(共69张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标及运算
探究点一 空间向量的坐标运算
探究点二 空间向量模与夹角的坐标表示
探究点三 空间向量平行、垂直的坐标表示
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解空间向量坐标的定义;
2.掌握空间向量运算的坐标表示;
3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.
知识点一 空间中向量的坐标
1.单位正交基底
一般地，如果空间向量的基底,,中，,, 都是_________，
而且这三个向量__________，就称这组基底为单位正交基底.
单位向量
两两垂直
2.单位正交分解
在单位正交基底,, 下向量的分解称为向量的单位正交分解，
如果，则称有序实数组________为向量 的坐标，
记作____________，其中,,都称为 的坐标分量.
知识点二 空间向量的坐标运算
若, ,则
向量运算 向量表示 坐标表示
相等 _________________________
加法 _______________________
线性运算 _____________________________
数量积 __________________
模
，，
向量运算 向量表示 坐标表示
夹角
续表
知识点三 空间向量的平行、垂直
设,, .
1.平行：
_____,
_____,
____.
当的每一个坐标分量都不为零时，有 .
2.垂直： _____________________.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）空间向量 是一个单位向量.( )
×
[解析] ，故 不是单位向量.
（2）若空间向量与 共线，则
.( )
×
[解析] 当的每一个坐标分量都不为零时，若, 共线，则 .
（3）设，，若，则 .( )
√
[解析] 若，则，即，解得 .
探究点一 空间向量的坐标运算
例1 已知, ,求:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） ;
解： .
（4） .
解： .
变式（1）已知向量，， 不
共线，若可用与表示，则 的值为____.
[解析] 设，则解得
（2）已知向量，，求 ，
.
解：设， .
由题可知且解得
故，，则 ， ，
.
［素养小结］
解决空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐
标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方
程组求其坐标.
探究点二 空间向量模与夹角的坐标表示
例2 已知，，且 .
（1）求 ；
解：因为，所以 ，
即，解得 ，
所以 ，
所以 .
（2）求与 夹角的余弦值.
解：易知，且 ，
所以, ，
即与夹角的余弦值为 .
例2 已知，，且 .
变式 已知向量，满足，， ，则
向量与向量 的夹角是___.
[解析] 因为 ，所以
，故 ，
因此,，故向量 与向量
的夹角是 .
［素养小结］
1.求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算.
利用
，将向量的模的运算转化为向量的数量积问题.
（2）坐标表示下的运算.
若
，则
，于是有
.
2.利用数量积求两向量夹角的步骤
探究点三 空间向量平行、垂直的坐标表示
例3（1）在空间中，已知， ，
若是直角三角形，则 的值为________.
或
[解析] 由题得.
若 ，则，即，解得；
若 ，则，即，解得；
若 ，则，即 ，
整理得，无解.
综上，或 .
（2）已知，，， ，
.
①若，共线，求实数 的值；
解：由题得，解得 ，
又,所以，解得 ，
所以， ，
所以， .
因为，共线，所以，解得 .
②若向量与的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
解：由①知，， ，
因为向量与 的夹角为锐角，
所以，解得 ，
又当时，，所以实数 的取值范围为
.
（2）已知，，， ，
.
变式（1）［2025·河北邯郸一中高二月考］已知 ，
，且 ，则( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 由题得 ，，
， 存在非零实数 ，使得，
则 解得 故选B.
（2）已知向量，，且，则实数
的值是( )
A. B. C.3 D.
[解析] 由题得，因为 ，所以
，解得 .故选B.
√
［素养小结］
（1）判断空间向量垂直或平行的步骤:
对于
,
,根据
的值是否
为0判断两向量是否垂直;根据
,
,
或
,
,
都不为0
是否成立判断两向量是否平行.
（2）平行与垂直的应用.
①适当引入参数（比如向量
，
平行，可设
），建立关于参
数的方程（组）.
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
1.已知向量，，若，则实数 的值
是( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 由题得,解得 .故选D.
√
2.已知，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以，与 不平行，
因为，所以与 不垂直.
