(共74张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
探究点一 空间点与向量的坐标表示
探究点二 空间中点的对称问题
探究点三 空间向量坐标的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解空间直角坐标系；
2.会求空间中的点的坐标,两点间的距离以及两点的中点坐标；
3.掌握空间向量坐标的简单应用.
知识点一 空间直角坐标系的建立
在空间中任意选定一点 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面
直角坐标系______，然后过作一条与_____________的数轴 轴，这
样建立的空间直角坐标系记作______.
平面垂直
（1）轴、轴、 轴是两两互相______的，它们都称为________.
（2）通过每两个坐标轴的平面都称为__________，分别记为______
_____、_________、_________.
垂直
坐标轴
坐标平面
平面
平面
平面
（3）在平面内画空间直角坐标系时，一般把轴、 轴画成水
平放置，轴正方向与轴正方向夹角为_____________，轴与 轴
（或 轴）______.如图①②所示.
或
垂直
知识点二 空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标
1.空间中点的坐标
在空间直角坐标系中，点的坐标为，则，，都称为点
的__________，且称为点的________（或_______），称为点
的________（或坐标），称为点 的________（或_______）.
坐标分量
横坐标
坐标
纵坐标
竖坐标
坐标
2.空间直角坐标系下向量的坐标
在空间直角坐标系下，如果指定空间中的单位向量，， 的始
点都在原点，且它们的方向分别与轴、轴、 轴的正方向相同，
则{，，}是______________，且向量的坐标与 点的坐标
______，即________ ________.
单位正交基底
相同
3.空间向量坐标的应用
设, 为空间直角坐标系中的两点,则
（1） _______________________,即空间向量在空间直角坐标系
中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标______始点
坐标.
减去
（2）若是线段的中点,则 的坐标为__________________.
（3） __________________________________.
【诊断分析】
判断正误. （正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）空间直角坐标系中 轴上的点的纵坐标为0且竖坐标为0.( )
√
（2）空间直角坐标系中 平面上的点的竖坐标为0.( )
√
（3）空间直角坐标系中，点关于 平面的对称点为
.( )
√
（4）空间直角坐标系中的任意一个点都有唯一的实数对 与之
对应.( )
√
探究点一 空间点与向量的坐标表示
例1（1）在长方体 中,
,,点是的中点,点是
的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
①写出点,, 的坐标;
解：因为是原点,所以 .
由,,得,,, .
因为是的中点,所以，同理可得 .
②求, 的坐标.
解：, .
例1（1）在长方体 中,
,,点是的中点,点是
的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
（2）若（1）中以为坐标原点，，，的方向分别为 轴、
轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系.
①写出点,, 的坐标;
解： 因为是原点,所以.
由, ,得,,,
.因为是 的中点,所以，同理可得 .
②求, 的坐标.
解： , .
变式 已知正四棱锥 的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的
空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标和向量， 的坐标.
解： 正四棱锥 的底面边长为4,侧棱长为10,
正四棱锥的高为 .设正四棱锥的底面中心为, 的中点
为,的中点为，连接,, ,易知, , 两两垂直.
以为坐标原点,,,的方向分别为轴、 轴、 轴
正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,, ,
, .
［素养小结］
空间中点的坐标的三种确定方法：
（1）过作垂直于平面，垂足为，求出的坐标和
坐标，再由射线的指向和线段的长度确定坐标.
（2）构造以为体对角线的长方体，由长方体以为共顶点的三条
棱的长度结合点的位置，可以确定点的坐标.
（3）若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点在坐标
轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作坐标轴的垂线即可确定点
的坐标.
探究点二 空间中点的对称问题
例2（1）在空间直角坐标系中，已知点与 关于
点对称，则点 的坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知点为线段的中点，所以点 的坐标是
，即 .故选C.
√
（2）已知点，点关于 平面的对称点的坐标为
( )
A. B. C. D.
[解析] 点关于平面的对称点的坐标为 ，所以
关于平面的对称点的坐标为 .故选C.
