(共96张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
探究点一 确定空间中点的位置
探究点二 直线的方向向量
探究点三 用直线的方向向量处理线线平行、垂直问题
探究点四 利用向量法求空间中两条直线所成的角
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解空间中的点与空间向量的关系，理解直线的方向向量;
2.掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法;
3.掌握利用空间向量求空间中两条直线所成的角的方法;
4.了解公垂线段的概念并会求其长度.
知识点一 用向量表示点的位置
一般地，如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点 的位置，
都可以由向量____唯一确定，此时，通常称为点 的__________.
位置向量
知识点二 直线的方向向量
一般地，如果是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量，
且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线 的一
个方向向量.此时，也称向量与直线平行，记作 .
（1）如果，是直线上两个不同的点，则就是直线 的一个
方向向量；
（2）如果是直线的一个方向向量，则对任意的实数 ，空间
向量也是直线的一个方向向量，而且直线 的任意两个方向向量
都平行；
（3）空间中直线的位置可由直线的一个方向向量和 上的一个已
知点唯一确定；
（4）如果，分别是直线， 的一个方向向量，则
或与 重合.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）直线 的方向向量是唯一的.( )
×
（2）若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( )
√
（3）若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线 的一个
方向向量.( )
×
知识点三 空间中两条直线所成的角
（1）设，分别是空间中直线，的方向向量，且与 所成角
的大小为 ，则________（如图①所示）或 ___________
（如图②所示），所以__________， ____________.
①
②
（2）， _______ ___.
0
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）两条异面直线所成的角与两直线方向向量所成的角相等或互补.
( )
√
（2）若两直线的方向向量分别为,，两直线所成的角为 ，则
.( )
×
（3）空间中两直线所成的角唯一确定，则两条直线对应的方向向量
所成的角也唯一确定.( )
×
知识点四 异面直线与空间向量
1.异面直线的判定
设，分别是空间中直线， 的方向向量.
（1）若与异面，则与 是不可能平行的.
（2）若与不平行，则与 的位置关系为____________.
（3）若，，则与异面时，，， ________；若
，，不共面，则与 异面.（如图①②所示）
相交或异面
不共面
2.异面直线间的距离
一般地，如果与是空间中两条异面直线，， ，
_________，_________，则称为与 的公垂线段.两条异面直线的公
垂线段的长，称为这两条异面直线之间的______.
距离
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）不相交的直线就是异面直线.( )
×
（2）任意两条异面直线的公垂线段都只有一个.( )
√
（3）设,分别是空间中直线,的方向向量，若, 不平行，
则两条直线是异面直线.( )
×
探究点一 确定空间中点的位置
例1 ［2024·广西南宁东盟中学高二月考］已知是坐标原点， ，
，三点的坐标分别为，， .
（1）若，求点 的坐标；
解：， ，则
，所以点的坐标为 .
（2）若是线段上的一点，且，求点 的坐标.
解：设点的坐标为，则 ，
，因为是线段上的一点，且 ,
所以，
即 解得故点的坐标为 .
例1 ［2024·广西南宁东盟中学高二月考］已知是坐标原点， ，
，三点的坐标分别为，， .
变式（1）已知点，，为线段 上一点，且
，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则 ，
由题知
为线段上一点，且， ，
即，解得， ， .
故选C.
√
（2）已知点是过点且方向向量为 的直线上的一
点，若，则点 的坐标是_________.
[解析] 设，则.
因为 ，所以,即解得
即 ,则，解得,
所以点 的坐标是 .
［素养小结］
解决空间中点的位置问题常转化为向量共线、向量相等问题来解决,
设出要求点的坐标,利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组,
求解即可.
探究点二 直线的方向向量
例2 （多选题）已知一条直线经过， 两点，下列
向量中可以是该直线的方向向量的为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题知，，则与向量 共线的非零向量均为
该直线的方向向量
选项中的向量与 不共线，所以不是直线的方向向量，
B，C，D中的向量与共线，所以是直线 的方向向量.故选 .
√
√
√
变式（1）已知直线的一个方向向量为，且直线 经过点
和点，则___， ___.
-3
3
[解析] 因为，所以 ，解得
， .
（2）已知点,在直线上，写出直线 的一个方向
向量 ______________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为点,在直线上，所以 ,
，且都是直线的方向向量.故直线 的一个方向向量
可以为 .
［素养小结］
对直线方向向量的两点说明：
（1）方向向量的选取：在直线上任取两点，，可得到直线的一
个方向向量.
（2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为
方向相同和相反两类，它们都是共线向量.解题时，可以选取坐标最
简的方向向量.
探究点三 用直线的方向向量处理线线平行、垂直问题
例3（1）在长方体中，， ，
，，，，分别是，，， 的中点.
求证： .
证明：方法一：以为坐标原点，，，
的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系，则 ，，， ，
所以，，
所以，所以 ，又 直线，所以 .