因为,所以与 不垂直.故选C.
√
3.已知空间向量，，若与 垂直，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以 ，
因为与垂直，即，所以 ，
解得，所以，所以 .故选B.
√
4.已知向量，，则 ______，
, __.
[解析] 因为向量, ，所以
，所以 .
由题意可得,,，
则 ,，又,，所以, .
5.［2025·河南周口高二期中］已知空间中三点, ,
，设向量， .
（1）若，求实数 的值；
解：， ，
则，
若 ，则，
解得 .
（2）若向量与共线，且，求 的坐标.
解：由题得 ，
则 ，
若向量与共线，且 ，
则 ，
即或 .
5.［2025·河南周口高二期中］已知空间中三点, ,
，设向量， .
是两个空间向量平行的充要条件；而 是当
的每一个坐标分量都不为零（即 与三条坐标轴都不
平行）时才有的结论，它是两个空间向量平行的充分条件，而不是
充要条件.
1.向量运算的坐标表示的关键是利用坐标运算的公式求解.
例1 已知, .
（1）求,,, ;
解: .
.
.
.
（2）求 .
解:因为 ,所以
.
2.注意区别向量平行与垂直的坐标表示.
例2 已知, .
（1）若，求 与 的值；
解：由//，得 ，
解得, .
（2）若，且与垂直，求 .
解：，且 ，
化简得解得 .
因此 .
例2 已知, .
例3 ［2025·上海华东师大二附中高二期中］已知空间内三点
,， .
（1）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积 ；
解：由题得， ，
则 ，
，
，
又，， .
（2）若向量与向量，都垂直，其中 为坐标原点，且
，求向量 的坐标.
解：设，， .
由，，，得
例3 ［2025·上海华东师大二附中高二期中］已知空间内三点
,， .
解得或
或 .
练习册
一、选择题
1.［2025·湖北随州第二高级中学高二月考］已知 ，
，，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，，所以 ，故选B.
√
2.［2025·浙江杭州高二期中］已知向量 ，
， ，则下列结论正确的是( )
A.与垂直 B.与 共线
C.与所成角为钝角 D.在上的投影向量为
√
[解析] 对于A选项，，所以与 不垂直，
故A错误；
对于B选项，，显然与 不共线，故B错误；
对于C选项，因为，且，为非零向量，所以 与所成角为 ，
故C错误；
对于D选项，在 上的投影向量为,
，故D正确.故选D.
3.设,,,,，且, ，
则 ( )
A. B.0 C.3 D.
[解析] 由，得，解得 ，则.
由，得，解得， ，所以，
故，则 . 故选D.
√
4.已知{,,}是空间向量的一组单位正交基底，且 ,
，则与 夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设与的夹角为 ，，因为{,, }是空间向量的
一组单位正交基底，且, ，
所以, ，
所以，
因为 ，所以 .故选C.
√
5.若向量,且,则 ( )
A.或 B.
C. D.或
[解析] ,, 可设 ,
,解得,,
或 .故选A.
√
6.已知空间向量,,，则“ ,
,,四点共面”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 由,,,四点共面，可得,, 共面，
设 ，
则可得
所以，即 ，反之也成立，
故“,,,四点共面”是“ ”的充要条件.故选B.
7.已知向量，，则, 的最大
值为( )
A.1 B. C.2 D.
√
[解析] ,，当时， ,
，
因为，所以，当且仅当，即 时等号成立，
所以,；
当 时，,.故,的最大值为 .故选D.
8.（多选题）已知空间中两个向量, ，则下列
结论正确的是( )
A.若，且，则
B.和的夹角的余弦值为
C.若与垂直，则 的值为2
D.若与向量垂直，则 ， 应满足
√
√
[解析] 对于A，依题意，若 ，则
，又 ，所以
，解得，所以 或
，故A不正确；
对于B， ,，故B正确；
对于C，若与 垂直，则
，
解得或 ，故C不正确；
对于D，
, 若与向量 垂直，则
，即 ，故D正确.