√
变式（1）在空间直角坐标系中，点与点 关
于( )
A.原点对称 B.平面对称 C.轴对称 D. 轴对称
[解析] 在空间直角坐标系中，点关于 轴的对称点的坐标为
，根据,的坐标，可以判断,关于 轴对称.故选D.
√
（2）在空间直角坐标系中，点是点在 平面内的射影，
则 ( )
A.5 B.25 C. D.
[解析] 由点是点在平面内的射影可得 ，则
.故选A.
√
［素养小结］
求空间对称点的规律方法：
空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，需要
掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于
谁对称，谁保持不变，其余互为相反数”这个结论.
探究点三 空间向量坐标的应用
例3 ［2024·辽宁沈阳高二期末］在棱长为1的正方体
中,,,分别是,, 的中点.
证明 ：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角
坐标系,则,,, ,
所以,, , .
因为 ,
所以, 即 .
（1）求证: ;
（2）求, ;
解： 因为 ,
, ,
所以, .
例3 ［2024·辽宁沈阳高二期末］在棱长为1的正方体
中,,,分别是,, 的中点.
解： ，即的长为 .
（3）求 的长；
例3 ［2024·辽宁沈阳高二期末］在棱长为1的正方体
中,,,分别是,, 的中点.
（4）求直线与直线的交点到点 的距离.
解： 设直线与直线的交点为，则, ,
三点共线， .
设点,则,若,, 三
点共线，则，即存在实数 ，使得，解得,
，即 .故直线与直线的交点到点的距离为 .
例3 ［2024·辽宁沈阳高二期末］在棱长为1的正方体
中,,,分别是,, 的中点.
变式 ［2025·陕西咸阳高二期末］在棱长为2的正方体
中，，分别是，的中点，在棱 上，
且，是 的中点.
（1）证明： ；
证明：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ，，
. ， ，
因为 ，
所以，故 .
（2）求, ；
解： 因为 ，所以 .
因为 ，且
，
所以, .
变式 ［2025·陕西咸阳高二期末］在棱长为2的正方体
中，，分别是，的中点，在棱 上，
且，是 的中点.
（3）求 的长.
解： 因为是的中点，所以 ，
所以 ，
则 ，
即的长为 .
变式 ［2025·陕西咸阳高二期末］在棱长为2的正方体
中，，分别是，的中点，在棱 上，
且，是 的中点.
［素养小结］
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点
落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，先写出相关
点的坐标，再写出相应向量的坐标，把向量坐标化，然后利用向量
的坐标运算求解夹角和距离问题.
1.在空间直角坐标系中，已知,,则线段 的长度是
( )
A. B. C. D.4
[解析] 因为, ,所以
.故选A.
√
2.［2025·贵州铜仁高二期末］在空间直角坐标系中，已知
以原点为始点，终点为点，，若
关于平面的对称点为，则 ( )
A.2 B. C.5 D.
[解析] 因为关于平面的对称点为，所以 ，
所以，即，则 ，所以
.故选C.
√
3.（多选题）已知点,,点满足,则点 的坐
标可能为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 设点,由，得或 ，
得 或
,
所以 或解得或
故点 或.故选 .
4.如图，在三棱锥中， 平面， ，且
，若在上的投影为,则 __.
[解析] 由题知，,,以 为坐标
原点，,,的方向分别为,, 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
令,,，则, ,
,， ,
，在 上的投影为
，故 .
5.［2025·北京人大附中高二期中］已知空间直角坐标系中四个点
,,, .
（1）求, 的中点坐标；
解：，故,的中点坐标为 .
（2）若点在平面上，求出 的值.
解：,， ，
设 ，则
，
所以解得
5.［2025·北京人大附中高二期中］已知空间直角坐标系中四个点
,,, .
1.设点 为空间直角坐标系中的一点，则有：
（1）与点关于原点对称的点为 ;
（2）与点关于轴对称的点为 ;
（3）与点关于轴对称的点为 ;
（4）与点关于轴对称的点为 ;
（5）与点关于平面对称的点为 ;
（6）与点关于平面对称的点为 ;
（7）与点关于平面对称的点为 .