方法二：连接， ，
因为 ，
，
所以，所以，
又 直线 ，所以 .
（2）在正方体中，，分别是， 的中点.
求证：， .
证明： 不妨设正方体 的棱长为1，以为
坐标原点，，，的方向分别为 轴、轴、 轴
的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，， ，，，，
，， .
，，
, .
变式 ［2025·贵州遵义高二期中］ 如图，已知正三棱柱
的各棱长都为1，是的中点，是 上的点，且
.求证： .
证明：取的中点，取的中点 ，连接，，
易知,,两两垂直，故以 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，, ，.
为的中点， ， ，
又， ，
， .
［素养小结］
判定直线平行、垂直的向量法：
设，分别为与的一个方向向量.
（1）或与重合.
（2）与不平行与不平行.
（3）.
（4）与不垂直与不垂直.
探究点四 利用向量法求空间中两条直线所成的角
例4（1）［2024·广东中山华侨中学高二期中］如
图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧
的中点，，分别为母线， 的中点，则异
面直线和 所成角的大小为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，连接,，如图.以 为
坐标原点，,,的方向分别为轴、轴、
轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，
则,, , ,
又，分别为， 的中点，所以 ,，
则 ，.
设异面直线和 所成的角为 ，则 ,
，又 ，所以 .
（2）［2025·吉林长春高二期末］在如图所示的多
面体中， 平面，平面 平面 ，
且， ，则
异面直线与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将该多面体补成底面边长为2，高为2的正
三棱柱，取的中点，连接,.以 为坐标
原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
,,, ，
所以，，
所以 , .故选A.
变式 如图，在棱长为4的正方体中，， 分别
在棱，上，且， .
（1）证明： ；
证明：以为坐标原点，,, 的方向分别为
,, 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则, , , ，
则, ，
所以 ，
所以，所以 .
（2）求与 所成角的余弦值.
解：因为， ，
所以, ，
所以, ，所以
, ，
所以与所成角的余弦值为 .
变式 如图，在棱长为4的正方体中，， 分别
在棱，上，且， .
［素养小结］
利用向量法求异面直线所成角的步骤:
（1）确定空间两条直线的方向向量；
（2）求两个向量夹角的余弦值；
（3）确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两
直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.
注意：异面直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值
一定大于或等于0.
1.已知点,在直线上,则下列向量中可以是直线 的
方向向量的为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得,则与向量 共线的非零向量均为直
线 的方向向量，只有选项A满足题意,故选A.
√
2.（多选题）已知向量,分别是直线, 的一
个方向向量,若 ,则下列四个选项中符合题意的有( )
A., B., C., D.,
[解析] 由题意知,即 ,只有A,C
满足上式.故选 .
√
√
3.在四棱锥中, 底面,底面 为正方形,
,,则异面直线与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[解析] 以为原点,,,的方向分别为,, 轴的正
方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
,,,
, ,
,,
异面直线与 所成角的余弦值为 .故选D.
√
4.［2024·长春东北师大附中高二月考］在正方体
中，下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则,,, ，
,,, ，
所以, ，,
， , , .
√
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C，
，故C错误；
对于D， ，故D正确.故选D.
5.设直线的一个方向向量为,直线 的一个方向向量为
，则与 的公垂线的一个方向向量为_______________
________.
（答案不唯一）
[解析] 设与的公垂线的一个方向向量为 ,依题意可得
该方程组的一组解为故与 的公垂线的一
个方向向量为 .
证明线线平行的方法与步骤：
1.空间平行关系的解决策略
几何法 向量法
线线 平行
例1 如图，在平行六面体中，
是的中点， 是的中点，证明： .
证明：连接，则由题意知为 的中点，
与共线，又与没有公共点， .
，
例2 如图所示，在正四棱柱
中，，分别为底面, 的中
心，，，为的中点， 在
上，且，为的中点，
在上，且 .
（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、 轴
正方向，建立空间直角坐标系，写出图中,,,,,,, 的坐标；
解：，，，， ，
，， .
（2）证明： .
证明：因为 , ，
所以 ，所以与共线，
又与 没有公共点，所以 .
例2 如图所示，在正四棱柱 中，，分别为底面
, 的中心，，，为的中点， 在
上，且，为的中点， 在上，且 .
2.空间垂直关系的解决策略
几何法 向量法
线线 垂直 两直线的方向
向量互相垂直
3.求两直线所成的角时应注意的问题：在已知的两条直线上取两条直
线的方向向量，，所以， .但要注意，两直线
的夹角与，并不完全相同，当，为钝角时，应取 ，
的补角作为两直线的夹角.
例3 如图，在四棱柱中，四边形 是正方形，
,，点为 的中点.
（1）用向量,,表示 ；
解：方法一：由题意知
方法二：连接,,因为为 的中点，所以
.