故选 .
9.（多选题）［2025·安徽亳州高二期末］ 在空间直角坐标系
中，， ，则( )
A.存在，使得
B.存在，使得
C.若向量,的夹角是锐角，则的取值范围是
D.若向量,的夹角是钝角，则的取值范围是
√
√
[解析] 对于A，， ，若
，则 ，整理得
，因为 ，所以存
在，使得，故A正确.
对于B， ，若，则
，整理得，
因为 ，所以不存在，
使得，故B错误.
对于C， ，，若向量，的夹角是锐角，
则, 且，不共线，则 ,
且，
因为， ，所以，
即，解得；假设 ，
则解得所以若，则 .
综上所述，若向量,的夹角是锐角，则的取值范围是
，故C错误.
对于D，若向量,的夹角是钝角，则,且 ，
不共线，即且 ，
根据C中结果，有且，所以若向量,的夹角是钝角，
则 的取值范围是，故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知空间中两个向量，，则在 上
的投影的数量为___.
[解析] 在上的投影的数量为 ，
.
11.设，，若空间向量与 平行，则
_____.
[解析] 因为空间向量与 平行,所以存在唯一
实数，使得，则解得则 ,
所以 .
12.［2025·四川雅安高二期中］已知直线，的方向向量分别为 ，
，若向量，，且,，则实数
的值为________.
2或
[解析] 由,，可得,， ,
，整理得，解得 或 .
三、解答题
13.（13分）已知空间中两个向量， .
（1）求以线段， 为邻边的平行四边形的面积；
解：, ，
, ，
,
， ，
以， 为邻边的平行四边形的面积
.
（2）若向量分别与,垂直，且，求 的坐标.
解：设 .
,，且 ，
解得或
或 .
13.（13分）已知空间中两个向量， .
14.（15分）已知向量， .
（1）若，求, ；
解：当时，，, ，
因为,，所以, .
（2）求证：对任意，与 不垂直；
证明：对任意 ，
，
故与 不垂直.
（3）若与平行，求 ， 的值.
解： ，
因为与 平行，
所以解得
14.（15分）已知向量， .
15.（多选题）设向量， ，其中
，则下列说法正确的是( )
A.向量与的夹角为定值（与， 的值无关）
B.的最大值为
C.与的夹角的最大值为
D. 的最大值为1
√
√
√
[解析] 因为,所以设 ,
., ,
因为,，所以, ，故A正确；
，所以 的最大值为1，
故B错误；
, ，
则,，所以,，所以 与夹角的最大值
为 ，故C正确；
，
所以 的最大值为1，故D正确.故选 .
16.设空间中两个单位向量， 与向量
的夹角的余弦值都等于，则 __.
[解析] 因为为单位向量，且与 的夹角的
余弦值为，所以，，解得 ，
同理可得，所以, ，
又，所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.单位向量 两两垂直 2.
知识点二 ，
，
知识点三 1.
2.
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√
课中探究 例1（1） （2） （3） （4）
变式（1）
（2） 例2（1） （2）
变式
例3（1）
或
（2）① ② 变式（1）B （2）B
课堂评价 1.D 2.C 3.B 4.
5.（1）
（2）
或
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.BD 9.AD
10. 11. 12.2或
13.（1）（2）或
14.（1）
,
（2）证明略（3）
15.ACD 16.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标及运算
【课前预习】
知识点一
1.单位向量 两两垂直
2.(x,y,z) p=(x,y,z)
知识点二
x1=x2,y1=y2,z1=z2 (x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2) x1x2+y1y2+z1z2
知识点三
1.λx1 λy1 λz1 2.x1x2+y1y2+z1z2=0
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)|a|==≠1,故a不是单位向量.
(2)当b的每一个坐标分量都不为零时,若a,b共线,则==.
(3)若a⊥b,则a·b=0,即2m-2=0,解得m=1.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)a+b=(2,-1,3)+(0,-1,2)=(2+0,-1-1,3+2)=(2,-2,5).
