点走到点 ，应用向量的线性运算连接即可.
4.［2025·安徽合肥高二期中］若向量,, 是空间向量的一组基
底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组 ，
使得，我们把有序实数组称为基底 ,
,下向量的斜坐标.设向量在基底,, 下的斜坐标为
，则向量在基底,, 下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得 ，
设 ，则，
可得 解得 即，
即向量在基底{ ,,}下的斜坐标为 .故选A.
5.已知空间向量，，且， ，
，则一定共线的三点是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
[解析] ，，若，， 三点共线，
则，即无解，故A错误.
，，若，，三点共线，
则 ，即无解，故B错误.
√
因为 ， ， ，所以
，所以，所以，， 三点共线，
故C正确.
因为， ，
，所以，若，， 三
点共线，则，即 无解，故D错误.故选C.
6.在所有棱长都为1的平行六面体中，为 与
的交点， ， ，则
( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 因为
，
，所以 .
故选C.
7.［2025·四川遂宁高二期末］如图所示，若 为
平行四边形所在平面外一点，为 上的
点，且，点在上，且.若 ，
，，四点共面，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题得 ，
因为，，，四点共面，所以，解得 .故选C.
★8.（多选题）已知空间四点,,,及空间任意一点 ，由下列条
件一定可以得出,,, 四点共面的有( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以,,共面，故 ,
, , 四点共面，故A正确；
对于B，，，
故, ,, 四点不共面，故B错误；
对于C，因为，所以,, 三点共线，所以,,, 四点共面，
故C正确；
对于D，， ，
故,,,四点共面，故D正确.故选 .
［技巧点拨］判断点共面一般有两种方法：一是共面定理，即四个
点确定的三个向量能够线性表示，则四点共面；二是若存在有序实
数组使得对于空间任意一点，有 ，
且成立，则，，， 四点共面.
9.（多选题）［2025·山东淄博高二期末］ 关于空间向量，以下说法
正确的是( )
A.非零向量,，若，则
B.若对空间中任意一点，有，则， ，
， 四点共面
C.空间四个点,,,,若，则,, 三点共线
D.设,,是空间向量的一组基底，则,, 也是空间
向量的一组基底
√
√
[解析] 对于A，非零向量,，若，则 ，故A正确；
对于B，因为，所以,,, 四点不共面，故B错误；
对于C，因为，所以,, 三点共线，故C正确；
对于D，因为，所以，， 是共面
向量，所以 {,,}不是空间向量的一组基底，故D错误.
故选 .
二、填空题
10.在四面体中,,分别是,的中点，设 ，
，，则用基底,,表示向量 _____________.
[解析] 连接 ，则
.
11.已知，，三点共线，则对空间中任一点 ，若
，则____;如果存在三个不为0的实数 ，， ，
使，那么 的值为___.
0
[解析] ，，三点共线，， ，
， ，
由，，三点共线知，则 .
★12.如图，在长方体 中，
，，， 与平面
交于点，则 ___.
[解析] 设 ，因为
，
所以，因为，， ，四点共面，所以
，解得 ，所以 .
［易错点］不能够准确地利用共线向量基本定理得到
，进而导致计算受阻.
三、解答题
13.（13分）
（1）在四面体中,,分别是,的重心,设 ,
,,试以，，为空间向量的一组基底表示向量 ,
, .
解：如图,取的中点,由题得,,三点共线,
, ,三点共线,连接, .
.
.
.
（2）已知向量,, 是三个不共面的非零向量，且
，， ，
若向量，，共面，求 的值.
解：由题易知，不共线，向量，， 共面，
存在唯一的实数对，使 ，
，
解得
14.（15分）如图，在三棱柱中，, ,
,，,,,,,是 的中点.
（1）求 的长；
所以
，所以的长为 .
解： ，
因为,,,, ，
所以,, ，
（2）若点是棱 所在直线上的点，设
,，当时，求实数 的值.
即，解得 .
解：，因为 ，所以 ， 即 ，
14.（15分）如图，在三棱柱中，, ,
,，,,,,,是 的中点.