.
（2）求线段的长及直线与 所成角的余弦值.
解：因为四边形 是正方形，,
，
所以, ,
，
例3 如图，在四棱柱中，四边形 是正方形，
,，点为 的中点.
因为 ， 所以
.
所以
，即线段的长为 .
又 ，
所以, ，
即直线与所成角的余弦值为 .
例4 如图，在三棱锥中，与 均是等边三角形，
平面与平面所成角的大小为 .
（1）证明： ；
证明：取的中点，连接, .
因为与均是等边三角形，
所以, ，
因为，, 平面，
所以 平面 ，
又 平面，所以 .
（2）求直线和 所成角的余弦值.
解：因为 平面， 平面 ，
所以平面 平面 ，
在平面内，过作垂直于交于点 ，
由面面垂直的性质可知 平面 .
以为坐标原点，,，的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
例4 如图，在三棱锥中，与 均是等边三角形，
平面与平面所成角的大小为 .
令，则, ，
则,, .
因为,，所以 ，
则 ，所以 ，
则, ，
所以, ，
故直线和所成角的余弦值为 .
练习册
一、选择题
1.若点，在直线上，则直线 的一个方向向量为
( )
A. B.
C. D.
[解析] ，，
是直线 的一个方向向量.故选A.
√
2.［2024·广东汕头一中高二月考］已知直线 的一个方向向量为
,直线的一个方向向量为,若 ,则
的值是( )
A. B.6 C.14 D.
[解析] ,,,, ,
.故选A.
√
3.已知异面直线,的一个方向向量分别是 ,
，则, 所成角的大小是( )
A. B. C. D.
[解析] 异面直线,的一个方向向量分别是 ,
,,，
异面直线,所成角的范围为，,所成角的大小是 .故选C.
√
4.［2024·河南新乡高二期末］在直三棱柱 中，若
，，则与 所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设，则,, ,
，所以, ，
则,，
故 与所成角的余弦值为 .故选C.
5.如图所示，在正方体中， ，
分别在，上，且， ，
则( )
A.至多与， 之一垂直
B.，
C.与 相交
D.与 异面
√
[解析] 以为坐标原点，,, 的方向分
别为轴、轴、 轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系.
设正方体的棱长为3，则，，，
，，，， ，
，， ，
，，， ,故A错误,B正确；
，， ,故C错误，D错误.
故选B.
6.［2025·山东烟台一中高二月考］如图所示，
平行六面体 的所有棱长为2，
四边形是正方形， ，
点是与的交点，则直线与 所成
角的余弦值为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] ，
则 ，
而，故，
所以 ,，故直线与 所成
角的余弦值为 .故选D.
7.如图， 平面，四边形 为正
方形，是的中点，是 上一点，则当
时， ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为坐标原点，，， 的方向分
别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系，设， ，则
，，.
设点 的坐标为，,则， .
因为，所以，即，解得，即点 的
坐标为，所以为的中点，所以 .
8.（多选题）如图，在正方体
中，是体对角线 上的动
点，是棱 上的动点，则下列说法正确的
是( )
A.异面直线与所成的角的最小值为
B.异面直线与所成的角的最大值为
C.对于任意的，存在点使得
D.对于任意的，存在点使得
√
√
√
[解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，设正方体的棱长为1，则 ,
,,, ,
所以，, ,
设， ，
设异面直线与 所成的角为，
则 , .
对于A，当时，，则 ，故A正确；
对于B，当时，，则 ，故B正确；
对于C，设， ，则 ，
所以 ，
当时， ，故C错误；
对于D，任意，令，得 ，
即对于任意的，存在点使得 ，故D正确.故选 .
★9.（多选题）在三棱锥中，平面 平面 ，
，，为等边三角形，是棱 的中点，
是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则
的值可能为( )
A. B.1 C. D.
√
√
[解析] 取的中点，连接,则 ，又平面
平面，且平面 平面 ，
所以 平面，过作与平行，交 于
，则，，两两垂直，故以 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系.
为等边三角形，所以，,
, ，因为是 的中点，所以
.设，其中 ，
则， ，则
， ，整理得
，解得或 ，
所以或，
故 或.故选 .
［技巧点拨］ 本题条件中有面面垂直和线线垂直，故可建立空间直角
坐标系，求解线段长度问题，可以将其转化为求解参数值问题，应用异
面直线所成角公式进行求解即可.
二、填空题
10.已知，，则直线 的模为1的方向向量是
______________________.
或
[解析] 由题知，则，所以直线 的模为1的方
向向量为，即或 .
11.在正方体中,与 所成角的大小是____；若
,分别为,的中点,则异面直线与 所成角的大小是____.
[解析] 以点 为坐标原点,建立如图所示的空间直
角坐标系,设正方体的棱长为2,则, ,
,,,, ,
所以, ，
,.