2.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示
点的 位置
坐标 表示
1.利用空间向量的坐标运算可以判定两个向量的平行、垂直，可以求
向量的模以及两个向量的夹角.
2.几何中的平行和垂直可以用向量进行判断，距离、夹角问题可以借
助于空间直角坐标系并结合空间向量基本定理利用数量积解决.
例1 ［2024·黑龙江齐齐哈尔高二期末］设,, 是空间中两两夹
角均为的三条数轴，,,分别是与,, 轴正方向同
向的单位向量，若 ，则把有序数对
叫作向量在坐标系 中的坐标，则下列结论正确的
序号是______.
①若向量 ，向量 ，则 ；
②若向量，向量，则 ；
③若向量 ，向量 ，则当且仅当
时， .
②③
[解析] 对于①，向量 ，向量
，则
，故①错误；
对于②，若向量，向量 ，则
，所以 ,故②正确；
对于③，向量 ，向量，
当时， ，则
，此时 ，故③正确.故填②③.
例2 已知的三个顶点，， .
（1）求 中最短边的边长；
解：由已知得
，
，
，
中最短的边是，其长度为 .
（2）求 边上中线的长度.
解：由中点坐标公式，得的中点坐标为 ，
边上中线的长度为
.
例2 已知的三个顶点，， .
练习册
一、选择题
1.在空间直角坐标系中，设点是点关于 平面的对
称点，则 ( )
A.8 B. C.29 D.
[解析] 因为点是点关于 平面的对称点，所以点
，所以，所以 .故选A.
√
2.［2025·湖南长沙高二期末］在平行四边形中， ，
，，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则， ，
因为，所以解得即 .故选A.
√
3.如图，圆锥的底面直径 ，高
， 为底面圆周上的一点，且
，则点 的坐标为( )
A. B.
C. D.
[解析] 易知点在平面上，设，因为 ，所以
，则, ，所以点
的坐标为 ，故选B.
√
4.［2025·广西百色高二期中］已知空间向量 ，
，则在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，所以
，
，
所以在上的投影向量为 .故选C.
√
5.已知点，，，则 的形状是
( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
[解析] 根据题意得，， ，
所以 ，
, ，
因为，所以 为直角三角
形.故选C.
√
6.已知空间中三点，，，在直线 上有一
点满足，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得, 点在直线上, 可设
,则，
又， ,即，
即，解得， 点 的坐标为 .故选A.
√
7.已知正方体 的棱长为1，
,分别是面对角线, 上的点，且
，,则 的长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为原点，,，的方向分别为
轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直
角坐标系，则，， ，
,, .
设 ,，则,
， ,
解得
，
.故选C.
8.（多选题）如图，在四棱锥中，
平面，底面为矩形，， 分别为
， 的中点，则( )
A.在上的投影向量为
B.在上的投影向量为
C.在上的投影向量为
D.在上的投影向量为
√
√
√
[解析] 因为 平面，, 平面
，所以,，又底面
为矩形，所以，故以 为坐标原点，
,,的方向分别为,, 轴的正方向，建
立如图所示的空间直角坐标系，
,，则,, ,,
,.因为,，所以在 上的
投影向量为 , ,故A正确；
因为，所以在 上
的投影向量为 ,
，故B不正确；
因为， ，
所以在上的投影向量为 ,
，故C正确；
因为，所以在
上的投影向量为 ,
，故D正确．故选 ．
9.（多选题）在菱形纸片中，， 分别为
，的中点，是菱形 的中心，
，，将菱形纸片 沿对角线
折叠，使平面 平面，以 为原点，
A. B.
C. D.
，，的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系，则 ( )
√
√
√
[解析] 由题意可知，, ，
所以,,, ,
,, ，
所以， ，
，所以 , ，
故A，C，D正确，B错误.故选 .
二、填空题
10.［2024·浙江绍兴一中高二期中］光源经过 平面反射
后经过，则反射点 的坐标为_______.