15.在正四棱锥中，若,，平面 与
棱交于点，若，则 __.
[解析] .
由题知,,, 四点共面，可设 ，则
，所以 ，
整理可得.
因为,, 不共面，所以解得
16.（15分）［2025·吉林长春高二期中］ 如图，
在正方体中，点，， 分
别是，，的中点.设 ，
， .
（1）用基底{,,}表示向量 .
解：因为 ，
，
所以 .
（2）在棱上是否存在一点，使得
若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
16.（15分）［2025·吉林长春高二期中］ 如图，
在正方体中，点，， 分
别是，，的中点.设 ，
， .
解：假设在棱上存在点，使得 ，
设 .
由题得
，
.
因为，所以 ，化简得，
解得 ，所以在棱上不存在一点，使得 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.唯一 2.不共线 3.不共线 唯一 4.不共线 唯一
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）×
知识点二 1.不共面
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）×
课中探究 例1 证明略 变式（1）
（2）证明略
例2（1）B （2）证明略 变式（1）ACD （2）证明略
例3（1）证明略（2）
,
,
不能作为空间向量的一组基底
变式（1）C （2）3 例4 >（1）
（2）
（3） 变式（1）16 （2）
课堂评价 1.D 2.B 3.C 4.C
5.（1）
（2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.C 8.ACD 9.AC
10.
11.
0 12.
m>13.（1） （2） =1
14.（1）的长为
（2）
15.
16.（1）
（2）在棱上不存在一点，使得1.1.2 空间向量基本定理
【课前预习】
知识点一
1.唯一 2.不共线
3.不共线 唯一 4.不共线 唯一
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)由共面向量定理得,若p=xa+yb,则p与a,b共面.
(2)当a与b共线,而p与a不共线时,p=xa+yb不成立.
(3)由共面向量定理得,若=x+y,则P,M,A,B四点共面.
(4)当与共线,而与不共线时,=x+y不成立.
知识点二
1.不共面 p=xa+yb+zc
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)空间中的任何一个向量都可用三个不共面的向量表示.
(4)空间向量的一组基底是由三个不共面的向量构成的.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:连接EF,EB,设=a,=b,=c.
∵=2,=,∴=,=,∴==b,=(-)=(+-)=a+b-c,
∴=-=a+b-c-b=a-b-c=.
又=++=-b-c+a=a-b-c,
∴=,∴E,F,B三点共线.
变式 解:(1)=-=×(+)-=b+c-a.
(2)证明:=+=-=-(+)=-=××(+)-
=(b-a+c-a)-a=-a+b+c,则=,所以B,G,N三点共线.
探究点二
例2 (1)B [解析] 若A,B,C,M四点共面,则++λ=1,解得λ=,故A,B,C,M四点共面的充要条件是λ=.故选B.
(2)证明:如图,连接AC.因为底面ABCD是平行四边形,F是BD的中点,所以F也是AC的中点.
在△PAC中,E是PA的中点,所以EF∥PC,且EF=PC.
又因为=-,所以==-,所以由向量共面定理可知,向量,,共面.
变式 (1)ACD [解析] 对于A,因为a-b=-(b-c)-(c-a),所以a-b,b-c,c-a共面,故A正确;对于B,假设存在λ,μ∈R,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),整理得a+b=μa+λb+(λ+μ)c,则无解,即不存在λ,μ∈R,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),所以a+b,b+c,c+a不共面,故B错误;对于C,因为b-c=(a+b)-(a+c),所以a+b,a+c,b-c共面,故C正确;对于D,因为a-2b+c=(-a+3b+2c)-(-3a+7b),所以a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b共面,故D正确.故选ACD.
(2)证明:∵E,F,G,H分别是所在三角形的重心,∴M,N,Q,R为所在边的中点,易知四边形MNQR为平行四边形,且=,=,=,=.
连接EF,EH,EG,MQ,∵四边形MNQR为平行四边形,
∴=-=-==(+)=(-)+(-)=
+=+,
由共面向量定理得,,共面,∴E,F,G,H四点共面.