因为 , 所以与所成角的大小是 .
设异面直线 与所成的角为 ,则 ,所以
12.［2025·吉林长春高二期中］“曲池”是《九章算
术》中记载的一种几何体，该几何体是上、下底面
均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部
分）.现有一个如图所示的“曲池”， 平面
，，底面扇环所对的圆心角为，
的长度是长度的2倍，，则异面直线
与 所成角的余弦值为__.
[解析] 设上底面圆心为，下底面圆心为 ，连接
，，，, ,由底面扇环所对的圆心角
为，的长度是长度的2倍， ，可知.
以为原点，以，，的方向分别为
轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，， ，
，，所以 ,
，故异面直线 与所成角的余弦值为 .
三、解答题
13.（13分）［2025·甘肃白银高二期末］ 如图，在直三棱柱
中，,,,分别为,,, 的中点，
,, .
（1）求证： ；
证明： 在直三棱柱中， 平面,
四边形 为矩形，
又,分别为, 的中点，
,且 ，
, ，
又,, 平面 ，
平面, 平面 ，
.
（2）求异面直线与 所成角的余弦值.
解：由（1）知,, ，
又 平面, 平面 ,
平面， ,
, ,
, .
以为坐标原点，以,,的方向分别为,, 轴
的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意得,, ，
, ,
，则, ，
因为异面直线所成角的取值范围为 ，
所以异面直线与所成角的余弦值为 .
14.（15分）已知斜三棱柱 的各棱
长都为4, ，点在下底面 的投
影为的中点.在棱上是否存在一点 使
？若存在，求出 的长；若不存在，
请说明理由.
解：因为点在下底面的投影为的中点 ，
所以 平面 .
连接，由题意知为正三角形，故 .
以为原点，,,的方向分别为，，
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,， ,
, ，
所以 ，
，， ，
所以 .
设, ，
则 .
假设在棱上存在一点使 ，
则 ，
解得，所以在棱上存在一点 使
，此时 .
15.设正方体的棱长为2， 为空间中一点，若
，则异面直线和 所成角的取值不可能是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，以为原点，,, 的
方向分别为,, 轴正方向，建立空间直角坐标
系，则，， ，
，，
因为 ，，所以 ，
，.设直线和 所成的角为，
，则 , .
时，，；
当 时，设，则 ，
故 ,
函数在 上单调递减，
故，则，所以 .
综上所述 .故选A.
16.（15分）如图所示,在四棱锥中,底面 是直角梯形,
,,,,且 底面 ,
与底面所成角为 .
（1）若,为垂足,求证: ;
证明: 底面, 平面 ，
，又,,,
平面， 平面 ,
平面， ，
又,,, 平面 ，
平面 ,
平面， .
（2）求异面直线与 所成角的余弦值.
16.（15分）如图所示,在四棱锥中,底面 是直角梯形,
,,,,且 底面 ,
与底面所成角为 .
解：如图,过点作,垂足为点.以
为原点,,,的方向分别为轴、轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系,则
，, .
底面 ,
是与底面所成的角, .
在中,由,得 ，
在中,由, ,
得,, .
于是, ，
则, ,
异面直线与所成角的余弦值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 m> 位置向量 知识点二【诊断分析】（1）×（2）√（3）×
知识点三（1） （2） 0
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）×
知识点四 1.相交或异面 不共面 2. 距离
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
课中探究 例1（1） （2） 变式（1）C （2）
例2 BCD 变式 （1）-3 3 （2）（答案不唯一）
例3 证明略 变式 证明略 例4（1）C （2）A 变式（1）证明略（2）课堂评价 1.A 2.AC 3.D 4.D 5.（答案不唯一）
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.ABD 9.AC
二、填空题
10.或 11. 12.
三、解答题
13.（1）证明略（2） 14. 在棱上存在一点使，此时
思维探索
15.A 16.（1）证明略（2） >
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
【课前预习】
知识点一
位置向量
知识点二
诊断分析
(1)× (2)√ (3)×
知识点三
(1) π- sin |cos| (2)l1⊥l2 0
诊断分析
(1)√ (2)× (3)×
知识点四
1.(2)相交或异面 (3)不共面
2.MN⊥l1 MN⊥l2 距离
诊断分析
(1)× (2)√ (3)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)=(-1,1,5),=(-3,-1,5),则=(-)=(2,2,0)=(1,1,0),所以点P的坐标为(1,1,0).
(2)设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-3,y-4,z),=(2-x,5-y,5-z),因为P是线段AB上的一点,且=,所以(x-3,y-4,z)=(2-x,5-y,5-z),即解得故点P的坐标为.
变式 (1)C (2)(±3,1,1) [解析] (1)设C(x,y,z),则=(x-4,y-1,z-3),由题知=(-2,-6,-2).∵C为线段AB上一点,且=,∴=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),解得x=,y=-1,z=.故选C.