(2)2a-3b=(4,-2,6)-(0,-3,6)=(4,1,0).
(3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2)=2×0+(-1)×(-1)+3×2=7.
(4)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+9-0-1-4=9.
变式 (1)- [解析] 设c=xa+yb,则解得
(2)解:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
由题可知且解得故a=,b=,则a·b=-,a-2b=(-1,2,-2),∴(a-2b)·(2a-b)=(-1)×(-2)+2×4+(-2)×(-2)=14.
探究点二
例2 解:(1)因为a⊥b,所以a·b=0,
即2×(-4)+(-1)×2+2x=0,解得x=5,
所以a+b=(2,-1,2)+(-4,2,5)=(-2,1,7),
所以|a+b|===3.
(2)易知a·(a+b)=-4-1+14=9,且|a|=3,
所以cos===,
即a与a+b夹角的余弦值为.
变式 [解析] 因为|a-b|2+|a+b|2=2|a|2+2|b|2,所以|a-b|2=2|a|2+2|b|2-|a+b|2=2+6-4=4,故|a-b|=2,因此cos===-,故向量a+b与向量a-b的夹角是.
探究点三
例3 (1)-或 [解析] 由题得=+=(-2,-1,m-3).若∠A=90°,则·=0,即-1-4(m-3)=0,解得m=;若∠B=90°,则·=0,即-2-4(m+1)=0,解得m=-;若∠C=90°,则·=0,即4+2+(m+1)(m-3)=0,整理得m2-2m+3=0,无解.综上,m=-或m=.
(2)解:①由题得|b|==,解得y=0,
又a⊥c,所以a·c=2x-2=0,解得x=1,
所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
所以a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).
因为a+kb,2a+b共线,所以==,解得k=.
②由①知,a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2),
因为向量a+kb与2a+b的夹角为锐角,
所以(a+kb)·(2a+b)=(1-k)×1+1×2+2×2k=3k+3>0,解得k>-1,
又当k=时,a+kb=(2a+b),所以实数k的取值范围为∪.
变式 (1)B (2)B [解析] (1)由题得2a+b=(2x+1,4,4-y),-a+2b=(2-x,3,-2y-2),∵(2a+b)∥(-a+2b),∴存在非零实数λ,使得2a+b=λ(-a+2b),则解得故选B.
(2)由题得a·b=1+2=3,因为(a+λb)⊥b,所以(a+λb)·b=a·b+λb2=3+2λ=0,解得λ=-.故选B.
【课堂评价】
1.D [解析] 由题得a·b=2x+1-x=2,解得x=1.故选D.
2.C [解析] 因为==,=≠,所以a∥b,a与c不平行,因为a·c=2+8-8=2≠0,所以a与c不垂直.因为a·b=-3-12-12=-27≠0,所以a与b不垂直.故选C.
3.B [解析] 因为a=(1,n,2),b=(-2,1,2),所以2a-b=(4,2n-1,2),因为2a-b与b垂直,即(2a-b)·b=0,所以-8+2n-1+4=0,解得n=,所以a=,所以|a|==.故选B.
4.3 [解析] 因为向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4),所以2a-3b=(1,-5,8),所以|2a-3b|==3.由题意可得a·b=9,|a|=3,|b|=3,则cos===,又∈[0,π],所以=.
5.解:(1)a==(3,3,-1),b==(1,-1,3),
则a+kb=(3+k,3-k,-1+3k),若(a+kb)⊥a,则(a+kb)·a=3(3+k)+3(3-k)-(-1+3k)=0,解得k=.
(2)由题得a-b=(2,4,-4),则|a-b|==6,
若向量c与a-b共线,且|c|=4,则c==±(a-b),
即c=或c=.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标及运算
【学习目标】
1.了解空间向量坐标的定义;
2.掌握空间向量运算的坐标表示;
3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.
◆ 知识点一 空间中向量的坐标
1.单位正交基底
一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是 ,而且这三个向量 ,就称这组基底为单位正交基底.