探究点三
例3 解:(1)证明:由题得=-=-a+b+2c,=-=-4a-b+3c,=-=-a-2b-c,则=-+,所以M,A,B,C四点共面.
(2)假设,,共面,设=m+n,即3a+3b=m(2a+4b+2c)+n(-a+2b+3c),
所以3a+3b=(2m-n)a+(4m+2n)b+(2m+3n)c,
则解得
所以=-,即,,共面,故,,不能作为空间向量的一组基底.
变式 (1)C (2)3 [解析] (1)对于A,若x,y,z不全为0,则a,b,c共面,与题意矛盾,故A中说法正确;对于B,因为{a,b,c}是空间向量的一组基底,所以a,b,c不共面,故B中说法正确;对于C,因为a,b,c不共面,所以不存在实数x,y,使得a=xb+yc,故C中说法错误;对于D,若a+b,b-c,c+2a共面,则a+b=λ(b-c)+μ(c+2a),即无解,故a+b,b-c,c+2a不共面,则一定能构成空间向量的一组基底,故D中说法正确.故选C.
(2)如图,连接AF,则=,故=+=+=++,而++=(+)+(+)+(+)=++=3,故k=3.
探究点四
例4 解:设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
(1)·=·(-)=·=b·=|b|2=42=16.
(2)·=(+)·(+)=(-+)·(+)=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
(3)·=(+)·(+)=·(+)=·=(-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2.
变式 (1)16 (2) [解析] (1)由题得·=·=·=2×2×cos 60°=6,===12.因为=+=+×(+)=+(-+-)
=(++),所以·(+)=(++)·(+)=(+2·++
·+·)=×(12+12+12+6+6)=16.
(2)∵=(++)2=(++)2=+++2·+2·+2·=
1+1+4+0+2×1×2×cos 60°+2×1×2×cos 60°=10,∴||=,即线段AC1的长为.
【课堂评价】
1.D [解析] p=2a=m+n,即p可由m,n线性表示,所以m,n,p共面.故选D.
2.B [解析] 对于A,1+2-3=0≠1,故A错误;对于B,++=1,故B正确;对于C,2-2-1=-1≠1,故C错误;对于D,+-1=0≠1,故D错误.故选B.
3.C [解析] 对于A,∵3a=2(a-b)+a+2b,∴3a,a-b,a+2b共面,不能构成空间向量的一组基底;同理可判断B,D中的三个向量不能构成空间向量的一组基底.故选C.
4.C [解析] 连接ON,在四面体OABC中,M,N分别为OA,BC的中点,且=2,所以=+=+=+(-)=+=×+×(+)=++=a+b+c.故选C.
5.解:(1)因为P是C1D1的中点,所以=++=a++=a+c+=a+c+b.
(2)因为M是AA1的中点,所以=+=+=-a+=a+b+c,
因为N为BC的中点,所以=+=+=+=c+a,
所以+=+=a+b+c.1.1.2 空间向量基本定理
1.D [解析] 因为M,A,B,C四点共面,且=x-+,所以x-+=1,解得x=.故选D.
2.B [解析] 因为a=e1+e2,b=e2-e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基底,所以存在实数x,y使得c=xa+yb,即e1+te3=x(e1+e2)+y(e2-e3),即e1+te3=xe1+(x+y)e2-ye3,因为{e1,e2,e3}是空间向量的一组基底,所以解得故选B.
3.D [解析] 连接AM,如图,因为=a,=b,=c,M,N分别是BC,AD的中点,所以=+=-+=-(+)+=--+=-a-b+c=(-a-b+c).故选D.
[技巧点拨] 用指定的基向量表示空间向量,一般都是应用“走道原理”,即从点M走到点N,应用向量的线性运算连接即可.
4.A [解析] 由题意可得p=-a+2b+3c,设p=m(a+b)+n(a-b)+sc,则-a+2b+3c=m(a+b)+n(a-b)+sc=(m+n)a+(m-n)b+sc,可得解得即p=(a+b)-(a-b)+3c,即向量p在基底{a+b,a-b,c}下的斜坐标为.故选A.