(2)设P(x,y,z),则=(x,y-1,z-1).因为∥v,所以=λv(λ∈R),即解得即P(λ,1,1),则||==3,解得λ=±3,所以点P的坐标是(±3,1,1).
探究点二
例2 BCD [解析] 由题知,=(-3,-3,3),则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量(1,1,1)与不共线,所以不是直线AB的方向向量,B,C,D中的向量与共线,所以是直线AB的方向向量.故选BCD.
变式 (1)-3 3 (2)(1,4,1)(答案不唯一) [解析] (1)因为=(-2,-4-y,z-6),所以==,解得y=-3,z=3.
(2)因为点M(1,-2,0),N(2,2,1)在直线l上,所以=(1,4,1),t(t∈R,且t≠0)都是直线l的方向向量.故直线l的一个方向向量可以为a=(1,4,1).
探究点三
例3 证明:(1)方法一:以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),所以=(-3,2,1),=(-3,2,1),所以=,所以∥,
又P 直线RS,所以PQ∥RS.
方法二:连接A1Q,RC,因为=+=-+,=+=+-,所以=,所以∥,又P 直线RS,所以PQ∥RS.
(2)不妨设正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则M,B(1,0,0),C(1,1,0),A'(0,0,1),N,B'(1,0,1),=,=(1,1,-1),=(0,0,1).
∵·=·(1,1,-1)=0,·=·(0,0,1)=0,∴MN⊥A'C,MN⊥BB'.
变式 证明:取AB的中点O,取A1B1的中点O1,连接OO1,OC,易知OB,OC,OO1两两垂直,故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A,B,C,N,B1.∵M为BC的中点,∴M,
∴=,又=(1,0,1),∴·=-+0+=0,∴⊥,∴AB1⊥MN.
探究点四
例4 (1)C (2)A [解析] (1)取AB的中点O,连接OC,OD,如图.以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,不妨设AB=2,则B(0,1,0),D(1,0,0),C(0,0,),A(0,-1,0),又E,F分别为BC,AC的中点,所以E,F,则=,=.设异面直线BF和DE所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|===0,又θ∈,所以θ=.
(2)将该多面体补成底面边长为2,高为2的正三棱柱,取BC的中点O,连接OQ,OA.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),P(0,,1),C(-1,0,0),Q(0,0,2),所以=(-1,,1),=(1,0,2),所以cos<,>===.故选A.
变式 解:(1)证明:以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),B1(4,4,4),B(4,4,0),C1(0,4,4),
则=(4,4,4),=(-4,0,4),
所以·=-4×4+4×4=0,所以⊥,所以DB1⊥BC1.
(2)因为B1E1=A1B1,D1F1=C1D1,所以E1(4,3,4),F1(0,1,4),
所以=(0,-1,4),=(0,1,4),所以cos<,>===,
所以BE1与DF1所成角的余弦值为.
【课堂评价】
1.A [解析] 由题得=(2,4,-),则与向量共线的非零向量均为直线l的方向向量,只有选项A满足题意,故选A.
2.AC [解析] 由题意知a·b=-28+4x+5y=0,即4x+5y=28,只有A,C满足上式.故选AC.
3.D [解析] 以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,2),B(1,1,0),∴=(1,0,-2),=(-1,-1,0),∴|cos<,>|===,∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为.故选D.
4.D [解析] 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),所以=(-1,0,0),=(-1,0,-1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),=(-1,1,1),=(-1,1,-1),=(0,-1,1).对于A,·=-1×(-1)=1≠0,故A错误;对于B,·=-1×(-1)=1≠0,故B错误;对于C,·=-1×(-1)+1×1+1×(-1)=1≠0,故C错误;对于D,·=-1×0+1×(-1)+1×1=0,故D正确.故选D.
5.(4,5,3)(答案不唯一) [解析] 设l1与l2的公垂线的一个方向向量为n=(a,b,c),依题意可得该方程组的一组解为故l1与l2的公垂线的一个方向向量为(4,5,3).1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
1.A [解析] ∵=(1,2,3),=(1,2,3)=,∴n=是直线l的一个方向向量
.故选A.
2.A [解析] ∵l1∥l2,∴a∥b,∴==,∴n=-4,m=6,∴m+3n=-6.故选A.
3.C [解析] ∵异面直线a,b的一个方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),∴cos====-,∵异面直线a,b所成角的范围为,∴a,b所成角的大小是.故选C.
4.C [解析] 如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,设CC1=3BC=3CA=3,则A(1,0,0),C1(0,0,3),C(0,0,0),B1(0,1,3),所以=(-1,0,3),=(0,1,3),则cos<,>===,故AC1与CB1所成角的余弦值为.故选C.