2.单位正交分解
在单位正交基底{e1,e2,e3}下向量的分解称为向量的单位正交分解,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组 为向量p的坐标,记作 ,其中x,y,z都称为p的坐标分量.
◆ 知识点二 空间向量的坐标运算
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
向量运算 向量表示 坐标表示
相等 a=b
加法 a+b
线性运算 μa+vb
数量积 a·b
模 |a|=
夹角 cos=
◆ 知识点三 空间向量的平行、垂直
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),a≠0.
1.平行:a∥b b=λa (x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)
当a的每一个坐标分量都不为零时,有a∥b ==.
2.垂直:a⊥b a·b=0 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空间向量a=(1,1,1)是一个单位向量. ( )
(2)若空间向量a=(a1,a2,a3)与b=(b1,b2,b3)共线,则==. ( )
(3)设a=(1,2,-1),b=(0,m,2),若a⊥b,则m=1. ( )
◆ 探究点一 空间向量的坐标运算
例1 已知a=(2,-1,3),b=(0,-1,2),求:
(1)a+b;(2)2a-3b;(3)a·b;
(4)(a+b)·(a-b).
变式 (1)已知向量a=(1,1,m),b=(-1,-4,2),c=(2,-1,0)不共线,若c可用a与b表示,则m的值为 .
(2)已知向量a+b=(-1,2,0),2a-b=(-2,4,-2),求a·b,(a-2b)·(2a-b).
[素养小结]
解决空间向量坐标运算问题,一是直接计算,首先将空间向量用坐标表示,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算;二是通过解方程组求其坐标.
◆ 探究点二 空间向量模与夹角的坐标表示
例2 已知a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),且a⊥b.
(1)求|a+b|;
(2)求a与a+b夹角的余弦值.
变式 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,a+b=(,1,0),则向量a+b与向量a-b的夹角是 .
[素养小结]
1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算.
利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量的数量积问题.
(2)坐标表示下的运算.
若a=(x,y,z),则a·a=|a|2=x2+y2+z2,于是有|a|=.
2.利用数量积求两向量夹角的步骤
◆ 探究点三 空间向量平行、垂直的坐标表示
例3 (1)在空间中,已知=(0,1,-4),=(-2,-2,m+1),若△ABC是直角三角形,则m的值为 .
(2)已知a=(x,1,0),b=(-1,y,2),c=(2,-2,1),|b|=,a⊥c.
①若a+kb,2a+b共线,求实数k的值;
②若向量a+kb与2a+b的夹角为锐角,求实数k的取值范围.
变式 (1)[2025·河北邯郸一中高二月考] 已知a=(x,1,2),b=(1,2,-y),且(2a+b)∥(-a+2b),则 ( )
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
(2)已知向量a=(1,2,2),b=(1,0,1),且(a+λb)⊥b,则实数λ的值是 ( )
A. B.-
C.3 D.-3
[素养小结]
(1)判断空间向量垂直或平行的步骤:
对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2的值是否为0判断两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或==(x2,y2,z2都不为0)是否成立判断两向量是否平行.
(2)平行与垂直的应用.
①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程(组).
②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
1.已知向量a=(x,1,-1),b=(2,1,x),若a·b=2,则实数x的值是 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
2.已知a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),c=(2,4,4),则 ( )
A.a∥c B.a⊥c
C.a∥b D.a⊥b
3.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|= ( )
A. B.
C. D.
4.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4),则|2a-3b|= ,= .
5.[2025·河南周口高二期中] 已知空间中三点A(-2,-3,3),B(1,0,2),C(2,-1,5),设向量a=,b=.
(1)若(a+kb)⊥a,求实数k的值;
(2)若向量c与a-b共线,且|c|=4,求c的坐标.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标及运算
1.B [解析] 因为a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,所以x=4a+2b=4(2,3,-4)+2(-4,-3,-2)=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20),故选B.