[解析] 设点关于平面的对称点为，则 ，则
点为与平面的交点.设，则 ，
又,，所以 解得
所以 .
11.在四面体中，若， ，点
，分别为，的中点，则 的坐标为____________.
[解析] 设是坐标原点， 点，分别为， 的中点，
,又,,
.
12.如图，在四棱锥中， 平面 ，
，，，为 的中点，
，则 的长度为_ ___.
[解析] 连接，因为 平面， 平
面，所以，又 ，
，所以 ，
所以，即，又，所以 ，
过点作直线，则 平面，故以为坐标原点，
以,, 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系，则,,，又为 的中
点，所以 ，所以 .
三、解答题
13.（13分）如图所示，在四棱锥中，
平面，底面 是边长为1的正方形，
，是棱上一点，且 .
（1）建立适当的坐标系并求点 的坐标；
解：以为原点，，，的方向分别为
轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系，则,,, .
设，则 ，
, ，
，解得 ，
，，故点的坐标为 .
（2）求证： .
证明：由（1）知， ，
则 ，
.
13.（13分）如图所示，在四棱锥中，
平面，底面 是边长为1的正方形，
，是棱上一点，且 .
14.（15分）如图所示，在四棱锥中， 为等腰直角三
角形，且 ，四边形为直角梯形，满足 ,
,, .
（1）求证： ；
证明：因为 为等腰直角三角形，
， ，所以 ，
又 ，
，所以 ，
因为，，所以 ，
因为，, 平面，所以 平
面，又 平面，所以 .
（2）若点为的中点，点为的中点，
点为棱 上一点.当时，求 的值.
13.（13分）如图所示，在四棱锥中，
平面，底面 是边长为1的正方形，
，是棱上一点，且 .
解：如图，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则,, ,
，所以 , .
设 ， 则 ，
所以 ，所以 ，
因为，所以 ，
所以 ，解得，
所以 .
15.（17分）［2024·湖北宜荆高二期中］ 空间中，
两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐
标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样
的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，
它任意两条数轴的夹角均为 ，我们将这种坐标系称为“斜 坐标系”.
我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 坐标系”下向量的斜 坐标：
,, 分别为“斜 坐标系”下三条数轴轴，轴， 轴正方向上的单位向
量，若向量，则 与有序实数组一一对应，称向量
的斜 坐标为，记作 .
（1）若,，求的斜 坐标.
解：, ，
, 的斜 坐标为 .
（2）在平行六面体 中，
, , ，
建立“空间斜 坐标系”如图所示.
解：设,,分别为与,, 同方向的单位向量，
则,, .
①若，求向量的斜 坐标；
.
②若，且，求 .
解： 由题得 ，
由，知 ，
， ,
，
，解得 ，
则 .
（2）在平行六面体 中，, ,
，建立“空间斜 坐标系”如图所示.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 m平面垂直 （1）垂直 坐标轴
（2）坐标平面 平面 平面 平面 （3） 或 垂直
知识点二 1.坐标分量 横坐标 坐标 纵坐标 竖坐标 坐标
2.单位正交基底 相同
3.（1）减去 （2）
（3）
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）√
课中探究 例1 略 变式 略 例2（1）C （2）C 变式（1）D （2）A
例3 略. 变式 略 课堂评价 1.A 2.C 3.AD 4. 5.（1） （2） 快速核答案（练习册）
一、选择题
1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.ACD 9.ACD
二、填空题
10. 11. 12.
三、解答题
13. 略 14.（1）证明略（2）
思维探索
15.（1） （2）① ②>
第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
【学习目标】
1.了解空间直角坐标系;
2.会求空间中的点的坐标,两点间的距离以及两点的中点坐标;
3.掌握空间向量坐标的简单应用.
◆ 知识点一 空间直角坐标系的建立
在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系 ,然后过O作一条与 的数轴z轴,这样建立的空间直角坐标系记作 .
(1)x轴、y轴、z轴是两两互相 的,它们都称为 .
(2)通过每两个坐标轴的平面都称为 ,分别记为 、 、 .