5.B [解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为3,则D(0,0,0),A1(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),∴=(1,1,-1),=(-3,3,0),=(-3,0,-3),∴·=0,·=0,∴EF⊥AC,EF⊥,故A错误,B正确;∵=(-3,-3,3),∴=-3,∴BD1∥EF,故C错误,D错误.故选B.
6.D [解析] =+=++=++,则·=·=·=·++·=0+×4+×2×2×cos=3,=
=+++·+·+·=4+1+1+0+2×2×cos+×2×2×cos=9,故||=3,所以cos<,>===,故直线AO与CB所成角的余弦值为.故选D.
7.A [解析] 以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),0≤y≤1,则=(-1,y,0),=.因为BF⊥PE,所以·=0,即-+y=0,解得y=,即点F的坐标为,所以F为AD的中点,所以AF∶FD=1∶1.
8.ABD [解析] 以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,0),A(1,1,1),B1(0,1,0),所以=(0,-1,1),=(1,1,1),=(0,-1,0),设=λ=(λ,λ,λ),λ∈[0,1],则=+=(λ,λ-1,λ),设异面直线B1P与A1D所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|==.对于A,当λ=时,(cos θ)max=,则θmin=,故A正确;对于B,当λ=1时,(cos θ)min=,则θmax=,故B正确;对于C,设M(1,0,m),m∈[0,1],则=(0,-1,m-1),所以·=1-λ+λ(m-1)=1+λ(m-2),当λ=0时,·=1,故C错误;对于D,任意m∈[0,1],令·=0,得λ=∈,即对于任意的M,存在点P使得AM⊥B1P,故D正确.故选ABD.
9.AC [解析] 取BD的中点O,连接AO,则AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD,过O作OM与CD平行,交BC于M,则OB,OM,OA两两垂直,故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为BD=CD=2,△ABD为等边三角形,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(-1,2,0),A(0,0,),因为E是AC的中点,所以E.设F(a,0,+a),其中-1≤a≤0,则=,=(a-1,0,+a),则|cos<,>|==,整理得27a2+27a+6=0,解得a=-或a=-,所以=或=,故||=或||=.故选AC.
[技巧点拨] 本题条件中有面面垂直和线线垂直,故可建立空间直角坐标系,求解线段长度问题,可以将其转化为求解参数值问题,应用异面直线所成角公式进行求解即可.
10.或 [解析] 由题知=(1,2,2),则||=3,所以直线AB的模为1的方向向量为±,即或.
11.90° 30° [解析] 以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),A1(2,0,2),E(2,1,0),F(0,2,1),所以=(-2,0,2),=(-2,-2,-2),=(-2,2,0),=(-2,1,1).因为·=0,所以B1D与BC1所成角的大小是90°.设异面直线EF与A1C1所成的角为θ,则cos θ==,所以θ=30°.
12. [解析] 设上底面圆心为O1,下底面圆心为O,连接OO1,OC,OB,O1B1,O1C1,由底面扇环所对的圆心角为,的长度是长度的2倍,CD=1,可知OC=1.以O为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则C1(1,0,4),B(0,1,0),D1(2,0,4),A1(0,2,4),则=(2,-2,0),=(1,-1,4),所以cos<,>===,故异面直线与所成角的余弦值为.
13.解:(1)证明:∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,∴四边形A1ACC1为矩形,
又∵E,F分别为AC,A1C1的中点,∴AC⊥EF,且EF∥BB1,
∵AB=BC,∴AC⊥BE,又∵BE∩EF=E,BE,EF 平面BEFG,
∴AC⊥平面BEFG,∵GF 平面BEFG,∴AC⊥GF.
(2)由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1,又∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC,
∵BE 平面ABC,∴EF⊥BE,
∵AB=BC=2,∠ABC=,∴BE=,AA1=AC=2.
以E为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
由题意得B(0,,0),D(,0,),F(0,0,2),G(0,,),∴=(,-,),=(0,,-),
则cos<,>===-,
因为异面直线所成角的取值范围为,
所以异面直线FG与BD所成角的余弦值为.
14.解:因为点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O,
所以A1O⊥平面ABC.
连接OC,由题意知△ABC为正三角形,故OC⊥AB.
以O为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),A1(0,0,2),B(-2,0,0),B1(-4,0,2),C(0,2,0),
所以=(-2,0,2),=(-2,0,-2),=(-2,2,0),=(-2,0,2),
所以=+=(-4,2,2).
设=λ=(-2λ,0,2λ),λ∈[0,1],
则=+=(-2λ-2,0,2λ-2).
假设在棱BB1上存在一点D使A1D⊥AC1,
则·=4(2λ+2)+2(2λ-2)=0,解得λ=,所以在棱BB1上存在一点D使A1D⊥AC1,此时BD=BB1=.