5.C [解析] =3a+6b,=-10a+12b,若A,B,C三点共线,则=λ,即无解,故A错误.=-10a+12b,=14a-4b,若B,C,D三点共线,则=λ,即无解,故B错误.因为=3a+6b,=-10a+12b,=14a-4b,所以=+=4a+8b,所以=,所以A,B,D三点共线,故C正确.因为=3a+6b,=-10a+12b,=14a-4b,所以=+=-7a+18b,若A,C,D三点共线,则=λ,即无解,故D错误.故选C.
6.C [解析] 因为=+=+(+)=-++,所以==++-·-·+·=×1+×1+1-×1×1×cos 60°-1×1×cos 30°+1×1×cos 30°=,所以||=.故选C.
7.C [解析] 由题得=m=m=m=m=++,因为G,B,P,D四点共面,所以++=1,解得m=.故选C.
8.ACD [解析] 对于A,因为=2+3,所以,,共面,故A,B,C,D四点共面,故A正确;对于B,=3--=3-+,3-1+1≠1,故A,B,C,D四点不共面,故B错误;对于C,因为∥,所以A,B,C三点共线,所以A,B,C,D四点共面,故C正确;对于D,=+3-5=--3+5,-1-3+5=1,故A,B,C,D四点共面,故D正确.故选ACD.
[技巧点拨] 判断点共面一般有两种方法:一是共面定理,即四个点确定的三个向量能够线性表示,则四点共面;二是若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任意一点O,有=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.
9.AC [解析] 对于A,非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b,故A正确;对于B,因为++≠1,所以P,A,B,C四点不共面,故B错误;对于C,因为+=1,所以A,B,C三点共线,故C正确;对于D,因为a+c=a-b+b+c,所以a-b,b+c,a+c是共面向量,所以{a-b,b+c,a+c}不是空间向量的一组基底,故D错误.故选AC.
10.a-b-c [解析] 连接OM,则=+=-(+)+=a-b-c.
11.-1 0 [解析] ∵A,B,C三点共线,=2+μ,∴2+μ=1,∴μ=-1.∵λ+m+n=0,∴=--,由A,B,C三点共线知--=1,则λ+m+n=0.
12. [解析] 设=λ(0<λ<1),因为=++=3+3+,所以=3λ+3λ+λ,因为M,E,F,G四点共面,所以3λ+3λ+λ=1,解得λ=,所以=.
[易错点] 不能够准确地利用共线向量基本定理得到=λ(0<λ<1),进而导致计算受阻.
13.解:(1)如图,取BC的中点P,由题得A,M,P三点共线,O,N,P三点共线,连接AP,OP.
=+=a+=a+×(+)=a+(-)+(-)=a+b-a+c-a=a+b+c.
==×(+)=b+c.=-=b+c-b-c-a=-a.
(2)由题易知b,c不共线,∵向量a,b,c共面,
∴存在唯一的实数对(x,y),使a=xb+yc,
∴2e1-e2+e3=x(-e1+4e2-2e3)+y(11e1+5e2+λe3)=(-x+11y)e1+(4x+5y)e2+(-2x+λy)e3,
∴解得
14.解:(1)=+=-+=-+(-)=-a+b-c,
因为==,=,所以a·b=-,a·c=-,b·c=0,
所以||===
=,所以A1N的长为.
(2)=++=-++t=-a+tb+c,因为AM⊥CB,所以·=0,
即(-a+tb+c)·b=0,即-a·b+tb2+b·c=+t=0,解得t=-.
15. [解析] ==(+)=(+-).由题知A,E,F,G四点共面,可设=x+y,则+=x(+)+y(+),所以+(+-)=x+x+y+yλ=x+x(-)+y+y(λ-λ),整理可得++=0.因为,,不共面,所以
解得
16.解:(1)因为=(+)=(-)=b-c,=+=-++=a+b-c,
所以=(+)==a+b-c.
(2)假设在棱BC上存在点G,使得MF⊥EG,设=λ(0≤λ≤1).