2.D [解析] 对于A选项,a·b=-1+0-3=-4≠0,所以a与b不垂直,故A错误;对于B选项,b+c=,显然a与b+c不共线,故B错误;对于C选项,因为b=-c,且b,c为非零向量,所以b与c所成角为π,故C错误;对于D选项,7a在c上的投影向量为7|a|cos·=7|a|··=·c=c=4c,故D正确.故选D.
3.D [解析] 由a⊥c,得a·c=x-4+2=0,解得x=2,则c=(2,-4,2).由b∥c,得==,解得y=-2,z=1,所以b=(1,-2,1),故2a+b=(3,0,3),则|2a+b|==3.故选D.
4.C [解析] 设与的夹角为θ,θ∈[0,π],因为{i,j,k}是空间向量的一组单位正交基底,且=-i+j-k,=2i+j+k,所以=(-1,1,-1),=(2,1,1),所以cos θ===-,因为θ∈[0,π],所以sin θ===.故选C.
5.A [解析] ∵a=(2,1,-2),e∥a,∴可设e=(2λ,λ,-2λ),∴|e|==1,解得λ2=,∴λ=±,∴e=或.故选A.
6.B [解析] 由P,A,B,C四点共面,可得,,共面,设=x+y=(x+5y,2x-y,4x+3y)=(m,n,-1),则可得所以17(1+2n)+5(1+4m)=0,即10m+17n=-11,反之也成立,故“P,A,B,C四点共面”是“10m+17n=-11”的充要条件.故选B.
7.D [解析] cos==,当0=====,因为0=≤×=;当y=0时,cos=.故cos的最大值为.故选D.
8.BD [解析] 对于A,依题意b-a=(-2,-1,2),若c∥(b-a),则c=λ(b-a)=(-2λ,-λ,2λ),又|c|=3,所以=3,解得λ=±1,所以c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2),故A不正确;对于B,cos===-,故B正确;对于C,若ka+b与ka-2b垂直,则(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-,故C不正确;对于D,λ(a+b)+μ(a-b)=λ(0,1,2)+μ(2,1,-2)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ),若λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,则(2μ,λ+μ,2λ-2μ)·(0,0,1)=2λ-2μ=0,即λ-μ=0,故D正确.故选BD.
9.AD [解析] 对于A,||=,||=,若||=2||,则=2,整理得3t2-32t+84=0,因为Δ=322-4×3×84=16>0,所以存在t∈R,使得||=2||,故A正确.对于B,=(1,8-t,t-3),若||=2,则||==2,整理得t2-11t+35=0,因为Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0,所以不存在t∈R,使得||=2,故B错误.对于C,=(1,t-4,3),=(2,4,t),若向量,的夹角是锐角,则cos<,>>0且,不共线,则cos<,>===>0且≠λ,因为>0,>0,所以>0,即7t-14>0,解得t>2;假设=λ,则解得所以若≠λ,则t≠6.综上所述,若向量,的夹角是锐角,则t的取值范围是(2,6)∪(6,+∞),故C错误.对于D,若向量,的夹角是钝角,则cos<,><0且,不共线,即<0且≠λ,根据C中结果,有t<2且t≠6,所以若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2),故D正确.故选AD.
10. [解析] 在上的投影的数量为||·cos <,>====.
11. [解析] 因为空间向量a=(x,y,2)与b=(6,4,-4)平行,所以存在唯一实数λ,使得a=λb,则解得则a=(-3,-2,2),所以|a|==.
12.2或- [解析] 由sin=,可得|cos|=,∴|cos|===,整理得11x2-20x-4=0,解得x=2或x=-.
13.解:(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴||==,||==,
∴cos∠BAC===,
∵0≤∠BAC≤π,∴∠BAC=,
∴以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=2××××sin=7.
(2)设a=(x,y,z).
∵a⊥,a⊥,且|a|=,
∴解得或
∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
14.解:(1)当t=3时,b=(3,3,0),cos===,
因为0≤≤π,所以=.
(2)证明:对任意t∈R,(2a+b)·(2a-b)=4a2-b2=4×2-(9+t2)=-t2-1<0,故2a+b与2a-b不垂直.