15.A [解析] 如图所示,以A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C1(2,2,2),D(0,2,0),D1(0,2,2),因为=λ,λ∈[0,1],所以P(0,2λ,2λ),=(-2,2λ,2λ),=(-2,0,-2).设直线BP和C1D所成的角为θ,θ∈,则cos θ=|cos<,>|===.当λ=1时,cos θ=0,θ=;当λ≠1时,设1-λ=t,则t∈(0,1],故cos θ==,函数y=6+在(0,1]上单调递减,故ymin=2,则cos θ≤,所以θ∈.综上所述θ∈.故选A.
16.解:(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,AB 平面ABCD,
∴PA⊥AB,又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,∴AB⊥平面PAD,
∵PD 平面PAD,∴AB⊥PD,又AE⊥PD,AB∩AE=A,AB,AE 平面ABE,∴PD⊥平面ABE,
∵BE 平面ABE,∴BE⊥PD.
(2)如图,过点E作EF⊥AD,垂足为点F.以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).
∵PA⊥底面ABCD,∴∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°.
在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a,
在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=a,EF=a,∴E.
于是=,=(-a,a,0),
则cos<,>===,∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为.1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
【学习目标】
1.了解空间中的点与空间向量的关系,理解直线的方向向量;
2.掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法;
3.掌握利用空间向量求空间中两条直线所成的角的方法;
4.了解公垂线段的概念并会求其长度.
◆ 知识点一 用向量表示点的位置
一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量 唯一确定,此时,通常称为点P的 .
◆ 知识点二 直线的方向向量
一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l.
(1)如果A,B是直线l上两个不同的点,则v=就是直线l的一个方向向量;
(2)如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λv也是直线l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量都平行;
(3)空间中直线l的位置可由直线l的一个方向向量v和l上的一个已知点唯一确定;
(4)如果v1,v2分别是直线l1,l2的一个方向向量,则v1∥v2 l1∥l2或l1与l2重合.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线l的方向向量是唯一的. ( )
(2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. ( )
(3)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. ( )
◆ 知识点三 空间中两条直线所成的角
(1)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ= (如图①所示)或θ= (如图②所示),所以sin θ= ,cos θ= .
① ②
(2)= v1·v2= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线方向向量所成的角相等或互补. ( )
(2)若两直线的方向向量分别为v1,v2,两直线所成的角为θ,则cos θ=. ( )
(3)空间中两直线所成的角唯一确定,则两条直线对应的方向向量所成的角也唯一确定. ( )
◆ 知识点四 异面直线与空间向量
1.异面直线的判定
设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量.
(1)若l1与l2异面,则v1与v2是不可能平行的.
(2)若v1与v2不平行,则l1与l2的位置关系为 .
(3)若A∈l1,B∈l2,则l1与l2异面时,v1,v2, ;若v1,v2,不共面,则l1与l2异面.(如图①②所示)
2.异面直线间的距离
一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2, , ,则称MN为l1与l2的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)不相交的直线就是异面直线. ( )
(2)任意两条异面直线的公垂线段都只有一个. ( )
(3)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,若v1,v2不平行,则两条直线是异面直线.( )
◆ 探究点一 确定空间中点的位置
例1 [2024·广西南宁东盟中学高二月考] 已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为(3,4,0),(2,5,5),(0,3,5).
(1)若=(-),求点P的坐标;
(2)若P是线段AB上的一点,且=,求点P的坐标.
变式 (1)已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且=,则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
(2)已知点P是过点A(0,1,1)且方向向量为v=(1,0,0)的直线上的一点,若||=3,则点P的坐标是 .
[素养小结]
解决空间中点的位置问题常转化为向量共线、向量相等问题来解决,设出要求点的坐标,利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组,求解即可.
◆ 探究点二 直线的方向向量
例2 (多选题)已知一条直线经过A(2,3,2),B(-1,0,5)两点,下列向量中可以是该直线的方向向量的为 ( )
A.a=(1,1,1) B.a=(-1,-1,1)
C.a=(-3,-3,3) D.a=(1,1,-1)
变式 (1)已知直线l的一个方向向量为a=(2,1,3),且直线l经过点A(0,y,6)和点B(-2,-4,z),则y= ,z= .
(2)已知点M(1,-2,0),N(2,2,1)在直线l上,写出直线l的一个方向向量a= .
[素养小结]
对直线方向向量的两点说明:
(1)方向向量的选取:在直线上任取两点P,Q,可得到直线的一个方向向量.
(2)方向向量的不唯一性:直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.解题时,可以选取坐标最简的方向向量.
◆ 探究点三 用直线的方向向量处理线线平行、垂直问题
例3 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.
(2)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别是BB',CA'的中点.求证:MN⊥BB',MN⊥A'C.
变式 [2025·贵州遵义高二期中] 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是BC的中点,N是CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.
[素养小结]
判定直线平行、垂直的向量法:
设v1,v2分别为l1与l2的一个方向向量.
(1)v1∥v2 l1∥l2或l1与l2重合.