由题得=-=a+b-c+c=a+b-c,=-=+-=a+λb-(b+c)=
a+b-c.因为MF⊥EG,所以·=0,化简得++=0,解得λ=-<0,
所以在棱BC上不存在一点G,使得MF⊥EG.1.1.2 空间向量基本定理
【学习目标】
1.了解共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法;
2.理解向量共线、共面的充要条件及其推论,并能证明空间向量的共线、共面问题;
3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
◆ 知识点一 共线向量基本定理与共面向量定理
1.共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在 的实数λ,使得b=λa.
2.平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b ,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.
3.共面向量定理:如果两个向量a,b ,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在 的实数对(x,y),使c=xa+yb.
4.判断空间中四点是否共面的方法:如果A,B,C三点 ,则点P在平面ABC内的充要条件是,存在 的实数对(x,y),使=x+y.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若p=xa+yb,则p与a,b共面. ( )
(2)若p与a,b共面,则p=xa+yb. ( )
(3)若=x+y,则P,M,A,B四点共面. ( )
(4)若P,M,A,B四点共面,则=x+y. ( )
◆ 知识点二 空间向量基本定理
1.定理:如果空间中的三个向量a,b,c ,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 .
2.基底:空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底{a,b,c}.
3.基向量:基底{a,b,c}中a,b,c都称为基向量.
4.空间向量基本定理的三个关注点:
(1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
(2)基底的选取:空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底.
(3)特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0 x=y=z=0.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空间中的任何一个向量都可用三个给定的向量表示. ( )
(2)若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则a,b,c都不是零向量. ( )
(3)若向量a,b与任何向量都不能构成空间向量的一组基底,则a与b共线. ( )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底. ( )
◆ 探究点一 共线问题
例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
变式 [2025·重庆杨家坪中学高二期中] 如图,在四面体ABCD中,M,N分别为△BCD,△ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.设=a,=b,=c.
(1)请用{a,b,c}表示;
(2)求证:B,G,N三点共线.
[素养小结]
对于空间中的三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明三点共线:
(1)存在实数λ,使=λ成立.
(2)对空间任一点O,有=+t(t∈R).
(3)对空间任一点O,有=x+y(x+y=1).
◆ 探究点二 空间向量的共面问题
例2 (1)已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若=++λ,则A,B,C,M四点共面的充要条件是 ( )
A.λ= B.λ=
C.λ=- D.λ=-
(2)[2025·北京朝阳区北京工业大学附中高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F分别为PA,BD的中点.求证:向量,,共面.
变式 (1)(多选题)已知空间向量a,b,c不共面,则下列各选项中的三个向量共面的有( )
A.a-b,b-c,c-a
B.a+b,b+c,c+a
C.a+b,a+c,b-c
D.a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b
(2)如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,点E,F,G,H分别是△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,分别延长PE,PF,PG,PH交AB,BC,CD,AD于M,N,Q,R,并连接MN,NQ,QR,RM.应用共面向量定理证明:E,F,G,H四点共面.
[素养小结]
证明空间中三个向量共面或四点共面的方法:
(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.
(2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间中任一点O,有=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.
(3)用平面:寻找一个平面,设法证明这些向量与该平面平行.
◆ 探究点三 空间向量基本定理
例3 已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,且=2a+b-c,=3a+3b,=2a+4b+2c,=-a+2b+3c.
(1)求证:M,A,B,C四点共面.
(2),,能否作为空间向量的一组基底 若能,试用这组基底表示;若不能,请说明理由.
变式 (1)已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,则下列说法错误的是 ( )
A.若xa+yb+zc=0,则x=y=z=0
B.a,b,c两两共面,但a,b,c不共面
C.一定存在实数x,y,使得a=xb+yc
D.a+b,b-c,c+2a一定能构成空间向量的一组基底
(2)在四面体ABCD中,点G为△ABD的重心,E,F,H分别为AB,BD,DA的中点,且++=k,则实数k= .
[素养小结]
用基底表示向量的步骤:
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据向量的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间向量的一组基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
◆ 探究点四 空间向量基本定理的应用
例4 [2024·山东日照高二期中] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算:
(1)·;(2)·;(3)·.
变式 (1)[2025·江苏南京玄武高级中学高二月考] 在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,则·(+)= .