(3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时,一般把x轴、y轴画成水平放置,x轴正方向与y轴正方向夹角为 ,z轴与y轴(或x轴) .如图①②所示.
◆ 知识点二 空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标
1.空间中点的坐标
在空间直角坐标系中,点M的坐标为(x,y,z),则x,y,z都称为点M的 ,且x称为点M的 (或 ),y称为点M的 (或y坐标),z称为点M的 (或 ).
2.空间直角坐标系下向量的坐标
在空间直角坐标系下,如果指定空间中的单位向量e1,e2,e3的始点都在原点O,且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同,则{e1,e2,e3}是 ,且向量的坐标与P点的坐标 ,即=xe1+ye2+ze3= P .
3.空间向量坐标的应用
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则
(1)= ,即空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标 始点坐标.
(2)若M是线段AB的中点,则M的坐标为 .
(3)||= .
【诊断分析】 判断正误. (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴上的点的纵坐标为0且竖坐标为0. ( )
(2)空间直角坐标系中xOy平面上的点的竖坐标为0. ( )
(3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于yOz平面的对称点为(-1,,2). ( )
(4)空间直角坐标系中的任意一个点都有唯一的实数对(x,y,z)与之对应. ( )
◆ 探究点一 空间点与向量的坐标表示
例1 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,D1D=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
①写出点D,N,M的坐标;
②求,的坐标.
(2)若(1)中以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
①写出点D,N,M的坐标;
②求,的坐标.
变式 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标和向量,的坐标.
[素养小结]
空间中点M的坐标的三种确定方法:
(1)过M作MM1垂直于平面xOy,垂足为M1,求出M1的x坐标和y坐标,再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标.
(2)构造以OM为体对角线的长方体,由长方体以O为共顶点的三条棱的长度结合点M的位置,可以确定点M的坐标.
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面,或点M在坐标轴或坐标平面上,则利用这一条件,再作坐标轴的垂线即可确定点M的坐标.
◆ 探究点二 空间中点的对称问题
例2 (1)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,3)与B(3,-2,-1)关于点M对称,则点M的坐标是 ( )
A.(1,1,1) B.(2,1,1)
C.(2,-1,1) D.(1,2,3)
(2)已知点A(-3,1,-4),点A关于xOy平面的对称点的坐标为 ( )
A.(-3,-1,-4) B.(-3,-1,4)
C.(-3,1,4) D.(3,-1,-4)
变式 (1)在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,3)与点B(-1,-2,3)关于 ( )
A.原点对称 B.xOy平面对称
C.y轴对称 D.z轴对称
(2)在空间直角坐标系中,点B是点A(3,4,5)在xOy平面内的射影,则||= ( )
A.5 B.25
C. D.
[素养小结]
求空间对称点的规律方法:
空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,需要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余互为相反数”这个结论.
◆ 探究点三 空间向量坐标的应用
例3 [2024·辽宁沈阳高二期末] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥CF;
(2)求cos<,>;
(3)求CE的长;
(4)求直线GF与直线DD1的交点到点D的距离.
变式 [2025·陕西咸阳高二期末] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求cos<,>;
(3)求FH的长.
[素养小结]
通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后,先写出相关点的坐标,再写出相应向量的坐标,把向量坐标化,然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
1.在空间直角坐标系中,已知A(2,2,5),B(4,6,3),则线段AB的长度是 ( )
A.2 B.4
C.4 D.4
2.[2025·贵州铜仁高二期末] 在空间直角坐标系中,已知m=(1,2,k)以原点O为始点,终点为点M,n=(-k,2,3-k),若M关于xOy平面的对称点为(1,2,-1),则m·n= ( )
A.2 B.-2
C.5 D.-5
3.(多选题)已知点A(2,4,0),B(1,3,3),点Q满足2AQ=QB,则点Q的坐标可能为 ( )
A. B.(-3,-11,3)
C. D.(3,5,-3)
4.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,且=3,若在上的投影为λ,则λ= .