(2)v1与v2不平行 l1与l2不平行.
(3)v1·v2=0 v1⊥v2 l1⊥l2.
(4)v1·v2≠0 v1与v2不垂直 l1与l2不垂直.
◆ 探究点四 利用向量法求空间中两条直线所成的角
例4 (1)[2024·广东中山华侨中学高二期中] 如图,圆锥的轴截面ABC为等边三角形,D为弧AB的中点,E,F分别为母线BC,AC的中点,则异面直线BF和DE所成角的大小为 ( )
A. B. C. D.
(2)[2025·吉林长春高二期末] 在如图所示的多面体中,PA⊥平面ABC,平面QBC⊥平面ABC,且AB=BC=AC=2PA=2,QB=QC=,则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
变式 如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,且B1E1=A1B1,D1F1=C1D1.
(1)证明:DB1⊥BC1;
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
[素养小结]
利用向量法求异面直线所成角的步骤:
(1)确定空间两条直线的方向向量;
(2)求两个向量夹角的余弦值;
(3)确定线线角与向量夹角的关系:当向量夹角为锐角时,即为两直线的夹角;当向量夹角为钝角时,两直线的夹角为向量夹角的补角.
注意:异面直线所成角的范围是,故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.
1.已知点A(-1,0,),B(1,4,0)在直线l上,则下列向量中可以是直线l的方向向量的为( )
A.(2,4,-) B. (1,2,)
C.(0,4,) D. (-1,-2,)
2.(多选题)已知向量a=(4,4,5),b=(-7,x,y)分别是直线l1,l2的一个方向向量,若l1⊥l2,则下列四个选项中符合题意的有 ( )
A.x=2,y=4 B.x=4,y=3
C.x=,y=3 D.x=6,y=2
3.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为 ( )
A.- B. C.- D.
4.[2024·长春东北师大附中高二月考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关系正确的是( )
A.AD⊥B1C B.A1D⊥BD
C.AC1⊥A1C D.AC1⊥CD1
5.设直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,2),直线l2的一个方向向量为b=(-2,1,1),则l1与l2的公垂线的一个方向向量为 . 1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
一、选择题
1.若点A,B在直线l上,则直线l的一个方向向量为 ( )
A.n= B.n=
C.n= D.n=
2.[2024·广东汕头一中高二月考] 已知直线l1的一个方向向量为a=(-1,2,m),直线l2的一个方向向量为b=(2,n,-12),若l1∥l2,则m+3n的值是 ( )
A.-6 B.6
C.14 D.-14
3.已知异面直线a,b的一个方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),则a,b所成角的大小是( )
A. B. C. D.
4.[2024·河南新乡高二期末] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BCA=90°,CC1=3BC=3CA,则AC1与CB1所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
6.[2025·山东烟台一中高二月考] 如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长为2,四边形ABCD是正方形,∠A1AD=∠A1AB=,点O是B1C与BC1的交点,则直线AO与CB所成角的余弦值为 ( )
A.1 B. C. D.
7.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,则当BF⊥PE时,AF∶FD= ( )
A.1∶1 B.1∶2
C.2∶1 D.2∶3
8.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是体对角线AC1上的动点,M是棱DD1上的动点,则下列说法正确的是 ( )
A.异面直线B1P与A1D所成的角的最小值为
B.异面直线B1P与A1D所成的角的最大值为
C.对于任意的P,存在点M使得AM⊥B1P
D.对于任意的M,存在点P使得AM⊥B1P
★9.(多选题)在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,BD⊥CD,BD=CD=2,△ABD为等边三角形,E是棱AC的中点,F是棱AD上一点,若异面直线DE与BF所成角的余弦值为,则AF的值可能为 ( )
A. B.1 C. D.
二、填空题
10.已知A(1,1,-1),B(2,3,1),则直线AB的模为1的方向向量是 .
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D与BC1所成角的大小是 ;若E,F分别为AB,CC1的中点,则异面直线EF与A1C1所成角的大小是 .
12.[2025·吉林长春高二期中] “曲池”是《九章算术》中记载的一种几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的“曲池”,AA1⊥平面ABCD,AA1=4,底面扇环所对的圆心角为,的长度是长度的2倍,CD=1,则异面直线A1D1与BC1所成角的余弦值为 .
三、解答题
13.(13分)[2025·甘肃白银高二期末] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=2,∠ABC=,AC=AA1.
(1)求证:AC⊥GF;
(2)求异面直线FG与BD所成角的余弦值.
14.(15分)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为4,∠A1AB=60°,点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O.在棱BB1上是否存在一点D使A1D⊥AC1 若存在,求出BD的长;若不存在,请说明理由.
15.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P为空间中一点,若=λ(λ∈[0,1]),则异面直线BP和C1D所成角的取值不可能是( )
A. B. C. D.
16.(15分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面ABCD所成角为30°.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