(2)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形,且∠A1AD=∠A1AB=60°,AA1=2,则线段AC1的长为 .
[素养小结]
利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧:
根据条件确定基底,一般用已知的向量(向量的长度已知,夹角已知等)作为基底,有时也可自设基底,然后用基底表示要求的向量,可证平行、垂直,可求两向量的数量积、夹角,可求向量的长度.
1.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=2a,则 ( )
A.m,n,p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m,n,p共面
2.对空间中任意一点O和不共线的三点A,B,C,能得到A,B,C,D四点共面的是 ( )
A.=+2-3
B.=++
C.=2-2-
D.=+-
3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列能构成空间向量的一组基底的是 ( )
A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a
C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c
4.[2025·福建福州金山中学高二期末] 如图,已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且=2,设向量=a,=b,=c,则=( )
A.a+b+c B.a+b+c
C.a+b+c D.a+b+c
5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
(2)+.1.1.2 空间向量基本定理
一、选择题
1.已知点M 在平面ABC 内,并且对于空间任意一点O,都有=x-+ ,则x 的值是 ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·广东江门高二期中] 若{e1,e2,e3}是空间向量的一组基底,且向量a=e1+e2,b=e2-e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基底,则t= ( )
A.-1 B.1
C.0 D.-2
★3.已知在四面体ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,设=a,=b,=c,则=( )
A.(-a+b+c) B.(a+b-c)
C.(a-b+c) D.(-a-b+c)
4.[2025·安徽合肥高二期中] 若向量{e1,e2,e3}是空间向量的一组基底,那么对任意一个空间向量a,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得a=xe1+ye2+ze3,我们把有序实数组(x,y,z)称为基底{e1,e2,e3}下向量a的斜坐标.设向量p在基底{a,b,c}下的斜坐标为(-1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的斜坐标为 ( )
A. B.
C. D.
5.已知空间向量a,b,且=3a+6b,=-10a+12b,=14a-4b,则一定共线的三点是 ( )
A.A,B,C B.B,C,D
C.A,B,D D.A,C,D
6.在所有棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,∠BAD=60°,∠DAA1=∠BAA1=30°,则||= ( )
A. B.1 C. D.
7.[2025·四川遂宁高二期末] 如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m.若G,B,P,D四点共面,则m= ( )
A. B.- C. D.-
★8.(多选题)已知空间四点A,B,C,D及空间任意一点O,由下列条件一定可以得出A,B,C,D四点共面的有 ( )
A.=2+3
B.=3--
C.∥
D.=+3-5
9.(多选题)[2025·山东淄博高二期末] 关于空间向量,以下说法正确的是 ( )
A.非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b
B.若对空间中任意一点O,有=++,则P,A,B,C四点共面
C.空间四个点P,A,B,C,若=+,则A,B,C三点共线
D.设{a,b,c}是空间向量的一组基底,则{a-b,b+c,a+c}也是空间向量的一组基底
二、填空题
10.在四面体O-ABC中,M,N分别是BC,OA的中点,设=a,=b,=c,则用基底{a,b,c}表示向量= .
11.已知A,B,C三点共线,则对空间中任一点O,若=2+μ,则μ= ;如果存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为 .
★12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则= .
三、解答题
13.(13分)(1)在四面体OABC中,M,N分别是△ABC,△OBC的重心,设=a,=b,=c,试以{a,b,c}为空间向量的一组基底表示向量,,.
(2)已知向量e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,求λ的值.
14.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c,CA=CB=CC1=1,==,=,N是AB的中点.
(1)求A1N的长;
(2)若点M是棱C1B1所在直线上的点,设=t,t∈R,当AM⊥CB时,求实数t的值.
15.在正四棱锥P-ABCD中,若=,=,平面AEF与棱PD交于点G,若=λ,则λ= .
16.(15分)[2025·吉林长春高二期中] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,M分别是A1D,EC,AA1的中点.设=a,=b,=c.
(1)用基底{a,b,c}表示向量.
(2)在棱BC上是否存在一点G,使得MF⊥EG 若存在,指出点G的位置;若不存在,请说明理由.