(3)λa+b=λ(1,0,-1)+(3,t,0)=(λ+3,t,-λ),
因为λa+b与c=(0,0,1)平行,
所以解得
15.ACD [解析] 因为a2+b2=c2+d2=1,所以设u=(cos θ,sin θ,0),v=(cos β,sin β,1).cos===,因为∈[0,π],所以=,故A正确;u·v=cos θcos β+sin θsin β=cos(θ-β),所以u·v的最大值为1,故B错误;cos===
cos(θ-β),则-≤cos≤,所以≤≤,所以u与v夹角的最大值为,故C正确;ad-bc=cos θsin β-sin θcos β=sin(β-θ)≤1,所以ad-bc的最大值为1,故D正确.故选ACD.
16. [解析] 因为=(m,n,0)为单位向量,且与=(1,1,1)的夹角的余弦值为,所以m2+n2=1,=,解得m=n=,同理可得s=t=,所以cos∠AOB=cos<,>==,又∠AOB∈[0,π],所以∠AOB=.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第1课时 空间向量的坐标及运算
一、选择题
1.[2025·湖北随州第二高级中学高二月考] 已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于( )
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
2.[2025·浙江杭州高二期中] 已知向量a=(2,0,2),b=,c=(1,-2,3),则下列结论正确的是 ( )
A.a与b垂直
B.a与b+c共线
C.b与c所成角为钝角
D.7a在c上的投影向量为4c
3.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+b|= ( )
A.2 B.0
C.3 D.3
4.已知{i,j,k}是空间向量的一组单位正交基底,且=-i+j-k,=2i+j+k,则与夹角的正弦值为 ( )
A. B.-
C. D.-
5.若向量a=(2,1,-2),e∥a且|e|=1,则e= ( )
A.或
B.
C.
D.或
6.已知空间向量=(1,2,4),=(5,-1,3),=(m,n,-1),则“P,A,B,C四点共面”是“10m+17n=-11”的 ( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知向量a=(1,1,1),b=(0,y,1)(0≤y≤1),则cos的最大值为 ( )
A.1 B.
C.2 D.
8.(多选题)已知空间中两个向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则下列结论正确的是 ( )
A.若|c|=3,且c∥(b-a),则c=(2,1,-2)
B.a和b的夹角的余弦值为-
C.若ka+b与ka-2b垂直,则k的值为2
D.若λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,则λ,μ应满足λ-μ=0
9.(多选题)[2025·安徽亳州高二期末] 在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,t-4,3),B(2,4,t),则( )
A.存在t∈R,使得||=2||
B.存在t∈R,使得||=2
C.若向量,的夹角是锐角,则t的取值范围是(2,+∞)
D.若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2)
二、填空题
10.已知空间中两个向量=(1,2,0),=(2,0,2),则在上的投影的数量为 .
11.设x,y∈R,若空间向量a=(x,y,2)与b=(6,4,-4)平行,则|a|= .
12.[2025·四川雅安高二期中] 已知直线l1,l2的方向向量分别为a,b,若向量a=(-2,2,1),b=(0,x,-1),且sin=,则实数x的值为 .
三、解答题
13.(13分)已知空间中两个向量=(-2,-1,3),=(1,-3,2).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的面积;
(2)若向量a分别与,垂直,且|a|=,求a的坐标.
14.(15分)已知向量a=(1,0,-1),b=(3,t,0).
(1)若t=3,求;
(2)求证:对任意t∈R,2a+b与2a-b不垂直;
(3)若λa+b与c=(0,0,1)平行,求λ,t的值.
15.(多选题)设向量u=(a,b,0),v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,则下列说法正确的是 ( )
A.向量v与m=(0,0,1)的夹角为定值(与c,d的值无关)
B.u·v的最大值为
C.u与v的夹角的最大值为
D.ad-bc的最大值为1
16.设空间中两个单位向量=(m,n,0),=(0,s,t)与向量=(1,1,1)的夹角的余弦值都等于,则∠AOB= .