5.[2025·北京人大附中高二期中] 已知空间直角坐标系中四个点A(1,1,1),B(1,2,3),C(4,5,6),D(7,8,x).
(1)求A,C的中点坐标;
(2)若点D在平面ABC上,求出x的值.第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
一、选择题
1.在空间直角坐标系Oxyz中,设点B是点A(2,3,4)关于xOy平面的对称点,则||=( )
A.8 B.2 C.29 D.
2.[2025·湖南长沙高二期末] 在平行四边形ABCD中,A(1,-2,3),B(-4,5,6),C(0,1,2),则点D的坐标为 ( )
A.(5,-6,-1) B.(-5,8,5)
C.(-5,6,1) D.(5,-8,-5)
3.如图,圆锥的底面直径AB=4,高OC=2,D为底面圆周上的一点,且∠AOD=,则点D的坐标为 ( )
A.(-,1,0) B.(,1,0)
C.(,-1,0) D.(-,-1,0)
4.[2025·广西百色高二期中] 已知空间向量a=(2,1,0),b=(1,0,-1),则a在b上的投影向量为( )
A.b B.a C.b D.a
5.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.已知空间中三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,2,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 ( )
A.(-1,1,0) B.(-1,0,0)
C.(-1,-1,1) D.(1,1,0)
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, M,N分别是面对角线AC,C1D上的点,且⊥,⊥,则MN的长为 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,E,F分别为PB,PD的中点,则 ( )
A.在上的投影向量为
B.在上的投影向量为
C.在上的投影向量为-
D.在上的投影向量为-
9.(多选题)在菱形纸片ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,O是菱形ABCD的中心,AB=2,∠ABC=,将菱形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使平面ACD⊥平面ABC,以O为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ( )
A.E
B.F
C.=
D.cos∠EOF=-
二、填空题
10.[2024·浙江绍兴一中高二期中] 光源P(3,2,1)经过yOz平面反射后经过Q(1,6,5),则反射点R的坐标为 .
11.在四面体ABCD中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为BC,AD的中点,则的坐标为 .
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2,E为PB的中点,CD⊥BC,则CE的长度为 .
三、解答题
13.(13分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,MA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,MA=2AB,P是棱MC上一点,且=.
(1)建立适当的坐标系并求点P的坐标;
(2)求证:MB⊥DP.
14.(15分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,△PBC为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=2.
(1)求证:CD⊥PB;
(2)若点E为PB的中点,点F为CD的中点,点M为棱AB上一点.当⊥时,求的值.
15.(17分)[2024·湖北宜荆高二期中] 空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:i,j,k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴,y轴,z轴)正方向上的单位向量,若向量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组[x,y,z]一一对应,称向量n的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z].
(1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,建立“空间斜60°坐标系”如图所示.
①若=,求向量的斜60°坐标;
②若=[3,t,0],且⊥,求||.第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
【课前预习】
知识点一
xOy xOy平面垂直 Oxyz (1)垂直 坐标轴
(2)坐标平面 xOy平面 yOz平面 zOx平面
(3)135°(或45°) 垂直
知识点二
1.坐标分量 横坐标 x坐标 纵坐标 竖坐标 z坐标
2.单位正交基底 相同 (x,y,z) (x,y,z)
3.(1)(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 减去
(2)
(3)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)①因为D是原点,所以D(0,0,0).
由AB=BC=2,D1D=3,得A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3).
因为N是AB的中点,所以N(2,1,0),同理可得M(1,2,3).
②=(-1,-2,-3),=(1,-1,-3).
(2)①因为A是原点,所以A(0,0,0).由AB=BC=2,D1D=3,得B(2,0,0),D(0,2,0),B1(2,0,3),C1(2,2,3).因为N是AB的中点,所以N(1,0,0),同理可得M(2,1,3).
②=(-2,1,-3),=(-1, -1,-3).
变式 解:∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,∴正四棱锥的高为2.设正四棱锥的底面中心为O,AB的中点为E,BC的中点为F,连接OE,OF,OP,易知OE,OF,OP两两垂直.以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,-2,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,2).
=(2,-2,-2),=(-4,0,0).
探究点二
例2 (1)C (2)C [解析] (1)由题可知点M为线段AB的中点,所以点M的坐标是,即(2,-1,1).故选C.
(2)点(x,y,z)关于xOy平面的对称点的坐标为(x,y,-z),所以A(-3,1,-4)关于xOy平面的对称点的坐标为(-3,1,4).故选C.
变式 (1)D (2)A [解析] (1)在空间直角坐标系中,点(x,y,z)关于z轴的对称点的坐标为(-x,-y,z),根据A,B的坐标,可以判断A,B关于z轴对称.故选D.
(2)由点B是点A(3,4,5)在xOy平面内的射影可得B(3,4,0),则||==5.故选A.
探究点三
例3 解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E,C(0,1,0),F,G,所以=,=,=,=.
(1)证明:因为·=×+×+×0=0,所以⊥,即EF⊥CF.
(2)因为·=×1+×0+×=,||==,
||==,所以cos<,>===.
(3)||==,即CE的长为.
(4)设直线GF与直线DD1的交点为Q,则G,F,Q三点共线,=.
设点Q(0,0,q),则=,若G,F,Q三点共线,则∥,即存在实数λ,使得=λ,解得λ=,q=-,即Q.故直线GF与直线DD1的交点到点D的距离为.
变式 解:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G.
(1)证明:=(1,1,-1),=(-2,0,-2),
因为·=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0,
所以⊥,故EF⊥B1C.
(2)因为=,所以||=.
因为||=,且·=1×0+1×+(-1)×(-2)=,
所以cos<,>===.
(3)因为H是C1G的中点,所以H,所以=,则||===,即FH的长为.
【课堂评价】
1.A [解析] 因为A(2,2,5),B(4,6,3),所以||==2.故选A.
2.C [解析] 因为M关于xOy平面的对称点为(1,2,-1),所以M(1,2,1),所以m=(1,2,1),即k=1,则n=(-1,2,2),所以m·n=1×(-1)+2×2+1×2=-1+4+2=5.故选C.
3.AD [解析] 设点Q(x,y,z),由2AQ=QB,得2=或2=,得2(x-2,y-4,z)=(1-x,3-y,3-z)或2(x-2,y-4,z)=(x-1,y-3,z-3),所以或解得或故点Q或Q(3,5,-3).故选AD.
4. [解析] 由题知AB⊥AC,PA⊥AB,PA⊥AC,以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.令AB=a,AC=b,AP=c,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,b,0),D,∴=(0,b,0),=,∴在上的投影为·=·=,故λ=.
5.解:(1)=,故A,C的中点坐标为.
(2)=(0,1,2),=(3,4,5),=(6,7,x-1),
设=λ+μ,则(6,7,x-1)=(0,λ,2λ)+(3μ,4μ,5μ)=(3μ,λ+4μ,2λ+5μ),
所以解得第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用
1.A [解析] 因为点B是点A(2,3,4)关于xOy平面的对称点,所以点B(2,3,-4),所以=(0,0,-8),所以||=8.故选A.
2.A [解析] 设D(x,y,z),则=(-5,7,3),=(-x,1-y,2-z),因为=,所以解得即D(5,-6,-1).故选A.
3.B [解析] 易知点D在xOy平面上,设D(x,y,0),因为∠AOD=,所以∠BOD=,则x=OD·sin 60°=,y=OD·cos 60°=1,所以点D的坐标为(,1,0),故选B.
4.C [解析] 因为a=(2,1,0),b=(1,0,-1),所以a·b=2×1+1×0+0×(-1)=2,|b|==,所以a在b上的投影向量为·b=b.故选C.
5.C [解析] 根据题意得=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),所以||==,||==,||==,因为||2+||2=75+14=89=||2,所以△ABC为直角三角形.故选C.
6.A [解析] 由已知得=(-1,1,0),∵点H在直线OA上,∴可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-2,-1),又BH⊥OA,∴·=0,即(-λ,λ-2,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-2=0,解得λ=1,∴点H的坐标为(-1,1,0).故选A.
7.C [解析] 以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),∴=(1,1,0),=(-1,0,-1)
设M(a,a,0),N(b,1,b),则=(b-a,1-a,b),∵⊥,⊥,∴解得∴=,∴||==.故选C.
8.ACD [解析] 因为PA⊥平面ABCD,AD,AB 平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AB,又底面ABCD为矩形,所以AD⊥AB,故以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=a,AD=b,AP=c,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,b,0),E,F.因为=,=(0,b,0),所以在上的投影向量为||cos<,>·=·=·=,故A正确;因为=,所以在上的投影向量为||cos<,>·=·=·=,故B不正确;因为=,=(a,0,0),所以在上的投影向量为||cos<,>·=·=·=-,故C正确;因为=,所以在上的投影向量为||cos<,>·=·=·=-,故D正确.故选ACD.
9.ACD [解析] 由题意可知,AC=2,OB=OD=1,所以O(0,0,0),A(0,-,0),C(0,,0),B(1,0,0),D(0,0,1),E,F,所以=,=,=,所以cos∠EOF=cos<,>==-,故A,C,D正确,B错误.故选ACD.
10.(0,5,4) [解析] 设点P(3,2,1)关于yOz平面的对称点为P',则P'(-3,2,1),则点R为P'Q与yOz平面的交点.设R(0,m,n),则=λ,又=(3,m-2,n-1),=(4,4,4),所以解得所以R(0,5,4).
11.(-2,-3,-3) [解析] 设O是坐标原点,∵点E,F分别为BC,AD的中点,∴=-,又=(+),=(+),∴=(+)-(+)=(+)=(-+)=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).
12. [解析] 连接AC,因为PA⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PA⊥AC,又PA=AD=CD=2,PC=2,所以AC===2,所以AC2=AD2+CD2,即AD⊥DC,又CD⊥BC,所以BC∥AD,过点C作直线l∥AP,则l⊥平面ABCD,故以C为坐标原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(-2,-2,2),B(0,-3,0),又E为PB的中点,所以E,所以CE==.
13.解:(1)以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则M(0,0,2),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).
设P(x,y,z),则=(x-1,y-1,z),∵=(-1,-1,2),=,
∴(x-1,y-1,z)=(-1,-1,2),解得x=,y=,z=,故点P的坐标为.
(2)证明:由(1)知=(1,0,-2),=,则·=1×+0×+(-2)×=0,∴MB⊥DP.
14.解:(1)证明:因为△PBC为等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,所以PC=PB=2,
又PD2=(2)2=24,PC2+CD2=(2)2+42=24,所以DC⊥PC,
因为CD⊥AD,AD∥BC,所以CD⊥BC,
因为PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,所以CD⊥平面PBC,又PB 平面PBC,所以CD⊥PB.
(2)如图,以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,
则A(,,4),B(2,2,0),E(2,,0),F(0,0,2),所以=(,,-4),=(-2,-2,2).
设=t(0≤t≤1),则=(t,t,-4t),
所以M(+t,+t,4-4t),
所以=(t-,t,4-4t),
因为⊥,所以·=0,
所以-2×(t-)-2×t+8-8t=0,解得t=,所以=.
15.解:(1)∵a=[1,2,3],b=[-1,1,2],
∴a+b=(i+2j+3k)+(-i+j+2k)=3j+5k=[0,3,5],∴a+b的斜60°坐标为[0,3,5].
(2)设i,j,k分别为与,,同方向的单位向量,
则=2i,=2j,=3k.
①=-=(+)-=-++=-2i+2j+k=.
②由题得=++=2i+2j+3k,
由=[3,t,0],知=3i+tj,
∵⊥,∴·=(2i+2j+3k)·(3i+tj)=0,
∴6i2+2tj2+(6+2t)i·j+9k·i+3tk·j=0,
∴6+2t+(6+2t)×++=0,解得t=-3,
则||=|3i-3j|==3.
